精品解析：吉林省通化市三区九校2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题

2023～2024学年度下学期高二期末考试 数学试题 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷，草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 5．本卷主要考查内容：选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 垃圾分类是保护环境，改善人居环境，促进城市精细化管理、保障可持续发展的重要举措，现将2袋垃圾随机投入3个不同的垃圾桶，则不同的投法有（ ） A. 4种 B. 6种 C. 9种 D. 12种 【答案】C 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理可解. 【详解】因为每袋垃圾均有3个垃圾桶可以选择， 所以由分步乘法计数原理可得，不同的投法有种． 故选：C． 2. 若，则（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据排列数得到方程，求出答案. 【详解】由，得，解得． 故选：D． 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数公式和极限公式即可求解. 【详解】，则. 故选：B． 4. 函数的导函数的图象如图所示，则下列判断中正确的是（ ） A. 在上单调递减 B. 在上单调递减 C. 在上存在极小值点 D. 在上有最大值 【答案】B 【解析】 【分析】结合导数的符号与函数单调性、极值的关系，以及题图即可得解. 【详解】时，，时，，故在上不单调，A选项错误； 时，，故在上单调递减，B选项正确； 时，，故在上单调递减，无极值点，C选项不正确； 时，，在上单调递增，虽然确定了的单调性，但没有的解析式， 故无法确定在上是否有最大值，D选项不正确． 故选：B． 5. 某市高三年级女生的身高（单位：）近似服从正态分布，现在该市随机选择一名高三女生，则她的身高位于内的概率（结果保留四位有效数字）是（ ） 参考数据：． A. 0.1355 B. 0.1357 C. 0.1359 D. 0.1361 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性列式计算即得. 【详解】依题意，， 所以. 故选：A 6. 从由数字组成没有重复数字的五位数中任取一个，则取到数字1和2相邻的五位数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出数字组成的五位数的个数，再利用捆绑法求出数字1和2相邻的五位数的个数，从而得到概率. 【详解】由数字组成的五位数， 先从千位，百位，十位，个位四个数位上选1个安排0，再对剩余4个数和4个数位进行全排列， 故共有个， 其中数字1和2相邻的五位数，先将1和2进行捆绑，看作一个整体a，内部可进行排列， 首位安排0，再将a、3、4三个元素作全排有；将0、a、3、4四个元素作做全排有， 共有个． 所以取到数字1和2相邻的五位数的概率为． 故选：C． 7. 已知函数在上无极值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】，则，故， 因为函数在上无极值， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 当时，， 设，则， 当时，得，当时，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 从而，故， 当时，，则． 综上，． 故选：． 8. 杂交水稻之父袁隆平，推进粮食安全，消除贫困，造福民生做出杰出贡献，他在杂交水稻育种的某试验中，第1个周期到第5个周期育种频数如下 周期数 1 2 3 4 5 频数 2 17 36 93 142 由表格可得关于的二次回归方程为，则此回归模型第3周期的残差（实际值与预报值之差）为（ ） A. －12 B. －10 C. －8 D. －6 【答案】B 【解析】 【分析】转化为线性回归方程求，可得二次回归方程，取时求得，再由残差的概念求解. 【详解】令，则回归方程为，符合线性回归， 周期数的平均数， 频数的平均数， 则中心点为，代入， 可得，则， 所以， 当时的预估值为， 则第3周期的残差为， 故选：. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知分别为随机事件的对立事件，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则独立 C. 若独立，则 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据概率的性质即可判断A；根据相互独立事件的定义即可判断B；根据条件概率公式即可判断C；根据条件概率的性质即可判断D. 