精品解析：安徽省合肥市六校联盟2023-2024学年高二下学期期末联考数学试题

合肥市普通高中六校联盟2023-2024学年第二学期期末联考 高二年级数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 命题学校：合肥市第十一中学 命题教师：刘智珺 审题教师：钟新朝 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在一次10米跳台跳水运动中，某运动员跳水过程中重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系：.该运动员在时的瞬时速度（单位：m/s）为（ ） A. -4 B. 4 C. 11 D. -11 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的物理意义，求出的导数，即可求得答案. 【详解】由可得， 故，即该运动员在时的瞬时速度为（m/s）. 故选：A 2. 已知等差数列的前项和为，则（ ） A. 25 B. 27 C. 30 D. 35 【答案】A 【解析】 【分析】借助等差数列及其前项和的性质计算可得公差，结合等差数列求和公式计算即可得. 【详解】设等差数列的公差为，则有， 又，则，解得， 则. 故选：A. 3. 的展开式中，的系数为（ ） A. 160 B. 40 C. 120 D. 80 【答案】B 【解析】 【分析】由题意首先确定展开式的通项公式，再采用分类讨论法即可确定的系数 【详解】展开式的通项公式为， 当时，，此时只需乘以第一个因式中的，即可得到； 当时，，此时只需乘以第一个因式中的，即可得到； 据此可得：的系数为. 故选：B. 4. 函数的图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇偶性判断A；验证的值判断B；根据奇偶性、单调性判断C；根据单调性判断D. 【详解】由图象知，该函数图象关于原点对称，所以函数为奇函数，且， 对于A，，为偶函数，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，为奇函数，当时，， 因为，在为单调递增函数，所以在单调递增，故C正确； 对于D，当时，，，所以时，， 单调递增，当时，，单调递减，故D错误， 故选：C. 5. 疫苗是为预防､控制传染病的发生､流行，用于人体预防接种的预防性生物制品，其前期研发过程中，一般都会进行动物保护测试，为了考察某种疫苗预防效果，在进行动物试验时，得到如下统计数据： 未发病 发病 总计 未注射疫苗 30 注射疫苗 40 总计 70 30 100 附表及公式： 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7879 10.828 ，. 现从试验动物中任取一只，取得“注射疫苗”的概率为0.5，则下列判断错误的是（ ） A. 注射疫苗发病的动物数为10 B. 从该试验未注射疫苗的动物中任取一只，发病的概率为 C. 能在犯错概率不超过0.05的前提下，认为疫苗有效 D. 该疫苗的有效率为 【答案】D 【解析】 【分析】完善列联表判断A，利用古典概型概率判断B，计算卡方利用独立性检验判断C，利用题目数据判断D. 【详解】从试验动物中任取一只，取得“注射疫苗”的概率为0.5， 则取得“注射疫苗”的动物为，完善列联表得： 未发病 发病 总计 未注射疫苗 30 20 50 注射疫苗 40 10 50 总计 70 30 100 所以注射疫苗发病动物数为50-40=10，故选项A正确； 从该试验未注射疫苗的动物中任取一只，发病的概率为，故选项B正确； 又， 所以能在犯错概率不超过0.05的前提下，认为疫苗有效，故选项C正确； 对于选项D，虽说注射疫苗的动物中不发病的频率为， 但是未注射疫苗的动物中也有不发病的情况，错误. 故选：D 6. 已知，若点P满足，则点P到直线的距离的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先确定的轨迹以及直线过的定点，再根据圆的性质特点求最值. 【详解】由可得点的轨迹为以线段为直线的圆，圆心为，半径为， 又直线，其过定点， 故距离的最大值为. 故答案为：C 7. 泊松分布的概率分布列为，其中为自然对数的底数，是泊松分布的均值.若随机变量服从二项分布，当很大且很小时，二项分布近似于泊松分布，其中，即.现已知某种元件的次品率为0.01，抽检100个该种元件，则次品率不超过的概率约为（参考数据:）（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】100个元件，次品率不超过，即次品数为0或1，根据题干公式，求即可. 【详解】由题意知，则，所以. 因为， 所以次品率不超过的概率约为. 故选：B 8. 