精品解析：北京市怀柔区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

怀柔区2023—2024学年度第二学期期末初二质量检测 数学试卷 考生须知 1．本试卷共7页，共两部分，26道题，满分100分．考试时间90分钟． 2．在答题卡上准确填写学校名称、姓名和考号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，请将本试卷、答题卡一并交回． 第一部分 选择题 一、选择题（共24分，每小题3分）下列各小题的四个备选答案中，只有一个是正确的． 1. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，中，，则（ ） A. B. C. D. 3. 点在正比例函数的图象上，则k的值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 4. 下列计算正确是（ ） A. B. C D. 5. 甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩统计如下表．如果从这四位同学中，选出一位成绩较高且状态稳定的同学参加数学比赛，那么应选（ ） 甲 乙 丙 丁 平均数 90 90 85 85 方差 42 45 42 45 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 6. 如图，一次函数与的图象交于点P，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，，．D是边中点，E是边中点，下列结论中，正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方形中，E是边上一点，F是延长线上一点，，连接DE，DF，EF，M为中点，连接DM，CM．若，则（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题 二、填空题（共16分，每小题2分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______． 10. 将直线向下平移3个单位得到的直线为______． 11. 已知点，在一次函数的图象上，且，则的值可以是______．（写出一个即可）． 12. 如图，在实践活动课上，小华打算测量学校旗杆的高度，她发现旗杆顶端的绳子垂到地面后还多出，当她把绳子斜拉直，且使绳子的底端刚好接触地面时，测得绳子底端距离旗杆底部，若设学校旗杆的高度是，则可列方程为______． 13. 如图，菱形的对角线与相交于点，，，以为坐标原点，与所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，则点的坐标为______． 14. 如图，已知矩形的对角线，相交于点O，，点P是矩形对角线上一点，且，则______°． 15. 如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距．某项研究表明，一般情况下人的身高y（单位：）是指距x（单位：）的一次函数，现测得指距x与身高y的几组对应值： 指距 16 18 20 22 身高 133 151 169 187 小明的身高是，一般情况下，他的指距约是______（保留整数）． 16. 如图，在中，D，E，F分别是的中点，点M是线段上任意一点，点N是和平分线的交点，连接．有以下结论： ①； ②的面积是面积的一半； ③保持大小不变，改变的长度可使四边形是菱形成立； ④保持的长度不变，改变的大小可使四边形是正方形成立． 其中所有正确结论是：______．（填序号即可） 三、解答题（本题共60分，第17题8分，第18-20题，每小题5分，第21-25题，每小题6分，第26题，7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 已知，求代数式的值． 19. 如图，在中，点M，N分别在边，上，且，，相交于点O．求证：． 20. 已知：．求作：菱形． 作法：如上图， ①以点A为圆心，适当长为半径作弧，交于点B，交于点C； ②连接，分别以点B，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点E，作射线与交于点O； ③以点O为圆心，以长为半径作弧，与射线交于点D，连接；四边形就是所求作的菱形． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面证明． 证明：∵平分， ∴ ． ∵， ∴四边形是平行四边形（ ）（填推理的依据）． ∵， ∴四边形是菱形（ ）（填推理的依据）． 21. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点D作交于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求长． 22. 某区八年级学生进行体质健康测试，抽取50名女生在一分钟内的仰卧起坐数量（单位：个），数据整理如下： a．50名女生仰卧起坐频数分布表 一分钟仰卧起坐个数 （单位：个） 频数 百分比 1 2% a 10% 20 40% 16 32% b c 合计 50 100% b．50名女生仰卧起坐频数分布直方图 c．数据如下： 52 53 53 53 53 55 55 55 55 55 55 56 56 56 56 58 59 60 60 60 （1）频数分布表中______，______，______； （2）补全频数分布直方图； （3）在这组数据中，中位数为______； （4）1分钟53个（不含53）以上的同学可另外加分，那么根据抽取的结果预估全校1000人一共多少人可加分？ 