精品解析：湖南师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷

湖南师大附中2023-2024学年度高一第二学期期末考试 数学 命题人 时量：120分钟 满分：150分 得分：_______ 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的．） 1. 已知点，点A关于x轴对称点的坐标为（ ） A. B. C D. 2. 在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性( ) A. 与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性最大 B. 与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性最小 C. 与第几次抽样无关，每一次抽到的可能性相等 D. 与第几次抽样无关，与样本量也无关 3. 已知x，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知一组数据的平均数为3，方差为，则另一组数据，，，，的平均数、方差分别为（ ） A. 3， B. 3，1 C. 7， D. 7， 5. 已知向量，，，若，则实数（ ） A. 2 B. C. D. 6. 如图,为平行四边形所在平面外一点,为的中点,为上一点,当∥平面时,( ) A. B. C. D. 7. 柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式,而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的:已知向量,,由得到,当且仅当时取等号.现已知,,,则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 冰雹猜想又称考拉兹猜想、角谷猜想、猜想等，其描述为：任一正整数，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，反复计算，最终都将会得到数字1．例如：给出正整数5，则进行这种反复运算的过程为5→16→8→4→2→1，即按照这种运算规律进行5次运算后得到1．若从正整数6，7，8，9，10中任取2个数按照上述运算规律进行运算，则运算次数均为奇数的概率为（ ） A B. C. D. 二、选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分3分，有选错的得0分．） 9. 为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情．某校举办了“学党史、育文化”暨“喜迎党的二十大”党史知识竞赛，从名参赛师生中随机选取人的竞赛成绩作为样本（满分分成绩取整数）得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ） A. 的值为 B. 估计这人竞赛成绩众数为 C. 名参赛师生中成绩低于分的约有人 D. 以频率估计概率．从名参赛师生中随机抽取1人，该选手成不低于分的概率为 10. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，以下说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为钝角三角形 C. 若，则符合条件的三角形不存在 D. 若，则一定是等腰三角形 11. 在平行六面体中，，，若，其中，，，则下列结论正确的为（ ） A. 若点在平面内，则 B. 若，则 C. 当时，三棱锥的体积为 D. 当时，长度的最小值为 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分．） 12. 某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件，为了了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n = __________. 13. 若，则______． 14. 如图，边长为4的正方形中，半径为1的动圆Q的圆心Q在边CD和DA上移动（包含端点A,C,D），P是圆Q上及其内部的动点，设，则的取值范围是_____________. 四、解答题（本大题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，. （1）求； （2）若，求的值. 16. 在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，直线与所成的角的正切值等于2，，，分别是，的中点． （1）判断直线和的位置关系并说明理由； （2）证明：平面平面； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 17. 某校举办“复兴杯”围棋比赛活动，甲、乙两名选手进入最后的决赛，决赛采用五局三胜的赛制，决出最后的冠军．通过分析，若甲先下，则甲赢的概率为，若乙先下，则乙赢的概率为，每局没有和棋，不同局的结果互不影响．已知第一局甲先下，甲、乙两人依次轮流先下． （1）求比赛四局乙赢的概率； （2）已知前两局甲、乙各赢一局，求比赛五局结束的概率． 18. 正方体中，，点在线段上. （1）当时，求异面直线与所成角的取值范围； （2）已知线段中点是，当时，求三棱锥的体积的最小值. 19. 