已知直线是曲线与曲线的公切线，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设是图象上的切点，利用导数的几何意义求出曲线上的切点，继而求出t的值，结合切线方程，即可求得答案. 【详解】由题意知直线是曲线与曲线的公切线， 设是图象上的切点，， 所以在点处的切线方程为，即① 令，解得， 即直线与曲线的切点为， 所以，即，解得或， 当时，①为，不符合题意，舍去， 所以，此时①可化为，所以， 故选：A 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个符合题意的选项，每选对一个得3分；若只有3个符合题意的选项，每选对一个得2分. 9. 已知空间中三点，，，则（ ） A. 与是共线向量 B. 与向量方向相同的单位向量是 C. 与夹角的余弦值是 D. 平面的一个法向量是 【答案】CD 【解析】 【分析】求出、的坐标，根据共线定理判断A，与向量方向相同的单位向量是即可判断B，根据夹角公式判断C，令，计算出，，即可判断D. 【详解】因为，，， 所以，， 因为不存在实数使得，所以与不共线，故A错误. 因为，所以与向量方向相同的单位向量是，故B错误. 又，所以与夹角的余弦值是，故C正确. 不妨令，则， ，即且， 所以是平面的法向量，故D正确. 故选：CD 10. 下列命题中，正确的是（ ） A. 已知随机变量服从正态分布，若，则 B. 10个外观完全相同的电子元件中，其中正品7个，次品3个，随机抽取两个，则至少有一个次品的概率为 C. 用表示次独立重复试验中事件发生的次数，为每次试验中事件发生的概率，若，，则 D. 已知随机变量的分布列为，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】由已知正态密度曲线关于直线对称，即可判断；根据超几何分布的概率计算方法即可判断；根据二项分布的期望和方差公式，即可判断；根据分布列的性质，结合裂项相消法，即可判断. 【详解】因为随机变量服从正态分布，所以正态密度曲线关于直线对称， ，故正确； 随机抽取两个，则至少有一个次品的概率为，故正确； 由已知服从二项分布，即， 所以，， 所以，故错误； 由随机变量的分布列为， ， 所以 ， 解得，故正确. 故选：. 11. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点为双曲线右支上的动点，过点作两渐近线的垂线，垂足分别为A，.若圆与双曲线的渐近线相切，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的渐近线方程为 B. 双曲线的离心率 C. 当点异于双曲线的顶点时，的内切圆的圆心总在直线上 D. 为定值 【答案】ABC 【解析】 【分析】求得双曲线的渐近线方程判断选项A；求得双曲线的离心率判断选项B；求得的内切圆的圆心与直线的位置关系判断选项C；求得的值判断选项D. 【详解】对于选项A：双曲线的渐近线方程是， 圆的圆心是，半径是1， 则，（舍去）， 由，，可得双曲线的渐近线方程为，故A正确； 对于选项B：由，则离心率，故B正确； 对于选项C：设的内切圆与轴， 分别相切于点， 由圆的切线性质知 ， 即，所以， 因此内心在直线，即直线上，故C正确； 对于选项D：设，则，即， 又渐近线方程是， 则，， ，则，故D错误. 故选:ABC. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 把5个人安排在周一至周五值班，要求每人值班一天，每天安排一人，甲乙安排在不相邻的两天，乙丙安排在相邻的两天，则不同的安排方法有_______种． 【答案】36 【解析】 【分析】根据分步计数原理，结合相邻问题和不相邻问题的方法即可求出． 【详解】根据题意，设5人为甲乙丙丁戊， ①，将乙丙看成一个整体，考虑2人之间的顺序，有种情况， ②，将这个整体与丁戊全排列，有种安排方法， ③，排好后，有4个空位，由于甲乙安排在不相邻的两天，则只能从3个空中任选1个，安排甲，有种安排方法， 不同的安排方案共有种； 故答案为： 13. 已知分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆上一点且，则的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆的定义求得三边长，根据三角形面积公式求解即可. 【详解】由椭圆可知， 故，结合， 可得，而， 故为等腰三角形，其面积为. 故答案为：. 14. 若不等式对恒成立，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】当时显然成立，当时，构造，则原不等式等价于，利用导函数求单调性可得对恒成立，再构造求最大值即可. 【详解】当，时，，， 所以恒成立； 当，时，恒成立； 当，时，由可得对恒成立， 构造，则， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 又，，， 由单调性可知，整理得对恒成立， 令，，则， 所以当时，，单调递增， 所以， 综上，实数的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】导函数中常用的两种转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理，本题的关键是利用同构的思路，将不等式变形为，再构造函数，问题就会迎刃而解. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某公司为确定投入A款产品的年研发费用，需了解年研发费用x（单位：万元）对年利润y（单位：万元）的影响该公司统计了最近8年每年投入A款产品的年研发费用与年利润的数据，得到如右所示的散点图： 经数据分析知，y与x正线性相关，且相关程度较高经计算得， ． （1）建立y关于x的经验回归方程；（） （2）若该公司对A款产品欲投入的年研发费用为30万元，根据（1）得到的经验回归方程，预测年利润为多少万元？ 【答案】（1） （2）65万元 【解析】 【分析】（1）根据所给数据求出，然后由求得可得回归方程. （2）将代入回归方程即可得预测值. 【小问1详解】 由，得， 又， 因此，， 所以关于的经验回归方程为. 【小问2详解】 由（1）知，， 则当时，， 所以对款产品投入30万元年研发费用，年利润约为65万元. 16. 如图，在三棱锥P－ABC中，底面ABC，，，E为PC的中点，点F在PA上，且． （1）求证：平面PAC； （2）求平面ABC与平面BEF所成的二面角的平面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的性质、判定推理即得. （2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面BEF的法向量，再利用空间向量求出面面角即得. 【小问1详解】 在三棱锥P－ABC中，由底面，且底面，得， 由，得，又平面， 则平面，又平面，于是， 由，为中点，得，又平面， 所以平面. 【小问2详解】 过作，由底面，得底面，显然两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，， ，，， 设平面的法向量，则，令，得 ， 显然平面的法向量为，则， 显然平面与平面所成的二面角的平面角为锐角， 所以平面与平面所成的二面角的余弦值为. 17. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若函数在有两个极值点，求实数t的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）分，和，求定义域，求导，得到函数单调性； （2）求定义域，求导，得到，即在有两个变号零点，求导得到，分，，和，讨论函数单调性和最值情况，得到不等式，求出答案. 【小问1详解】 当时，为常数函数，不具有单调性； 当时，的定义域为， ， 若，令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 若，令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 综上，当时，不具有单调性； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 ，定义域为， ，在有两个极值点， 即有两个变号零点， ， 若，则， 故在上单调递增， 所以在有没有两个变号零点，舍去； 若，令得， 若，则，此时在上单调递增， 所以在有没有两个变号零点，舍去； 若，则，此时在上单调递减， 所以在有没有两个变号零点，舍去； 若，则令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增， 令，由于，解得， 又趋向于0时，趋向于1，， 故当时，满足在有两个变号零点， 故实数t取值范围是. 【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 18. 11分制乒乓球比赛规则如下：在一局比赛中，每两球交换发球权，每赢一球得1分，先得11分且至少领先2分者胜，该局比赛结束；当某局比分打成10∶10后，每球交换发球权，领先2分者胜，该局比赛结束.现有甲、乙两人进行一场五局三胜、每局11分制的乒乓球比赛，比赛开始前通过抛掷一枚质地均匀的硬币来确定谁先发球.假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的比赛结果相互独立，且各局的比赛结果也相互独立.已知第一局目前比分为10∶10. （1）求再打两个球甲新增的得分X的分布列和均值； （2）求第一局比赛甲获胜的概率； （3）现用估计每局比赛甲获胜的概率，求该场比赛甲获胜的概率. 