23. 某校要采购一款水杯，了解到有A，B两家超市可供选择，此款水杯在A，B两家超市售价均为50元，为了促销两家超市给出了不同的优惠方案： A超市：打8折出售； B超市：20个以内（含20个）不打折，超过20个后，超过的部分打7折． 该校计划购买水杯x个，设去A超市购买应付元，去B超市购买应付元． （1）分别求出，关于x的函数关系式； （2）若该校只在一个超市购买，怎样买更划算． 24. 一次函数图象与一次函数图象平行，且函数图象经过点． （1）求k，b的值； （2）当时，对于自变量x的每一个值，一次函数的值均大于值，直接写出m的取值范围． 25. 如图，在菱形中，，对角线，相交于点O，E是的中点，连接．过点A作射线，使得，过点E作交射线于点F． （1）①依题意补全图形； ②求证：； （2）连接，，用等式表示线段，之间的数量关系，并证明． 26. 在平面直角坐标系中，已知点．如果存在点，满足，，则称点Q为点P的“非常点”． （1）如图1，在，，中，点的“非常点”是______； （2）若点在第一象限，且，判断的形状并证明； （3）直线与x轴，y轴分别交于G，H两点，若线段上存在点P的非常点Q，请直接写出线段OP长度的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 怀柔区2023—2024学年度第二学期期末初二质量检测 数学试卷 考生须知 1．本试卷共7页，共两部分，26道题，满分100分．考试时间90分钟． 2．在答题卡上准确填写学校名称、姓名和考号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，请将本试卷、答题卡一并交回． 第一部分 选择题 一、选择题（共24分，每小题3分）下列各小题的四个备选答案中，只有一个是正确的． 1. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，根据算术平方根的定义进行计算即可，正确理解算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 2. 如图，中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据行四边形的性质可得，再利用平行线的性质，即得答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ． 故选D． 3. 点在正比例函数的图象上，则k的值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键． 利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出，解之即可得出k的值． 【详解】点在正比例函数的图象上， 故选C． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的加减、乘法法则和除法法则是解决问题的关键． 根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断． 【详解】A. ，计算错误，故此选项不符合题意； B. 和不是同类二次根式，故此选项不符合题意； C. ，计算正确，故此选项符合题意； D. ，计算错误，故此选项不符合题意； 故选C． 5. 甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩统计如下表．如果从这四位同学中，选出一位成绩较高且状态稳定的同学参加数学比赛，那么应选（ ） 甲 乙 丙 丁 平均数 90 90 85 85 方差 42 45 42 45 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平均数和方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 此题有两个要求：①平均成绩较高，②状态稳定．于是应选平均数较大、方差较小的运动员参赛． 【详解】解：由于甲的平均数较大且方差较小，故选甲． 故选：A． 6. 如图，一次函数与的图象交于点P，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根据两条直线的交点求不等式的解集，将不等式转化为函数图象的位置是解题关键．观察函数图象，写出直线在上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：由题意得：不等式表示函数的图象在函数图象上方的部分， 由图可知：该不等式的解集为：， 故选：D． 7. 在中，，，．D是边中点，E是边中点，下列结论中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，直角三角形的性质，三角形中位线定理．根据勾股定理逆定理，可得 ，再由直角三角形的性质，三角形中位线定理，可得，，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴ ，故A，B选项错误； ∵D是边中点，E是边中点， ∴，，故C选项正确；D选项错误； 故选：C 8. 如图，正方形中，E是边上一点，F是延长线上一点，，连接DE，DF，EF，M为中点，连接DM，CM．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在上截取，连接，运用正方形的性质证明△≌△，运用全等三角形的性质证明是等腰三角形，再用等腰三角形性质求，证明是的中位线，则得到，最后由三角形外角性质得到，即可得到答案． 