【详解】A选项，根据随机事件的概率的知识可知，A选项正确； B选项，根据独立事件的知识可知，，则相互独立，B选项正确； C选项，若独立，则，C选项错误； D选项，表示在事件发生的情况下事件发生的概率， 表示在事件发生的情况下事件发生的概率， 所以，所以D选项正确． 故选：ABD． 10. 对两个变量和进行回归分析，则下列结论正确的为（ ） A. 回归直线至少会经过其中一个样本点 B. 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 C. 建立两个回归模型，模型1的样本相关系数，模型2的样本相关系数，则模型1的成对样本数据的线性相关程度更强 D. 以模型去拟合某组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则的值分别为4，3 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据回归直线概念可判断A；根据残差与拟合效果的关系可判断B；由相关系数与相关程度的关系可判断C；利用指数、对数运算化简可判断D. 【详解】A选项，回归直线不一定经过样本点，A错误． B选项，残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，B正确． C选项，，所以模型1的成对样本数据的线性相关程度更强，C正确． D选项，由，得，D正确． 故选：BCD 11. 设函数在点处的切线与直线平行，则（ ） A. B. 函数存在极大值，不存在极小值 C. 当时， D. 函数有三个零点 【答案】AC 【解析】 【分析】利用导数的几何意义来判定A选项，利用导数研究函数的单调性与极值来判定B选项，构造差函数再求导研究最值来判定C选项，利用数形结合来判定D选项. 【详解】对于A，，故，解得，故A正确； 对于B．因为，所以函数在上单调递减，不存在极值，故B错误； 对于C，令，则， 由，故，故在上单调递减，所以． 即当时，，故C正确； 对于D，因为，当时，；当时，， 又，在同一坐标系中作出与的图象， 如图所示，所以函数有且只有1个零点，故D错误． 故选:AC． 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中，常数项为______（用数字作答）． 【答案】135 【解析】 【分析】由二项式展开式的通项公式，令的次数为0，求出的值，代入通项公式中可求得常数项. 【详解】展开式的通项为， 令，得， 所以常数项为． 故答案为：135. 13. 某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表： 广告费用万元 1.8 2.2 3 5 销售额万元 14 16 根据上表数据得到与的回归直线方程为，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据回归方程过样本中心计算即可. 【详解】依题意，得， 所以，解得． 故答案为：3 14. 已知奇函数及其导函数的定义域均为，当时，，则使不等式成立的的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先求导函数得，再结合函数奇偶性，根据函数值数形结合得出范围. 【详解】因为当时，， 所以， 令，则单调递增， 因为是奇函数，所以， 所以， 所以为偶函数，图象关于轴对称， 因为， 所以， 所以， 大致图象如图： 所以成立的的取值范围是． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤． 15. 已知函数在处取得极小值为1． （1）求的值； （2）求函数在区间上的值域． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据函数的极值求. （2）由（1）得，利用导数分析在区间上的单调性，从而求出值域. 【小问1详解】 由题设，函数在处取得极小值为1， 则， 即，解得， 检验，当时，， ， 当时，， 当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 在处取得极小值，满足题意. 所以. 【小问2详解】 由（1）得， ， 令，得；令，得或， 在上的单调递减区间是，单调递增区间为， ， 函数在区间上的值域为. 16. 2024年2月10日至17日（正月初一至初八），“2024•内江市中区新春极光焰火草地狂欢节”在川南大草原举行，共举行了8场精彩的烟花秀节目．前5场的观众人数（单位：万人）与场次的统计数据如表所示： 场次编号 1 2 3 4 5 观众人数 0.7 0.8 1 1.2 1.3 （1）已知可用线性回归模型拟合与的关系，请建立关于的线性回归方程； （2）若该烟花秀节目分A、B、C三个等次的票价，某机构随机调查了该烟花秀节目现场200位观众的性别与购票情况，得到的部分数据如表所示，请将列联表补充完整，并判断能否有的把握认为该烟花秀节目的观众是否购买A等票与性别有关． 购买A等票 购买非A等票 总计 男性观众 50 女性观众 60 总计 100 200 参考公式及参考数据：回归方程中斜率与截距的最小二乘法估计公式分别为，其中． 