【答案】（1）分布列见解析，均值 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）易知的所有可能取值为，根据条件概率公式可求得对应概率取值可得分布列和均值； （2）根据获胜规则求出第一局比赛甲获胜概率的表达式，解得； （3）由五局三胜制的规则，可知的所有可能取值为，求出对应概率相加即可求得甲获胜的概率为. 【小问1详解】 依题意，的所有可能取值为 设打成后甲先发球为事件，则乙先发球为事件，且， 所以， . 所以的分布列为 0 1 2 故的均值为. 【小问2详解】 设第一局比赛甲获胜为事件，则. 由（1）知，， 由全概率公式，得 解得，即第一局比赛甲获胜的概率. 【小问3详解】 由（2）知，故估计甲每局获胜的概率均为，根据五局三胜制的规则， 设甲获胜时的比赛总局数为，因为每局的比赛结果相互独立， 所以的所有可能取值为， 因此可得； 故该场比赛甲获胜的概率. 19. 组合数学研究的内容之一是计数，母函数是重要的计数工具之一．其定义如下：对于序列，定义为序列的母函数．母函数的计数方法与二项式定理的原理相似：假设有红、黄、蓝各一个小球，计算由它们组成的所有组合的个数，可考虑三步完成，即每个小球是否参与组合我们用即1代表小球不参与，x代表小球参与，根据分类加法计数原理，代表一个小球是否参与组合的两种情况，根据分步乘法计数原理，用代数式表示三个小球是否参与组合的情况，所以母函数为，例如其中中的系数3就是由两个小球构成的所有组合个数，而总的组合个数就是． （1）假设有四个不同的小球，令为由它们组成的含有n个小球的所有组合个数，试写出的一个与问题对应的母函数； （2）已知，其中．现有一序列的母函数，其中，证明：； （3）在某班中的8位男同学和5位女同学中，组一个由偶数个男生和不少于两个女生的小组，令为从8位男同学中选取n位的所有组合个数，令为从5位女同学中选取n位的所有组合个数，分别写出和的与问题对应的母函数和，并求总的组合个数． 【答案】（1） （2）证明见详解 （3），，3328. 【解析】 【分析】（1）根据题意利用即可求解； （2）根据题意，利用二项式定理和组合数的性质即可求解； （3）求出和，即可求；再令求得中的系数为符合要求的个人组成的小组的数目，即可得解. 【小问1详解】 由题意得； 【小问2详解】 因为， 所以展开式中的系数为， 因为， 所以的系数为 . 【小问3详解】 根据题意，，，，， ，，所以， 同理，，，， 所以， 令 中的系数为符合要求的个人组成的小组的数目， 所有组合的个数为. 另法：所有组合的个数为. 【点睛】关键点睛：对于新定义的问题，要能正确阅读理解题干信息，抓住关键信息；第二问解题的关键是得到的系数，利用组合数的性质化简运算得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 合肥市普通高中六校联盟2023-2024学年第二学期期末联考 高二年级数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 命题学校：合肥市第十一中学 命题教师：刘智珺 审题教师：钟新朝 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在一次10米跳台跳水运动中，某运动员跳水过程中的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系：.该运动员在时的瞬时速度（单位：m/s）为（ ） A. -4 B. 4 C. 11 D. -11 2. 已知等差数列的前项和为，则（ ） A. 25 B. 27 C. 30 D. 35 3. 的展开式中，的系数为（ ） A. 160 B. 40 C. 120 D. 80 4. 函数的图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 5. 疫苗是为预防､控制传染病的发生､流行，用于人体预防接种的预防性生物制品，其前期研发过程中，一般都会进行动物保护测试，为了考察某种疫苗预防效果，在进行动物试验时，得到如下统计数据： 未发病 发病 总计 未注射疫苗 30 注射疫苗 40 总计 70 30 100 附表及公式： 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 ， 现从试验动物中任取一只，取得“注射疫苗”的概率为0.5，则下列判断错误的是（ ） A. 注射疫苗发病的动物数为10 B. 从该试验未注射疫苗的动物中任取一只，发病的概率为 C. 能在犯错概率不超过0.05前提下，认为疫苗有效 D. 该疫苗的有效率为 6. 已知，若点P满足，则点P到直线的距离的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 泊松分布的概率分布列为，其中为自然对数的底数，是泊松分布的均值.若随机变量服从二项分布，当很大且很小时，二项分布近似于泊松分布，其中，即.现已知某种元件的次品率为0.01，抽检100个该种元件，则次品率不超过的概率约为（参考数据:）（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线是曲线与曲线的公切线，则（ ） A. 2 B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个符合题意的选项，每选对一个得3分；若只有3个符合题意的选项，每选对一个得2分. 9. 已知空间中三点，，，则（ ） A. 与是共线向量 B. 与向量方向相同的单位向量是 C. 与夹角的余弦值是 D. 平面的一个法向量是 10. 下列命题中，正确的是（ ） A. 已知随机变量服从正态分布，若，则 B. 10个外观完全相同的电子元件中，其中正品7个，次品3个，随机抽取两个，则至少有一个次品的概率为 C. 用表示次独立重复试验中事件发生的次数，为每次试验中事件发生的概率，若，，则 D. 已知随机变量的分布列为，则 11. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点为双曲线右支上的动点，过点作两渐近线的垂线，垂足分别为A，.若圆与双曲线的渐近线相切，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的渐近线方程为 B. 双曲线的离心率 C. 当点异于双曲线的顶点时，的内切圆的圆心总在直线上 D. 为定值 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 把5个人安排在周一至周五值班，要求每人值班一天，每天安排一人，甲乙安排在不相邻的两天，乙丙安排在相邻的两天，则不同的安排方法有_______种． 13. 已知分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆上一点且，则的面积为__________. 14. 若不等式对恒成立，则实数的取值范围是__________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某公司为确定投入A款产品年研发费用，需了解年研发费用x（单位：万元）对年利润y（单位：万元）的影响该公司统计了最近8年每年投入A款产品的年研发费用与年利润的数据，得到如右所示的散点图： 经数据分析知，y与x正线性相关，且相关程度较高经计算得， ． （1）建立y关于x的经验回归方程；（） （2）若该公司对A款产品欲投入的年研发费用为30万元，根据（1）得到的经验回归方程，预测年利润为多少万元？ 16. 如图，在三棱锥P－ABC中，底面ABC，，，E为PC的中点，点F在PA上，且． （1）求证：平面PAC； （2）求平面ABC与平面BEF所成的二面角的平面角的余弦值． 17 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若函数在有两个极值点，求实数t的取值范围． 18. 11分制乒乓球比赛规则如下：在一局比赛中，每两球交换发球权，每赢一球得1分，先得11分且至少领先2分者胜，该局比赛结束；当某局比分打成10∶10后，每球交换发球权，领先2分者胜，该局比赛结束.现有甲、乙两人进行一场五局三胜、每局11分制的乒乓球比赛，比赛开始前通过抛掷一枚质地均匀的硬币来确定谁先发球.假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的比赛结果相互独立，且各局的比赛结果也相互独立.已知第一局目前比分为10∶10. （1）求再打两个球甲新增的得分X的分布列和均值； （2）求第一局比赛甲获胜的概率； （3）现用估计每局比赛甲获胜的概率，求该场比赛甲获胜的概率. 19. 组合数学研究的内容之一是计数，母函数是重要的计数工具之一．其定义如下：对于序列，定义为序列的母函数．母函数的计数方法与二项式定理的原理相似：假设有红、黄、蓝各一个小球，计算由它们组成的所有组合的个数，可考虑三步完成，即每个小球是否参与组合我们用即1代表小球不参与，x代表小球参与，根据分类加法计数原理，代表一个小球是否参与组合的两种情况，根据分步乘法计数原理，用代数式表示三个小球是否参与组合的情况，所以母函数为，例如其中中的系数3就是由两个小球构成的所有组合个数，而总的组合个数就是． （1）假设有四个不同小球，令为由它们组成的含有n个小球的所有组合个数，试写出的一个与问题对应的母函数； （2）已知，其中．现有一序列的母函数，其中，证明：； （3）在某班中的8位男同学和5位女同学中，组一个由偶数个男生和不少于两个女生的小组，令为从8位男同学中选取n位的所有组合个数，令为从5位女同学中选取n位的所有组合个数，分别写出和的与问题对应的母函数和，并求总的组合个数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$