已知函数，若存在实数m、k（），使得对于定义域内的任意实数x，均有成立，则称函数为“可平衡”函数；有序数对称为函数的“平衡”数对． （1）若，求函数的“平衡”数对； （2）若m＝1，判断是否为“可平衡”函数，并说明理由； （3）若、，且、均为函数的“平衡”数对，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 湖南师大附中2023-2024学年度高一第二学期期末考试 数学 命题人 时量：120分钟 满分：150分 得分：_______ 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的．） 1. 已知点，点A关于x轴的对称点的坐标为（ ） A. B. C D. 【答案】B 【解析】 【分析】关于轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标、竖坐标均互为相反数. 【详解】关于轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标、竖坐标均互为相反数，点，点A关于x轴的对称点的坐标为. 故选：B. 2. 在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性( ) A. 与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性最大 B. 与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性最小 C. 与第几次抽样无关，每一次抽到的可能性相等 D. 与第几次抽样无关，与样本量也无关 【答案】C 【解析】 【分析】抽样要保证公平性，即不论采用何种抽样，每一个个体被抽中概率都是相同的，据此即可辨析作答． 【详解】在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性均相同，与第几次抽样无关，但和要抽取的样本量有关，样本量越大，被抽到的概率越大. 故选：C． 3. 已知x，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数相等的概念，以及条件的变化，再用是否推出思想来判断充分不必要条件. 【详解】当时，显然成立，所以是的充分条件； 当时，， 则是的不必要条件； 故选：A. 4. 已知一组数据的平均数为3，方差为，则另一组数据，，，，的平均数、方差分别为（ ） A. 3， B. 3，1 C. 7， D. 7， 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用平均数、方差的定义计算即得. 【详解】由数据的平均数为3，方差为，得， 所以数据的平均数为， 方差为. 故选：D 5. 已知向量，，，若，则实数（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】计算，然后由，即可求出的值. 【详解】因为，，所以， 由，得，即，解得. 故选：D 6. 如图,为平行四边形所在平面外一点,为的中点,为上一点,当∥平面时,( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接交于,连接,因为∥平面,平面,平面平面,可得∥,结合已知条件,即可求得答案. 【详解】连接交于,连接, ∥平面,平面 平面平面, ∥, 故: ① 又∥,为的中点, ② 由①②可得: 故选:D. 【点睛】本题考查了根据线面平行求线段比例,解题关键是掌握线面平行判定定理,考查了分析能力和空间想象能力,属于基础题. 7. 柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式,而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的:已知向量,,由得到,当且仅当时取等号.现已知,,,则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据,令代入公式,结合已知条件,,即可得到结果. 【详解】因为, 令,又,,, 所以, 当且仅当即时等号成立, 即, 故选:D. 8. 冰雹猜想又称考拉兹猜想、角谷猜想、猜想等，其描述为：任一正整数，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，反复计算，最终都将会得到数字1．例如：给出正整数5，则进行这种反复运算的过程为5→16→8→4→2→1，即按照这种运算规律进行5次运算后得到1．若从正整数6，7，8，9，10中任取2个数按照上述运算规律进行运算，则运算次数均为奇数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题中定义，分别求出正整数6，7，8，9，10按照题中所给运算规律进行运算的次数，最后根据古典概型的概率计算公式进行求解即可. 【详解】按照题中运算规律，正整数6的运算过程为，运算次数为； 正整数7的部分运算过程为， 当运算到10时，运算次数为10，由正整数的运算过程可知， 正整数7总的运算次数为； 正整数8的运算次数为； 正整数9的部分运算过程为，当运算到7时，运算次数为3， 由正整数7的运算过程可知，正整数9总的运算次数为． 正整数10的运算次数为6； 故正整数6，7，8，9，10的运算次数分别为偶数、偶数、奇数、奇数、偶数， 从正整数6，7，8，9，10中任取2个数的方法总数为： ，共种， 其中的运算次数均为奇数的方法总数为：，共种， 故运算次数均为奇数的概率为． 故选：A. 二、选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分3分，有选错的得0分．） 9. 为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情．某校举办了“学党史、育文化”暨“喜迎党的二十大”党史知识竞赛，从名参赛师生中随机选取人的竞赛成绩作为样本（满分分成绩取整数）得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ） A. 的值为 B. 估计这人竞赛成绩的众数为 C. 名参赛师生中成绩低于分的约有人 D. 以频率估计概率．从名参赛师生中随机抽取1人，该选手成不低于分的概率为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据频率分布直方图中各矩形面积之和为1可判断A；根据众数的估计方法可判断B；根据频数的计算可判断C；计算样本中不低于分的频率，用频率估计概率可判断D. 【详解】对于A，根据频率分布直方图中各矩形面积之和为1，得，解得，故A错误； 对于B，由于最高的小矩形得底边中点处的值为，故估计这组数据的众数为，故B正确； 对于C，估计成绩不低于60分的有（人），故C错误； 对于D，由于样本中不低于分的频率为，用频率估计概率，故名参赛师生不低于分的频率为，故D正确. 故选：BD. 10. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，以下说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为钝角三角形 C. 若，则符合条件的三角形不存在 D. 若，则一定是等腰三角形 【答案】AC 【解析】 【分析】利用正余弦定理，三角函数的性质逐一判断即可. 【详解】若，则，所以由正弦定理可得，故A正确； 若，，，则，即，所以角为锐角，即为锐角三角形，故B错误； 若，，，根据正弦定理可得 所以符合条件的三角形不存在，即C正确； 若，则，即,因为,所以或，即或， 所以为等腰或直角三角形，故D错误. 故选：AC 11. 在平行六面体中，，，若，其中，，，则下列结论正确的为（ ） A. 若点在平面内，则 B. 若，则 C. 当时，三棱锥的体积为 D. 当时，长度的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据平面向量的基本定理及空间向量的加法法则可得，进而求解判断A；根据空间向量的数量积定义和线性运算可得，，进而结合即可求解判断B；由题易知四面体为正四面体，设在平面内的射影为点，进而可得当时，到平面的距离为，进而结合三棱锥的体积公式求解判断C；根据空间向量的数量积定义及运算律可得，进而结合二次函数的性质及基本不等式即可求解判断D. 【详解】对于选项A，若点在平面内，易知有， 所以， 又，则，故A正确； 对于选项B，由题意易得， ，且， 又，即， 故，解得，故B正确； 对于选项C，由题易知四面体为正四面体， 设在平面内的射影为点， 则为的中心，易得，． 当时，到平面的距离为， 所以，故C错误； 对于选项D，由B知， ， 又， 由基本不等式可知， 所以，即，当且仅当时等号成立， 所以长度的最小值为，故D正确． 故选：ABD． 【点睛】关键点睛：本题关键在于利用空间向量的的数量积定义和线性运算进行转化问题，使之转化为较易的问题进行解决. 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分．） 12. 某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件，为了了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n = __________. 【答案】13 【解析】 【详解】(解法1)由分层抽样得，解得n＝13. (解法2)从甲乙丙三个车间依次抽取a，b，c个样本，则120∶80∶60＝a∶b∶3a＝6，b＝4，所以n＝a＋b＋c＝13. 13. 若，则______． 【答案】-1 【解析】 【分析】利用两角和与差的正余弦公式展开，再进行合并，即可求解. 【详解】解：， ， ， ， ， 得. 故答案为：-1 14. 如图，边长为4的正方形中，半径为1的动圆Q的圆心Q在边CD和DA上移动（包含端点A,C,D），P是圆Q上及其内部的动点，设，则的取值范围是_____________. 【答案】 【解析】 【分析】建立如图所示平面直角坐标系，可得,＝（ 4，0），.由图可知，当动圆Q的圆心经过点D时，P.此时m+n取得最大值：4m+4n＝8+，可得m+n＝2+ ．当动圆Q的圆心为点C或点A时，利用三角函数求m+n的最小值． 【详解】解：如图所示，边长为4的长方形ABCD中，动圆Q的半径为1，圆心Q在边CD和DA上移动（包含端点A，C，D），P是圆Q上及内部的动点， 向量 （m，n为实数）， =（0，4），＝（ 4，0），可得 ＝（ 4m，4n）． 当动圆Q的圆心经过点D时，如图：P. 此时m+n取得最大值：4m+4n＝8+ ，可得m+n＝2+ ． 当动圆Q的圆心为点C时，BP与⊙C相切且点P在x轴的下方时，＝（4+cosθ，sinθ）， 此时，4m+4n＝4﹣ sin（θ+ ）， m+n取得最小值为：1﹣，此时P（ 4﹣ ，﹣）． 同理可得，当动圆Q的圆心为点A时，BP与⊙A相切且点P在y轴的左方时， m+n取得最小值为：1﹣，此时P（-，4﹣）． ∴则m+n的取值范围为 故答案为. 【点睛】本题考查了向量的坐标运算、点与圆的位置关系，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力． 四、解答题（本大题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，. （1）求； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接用条件将等式齐次化，再比较余弦定理即可得出结果； （2）使用正弦定理得到，再进一步确定，然后用余弦和公式即可. 【小问1详解】 由已知条件和有. 所以由余弦定理可得，因为， 从而 【小问2详解】 若，则结合正弦定理得. 所以，从而，这得到或. 而，故. 所以 . 16. 在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，直线与所成的角的正切值等于2，，，分别是，的中点． （1）判断直线和的位置关系并说明理由； （2）证明：平面平面； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）相交，理由见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据中位线和正方形可证得，，得到四边形为梯形即可； （2）取AD的中点为，连接PO，BO，等腰三角形三线合一得到，根据勾股定理逆定理得到，从而证得平面ABCD，进而得到平面平面ABCD； （3）建立空间直角坐标系，根据平面的法向量夹角余弦求解平面MPD与平面APD夹角的余弦值. 【小问1详解】 直线和相交. 理由如下：如图，连接，因为、N分别是PB、PC的中点， 所以是的中位线，所以，， 又底面四边形ABCD是正方形，所以，， 所以，， 所以四边形为梯形，且和是梯形的两腰， 所以直线和相交. 【小问2详解】 取AD的中点为，连接PO，BO，因为，所以， 因为，所以就是直线PA与BC所成的角，所以， 又底面ABCD是边长为2的正方形，所以， 由得，， 又，则有，所以， 又平面，所以平面ABCD， 而平面PAD，所以平面平面ABCD. 【小问3详解】 因为M是PB的中点，所以平面MPD即为平面BPD， 在正方形ABCD中，取BC的中点，连接OQ，则， 又由（2）知平面ABCD，故以O为原点， OQ、OA、OP所在直线分别为x轴、y轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 设平面BPD的一个法向量为， 则，取，则，故， 而平面APD的一个法向量为， ， 所以平面MPD与平面APD夹角的余弦值为． 17. 某校举办“复兴杯”围棋比赛活动，甲、乙两名选手进入最后的决赛，决赛采用五局三胜的赛制，决出最后的冠军．通过分析，若甲先下，则甲赢的概率为，若乙先下，则乙赢的概率为，每局没有和棋，不同局的结果互不影响．已知第一局甲先下，甲、乙两人依次轮流先下． （1）求比赛四局乙赢的概率； （2）已知前两局甲、乙各赢一局，求比赛五局结束的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设乙先下乙赢为事件A，甲先下乙赢为事件B，分类考虑四局的胜负情况，根据互斥事件的概率加法公式，即可求得答案； （2）由题意可知第三局和第四局甲、乙各赢一场，第5局甲、乙都有可能赢，由此可考虑第三局和第四局的胜负情况，即可求得答案. 【小问1详解】 设乙先下乙赢为事件A，甲先下乙赢为事件B， 由题知，，， 设比赛四局乙赢为事件C， 则， 所以比赛四局乙赢的概率为； 【小问2详解】 已知前两局甲、乙各赢一场，且比赛五局结束比赛， 则第三局和第四局甲、乙各赢一场，第5局甲、乙都有可能赢， 设前两局甲、乙各赢一场，比赛五局为事件D， 则， 所以前两局甲、乙各赢一场，比赛五局结束的概率为 18. 正方体中，，点在线段上. （1）当时，求异面直线与所成角的取值范围； （2）已知线段中点是，当时，求三棱锥的体积的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意引入参数，建立适当的空间直角坐标系，将问题转换为两直线方向向量夹角的余弦的范围，然后结合异面直线角的范围即可得解. （2）引入参数，利用等体积法转换为求的体积，只需求到平面的距离以及即可得表达式，从而进一步得解. 【小问1详解】 由题意正方体的三条棱长两两互相垂直，故以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系： ，由题意不妨设， 所以， 所以， 设异面直线与所成角为， 所以异面直线与所成角的余弦值为， 令， 当时，， 当时，， 综上，， 所以异面直线与所成角的取值范围为. 【小问2详解】 如图所示： 由题意线段的中点是，，不妨设， 所以， 取平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为， 而 ， 所以三棱锥的体积为， 所以当且仅当时，三棱锥的体积取最小值. 【点睛】关键点睛：第一问关键是引入适当参数将问题先转换为求方向向量夹角的余弦，第二问的关键是等体积转换法，这样大大减少了计算量. 19. 已知函数，若存在实数m、k（），使得对于定义域内的任意实数x，均有成立，则称函数为“可平衡”函数；有序数对称为函数的“平衡”数对． （1）若，求函数的“平衡”数对； （2）若m＝1，判断是否为“可平衡”函数，并说明理由； （3）若、，且、均为函数的“平衡”数对，求的取值范围． 【答案】（1） （2）是 （3） 【解析】 【分析】(1)根据“平衡数对”定义建立方程，根据恒成立求解即可； (2) 时,判断是否存在使等式恒成立，利用三角函数化简求解即可； (3)根据“平衡数对”的定义将用关于的三角函数表达,再利用三角函数的取值范围求解即可. 【小问1详解】 根据题意可知,对于任意实数,, 即,即对于任意实数恒成立, 只有,,故函数的“平衡”数对为, 【小问2详解】 若,则, , 要使得为“可平衡”函数,需使对于任意实数均成立,只有, 此时,,故存在,所以是“可平衡”函数. 【小问3详解】 假设存在实数，对于定义域内任意均有 则 均为函数的“平衡”数对， ，函数单调递增， 即的取范围为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$