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 【答案】（1） （2） 根据数据补全表格如下： 购买A等票 购买非A等票 总计 男性观众 40 50 90 女性观众 60 50 110 总计 100 100 200 没有的把握认为该烟花秀节目的观众是否购买A等票与性别有关. 【解析】 【分析】（1）利用表中数据结合最小二乘法计算回归直线即可； （2）根据题意补全列联表即可，再由卡方公式及独立性检验的思想判定结果即可. 【小问1详解】 由表格可知， ，，所以， 则； 【小问2详解】 根据数据补全表格如下： 购买A等票 购买非A等票 总计 男性观众 40 50 90 女性观众 60 50 110 总计 100 100 200 所以， 故没有的把握认为该烟花秀节目的观众是否购买A等票与性别有关. 17. 在、、三个地区爆发了流感，这三个地区分别有、、的人患了流感假设这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一个人. （1）求这个人患流感的概率； （2）如果此人患流感，求此人选自地区的概率. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用全概率公式可求得所求事件的概率； （2）利用条件概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】（1）记事件选取的这个人患了流感，记事件此人来自地区，记事件此人来自地区，记事件此人来自地区， 则，且、、彼此互斥， 由题意可得，，， ，，， 由全概率公式可得 ； （2）由条件概率公式可得. 18. 网购是目前很流行也很实用的购物方式．某购物网站的销售商为了提升顾客购物的满意度，随机抽取了200名顾客进行问卷调查，根据顾客对该购物网站评分的分数（满分：100分），按分成6组，得到的频率分布直方图如图所示． （1）求频率分布直方图中的值，并计算这200名顾客评分的平均值； （2）若顾客对该购物网站的评分低于50分，则称顾客对该购物网站非常不满意，从以上样本中评分低于60分的顾客中随机抽取2人，记X为对该购物网站非常不满意的顾客人数，求X的分布列与期望． 【答案】（1），平均值； （2）的分布列为 0 1 2 .【解析】 【分析】（1）利用频率和为1来求，利用中点值和频率来计算平均数； （2）根据超几何概率分布来求概率及分布列和期望即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图知:，解得， 则这200名顾客评分的平均值为：（分）； 【小问2详解】 由频率分布直方图可知评分在内的顾客人数是，评分在内的顾客人数是， 则在2人中对购物网站非常不满意的顾客人数的所有可能取值为， ， 则的分布列为 0 1 2 故． 19. 已知函数. （1）设函数，讨论的单调性； （2）设分别为的极大值点和极小值点，证明：. 【答案】（1） 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增； （2） 分别是的极大值点和极小值点， ，且对于有， 且对称轴，所以， ， 所以， 综上，要证， 只需证， 因为， 即证：， 设. 所以， 所以在上单调递增，所以. 所以成立. 【解析】 【分析】（1）先求得，然后对进行分类讨论来求得的单调区间. （2）由极值点的知识求得的关系式，由此将要证明的不等式转化为证明，利用构造函数法，结合导数来证得不等式成立. 【小问1详解】 ， ， 当时，在上恒成立，则在上单调递增， 当时，单调递减， 单调递增， 综上，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增； 【小问2详解】 略 【点睛】求解函数单调区间的步骤：（1）确定的定义域；（2）计算导数；（3）求出的根；（4）用的根将的定义域分成若干个区间，考查这若干个区间内的符号，进而确定的单调区间.如果导函数含有参数，则需要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏.利用导数证明不等式，首先考虑将要证明的不等式进行转化，转化为可构造函数并能利用导数进行证明的结构，从而来对问题进行求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023～2024学年度下学期高二期末考试 数学试题 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷，草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 5．本卷主要考查内容：选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 垃圾分类是保护环境，改善人居环境，促进城市精细化管理、保障可持续发展的重要举措，现将2袋垃圾随机投入3个不同的垃圾桶，则不同的投法有（ ） A. 4种 B. 6种 C. 9种 D. 12种 2. 