【详解】解：在上截取，连接， ∵正方形， ∴，， 在△和△中 , ∴△≌△， ∴，， ∴， 即， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵点是的中点，， ∴是△的中位线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，综合性较强，能够灵活运用各性质，作出合适的辅助线构造出全等三角形是解决问题的关键． 第二部分 非选择题 二、填空题（共16分，每小题2分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：由题意得 故答案为：． 10. 将直线向下平移3个单位得到的直线为______． 【答案】y＝2x-3． 【解析】 【分析】根据平移后解析式的规律“左加右减自变量，上加下减常数项”进行求解即可． 【详解】解：直线y＝2x向下平移3个单位长度后得到的直线解析式为y＝2x-3． 故答案为：y＝2x-3． 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，明确图象的平移变化规律是解题关键． 11. 已知点，在一次函数的图象上，且，则的值可以是______．（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，由时，，得随的增大而增大，则，然后取值即可，根据正确掌握一次函数的增减性是解题的关键． 【详解】解：∵点，在一次函数的图象上， ∴当时，， ∴随的增大而增大， ∴， ∴取， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 如图，在实践活动课上，小华打算测量学校旗杆的高度，她发现旗杆顶端的绳子垂到地面后还多出，当她把绳子斜拉直，且使绳子的底端刚好接触地面时，测得绳子底端距离旗杆底部，若设学校旗杆的高度是，则可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意得出直角三角形是解答此题的关键． 由题可知，旗杆，绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答． 【详解】解：设学校旗杆的高度是，根据勾股定理得到：， 故答案为：． 13. 如图，菱形的对角线与相交于点，，，以为坐标原点，与所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，坐标与图形，由菱形的性质可得，，进而由直角三角形的性质得到，再利用勾股定理得，据此即可求解，掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：． 14. 如图，已知矩形的对角线，相交于点O，，点P是矩形对角线上一点，且，则______°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质；根据四边形是矩形，可得，再根据，求出的度数，再利用，即可求出的度数． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， ， ∴为等边三角形， ， ∵， ； ∵， ． 故答案为：． 15. 如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距．某项研究表明，一般情况下人的身高y（单位：）是指距x（单位：）的一次函数，现测得指距x与身高y的几组对应值： 指距 16 18 20 22 身高 133 151 169 187 小明的身高是，一般情况下，他的指距约是______（保留整数）． 【答案】21 【解析】 【分析】此题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．先利用待定系数法求出一次函数解析式，再求出当时的值即可． 【详解】解：设身高y（单位：）是指距x（单位：）的一次函数解析式为，当时，，当时，， 则， 解得， ∴， 当时，， 解得， 即小明的身高是，一般情况下，他的指距约是， 故答案为：． 16. 如图，在中，D，E，F分别是的中点，点M是线段上任意一点，点N是和平分线的交点，连接．有以下结论： ①； ②的面积是面积的一半； ③保持的大小不变，改变的长度可使四边形是菱形成立； ④保持的长度不变，改变的大小可使四边形是正方形成立． 其中所有正确结论是：______．（填序号即可） 【答案】②③ 【解析】 【分析】连接根据三角形内角和定理结合角平分线即可判断①；利用三角形等底等高面积相等结合中线的性质即可判断②；根据三角形中位线的性质，易证四边形是平行四边形，由长度再变化，当时，即即可得到四边形是菱形，即可判断③；由四边形是平行四边形，的大小再变化，当时，四边形是矩形，只有当时，四边形是正方形即可判断④ 【详解】解：如图，连接， 分别平分和， ， ， ，即，故①错误； D，F分别是的中点， 是三角形的中位线， ， 与等底等高， 与的面积相等， E是的中点， 的面积等于的一半， 的面积是面积的一半，故②正确； ， 四边形是平行四边形， 的大小不变， 若是菱形，则， ， 当时，则是菱形成立，故③正确； 同理，当时，四边形是矩形， 当且仅当时，四边形是正方形，故④错误； 故正确的有②③， 故答案为：②③． 【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，中线的性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定，正方形的判定，菱形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 三、解答题（本题共60分，第17题8分，第18-20题，每小题5分，第21-25题，每小题6分，第26题，7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质化简，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用二次根式的性质化简进行化简，再合并同类二次根式，即可作答． （2）先运算乘方再运算乘法，最后运算减法，即可作答． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 18. 已知，求代数式的值． 【答案】11 【解析】 【详解】【分析】先将式子化成，再把代入，可求得结果. 【详解】 解： ． 当时， 原式． 【点睛】本题考核知识点：求代数式的值.解题关键点：将式子先变形. 19. 如图，在中，点M，N分别在边，上，且，，相交于点O．求证：． 【答案】证明见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定以及性质，由平行四边形的性质可得出,．进一步得出，；．利用证明，由全等三角形的性质可得出． 【详解】证明：∵是平行四边形， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴；． 在和中， ∴． ∴． 20. 已知：．求作：菱形． 作法：如上图， ①以点A为圆心，适当长为半径作弧，交于点B，交于点C； ②连接，分别以点B，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点E，作射线与交于点O； ③以点O为圆心，以长为半径作弧，与射线交于点D，连接；四边形就是所求作的菱形． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：∵平分， ∴ ． ∵， ∴四边形是平行四边形（ ）（填推理的依据）． ∵， ∴四边形是菱形（ ）（填推理的依据）． 【答案】（1）见解析； （2），对角线互相平分的四边形是平行四边形，邻边相等的平行四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了作图-复杂作图，平行四边形的判定，菱形的判定，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据几何语言画出对应的几何图形； （2）先根据等腰三角形的性质得到，利用对角线互相平分的四边形为平行四边形可判断四边形是平行四边形，然后加上可判断四边形是菱形． 【小问1详解】 解：如图： ∴四边形就是所求作的菱形． 【小问2详解】 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）， ∵， ∴四边形是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）， 故答案为：，对角线互相平分的四边形是平行四边形，邻边相等的平行四边形是菱形． 21. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点D作交于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）6 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质、菱形的判定及性质、勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）根据平行线的性质及角平分线的定义得出，再根据等角对等边得出，从而得出，然后根据一组对边平行且相等得出四边形是平行四边形，最后根据领边相等的平行四边形为菱形即可得证； （2）根据菱形的性质得出，，再根据勾股定理得出，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出答案． 【小问1详解】 证明∵， ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． 【小问2详解】 证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，为的中点 ∴． ∴． 22. 某区八年级学生进行体质健康测试，抽取50名女生在一分钟内的仰卧起坐数量（单位：个），数据整理如下： a．50名女生仰卧起坐频数分布表 一分钟仰卧起坐个数 （单位：个） 频数 百分比 1 2% a 10% 20 40% 16 32% b c 合计 50 100% b．50名女生仰卧起坐频数分布直方图 c．数据如下： 52 53 53 53 53 55 55 55 55 55 55 56 56 56 56 58 59 60 60 60 （1）频数分布表中______，______，______； （2）补全频数分布直方图； （3）在这组数据中，中位数为______； （4）1分钟53个（不含53）以上的同学可另外加分，那么根据抽取的结果预估全校1000人一共多少人可加分？ 【答案】（1）5，8，16%； （2）见详解 （3）55； （4）780人． 【解析】 【分析】本题考查了频数分布直方图，样本估计总体，中位数的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据频数、频率、总数之间的关系列式计算，即可作答． （2）结合（1）的结论进行作图即可； （3）结合排序后位于数据中间位置数，为中位数，进行作答即可； （4）运用样本估计总体进行列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意， ． 