2.5有理数的混合运算（5大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年七年级数学上册同步精品课堂（北师大版2024）

七年级上册数学《第2章有理数及其运算》 2.5 有理数的混合运算 知识点一 有理数的混合运算 ◆有理数的混合运算： （1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 知识点二 “24 点”游戏技巧 技巧1:将给定的四张牌面上的数字凑成两数之积: 3×8=24，4×6=24，2×12=24； 技巧2:将给定的四张牌面上的数字凑成两数之和: 21+3=24，20 +4=24，18+6=24，16+8=24，15+9=24，14+10=24； 技巧3:将给定的四张牌面上的数字凑成两数之差: 25−1=24，30−6=24，27−3=24，35−11=24，28−4=24，36−12=24. 题型一 有理数的混合运算 解题技巧提炼 （1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 1．（2023秋•二道区校级期末）下列四个式子中，计算结果最小的是（　　） A．﹣3 B．﹣3 C．﹣3 D．﹣3 【分析】根据有理数加减乘除法运算的计算法则计算即可求解． 【解答】解：﹣32， ﹣33， ﹣31， ﹣33×2＝﹣6， ∵﹣6＜﹣321， ∴计算结果最小的是选项D． 故选：D． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 2．（2023秋•鄞州区期末）下列四个式子中，计算结果最大的是（　　） A．﹣23+（﹣1）2 B．﹣23﹣（﹣1）2 C．﹣23×（﹣1）2 D．﹣23÷（﹣1）2 【分析】各式计算得到结果，即可作出判断． 【解答】解：﹣23+（﹣1）2 ＝﹣8+1 ＝﹣7， ﹣23﹣（﹣1）2 ＝﹣8﹣1 ＝﹣9， ﹣23×（﹣1）2 ＝﹣8×1 ＝﹣8， ﹣23÷（﹣1）2 ＝﹣8÷1 ＝﹣8， ∵﹣7＞﹣8＞﹣9， ∴计算结果最大的是选项A． 故选：A． 【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 3．（2024•高州市校级模拟）下列式子计算正确的是（　　） A．（﹣1）6×32＝6 B．8÷（）×5＝8×（）＝﹣4 C．﹣321 D．4﹣（﹣8）÷2＝4﹣4＝0 【分析】先算乘方，再算乘除，后算加减，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、（﹣1）6×32＝1×9＝9，故A不符合题意； B、8÷（）×5＝8×（﹣10）×5＝﹣400，故B不符合题意； C、﹣3291，故C符合题意； D、4﹣（﹣8）÷2＝4﹣（﹣4）＝4+4＝8，故D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 4．下列各式中．计算结果得0的是（　　） A．﹣22+（﹣2）2 B．﹣22﹣22 C．﹣22﹣（﹣2）2 D．（﹣2）2+22 【分析】根据有理数的乘方的定义对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：A、﹣22+（﹣2）2＝﹣4+4＝0，故本选项正确； B、﹣22﹣22＝﹣4﹣4＝﹣8，不是0，故本选项错误； C、﹣22﹣（﹣2）2＝﹣4﹣4＝﹣8，不是0，故本选项错误； D、（﹣2）2+22＝4+4＝8，不是0，故本选项错误． 故选：A． 【点评】本题考查了有理数的乘方，计算时要注意﹣22与（﹣2）2的区别． 5．（2023秋•济宁期中）下列运算错误的是（　　） A．﹣8﹣2×6＝﹣20 B．（﹣1）2016+（﹣1）2015＝0 C．﹣（﹣3）2＝﹣9 D．22 【分析】根据有理数的混合运算的运算方法逐项判断即可． 【解答】解：∵﹣8﹣2×6＝﹣8﹣12＝﹣20， ∴选项A正确，不符合题意； ∵（﹣1）2016+（﹣1）2015＝1﹣1＝0， ∴选项B正确，不符合题意； ∵﹣（﹣3）2＝﹣9， ∴选项C正确，不符合题意； ∵221， ∴选项D错误，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 6．（2023秋•金东区期末）计算： （1）（﹣2）2×5﹣（﹣2）3÷4； （2）． 【分析】（1）先计算乘方，再计算乘除，最后进行加减法即可； （2）先计算乘方、利用乘法分配律进行计算，再进行加减法即可． 【解答】解：（1）（﹣2）2×5﹣（﹣2）3÷4 ＝20+2 ＝22； （2） ＝﹣1+4+18﹣4+3 ＝20． 【点评】此题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则和顺序是解题的关键． 7．（2024•肇源县开学）计算： （1）． （2）． 【分析】（1）先计算乘方和绝对值，再计算乘法，最后计算加减即可； （2）先计算乘方，再计算乘法，最后计算加减即可． 【解答】解：（1）原式 ＝﹣8+10﹣3 ＝﹣1； （2）原式 ． 【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则． 8．（2023秋•隆回县期末）计算： （1）|﹣43|； （2）． 【分析】（1）先计算乘方和绝对值，再计算乘法，继而计算减法即可； （2）先计算括号内的运算和乘方，再计算乘法，最后计算加法即可． 【解答】解：（1）原式＝4×1﹣1364 ＝4﹣1364 ＝﹣73； （2）原式＝﹣1（3﹣9） ＝﹣1（﹣6） ＝﹣1+1 ＝0． 【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则． 9．（2023•馆陶县二模）淇淇在计算：时，步骤如下： 解：原式＝﹣2022﹣（﹣6）+66① ＝﹣2022+6+12﹣18………………………② ＝﹣2048…………………………………③ （1）淇淇的计算过程中开始出现错误的步骤是 　 　；（填序号） （2）请给出正确的解题过程． 【分析】（1）根据幂的运算即可判断； （2）按照有理数的运算法则，先计算括号内的，再计算括号外的，利用幂运算的性质即可求解． 【解答】解：（1）∵（﹣1）2022＝1，（﹣2）3＝﹣8，6÷（）＝636， ∴原式＝1﹣（﹣8）+6， ∴开始出现错误的步骤是①， 故答案为：①； （2）原式＝1﹣（﹣8）+6 ＝1+8+6×6 ＝1+8+36 ＝45． 【点评】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的运算法则，注意运算顺序． 10．计算： （1）2×（﹣3）3﹣4×（﹣3）+15； （2）． （3）﹣|﹣9|÷（﹣3）2+（）×（﹣12）． （4）﹣14﹣（1﹣0.5）|1﹣（﹣5）2|． 【分析】（1）先算乘方，再算乘法，最后算加减即可； （2）先算乘方，再算乘法，最后算加减即可． （3）先去绝对值、计算小括号内的式子和有理数的乘方，然后计算乘除法，最后算加法即可． （4）先算乘方，再算绝对值和括号里面的，最后算乘法和加减； 【解答】解：（1）原式＝2×（﹣27）﹣4×（﹣3）+15 ＝﹣54+12+15 ＝﹣27； （2） ＝||×（﹣12）（﹣8） （﹣12）+1 ＝﹣2+1 ＝﹣1． （3）﹣|﹣9|÷（﹣3）2+（）×（﹣12） ＝﹣9÷9+（）×（﹣12） ＝﹣1+2 ＝1． （4）﹣14﹣（1﹣0.5）|1﹣（﹣5）2| ＝﹣1|1﹣25| ＝﹣124 ＝﹣25； 【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则、运算顺序和运算律是解决本题的关键． 