若，则（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 4. 函数的导函数的图象如图所示，则下列判断中正确的是（ ） A. 在上单调递减 B. 在上单调递减 C. 在上存在极小值点 D. 在上有最大值 5. 某市高三年级女生的身高（单位：）近似服从正态分布，现在该市随机选择一名高三女生，则她的身高位于内的概率（结果保留四位有效数字）是（ ） 参考数据：． A. 0.1355 B. 0.1357 C. 0.1359 D. 0.1361 6. 从由数字组成没有重复数字的五位数中任取一个，则取到数字1和2相邻的五位数的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在上无极值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 杂交水稻之父袁隆平，推进粮食安全，消除贫困，造福民生做出杰出贡献，他在杂交水稻育种的某试验中，第1个周期到第5个周期育种频数如下 周期数 1 2 3 4 5 频数 2 17 36 93 142 由表格可得关于的二次回归方程为，则此回归模型第3周期的残差（实际值与预报值之差）为（ ） A. －12 B. －10 C. －8 D. －6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知分别为随机事件的对立事件，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则独立 C. 若独立，则 D. 10. 对两个变量和进行回归分析，则下列结论正确的为（ ） A. 回归直线至少会经过其中一个样本点 B. 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 C. 建立两个回归模型，模型1的样本相关系数，模型2的样本相关系数，则模型1的成对样本数据的线性相关程度更强 D. 以模型去拟合某组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则的值分别为4，3 11. 设函数在点处的切线与直线平行，则（ ） A. B. 函数存在极大值，不存在极小值 C. 当时， D. 函数有三个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中，常数项为______（用数字作答）． 13. 某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表： 广告费用万元 1.8 2.2 3 5 销售额万元 14 16 根据上表数据得到与的回归直线方程为，则______． 14. 已知奇函数及其导函数的定义域均为，当时，，则使不等式成立的的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤． 15. 已知函数在处取得极小值为1． （1）求的值； （2）求函数在区间上的值域． 16. 2024年2月10日至17日（正月初一至初八），“2024•内江市中区新春极光焰火草地狂欢节”在川南大草原举行，共举行了8场精彩的烟花秀节目．前5场的观众人数（单位：万人）与场次的统计数据如表所示： 场次编号 1 2 3 4 5 观众人数 0.7 0.8 1 1.2 1.3 （1）已知可用线性回归模型拟合与的关系，请建立关于的线性回归方程； （2）若该烟花秀节目分A、B、C三个等次的票价，某机构随机调查了该烟花秀节目现场200位观众的性别与购票情况，得到的部分数据如表所示，请将列联表补充完整，并判断能否有的把握认为该烟花秀节目的观众是否购买A等票与性别有关． 购买A等票 购买非A等票 总计 男性观众 50 女性观众 60 总计 100 200 参考公式及参考数据：回归方程中斜率与截距的最小二乘法估计公式分别为，其中． 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 17. 在、、三个地区爆发了流感，这三个地区分别有、、的人患了流感假设这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一个人. （1）求这个人患流感的概率； （2）如果此人患流感，求此人选自地区的概率. 18. 网购是目前很流行也很实用的购物方式．某购物网站的销售商为了提升顾客购物的满意度，随机抽取了200名顾客进行问卷调查，根据顾客对该购物网站评分的分数（满分：100分），按分成6组，得到的频率分布直方图如图所示． （1）求频率分布直方图中的值，并计算这200名顾客评分的平均值； （2）若顾客对该购物网站的评分低于50分，则称顾客对该购物网站非常不满意，从以上样本中评分低于60分的顾客中随机抽取2人，记X为对该购物网站非常不满意的顾客人数，求X的分布列与期望． 19. 已知函数. （1）设函数，讨论的单调性； （2）设分别为的极大值点和极小值点，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $