精品解析：安徽省合肥市第八中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题

合肥八中2023-2024学年第二学期高一年级期末检测 数学试题卷 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息． 请将答案正确填写在答题卡上． 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确答案涂在答题卡上） 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知为一条直线，为两个不重合的平面，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 甲、乙两人独立地破译一份密码，已知甲能破译密码的概率为，乙能破译密码的概率为，则这份密码被成功破译的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 在平行四边形中，，则（ ） A. B. C. D. 5. 正四棱台的上、下底面的边长分别为，且侧棱与底面所成角是60°，则这个棱台的体积是（ ） A. B. C. D. 6. 在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知定义在上的函数为偶函数，且在区间上是增函数，记，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，过点作，垂足为点，将沿直线翻折，使点与点间的距离为3，此时四面体的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．请把正确答案涂在答题卡上） 9. 合肥市某中学高一年级学生参加了一次英语口语能力测试（满分10分），其中男生540人，女生360人．现在按性别进行分层，通过分层随机抽样的方法，得到一组测试成绩的样本．样本中有8位女生的测试成绩，分别是6，7，7，7，8，9，10，10，样本中男生测试成绩的平均数为7.5，则（ ） A. 样本中有12位男生的测试成绩 B. 样本中女生测试成绩的第75百分位数是9 C. 样本中女生测试成绩的标准差为 D. 样本中所有学生测试成绩平均数为7.75 10. 已知正四棱锥的底面边长为，二面角为，平面与平面的交线为，且正四棱锥的五个顶点都在球的球面上，则（ ） A. 四棱锥体积为36 B. 直线与平面所成角的正切值为 C. 直线∥平面 D. 球的体积为 11. 已知函数，其中，下列命题中正确的是（ ） A. 若，函数图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到 B. 若，曲线与曲线在区间上的交点个数为6 C. 若在上有且仅有5个零点，则的取值范围是 D. 若在上有且仅有5个零点，则在单调递增 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分．把答案填在答题卡的相应位置．） 12. 已知，则_______． 13. 已知平面向量满足，则_______． 14. 2023年11月，国家自然资源部公布了四川省9座名山的高度数据，其中最高的是贡嘎山，它的高度数据为7508.9米，三角高程测量法是测量山体高度的方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，三点在同一水平面上的投影，满足，．由点测得点的仰角为，由点测得A点的仰角为，则的高度为_______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 合肥八中STEAM项目生物实验基地里种植了一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm）介于之间，现对生物基地里部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示： （1）求的值，并通过上述频率分布直方图估计该种观赏花卉的平均高度； （2）若从高度在和花卉中按分层随机抽样抽取6株花卉，再在这6株花卉中随机抽取2株，求抽取的2株花卉的高度在和内各一株的概率． 16. 已知函数，若锐角的内角所对的边分别为，且． （1）求角； （2）求的取值范围： 17. 如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，点是中点． （1）求证：∥平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 18. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．"意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于120°时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，且． （1）求角A； （2）设点为的费马点，，求实数的最小值． 19. 如图，在矩形中，是线段上的一动点，将沿着折起，使点A到达点的位置，满足点平面，且点在平面内的射影落在线段上． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积的最大值； （3）设二面角的平面角为，为虚数单位，为复数，当三棱锥的体积取得最大值时，求的大小 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 合肥八中2023-2024学年第二学期高一年级期末检测 数学试题卷 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息． 请将答案正确填写在答题卡上． 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确答案涂在答题卡上） 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数乘法可得，再结合除法运算分析求解. 【详解】因为，由可得， 所以. 故选：A. 2. 已知为一条直线，为两个不重合的平面，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据线面、面面之间的基本关系，结合充分条件和必要条件的定义即可下结论. 【详解】若，则或与相交； 若，则α内必存在一条直线m平行于l，则，则， 所以当，“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 3. 甲、乙两人独立地破译一份密码，已知甲能破译密码的概率为，乙能破译密码的概率为，则这份密码被成功破译的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对立事件结合独立事件概率乘法公式运算求解. 