题型二 含乘方的程序图运算题 解题技巧提炼 利用有理数的加减乘除乘方混合运算解决程序计算题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序，根据程序列出算式解答即可． 1．如图是一个简单的数值运算程序图，当输入x的值为﹣1时，输出的数值为　 　． 【分析】首先求出﹣1的平方是多少，然后用﹣1的平方乘﹣3，求出积是多少，再用所得的积减去2，求出输出的数值为多少即可． 【解答】解：当输入x的值为﹣1时，输出的数值为： （﹣1）2×（﹣3）﹣2 ＝1×（﹣3）﹣2 ＝﹣3﹣2 ＝﹣5． 故答案为：﹣5． 【点评】此题主要考查了代数式求值问题，要熟练掌握，求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简． 2．（2023秋•蓝山县期中）如图所示的运算程序中，若开始输入的值为﹣2，则输出的结果为 　 　． 【分析】根据运算程序计算，若结果大于0，则符合题意，若结果小于0，则输入程序重新计算即可． 【解答】解：当x＝﹣2时，（﹣2）2﹣8＝﹣4＜0， 当x＝﹣4时，（﹣4）2﹣8＝8＞0， ∴输出的结果为8． 故答案为：8． 【点评】本题考查了代数式求值以及有理数的混合运算，解题的关键是根据程序列出正确的计算式． 3．（2023秋•潮州期末）如图是一个计算程序，若输入a的值为﹣1，则输出的结果b为（　　） A．﹣5 B．﹣6 C．5 D．6 【分析】把a的值代入计算程序中计算即可得到结果． 【解答】解：把a＝﹣1代入得： [（﹣1）2﹣（﹣2）]×（﹣3）+4 ＝（1+2）×（﹣3）+4 ＝3×（﹣3）+4 ＝﹣9+4 ＝﹣5， 故选：A． 【点评】此题考查了有理数的混合运算和代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 4．（2023春•承德期末）根据图所示的程序计算，若输入x的值为2，则输出y的值为 　 　；若输入x的值为﹣1，则输出y的值为 　 　． 【分析】将x＝2和x＝﹣1分别代入，别判断计算结果是否大于0，即可得答案． 【解答】解：输入x的值为2，输出y的值为22×2﹣4＝4×2﹣4＝8﹣4＝4； 若输入x的值为﹣1，（﹣1）2×2﹣4＝﹣2， ∵﹣2＜0， ∴（﹣2）2×2﹣4＝4， ∴输入x的值为﹣1，输出y的值为4， 故答案为：4，4． 【点评】本题考查有理数的运算，解题的关键是理解图中的计算程序． 5．按照以下程序图输入x的值为﹣3，则输出的y值为　 　． 【分析】首先用输入x的值乘（﹣2），结果是6，第二次输入，62×（﹣2），结果小于0，可得结论． 【解答】解：∵﹣3×（﹣2）＝6＞0， ∴y＝62×（﹣2）＝﹣72， 故答案为：﹣72． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键就是弄清楚题中图形给出的计算程序．由于将x＝﹣3开始代入计算是6，不是负数，返回继续计算，要平方后再代入，这是本题易出错的地方． 6．（2023•襄阳模拟）按照如图所示的计算程序，若输入结果是﹣3，则输出的结果是 　 　． 【分析】认真读懂题意，根据题目的计算程序进行计算，然后判断即可． 【解答】解：当x＝﹣3时，10﹣（﹣3）2＝1， 1＞0， ∴根据题意继续计算10﹣12＝9， 9＞0， ∴根据题意继续计算10﹣92＝﹣71， ﹣71＜0， ∴输出结果为﹣71． 故答案为：﹣71． 【点评】本题考查了代数求值，解题的关键要读懂题意，能根据题意进行代数计算，最后得到符合题意的结果． 7．如图，是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为﹣2时，最后输出的结果y是　 　． 【分析】根据题中的程序流程图，将x＝﹣2代入计算得到结果为1，将x＝1代入计算得到结果大于1，即可得到最后输出的结果． 【解答】解：把x＝﹣2代入可得：， 再把x＝1代入可得：， 所以y， 故答案为： 【点评】此题考查了代数式求值，弄清题中的程序流程是解本题的关键． 8．（2023秋•朝阳区月考）如图是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为﹣2时，最后输出的结果y是 　 　． 【分析】根据题中的程序流程图，将x＝﹣2代入计算得到结果为3，将x＝3代入计算得到结果小于1，即可得到最后输出的结果． 【解答】解：把x＝﹣2代入可得： （﹣2﹣1）3×（） ＝（﹣3）3×（） ＝﹣27×（） ＝3， 再把x＝3代入可得： （3﹣1）3×（） ＝23×（） ＝8×（） 1． 故最后输出的结果y是． 故答案为：． 【点评】此题考查了有理数的混合运算，代数式求值，弄清题中的程序流程是解本题的关键． 9．按如图所示的程序进行计算，如果把第一次输入的数是18；而结果不大于100时，就把结果作为输入的数再进行第二次运算，直到符合要求为止，则最后输出的结果为（　　） A．72 B．144 C．288 D．576 【分析】把18输入程序中计算，依此类推，结果大于100输出即可． 【解答】解：把18输入得：18×||÷[﹣（）2] ＝18（） ＝﹣36＜100， 把﹣36输入得：﹣36×||÷[﹣（）2] ＝﹣36（） ＝72＜100， 把72输入得：72×||÷[﹣（）2] ＝72（） ＝﹣144＜100， 把﹣144输入得：﹣144×||÷[﹣（）2] ＝﹣144（） ＝288＞100， 则输出的数字为288． 故选：C． 【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 题型三 含乘方的新定义运算问题 解题技巧提炼 新定义运算问题主要是运用题目中所给的新定义的运算方式进行计算即可，注意计算时的运算顺序，也是对有理数的混合运算的考查. 1．（2024•泸县二模）从n个不同元素中取出m个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示．已知“!”是一种数学运算符号，且1!＝1，2!＝2×1＝2，3!＝3×2×1＝6，4!＝4×3×2×1＝24…，若公式（n≥m，m，n为正整数），则为（　　） A．21 B．35 C．42 D．70 【分析】根据题意，可得，据此求解即可． 【解答】解：∵（n≥m，m，n为正整数）， ∴21． 故选：A． 【点评】此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算，解答此题的关键是要明确的含义以及“!”的运算方法． 2．（2024•甘肃）定义一种新运算*，规定运算法则为：m*n＝mn﹣mn（m，n均为整数，且m≠0）．例：2*3＝23﹣2×3＝2，则（﹣2）*2＝　 　． 【分析】根据m*n＝mn﹣mn，可以求得所求式子的值． 【解答】解：∵m*n＝mn﹣mn， ∴（﹣2）*2 ＝（﹣2）2﹣（﹣2）×2 ＝4+4 ＝8， 故答案为：8． 【点评】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答． 3．（2024•杭锦后旗模拟）我们规定：x⊗y＝（x+2）2﹣y，例如：3⊗5＝（3+2）2﹣5＝20，则1⊗（﹣2）的值为（　　） A．4 B．7 C．8 D．11 【分析】根据x⊗y＝（x+2）2﹣y，可以计算出1⊗（﹣2）的值． 【解答】解：∵x⊗y＝（x+2）2﹣y， ∴1⊗（﹣2） ＝（1+2）2﹣（﹣2） ＝32+2 ＝9+2 ＝11， 故选：D． 【点评】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是会用新定义解答问题． 4．（2023秋•重庆期末）定义一种新运算：a※b＝b2﹣ab，则（﹣2）※（﹣1）的是（　　） A．