【小问2详解】 解：如图所示： 【小问3详解】 解：根据这组数据， 52，53，53，53，53，55，55，55，55，55，55，56，56，56，56，58，59，60，60，60 共有个数，排在中间位置为第和个数 即 ∴中位数为 【小问4详解】 解：依题意，（人） ∴那么根据抽取的结果预估全校1000人一共人可加分 23. 某校要采购一款水杯，了解到有A，B两家超市可供选择，此款水杯在A，B两家超市售价均为50元，为了促销两家超市给出了不同的优惠方案： A超市：打8折出售； B超市：20个以内（含20个）不打折，超过20个后，超过的部分打7折． 该校计划购买水杯x个，设去A超市购买应付元，去B超市购买应付元． （1）分别求出，关于x的函数关系式； （2）若该校只在一个超市购买，怎样买更划算． 【答案】（1），； （2）当时，在A厂家购买划算；当时，两个厂家付款一样；当时，在B厂家购买划算． 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意、根据题意写出函数关系式并掌握一元一次不等式的解法是本题的关键． （1）根据售价、购买数量和折扣可直接写出关于x的函数关系式；分别根据购买数量小于等于20件和大于20件两种情况列出方程即可； （2）根据x不同的取值范围，分别求出当、、时对应的x的取值范围即可． 【小问1详解】 解：，， ∴， 当时，， 当时，， ∴； 【小问2详解】 解：当时，， 当且为整数时： 若，得，解得； 若，得，解得； 若，得，解得； 综上，当时，在A厂家购买划算；当时，两个厂家付款一样；当时，在B厂家购买划算． 24. 一次函数图象与一次函数图象平行，且函数图象经过点． （1）求k，b的值； （2）当时，对于自变量x的每一个值，一次函数的值均大于值，直接写出m的取值范围． 【答案】（1），； （2）． 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象平移及一次函数与一次不等式的关系，解题的关键是数形结合思想的应用． （1）分别列方程即可求出k和b的值； （2）根据两直线交点坐标，数形结合解决问题． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象与一次函数图象平行， ∴． ∵一次函数的图象经过点， ∴． ∴； 【小问2详解】 解： 一次函数图象经过点， 把点代入，得， 解得， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值均大于一次函数的值， ∴． 25. 如图，在菱形中，，对角线，相交于点O，E是的中点，连接．过点A作射线，使得，过点E作交射线于点F． （1）①依题意补全图形； ②求证：； （2）连接，，用等式表示线段，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）①见解析；②证明见解析； （2），证明见解析． 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，菱形的性质； （1）①根据题意画出图形，即可求解； ②根据菱形的性质得出，，再根据角的和差即可得证； （2）延长到点M，使，连接，，根据中点的定义结合证明，再根据全等三角形的性质及角的和差利用证明，然后根据全等三角形的性质即可得证． 【小问1详解】 解：补图如下： ① ②证明：∵四边形为菱形，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 证明：延长到点M，使，连接，， ∵E是中点， ∴． 在和中， ∴． ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 在和中，， ∴． ∴． 26. 在平面直角坐标系中，已知点．如果存在点，满足，，则称点Q为点P的“非常点”． （1）如图1，在，，中，点的“非常点”是______； （2）若点在第一象限，且，判断的形状并证明； （3）直线与x轴，y轴分别交于G，H两点，若线段上存在点P的非常点Q，请直接写出线段OP长度的取值范围． 【答案】（1）； （2）是等腰直角三角形，证明见解析； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据“非常点”的定义，即可得到答案； （2）根据勾股定理及其逆定理，即可判断答案； （3）将点Q的坐标代入，并化简为，即得点P的运动路径是一条线段，根据点Q的运动范围，即可求得点P在线段上运动，分别求得点P在线段两端点位置时的长，即得的最大值，当时，的值最小，求出此时的值，即得答案． 【小问1详解】 解：若点为点的“非常点”，则，， 即， 所以满足题意； 故答案为：． 【小问2详解】 证明：，， ，，， ， 是直角三角形， 同时， 是等腰直角三角形； 小问3详解】 解：点在线段上， ， 整理得， 点的非常点为点Q， 点是直线上的动点， 点在线段上， 当点在点G处时，点P在点A处，当点在点H处时，点P在点B处， 即点P在线段上运动， 当点P在点A处时，点Q在点G处， 令，则， 解得， ， 由（2）知，是等腰直角三角形， ， 即此时，， 当点P在点B处时，点Q在点H处， 令，则， ， 由（2）知，是等腰直角三角形， ， 即此时，， 的最大值为； 设直线与直线相交于点D， 联立方程组， 解得， ， ， 过点O作于点C， 当点P点C处时，点Q在点D处，此时取最小值， 是等腰直角三角形， ， 即的最小值是； 线段OP长度的取值范围是． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中的动点路径问题，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，求一次函数的解析式，探求动点P的运动路径是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$