【详解】记甲、乙能破译密码分别为事件， 由题意可知：，可得， 所以这份密码被成功破译的概率为. 故选：B. 4. 在平行四边形中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量加减法法则结合图形可得答案. 【详解】由图可得：，又，. 则，即. 故选：C 5. 正四棱台的上、下底面的边长分别为，且侧棱与底面所成角是60°，则这个棱台的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，过A点作平面垂线，垂足为E，则台体高为AE，后由侧棱与底面所成角是60°结合题目数据可得台体高，后由台体体积计算公式可得答案. 【详解】如图，连接，设交于O，交于. 过A点作平面垂线，垂足为E，则台体高为AE.因正四棱台的上、下底面的边长 分别为，则，， 得.因侧棱与底面所成角是60°，则. 则.又上表面积为4，下表面积为16. 则台体体积为：. 故选：B 6. 在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】做辅助线，分析可知异面直线与所成角为（或其补角），结合余弦定理分析求解. 【详解】取的中点，连接， 设正方体的棱长为2，则， 因为分别为的中点，则∥，且， 可知异面直线与所成角为（或其补角）， 在中，由余弦定理可得， 所以面直线与所成角的余弦值为. 故选：A. 7. 已知定义在上的函数为偶函数，且在区间上是增函数，记，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由函数为的偶函数，得出该函数在上为减函数，结合性质得出，，，比较的大小关系，结合函数的单调性可得出、、的大小关系． 【详解】由函数为的偶函数，且在上是增函数， 则该函数在上为减函数，且有， 则，，， 因为，，， 即，由于函数在上为减函数， 所以，可得. 故选：C． 8. 在中，，过点作，垂足为点，将沿直线翻折，使点与点间的距离为3，此时四面体的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图，根据余弦定理求出BC，根据正弦定理求出的外接圆半径，结合球的性质和勾股定理求出球的半径，利用球的表面积公式计算即可. 【详解】如图， 将沿直线翻折，得到满足题意几何体为三棱锥， 因为,过点作，则 中，，， 由余弦定理，得，所以， 设的外接圆圆心为D，半径为r，则， 由正弦定理，得，解得，即， 易知平面，又AM是球O的弦，，， 所以， 得球的半径为， 所以球的表面积为. 故选：D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．请把正确答案涂在答题卡上） 9. 合肥市某中学高一年级学生参加了一次英语口语能力测试（满分10分），其中男生540人，女生360人．现在按性别进行分层，通过分层随机抽样的方法，得到一组测试成绩的样本．样本中有8位女生的测试成绩，分别是6，7，7，7，8，9，10，10，样本中男生测试成绩的平均数为7.5，则（ ） A. 样本中有12位男生的测试成绩 B. 样本中女生测试成绩的第75百分位数是9 C. 样本中女生测试成绩的标准差为 D. 样本中所有学生测试成绩的平均数为7.75 【答案】AC 【解析】 【分析】根据分层抽样定义、百分位数的概念、标准差和平均数的定义依次计算即可. 【详解】A：设样本中有位男生的测试成绩，则，解得，故A正确； B：，所以样本中女生测试成绩的第75百分位数为，故B错误； C：女生的平均数为， 所以样本中女生测试成绩的标准差为 ，故C正确； D：由选项A和C知，样本中所有学生测试成绩的平均数为，故D错误. 故选：AC 10. 已知正四棱锥的底面边长为，二面角为，平面与平面的交线为，且正四棱锥的五个顶点都在球的球面上，则（ ） A. 四棱锥的体积为36 B. 直线与平面所成角的正切值为 C. 直线∥平面 D. 球的体积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】做辅助线，根据二面角分析可知，，.对于A：根据锥体的体积公式分析求解；对于B：分析可知直线与平面所成角为，即可得结果；对于C：根据线面平行的判定定理和性质定理分析证明；对于D：根据正四棱锥的结构特征求球的半径，进而可得体积. 【详解】设，连接， 因为为正四棱锥，可知平面. 取的中点，连接， 因为，则， 则二面角的平面角为， 可得，，. 对于选项A：四棱锥的体积为，故A错误； 对于选项B：由平面可知：直线与平面所成角为， 所以直线与平面所成角的正切值为，故B正确； 对于选项C：因为∥，平面，平面， 可知∥平面， 又因为平面平面，平面，所以∥， 且平面，平面，所以∥平面，故C正确； 对于选项D：设正四棱锥的外接球的半径为， 因为点为正方形的中心，且平面， 可知，则，即，解得， 所以球的体积为，故D正确； 故选：BCD. 11. 已知函数，其中，下列命题中正确的是（ ） A. 若，函数的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到 B. 若，曲线与曲线在区间上的交点个数为6 C. 若在上有且仅有5个零点，则的取值范围是 D. 若在上有且仅有5个零点，则在单调递增 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由三角函数图象变换规律分析判断，对于B，作出两函数在上的图象，观察图象判断，对于C，由求出，再结合函数有5个零点，列不等式组可求出的取值范围进行判断，对于D，由求出的范围，再结合选项C中的取值范围分析判断即可. 【详解】对于A，当时，， 将的图象向左平移个单位长度，得， 即得到的图象，所以A正确， 对于B，当时，，周期，在上是3个周期， 先作出在上的图象，然后向右平移两次，每次平移一个周期可得在上的图象， 再在同一坐标系中作出在的图象， 由图可知曲线与曲线在区间上的交点个数为6，所以B正确， 对于C，当时，， 若在上有且仅有5个零点，则， 解得，所以C错误， 对于D，当时，， 由选项C可知，则， 所以， 所以， 所以在单调递增，所以D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：此题考查正弦函数的图象与性质，考查三角函数图象变换规律，考查函数的零点，解题的关键是正确运用正弦函数的图象与性质，考查数形结合的思想，属于较难题. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分．把答案填在答题卡的相应位置．） 12. 已知，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的乘方运算可得，结合复数的几何意义即可求解. 【详解】， 所以. 故答案为： 13. 已知平面向量满足，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】由向量数量积坐标计算公式与模长计算公式结合题意可得答案. 【详解】由，则. 又，则，结合，. 则. 故答案为：. 14. 2023年11月，国家自然资源部公布了四川省9座名山的高度数据，其中最高的是贡嘎山，它的高度数据为7508.9米，三角高程测量法是测量山体高度的方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，三点在同一水平面上的投影，满足，．由点测得点的仰角为，由点测得A点的仰角为，则的高度为_______． 【答案】 【解析】 【分析】在中，利用正弦定理求，，再根据直角三角形结合相应角度运算求解. 【详解】因为， ， 分别过做，垂足分别为， 在中，则， 由正弦定理， 可得，， 在，， 则， 在中，， 则， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：1.对于特殊角三角函数值常借助于三角恒等变换求解； 2.高度测量问题，要注意利用相应的角度和高度，通过做辅助线转化运算. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 合肥八中STEAM项目生物实验基地里种植了一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm）介于之间，现对生物基地里部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示： （1）求的值，并通过上述频率分布直方图估计该种观赏花卉的平均高度； （2）若从高度在和的花卉中按分层随机抽样抽取6株花卉，再在这6株花卉中随机抽取2株，求抽取的2株花卉的高度在和内各一株的概率． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）由图中矩形所表示频率之和为1可得，后由频率分布直方图均值计算公式可得答案； （2）由题结合分层抽样性质可得6株花卉中，中有两株，设为；中有四株，设为，后由列举法可得答案. 【小问1详解】 因图中矩形所表示频率之和为1， 则； 平均高度为：； 【小问2详解】 由（1）可得对应频率为0.15，对应频率为0.3. 则由分层抽样性质知6株花卉中，高度在的花卉抽两株，设为； 高度在的花卉抽四株，设为. 则抽取的总情况为：，共15种. 则2株花卉的高度在和内各一株的情况有： 共8种， 则事件抽取的2株花卉的高度在和内各一株的概率. 16. 已知函数，若锐角的内角所对的边分别为，且． （1）求角； （2）求的取值范围： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简函数得，再根据即可求解； （2）由（1）知，，可得，由为锐角三角形，可求出角的范围，由正弦定理，可得，再利用两角差的余弦公式、同角三角函数的商数关系可得，最后结合角的范围即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以, 所以， 又因为， 所以， 所以， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，， 所以， 因角，为锐角， 所以， 解得， 由正弦定理， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以的取值范围为. 17. 如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，点是的中点． （1）求证：∥平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，证明，即可得证线面平行； （2）用等体积法求点面距，进而可得线面夹角． 【小问1详解】 连接交于点，连接， 因为底面为正方形，则为的中点， 且点是的中点，可得， 又因为平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 因为平面，平面，则， 又因为为正方形，则， 且，，平面，所以平面， 由平面，所以 因为点是的中点，，，则， 可得，，， 则，可知， 所以， 设点到平面的距离为， 由，可得， 即，解得， 即点到平面的距离为． 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．"意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于120°时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，且． （1）求角A； （2）设点为的费马点，，求实数的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式结合正弦定理角化边化简可得，即可求得答案； （2）由（1）结论可得，设，推出，利用余弦定理以及勾股定理即可推出，再结合基本不等式即可求得答案. 【小问1详解】 因为，则， 由正弦定理可得，可得. 【小问2详解】 点为的费马点，则， 设， 则由得； 由余弦定理得， ， ， 故由得， 即，而，故， 当且仅当，结合，解得时，等号成立， 又，即有，解得或（舍去）， 故实数的最小值为. 【点睛】关键点点睛：解答本题首先要理解费马点的含义，从而结合（1）的结论可解答第二问，解答第二问的关键在于设，推出，结合费马点含义，利用余弦定理推出，然后利用基本不等式即可求解. 19. 如图，在矩形中，是线段上的一动点，将沿着折起，使点A到达点的位置，满足点平面，且点在平面内的射影落在线段上． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积的最大值； （3）设二面角的平面角为，为虚数单位，为复数，当三棱锥的体积取得最大值时，求的大小 【答案】（1）证明见详解 （2） （3）1 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，，结合线面垂直的判定定理分析证明； （2）作，根据题意可得平面，设，可得，进而可得最值； （3）分析可知，结合复数的三角表示运算求解. 【小问1详解】 因为平面，平面，则， 且，，，平面， 所以平面. 【小问2详解】 在矩形中作，垂足为点，折起后得， 由平面，平面，可得， 且，平面，，可得平面， 由平面，可得，可知A，，三点共线， 则与相似，可得， 设，则，，， 可得，， 要使点射影落在线段上，则，可知， 所以， 可知当时，三棱锥的体积取到最大值. 【小问3详解】 因为，，可知是二面角的平面角， 则，， 当三棱锥的体积取得最大值时，，此时，即， 即， 设，， 则 ， 所以． 【点睛】关键点点睛：第三问，根据复数的三角表示可知，进而可得结果. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$