﹣1 B．1 C．3 D．2 【分析】根据题中给出的运算法则得出有理数混合运算的式子，进而可得出结论． 【解答】解：∵a※b＝b2﹣ab， ∴（﹣2）※（﹣1） ＝（﹣1）2﹣（﹣2）×（﹣1） ＝1﹣2 ＝﹣1． 故选：A． 【点评】本题考查的是有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键． 5．（2023秋•潢川县校级期末）用“*”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a*b＝ab2+2a，则3*（﹣2）＝　 　． 【分析】根据a*b＝ab2+2a，可得：3*（﹣2）＝3×（﹣2）2+2×3，据此求出算式的值是多少即可． 【解答】解：∵a*b＝ab2+2a， ∴3*（﹣2） ＝3×（﹣2）2+2×3 ＝3×4+6 ＝12+6 ＝18． 故答案为：18． 【点评】此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． 6．用“☆”定义一种新运算：对任意给定的两个有理数a，b，有a☆b＝3ab2+2ab+a，如：1☆3＝3×1×32+2×1×3+1，则（﹣2）☆3＝　 　． 【分析】利用题中所定义的运算规则得出算式，按照有理数的混合运算法则计算即可． 【解答】解：∵a☆b＝3ab2+2ab+a， ∴（﹣2）☆3 ＝3×（﹣2）×32+2×（﹣2）×3+（﹣2） ＝﹣54﹣12﹣2 ＝﹣68． 故答案为：﹣68． 【点评】本题考查了新定义在有理数的混合运算中的简单应用，正确按照定义得出算式是解题的关键． 7．（2023秋•肥城市期末）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数x和y，x☆y＝a2x+ay+1（a为常数），如：2☆3＝a2•2+a•3+1＝2a2+3a+1．若1☆2＝3，则3☆6的值为（　　） A．7 B．8 C．9 D．13 【分析】首先根据1☆2＝3，可得：a2+2a+1＝3，据此求出a2+2a的值是多少；然后应用代入法，求出3☆6的值为多少即可． 【解答】解：∵1☆2＝3， ∴a2+2a+1＝3， ∴a2+2a＝2， ∴3☆6 ＝3a2+6a+1 ＝3（a2+2a）+1 ＝3×2+1 ＝7 故选：A． 【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． 8．（2024•新华区校级三模）刘谦的魔术表演风靡全国，嘉琪也学刘谦发明了一个魔术盒，当数对（a，b）（a，b为有理数）进入其中时，会得到一个新的有理数：a2+2b+1，例如把（1，2）放入其中，就会得到12+2×2+1＝6． （1）把（﹣1，﹣2）放入其中，求得到的新有理数． （2）若把（﹣2，﹣n）放入其中，得到的新有理数为﹣1，则求n的值． 【分析】（1）直接根据新定义代值计算即可； （2）根据新定义可得（﹣2）2+2×（﹣n）+1＝﹣1，解方程即可． 【解答】解：（1）将（﹣1，﹣2）代入，得 a2+2b+1 ＝（﹣1）2+2×（﹣2）+1 ＝1﹣4+1 ＝﹣2； （2）将（﹣2，﹣n）代入，得（﹣2）2+2×（﹣n）+1＝﹣1， ∴n＝3． 【点评】本题主要考查的是有理数的混合运算，理解题意得出有理数混合运算的式子是解题的关键． 9．规定一种新运算法则：a※b＝ab﹣2a+b2.例如：1※2＝1×2﹣2×1+22＝4．请用上述运算法则回答下列问题． （1）求3※（﹣1）的值； （2）求（﹣4）※（※2）的值； （3）若m※5的值为40，求m的值． 【分析】（1）根据a※b＝ab﹣2a+b2，可以求得所求式子的值； （2）先算后面括号内的式子，然后再根据题目中的新法则计算即可； （3）根据m※5的值为40，可以得到5m﹣2m+52＝40，然后求解即可． 【解答】解：（1）由题意可得， 3※（﹣1） ＝3×（﹣1）﹣2×3+（﹣1）2 ＝（﹣3）﹣6+1 ＝﹣8； （2）（﹣4）※（※2） ＝（﹣4）※（2﹣222） ＝（﹣4）※（1﹣1+4） ＝（﹣4）※4 ＝（﹣4）×4﹣2×（﹣4）+42 ＝（﹣16）+8+16 ＝8； （3）∵m※5的值为40， ∴5m﹣2m+52＝40， 解得m＝5， 即m的值是5． 【点评】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是会用新定义解答问题． 10．（2023秋•朝阳区校级期中）探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算： （+2）*（+4）＝+（22+42）；（﹣4）*（﹣7）＝+[（﹣4）2+（﹣7）2]； （﹣2）*（+4）＝﹣[（﹣2）2+（+4）2]；（+5）*（﹣7）＝﹣[（+5）2+（﹣7）2]； 0*（﹣5）＝（﹣5）*0＝（﹣5）2；（+3）*0＝0*（+3）＝（+3）2． 0*0＝02+02＝0 （1）归纳*运算的法则： 两数进行*运算时，　 ．（文字语言或符号语言均可）特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，　 ． （2）计算：（+1）*[0*（﹣2）]＝　 　． （3）是否存在有理数m，n，使得（m﹣1）*（n+2）＝0，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由． 【分析】（1）首先根据*运算的运算法则进行运算的算式，归纳出*运算的运算法则即可；然后根据：0*（﹣5）＝（﹣5）2；（+3）*0）＝（+3）2，可得：0和任何数进行* 运算，或任何数和0进行*运算，等于这个数的平方． （2）根据（1）中总结出的*运算的运算法则，以及有理数的混合运算的运算方法，求出（+1）*[0*（﹣2）]的值是多少即可． （3）加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的*运算中还适用，并举例验证加法交换律适用即可． 【解答】解：（1）归纳*运算的法则：两数进行*运算时，同号得正，异号得负，并把两数的平方相加．特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，等于这个数的平方． （2）（+1）*[0*（﹣2）] ＝（+1）*（﹣2）2 ＝（+1）*4 ＝+（12+42） ＝1+16 ＝17； （3）∵（m﹣1）*（n+2）＝0， ∴±[（m﹣1）2+（n+2）2]＝0 ∴m﹣1＝0，n+2＝0， 解得m＝1，n＝﹣2． 故答案为：同号得正，异号得负，并把两数的平方相加；等于这个数的平方；﹣3． 【点评】此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算，注意加法运算定律的应用． 题型四 含乘方的探究规律题 解题技巧提炼 乘方运算中的数或数列呈现一定的规律性，可以从符号和绝对值两个方面考虑数的变化规律，由特殊到一般，由得到的规律来解决问题． 1．（2023秋•淮南期末）观察下面三行数． ﹣2，4，﹣8，16，﹣32，… ﹣1，5，﹣7，17，﹣31，… ﹣4，8，﹣16，32，﹣64，… （1）求第一行的第n个数；（n为正整数） （2）求第二行的第6个数、第三行的第7个数； （3）取每一行的第k个数，这三个数的和能否是﹣127？若能，求出k的值，若不能，请说明理由． 【分析】（1）观察发现第一行数的规律为（﹣2）”，（﹣2）“即为第一行的第n个数； （2）观察第二、三行数与第一行数的关系，可得出第二行的第n个数是（﹣2）”+1，第三行的第n个数是2×（﹣2）”，再求出第二行的第6个数和第三行的第7个数即可； （3）根据（2）得出的三行数的关系，可设第一行的第k个数为x，则第二行的第k个数为（x+1），第三行的第k个数为2x，根据题意有x+（x+1）+2x＝﹣127，解方程得x＝﹣32，然后根据第一行数的规律得到（﹣2）k＝﹣32，所以k＝5． 【解答】解：（1）第一行数的规律是：后面一个数是前一个数的﹣2倍，即（﹣2）1，（﹣2）2，（﹣2）3，…， 所以第一行的第n个数是（﹣2）n． （2）∵同位置的第二行数比第一行数大1，同位置的第三行数是第一行数的2倍， ∴第二行的第n个数是（﹣2）n+1，第三行的第n个数是2x（﹣2）n； 第二行的第6个数是（﹣2）6+1＝65，第三行的第7个数是2×（﹣2）7＝﹣256； （3）能，设第一行的第k个数为x，则第二行的第k个数为（x+1），第三行的第k个数为2x， 根据题意有x+（x+1）+2x＝﹣127， 解得x＝﹣32， ∴（﹣2）k＝﹣32， ∴k＝5， ∴k的值为5． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及规律型：数字的变化类，根据已知得出规律，运用规律是解答此题的关键． 2．观察下列等式，找出规律然后在空格处填上具体的数字． 1+3＝4＝22， 1+3+5＝9＝32， 1+3+5+7＝16＝42， 1+3+5+7+9＝25＝52， 根据规律填空1+3+5+7+9+…+2021＝　 　． 【分析】根据已知等式知，从1开始的连续n个奇数的和等于序数加1和的平方，据此可知第n个等式的和为（n+1）2，据此求解即可． 【解答】解：∵第1个等式：1+3＝4＝22； 第2个等式：1+3+5＝9＝32； 第3个等式：1+3+5+7＝16＝42； 第4个等式：1+3+5+7+9＝25＝52； …， ∴第n个等式：1+3+5+7+9+…+（2n+1）＝（n+1）2， 当2n+1＝2021时，解得：n＝1010， ∴1+3+5+7+9+…+2021 ＝（1010+1）2 ＝10112． 故答案为：10112． 【点评】本题主要考查规律型：数字的变化类，根据已知等式发现规律并会用代数式表示是关键． 3．观察下面三行数： ﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…； ① 0，6，﹣6，18，﹣30，66，…； ② ﹣2，1，﹣5，7，﹣17，31，…． ③ （1）按第①行数的规律，分别写出第7和第8个数； （2）请你分别写出第②③行的第7个数； （3）取每行数的第9个数，计算这三个数的和． 【分析】（1）观察不难发现，第①行数后一个数是前一个数的（﹣2）倍，写出第n项的表达式，然后把n＝7、8代入进行计算即可得解； （2）第②行为第①行的数加2；第③行为第①行的数的一半减1，分别写出第n个数的表达式，然后把n＝7代入求解即可； （3）根据各行的表达式求出第9个数，然后相加即可得解． 【解答】解：（1）∵﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…， ∴第n个数是（﹣2）n， ∴第7个数是（﹣2）7＝﹣128， 第8个数是（﹣2）8＝256； （2）观察发现，第②行为第①行的数加2，所以，第②行的第n个数为（﹣2）n+2， 所以，第7个数是（﹣2）7+2＝﹣128+2＝﹣126； 第③行为第①行的数的一半减1，所以，第③行的第n个是为（﹣2）n﹣1， 所以，第7个数为（﹣2）7﹣1＝﹣64﹣1＝﹣65； （3）第①行的第9个数为（﹣2）9＝﹣512， 第②行的第9个数为（﹣2）9+2＝﹣510， 第③的第9个数为（﹣2）9﹣1＝﹣257， 所以，这三个数的和为：（﹣512）+（﹣510）+（﹣257）＝﹣1279． 【点评】本题是对数字变化规律的考查，比较简单，观察出第②③行的数与第①行的数的联系是解题的关键． 4．观察下面三行数： ﹣1，5，﹣9，13，﹣17，21，…； ﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…； ﹣1，4，﹣9，16，﹣25，36，…． （1）第一行第十个数是 　 　； （2）第二行第n个数是（n为正整数）； （3）取每行的第十个数，计算这三个数的和． 【分析】（1）根据第①行的数的变化特点，可以写出第n个数，从而可以写出第十个数； （2）根据第②行的数的变化特点，可以写出第n个数，从而可以解答本题； （3）根据第③行的数的变化特点，可以写出第n个数，然后再根据（1）和（2）中发现的规律，即可分别写出前三行中的第十个数字，然后相加，即可解答本题． 【解答】解：（1）∵第①行的数为：﹣1，5，﹣9，13，﹣17，21，…， ∴第n个数为：（﹣1）n•（4n﹣3）， ∴当n＝10时，这个为（﹣1）10•（4×10﹣3）＝37， 故答案为：37； （2）∵第②行的数为：﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…， ∴第n个数为（﹣1）n•2n， （3）∵第③行的数为：﹣1，4，﹣9，16，﹣25，36，…， ∴第n个数为（﹣1）n•n2， ∵第①行第n个数为：（﹣1）n•（4n﹣3），第②行第n个数为（﹣1）n•2n， ∴当n＝10时，第①行的数为37，第②行的数为210＝1024，第③行的数为102＝100， ∵37+1024+100＝1161， ∴取每行数的第十个数，这三个数的和是1161． 【点评】本题主要考查规律型：数字的变化类，解答的关键是分析清楚题中的数所存在的规律． 5．观察下列运算过程： S＝1+3+32+33+…+32016+32017，① ①×3，得3S＝3+32+33+…+32017+32018，② ②﹣①，得2S＝32018﹣1，S． 用上面的方法计算：1+5+52+53+…+52017． 【分析】仿照题目中的例子，可以设S＝1+5+52+53+…+52017，然后得到5S，再作差，整理即可得到所求式子的值． 【解答】解：设S＝1+5+52+53+…+52017， 则5S＝5+52+53+…+52018， 5S﹣S＝52018﹣1， 4S＝52018﹣1， 则S， 故答案为：． 【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 6．（2024春•邗江区期中）（ 1）填空：31﹣30＝3（　ㅤ　）×2；32﹣31＝3（　ㅤㅤ　）×2； 33﹣32＝3（　ㅤㅤ　）×2； （2）探寻（1）中式子的规律，试写出第n个等式，并说明第n个等式成立； （3）计算：30+31+32+…+32024． 【分析】（1）根据题目中的式子，可以写出相应的结果； （2）根据（1）中的结果，可以写出第n个等式，然后计算即可说明是否成立； （3）先设T＝30+31+32+⋯+32024，则3T＝31+32+⋯+32025，然后错位相减即可得到所求式子的值． 【解答】解：（1）31﹣30＝30×2；32﹣31＝31×2；33﹣32＝32×2； 故答案为：0，1，2； （2）第n个等式是3n﹣3n﹣1＝3n﹣1×2， 理由：3n﹣3n﹣1＝3n﹣1×（3﹣1）＝3n﹣3n﹣1＝3n﹣1×2， 故第n个等式是3n﹣3n﹣1＝3n﹣1×2成立； （3）令T＝30+31+32+⋯+32024， 则3T＝31+32+⋯+32025， ∴3T﹣T＝32025﹣30， 解得T， 即30+31+32+⋯+32024的值是． 【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 7．已知13＝112×22，13+23＝922×32，13+23+33＝3632×42，…，按照这个规律完成下列问题： （1）13+23+33+43+53＝　 　　 2×　 　2． （2）猜想：13+23+33+…+n3＝　 　． （3）利用（2）中的结论计算：（写出计算过程）113+123+133+143+153+163+…+393+403． 【分析】（1）根据题目提供的三个算式利用类比法可以得到13+23+33+43+53的结果； （2）根据上面的四个算式总结得到规律13+23+33+…+n3n2×（n+1）2； （3）113+123+313+143+153+163+…+393+403转化为13+23+33+…+393+403﹣（13+23+33+…+103）后利用总结的规律即可求得答案． 【解答】解：（1）13+23+33+43+53＝22552×62 （2）猜想：13+23+33+…+n3n2×（n+1）2 （3）利用（2）中的结论计算： 113+123+133+143+153+163+…+393+403． 解：原式＝13+23+33+…+393+403﹣（13+23+33+…+103） 402×412102×112 ＝672400﹣3025 ＝669375 【点评】本题考查了数字的变化类问题，仔细的观察题目提供的算式并找到规律是解决此题的关键． 8．（2023秋•永定区期中）观察下面算式的演算过程： 1； 1； 1； 1． … （1）根据上面的规律，直接写出下面结果： 　　； 　　； 1　　．（n为正整数） （2）根据规律计算：（1）×（1）×（1）×（1）×…×（1）×（1）． 【分析】（1）根据题目中的例子，可以写出相应的式子的结果； （2）根据题目中的式子和所求式子的特点，可以求得所求式子的值． 【解答】解：（1）1， 1， 1， 故答案为：，，； （2）（1）×（1）×（1）×（1）×…×（1）×（1） ． 【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 9．【概念学习】 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方． 例如2÷2÷2，记作2③，读作“2的圈3次方”； 再例如（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3），记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”； 一般地，把（a≠0，n为大于等于2的整数）记作aⓝ，记作aⓝ，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：2③＝　　 ，（）⑤＝　 　； （2）关于除方，下列说法错误的是 　 　； A．任何非零数的圈2次方都等于1； B．对于任何大于等于2的整数c，1的圈c次方＝1； C．7⑨＝8⑧； D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数； 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方的形式． （﹣3）④＝　 　；5⑥＝　 　；（）⑩＝　 ． （2）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成乘方的形式等于 　 　． （3）算一算122÷（）④×（）⑧﹣（）⑳×（）19． 【分析】【初步探究】 （1）利用除方的定义解答即可； （2）利用除方的定义对每个选项进行逐一判断即可； 【深入思考】 （1）利用除方的意义将除方的式子写成除法的形式，利用除以一个数等于乘以这个数的倒数变成乘法，再利用乘方的意义写成乘方的形式即可； （2）利用（1）中的规律写出即可； （3）将算式中的除方化成乘方的形式，按有理数的混合运算法则计算即可． 【解答】解：【初步探究】 （1）2③＝2÷2÷2，（）⑤＝（）÷（）÷（）÷（）÷（）＝﹣8， 故答案为：；﹣8； （2）∵根据除方的定义，任何非零数的圈2次方都等于1， ∴A选项说法正确； ∵根据除方的定义，对于任何大于等于2的整数c，1的圈c次方＝1， ∴B选项说法正确； ∵7⑨＝7÷7÷7÷7÷7÷7÷7÷7÷7， 8⑧＝8÷8÷8÷8÷8÷8÷8÷8， ∴7⑨≠8⑧． ∴C选项说法不正确； ∵几个不等于0的有理数相除，商的符号由负因数的个数决定，负因数的个数为奇数商为负，负因数的个数为偶数商为正， ∴根据除方的定义，负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数， ∴D选项正确． 综上所述，说法错误的是：7⑨≠8⑧． 故选：C． 【深入思考】 （1）（﹣3）④＝（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）＝1×（）×（）， 5⑥＝5÷5÷5÷5÷5÷5＝1， （）⑩＝（）÷（）÷（）÷（）÷（）÷（）÷（）÷（）÷（）÷（） ＝1×（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）＝（﹣2）8， 故答案为：；；（﹣2）8． （2）由（1）可知： 将一个非零有理数a的圈n次方写成乘方的形式等于， 故答案为：． （3）122÷（）④×（）⑧﹣（）⑳×（）19 ＝144÷（﹣3）2×（﹣2）6﹣318 ＝16×64 ＝1024． 【点评】本题主要考查了数字的变化规律，有理数的混合运算，本题是阅读型题目，理解并熟练应用新定义是解题的关键． 题型五 “24 点”游戏 解题技巧提炼 技巧1:将给定的四张牌面上的数字凑成两数之积: 3×8=24，4×6=24，2×12=24； 技巧2:将给定的四张牌面上的数字凑成两数之和: 21+3=24，20 +4=24，18+6=24，16+8=24，15+9=24，14+10=24； 技巧3:将给定的四张牌面上的数字凑成两数之差: 25-1=24，30−6=24，27−3=24，35−11=24，28−4=24，36−12=24. 1．（2023秋•栖霞市期中）小新玩“24点”游戏，游戏规则是对数进行加、减、乘、除混合运算（每张卡片只能用一次，可以加括号）使得运算结果是24或﹣24．小新已经抽到前3张卡片上的数字分别是﹣1，5，8，若再从下列4张中抽出1张，则其中不能与前3张算出“24点”的是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据题意列出算式，使其满足题意即可． 【解答】解：8×（5﹣1×2） ＝8×（5﹣2） ＝8×3 ＝24； 8×[5﹣（﹣1）﹣3） ＝8×3 ＝24； （8﹣4）×（﹣1﹣5） ＝4×（﹣6） ＝﹣24； 5不能与前3张﹣1，5，8算出“24点”． 故选：D． 【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 2．（2023秋•宁远县期中）“算24点”的游戏规则是：用“+﹣×÷”四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24．例如，给出2，2，2，8这四个数，可以列式（2÷2+2）×8＝24．以下的4个数用“+﹣×÷”四种运算符号不能算出结果为24的是（　　） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 【分析】首先认真分析找出规律，然后根据有理数的运算法则列式． 【解答】解：A、用“+—×÷”四种运算符号不能算出结果为24，符合题意； B、1×2×3×4＝24，不符合题意； C、（10×10﹣4）÷4 ＝（100﹣4）÷4 ＝96÷4 ＝24，不符合题意； D、（﹣6+3×3）×8 ＝（﹣6+9）×8 ＝3×8 ＝24，不符合题意． 故选：A． 【点评】此题考查了有理数的混合运算，具有一定的开放性，答案不唯一，关键是掌握有理数的运算能力及括号的正确使用． 3．有一次小明在做24点游戏时抽到的四张牌分别是7、7、1、2，每张牌只能用一次，可以用加、减、乘、除等运算，请写出一个成功的算式：　 ＝24． 【分析】根据有理数混合运算的法则进行计算即可． 【解答】解：（7×7﹣1）÷2 ＝（49﹣1）÷2 ＝48÷2 ＝24， 故答案为：（7×7﹣1）÷2（答案不唯一）． 【点评】本题考查的是有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键． 4．（2023秋•顺德区校级月考）在玩“24点”游戏时，小明抽到的数字是4，﹣6，3，10，运用所学过的有理数混合运算，使得运算结果为24，你的算法是 　 　（写出一种即可，每个数字都要用到并且只能用一次）． 【分析】利用运算符号将四个数连接，结果为24即可． 【解答】解：4﹣1024． 故答案为：4﹣1024（答案不唯一）． 【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 5．（2023秋•山亭区期末）有一种24点的游戏，游戏规则是：任取四个1～13之间的自然数，将这四个数（每个数只用一次）进行加减乘除四则运算，使其结果等于24，例如对1、2、3、4可做运算：（1+2+3）×4＝24．现有四个有理数7，﹣2，3，﹣4，运用上述规则写出算式，使其运算结果等于24，你的算式是 　 　． 【分析】根据有理数混合运算的式子解答即可． 【解答】解：[（﹣2）+（﹣4）]×（3﹣7） ＝（﹣2﹣4）×（﹣4） ＝（﹣6）×（﹣4） ＝24． 故答案为：[（﹣2）+（﹣4）]×（3﹣7）（答案不唯一）． 【点评】本题考查的是有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键． 6．（2023秋•长安区期末）嘉嘉和琪琪在玩24点游戏，游戏规则是：从一副扑克牌中抽去大小王剩下52张，任意抽取4张牌，把牌面上的数运用你所学过的运算（可以使用括号）得出24．每张牌都必须使用一次，但不能重复使用．嘉嘉抽到的四张牌如下，请帮他写出一个计算结果为24的算式 　 ． 【分析】本题考查经典扑克游戏“24点”，根据所给数字，灵活运用四则运算和括号，进行整理排序，凑出24点． 【解答】解：本题答案不唯一． 本题中设计的数字有：8，4，2，12． 根据题目规则，可得满足条件的算式如下： （1）（8﹣4）×（12÷2）＝24． （2）（8﹣4﹣2）×12＝24． （3）8×2+12﹣2＝24． （4）4*[12﹣（8﹣2）]等． 故答案为：（8﹣4）×（12÷2）＝24（答案不唯一）． 【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． 7．（2023秋•成华区校级期中）你会玩“24点”游戏吗？从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每一张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号），使得运算结果为24或﹣24，其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数．J、Q、K、A分别代表11、12、13、1，小明抽到了黑桃3，方块4，红桃6，梅花10，他运用下面的方法凑成了：3×{10﹣[﹣4﹣（﹣6）]}＝24．（提示数2，数3可列23＝8或32＝9） （1）如果抽到的是红心2，黑桃3，方块3，梅花6，你能凑成24吗？ （2）如果抽到的是黑桃A，方块2，黑桃2，黑桃3，你能凑成24吗？ （3）如果抽到的是黑桃5，黑桃A，梅花5，方块5，你能凑成24吗？ 【分析】（1）所给的数字为：﹣2、3、﹣3、6； （2）所给的数字为：1、﹣2、2、3； （3）所给的数字为：5、1、5、﹣5； 利用数字特点，注意数字符号：选用运算符号解决问题即可． 【解答】解：（1）﹣2×（﹣3﹣3﹣6）＝24； （2）[1﹣（﹣2）]×23＝24； （3）（1÷5﹣5）×（﹣5）＝24． 【点评】此题考查有理数的混合运算，注意数字的正负，巧妙利用计算解决问题． 8．（2023秋•连江县期中）有一种“24点”的游戏，其规则是：任取4个数，将这4个数（每个数只能用一次）进行加、减、乘、除混合运算，使其结果为24．例如：1，2，3，4，做运算（1+2+3）×4＝24． （1）现有4个有理数：2、4、10、7，根据上述规则，请你写出2种不同的列式方法，使其结果等于24； （2）将﹣12，﹣6，4，8这4个有理数列成一个算式，使得计算结果为24（写出一种即可）． 【分析】（1）根据“二十四点”游戏的规则，用运算符合将3，4，﹣6，10连接，使其结果为24即可． （2）本题先根据题意找出规律，列出式子求出得数即可． 【解答】解：（1）（10﹣2）×（7﹣4） ＝8×3 ＝24； （10﹣7）×（2×4） ＝3×8 ＝24； （答案不唯一） （2）8×[（﹣12）÷4﹣（﹣6）] ＝8×（﹣3+6） ＝8×3 ＝24． 【点评】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的规则是解本题的关键． 9．（2023秋•长安区校级期中）小明有如图所示的5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题． （1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，并求这个最大值； （2）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，并求这个最小值； （3）算24点游戏：从中取出4张卡片，用学过的“+，﹣，×，÷”运算，使计算结果为24．请写出2个运算式并进行计算． 【分析】（1）找出两张卡片，使其积最大即可； （2）找出两张卡片，使其商最小即可； （3）找出四张卡片，利用24点游戏规律列出算式即可． 【解答】解：（1）抽取的2张卡片是﹣3、﹣5，乘积的最大值为15． （2）抽取的2张卡片是﹣5、1，商的最小值﹣5． （3）抽取的4张卡片是﹣3、1、3、4，算式为3×[1﹣（﹣3）+4]＝24或1×4×[3﹣（﹣3）]＝24（答案不唯一）． 【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！32 学科网（北京）股份有限公司 $$ 七年级上册数学《第2章有理数及其运算》 2.5 有理数的混合运算 知识点一 有理数的混合运算 ◆有理数的混合运算： （1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 知识点二 “24 点”游戏技巧 技巧1:将给定的四张牌面上的数字凑成两数之积: 3×8=24，4×6=24，2×12=24； 技巧2:将给定的四张牌面上的数字凑成两数之和: 21+3=24，20 +4=24，18+6=24，16+8=24，15+9=24，14+10=24； 技巧3:将给定的四张牌面上的数字凑成两数之差: 25−1=24，30−6=24，27−3=24，35−11=24，28−4=24，36−12=24. 题型一 有理数的混合运算 解题技巧提炼 （1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 1．（2023秋•二道区校级期末）下列四个式子中，计算结果最小的是（　　） A．﹣3 B．﹣3 C．﹣3 D．﹣3 2．（2023秋•鄞州区期末）下列四个式子中，计算结果最大的是（　　） A．﹣23+（﹣1）2 B．﹣23﹣（﹣1）2 C．﹣23×（﹣1）2 D．﹣23÷（﹣1）2 3．（2024•高州市校级模拟）下列式子计算正确的是（　　） A．（﹣1）6×32＝6 B．8÷（）×5＝8×（）＝﹣4 C．﹣321 D．4﹣（﹣8）÷2＝4﹣4＝0 4．下列各式中．计算结果得0的是（　　） A．﹣22+（﹣2）2 B．﹣22﹣22 C．﹣22﹣（﹣2）2 D．（﹣2）2+22 5．（2023秋•济宁期中）下列运算错误的是（　　） A．﹣8﹣2×6＝﹣20 B．（﹣1）2016+（﹣1）2015＝0 C．﹣（﹣3）2＝﹣9 D．22 6．（2023秋•金东区期末）计算： （1）（﹣2）2×5﹣（﹣2）3÷4； （2）． 7．（2024•肇源县开学）计算： （1）． （2）． 8．（2023秋•隆回县期末）计算： （1）|﹣43|； （2）． 9．（2023•馆陶县二模）淇淇在计算：时，步骤如下： 解：原式＝﹣2022﹣（﹣6）+66① ＝﹣2022+6+12﹣18………………………② ＝﹣2048…………………………………③ （1）淇淇的计算过程中开始出现错误的步骤是 　 　；（填序号） （2）请给出正确的解题过程． 10．计算： （1）2×（﹣3）3﹣4×（﹣3）+15； （2）． （3）﹣|﹣9|÷（﹣3）2+（）×（﹣12）． （4）﹣14﹣（1﹣0.5）|1﹣（﹣5）2|． 题型二 含乘方的程序图运算题 解题技巧提炼 利用有理数的加减乘除乘方混合运算解决程序计算题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序，根据程序列出算式解答即可． 1．如图是一个简单的数值运算程序图，当输入x的值为﹣1时，输出的数值为　 　． 2．（2023秋•蓝山县期中）如图所示的运算程序中，若开始输入的值为﹣2，则输出的结果为 　 　． 3．（2023秋•潮州期末）如图是一个计算程序，若输入a的值为﹣1，则输出的结果b为（　　） A．﹣5 B．﹣6 C．5 D．6 4．（2023春•承德期末）根据图所示的程序计算，若输入x的值为2，则输出y的值为 　 　；若输入x的值为﹣1，则输出y的值为 　 　． 5．按照以下程序图输入x的值为﹣3，则输出的y值为　 　． 6．（2023•襄阳模拟）按照如图所示的计算程序，若输入结果是﹣3，则输出的结果是 　 　． 7．如图，是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为﹣2时，最后输出的结果y是　 　． 8．（2023秋•朝阳区月考）如图是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为﹣2时，最后输出的结果y是 　 　． 9．按如图所示的程序进行计算，如果把第一次输入的数是18；而结果不大于100时，就把结果作为输入的数再进行第二次运算，直到符合要求为止，则最后输出的结果为（　　） A．72 B．144 C．288 D．576 题型三 含乘方的新定义运算问题 解题技巧提炼 新定义运算问题主要是运用题目中所给的新定义的运算方式进行计算即可，注意计算时的运算顺序，也是对有理数的混合运算的考查. 1．（2024•泸县二模）从n个不同元素中取出m个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示．已知“!”是一种数学运算符号，且1!＝1，2!＝2×1＝2，3!＝3×2×1＝6，4!＝4×3×2×1＝24…，若公式（n≥m，m，n为正整数），则为（　　） A．21 B．35 C．42 D．70 2．（2024•甘肃）定义一种新运算*，规定运算法则为：m*n＝mn﹣mn（m，n均为整数，且m≠0）．例：2*3＝23﹣2×3＝2，则（﹣2）*2＝　 　． 3．（2024•杭锦后旗模拟）我们规定：x⊗y＝（x+2）2﹣y，例如：3⊗5＝（3+2）2﹣5＝20，则1⊗（﹣2）的值为（　　） A．4 B．7 C．8 D．11 4．（2023秋•重庆期末）定义一种新运算：a※b＝b2﹣ab，则（﹣2）※（﹣1）的是（　　） A．﹣1 B．1 C．3 D．2 5．（2023秋•潢川县校级期末）用“*”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a*b＝ab2+2a，则3*（﹣2）＝　 　． 6．用“☆”定义一种新运算：对任意给定的两个有理数a，b，有a☆b＝3ab2+2ab+a，如：1☆3＝3×1×32+2×1×3+1，则（﹣2）☆3＝　 　． 7．（2023秋•肥城市期末）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数x和y，x☆y＝a2x+ay+1（a为常数），如：2☆3＝a2•2+a•3+1＝2a2+3a+1．若1☆2＝3，则3☆6的值为（　　） A．7 B．8 C．9 D．13 8．（2024•新华区校级三模）刘谦的魔术表演风靡全国，嘉琪也学刘谦发明了一个魔术盒，当数对（a，b）（a，b为有理数）进入其中时，会得到一个新的有理数：a2+2b+1，例如把（1，2）放入其中，就会得到12+2×2+1＝6． （1）把（﹣1，﹣2）放入其中，求得到的新有理数． （2）若把（﹣2，﹣n）放入其中，得到的新有理数为﹣1，则求n的值． 9．规定一种新运算法则：a※b＝ab﹣2a+b2.例如：1※2＝1×2﹣2×1+22＝4．请用上述运算法则回答下列问题． （1）求3※（﹣1）的值； （2）求（﹣4）※（※2）的值； （3）若m※5的值为40，求m的值． 10．（2023秋•朝阳区校级期中）探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算： （+2）*（+4）＝+（22+42）；（﹣4）*（﹣7）＝+[（﹣4）2+（﹣7）2]； （﹣2）*（+4）＝﹣[（﹣2）2+（+4）2]；（+5）*（﹣7）＝﹣[（+5）2+（﹣7）2]； 0*（﹣5）＝（﹣5）*0＝（﹣5）2；（+3）*0＝0*（+3）＝（+3）2． 0*0＝02+02＝0 （1）归纳*运算的法则： 两数进行*运算时，　 ．（文字语言或符号语言均可）特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，　 ． （2）计算：（+1）*[0*（﹣2）]＝　 　． （3）是否存在有理数m，n，使得（m﹣1）*（n+2）＝0，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由． 题型四 含乘方的探究规律题 解题技巧提炼 乘方运算中的数或数列呈现一定的规律性，可以从符号和绝对值两个方面考虑数的变化规律，由特殊到一般，由得到的规律来解决问题． 1．（2023秋•淮南期末）观察下面三行数． ﹣2，4，﹣8，16，﹣32，… ﹣1，5，﹣7，17，﹣31，… ﹣4，8，﹣16，32，﹣64，… （1）求第一行的第n个数；（n为正整数） （2）求第二行的第6个数、第三行的第7个数； （3）取每一行的第k个数，这三个数的和能否是﹣127？若能，求出k的值，若不能，请说明理由． 2．观察下列等式，找出规律然后在空格处填上具体的数字． 1+3＝4＝22， 1+3+5＝9＝32， 1+3+5+7＝16＝42， 1+3+5+7+9＝25＝52， 根据规律填空1+3+5+7+9+…+2021＝　 　． 3．观察下面三行数： ﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…； ① 0，6，﹣6，18，﹣30，66，…； ② ﹣2，1，﹣5，7，﹣17，31，…． ③ （1）按第①行数的规律，分别写出第7和第8个数； （2）请你分别写出第②③行的第7个数； （3）取每行数的第9个数，计算这三个数的和． 4．观察下面三行数： ﹣1，5，﹣9，13，﹣17，21，…； ﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…； ﹣1，4，﹣9，16，﹣25，36，…． （1）第一行第十个数是 　 　； （2）第二行第n个数是（n为正整数）； （3）取每行的第十个数，计算这三个数的和． 5．观察下列运算过程： S＝1+3+32+33+…+32016+32017，① ①×3，得3S＝3+32+33+…+32017+32018，② ②﹣①，得2S＝32018﹣1，S． 用上面的方法计算：1+5+52+53+…+52017． 6．（2024春•邗江区期中）（ 1）填空：31﹣30＝3（　ㅤ　）×2；32﹣31＝3（　ㅤㅤ　）×2； 33﹣32＝3（　ㅤㅤ　）×2； （2）探寻（1）中式子的规律，试写出第n个等式，并说明第n个等式成立； （3）计算：30+31+32+…+32024． 7．已知13＝112×22，13+23＝922×32，13+23+33＝3632×42，…，按照这个规律完成下列问题： （1）13+23+33+43+53＝　 　　 2×　 　2． （2）猜想：13+23+33+…+n3＝　 　． （3）利用（2）中的结论计算：（写出计算过程）113+123+133+143+153+163+…+393+403． 8．（2023秋•永定区期中）观察下面算式的演算过程： 1； 1； 1； 1． … （1）根据上面的规律，直接写出下面结果： 　　； 　　； 1　　．（n为正整数） （2）根据规律计算：（1）×（1）×（1）×（1）×…×（1）×（1）． 9．【概念学习】 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方． 例如2÷2÷2，记作2③，读作“2的圈3次方”； 再例如（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3），记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”； 一般地，把（a≠0，n为大于等于2的整数）记作aⓝ，记作aⓝ，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：2③＝　　 ，（）⑤＝　 　； （2）关于除方，下列说法错误的是 　 　； A．任何非零数的圈2次方都等于1； B．对于任何大于等于2的整数c，1的圈c次方＝1； C．7⑨＝8⑧； D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数； 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方的形式． （﹣3）④＝　 　；5⑥＝　 　；（）⑩＝　 ． （2）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成乘方的形式等于 　 　． （3）算一算122÷（）④×（）⑧﹣（）⑳×（）19． 题型五 “24 点”游戏 解题技巧提炼 技巧1:将给定的四张牌面上的数字凑成两数之积: 3×8=24，4×6=24，2×12=24； 技巧2:将给定的四张牌面上的数字凑成两数之和: 21+3=24，20 +4=24，18+6=24，16+8=24，15+9=24，14+10=24； 技巧3:将给定的四张牌面上的数字凑成两数之差: 25-1=24，30−6=24，27−3=24，35−11=24，28−4=24，36−12=24. 1．（2023秋•栖霞市期中）小新玩“24点”游戏，游戏规则是对数进行加、减、乘、除混合运算（每张卡片只能用一次，可以加括号）使得运算结果是24或﹣24．小新已经抽到前3张卡片上的数字分别是﹣1，5，8，若再从下列4张中抽出1张，则其中不能与前3张算出“24点”的是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2023秋•宁远县期中）“算24点”的游戏规则是：用“+﹣×÷”四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24．例如，给出2，2，2，8这四个数，可以列式（2÷2+2）×8＝24．以下的4个数用“+﹣×÷”四种运算符号不能算出结果为24的是（　　） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 3．有一次小明在做24点游戏时抽到的四张牌分别是7、7、1、2，每张牌只能用一次，可以用加、减、乘、除等运算，请写出一个成功的算式：　 ＝24． 4．（2023秋•顺德区校级月考）在玩“24点”游戏时，小明抽到的数字是4，﹣6，3，10，运用所学过的有理数混合运算，使得运算结果为24，你的算法是 　 　（写出一种即可，每个数字都要用到并且只能用一次）． 5．（2023秋•山亭区期末）有一种24点的游戏，游戏规则是：任取四个1～13之间的自然数，将这四个数（每个数只用一次）进行加减乘除四则运算，使其结果等于24，例如对1、2、3、4可做运算：（1+2+3）×4＝24．现有四个有理数7，﹣2，3，﹣4，运用上述规则写出算式，使其运算结果等于24，你的算式是 　 　． 6．（2023秋•长安区期末）嘉嘉和琪琪在玩24点游戏，游戏规则是：从一副扑克牌中抽去大小王剩下52张，任意抽取4张牌，把牌面上的数运用你所学过的运算（可以使用括号）得出24．每张牌都必须使用一次，但不能重复使用．嘉嘉抽到的四张牌如下，请帮他写出一个计算结果为24的算式 　 ． 7．（2023秋•成华区校级期中）你会玩“24点”游戏吗？从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每一张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号），使得运算结果为24或﹣24，其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数．J、Q、K、A分别代表11、12、13、1，小明抽到了黑桃3，方块4，红桃6，梅花10，他运用下面的方法凑成了：3×{10﹣[﹣4﹣（﹣6）]}＝24．（提示数2，数3可列23＝8或32＝9） （1）如果抽到的是红心2，黑桃3，方块3，梅花6，你能凑成24吗？ （2）如果抽到的是黑桃A，方块2，黑桃2，黑桃3，你能凑成24吗？ （3）如果抽到的是黑桃5，黑桃A，梅花5，方块5，你能凑成24吗？ 8．（2023秋•连江县期中）有一种“24点”的游戏，其规则是：任取4个数，将这4个数（每个数只能用一次）进行加、减、乘、除混合运算，使其结果为24．例如：1，2，3，4，做运算（1+2+3）×4＝24． （1）现有4个有理数：2、4、10、7，根据上述规则，请你写出2种不同的列式方法，使其结果等于24； （2）将﹣12，﹣6，4，8这4个有理数列成一个算式，使得计算结果为24（写出一种即可）． 9．（2023秋•长安区校级期中）小明有如图所示的5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题． （1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，并求这个最大值； （2）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，并求这个最小值； （3）算24点游戏：从中取出4张卡片，用学过的“+，﹣，×，÷”运算，使计算结果为24．请写出2个运算式并进行计算． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！15 学科网（北京）股份有限公司 $$