精品解析：河北省邢台市襄都区英华教育集团2023-2024学年八年级下学期6月月考数学试题

2023－2024学年度八年级下学期期末综合评估 数学 注意事项：共8页，总分120分，作答时间120分钟 一、选择题（本大题共12题，每题3分，共36分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 为了解某地年平均降雨量，在一年中最可靠的一种观测方法是（ ） A. 每个月都随机选择5天进行观测 B. 选择某个月连续进行观测 C. 选择在春节7天期间连续观测 D. 随机选择5天进行观测 3. 有甲、乙两个调查：甲：调查一批进口罐装饮料的防腐剂含量，乙：调查某校八年级数学老师的视力．其中正确的说法是（ ） A. 只有甲采用普查 B. 只有乙采用普查 C. 甲、乙均采用普查 D. 甲、乙均不采用普查 4. 在函数中，若是整数，则的值可以是（ ） A. 7 B. 5 C. 3 D. 1 5. 下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图表示光从空气进入水中前、后的光路图，若按如图建立平面直角坐标系，并设入水前与入水后光线所在直线的表达式分别为，则关于与的关系，正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 对于题目“把的三个顶点的横坐标与纵坐标均乘以，画出得到的三角形”，嘉嘉和淇淇的答案如图所示，对于这两个答案，其中说法正确的是（ ） A. 只有嘉嘉对 B. 只有淇淇对 C. 嘉嘉、淇淇均对 D. 嘉嘉、淇淇均不对 8. 如图，在中，分别是的中点，作平分交于点，若，，则的长为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 14 9. 在平面直角坐标系中，已知四点，若其中两点不可能在同一个函数图像上，则这两点是（ ） A. 点和点 B. 点和点 C. 点和点 D. 点和点 10. 小明向各种空水壶内匀速注水，壶内水的深度（单位：）与注水时间（单位：）的函数关系如图所示，选项中是各种水壶的平面图，则小明使用的水壶是（ ） A. B. C. D. 11. 在平面直角坐标系中，已知四点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．已知：如图，在中，，是边上的中线．求证：． 方法1：如图1，延长至点E，使，连接． 方法2：如图2，取边的中点E，连接． 下列说法正确的是（ ） A. 只有方法1可以证明该定理，运用了平行四边形的对角线互相平分 B. 只有方法2可以证明该定理 C. 方法2不可以证明该定理 D. 方法1、方法2都可以证明该定理 二、填空题（本大题共4题，每题3分，共12分） 13. 根据如图所示的函数图像可得关于x，y的二元一次方程组的解为_______． 14. 八年级期末考试数学成绩如图所示（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值），则成绩为分及分以上的人数为_________． 15. 如图，在中国象棋棋盘上，如果棋子“炮”的坐标是，棋子“帅”的坐标是，则棋子“马”的坐标是_________． 16. 有一条公共边的正五边形与正六边形按如图所示的方式摆放，则的度数为_________；连接并延长交正六边形的边于点，则的度数为_________． 三、解答题（本大题共8题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 小明在一次调查中收集了个数据，结果如下：． （1）在列频数分布直方图时，如果取组距为，求应该分成的组数； （2）这组的频数是多少？并求出其频率． 18. 已知点，解答下列各题： （1）若点在轴上，求出点的坐标； （2）若点的坐标为，且轴，求的长． 19. 如图1，点从的顶点出发，沿的方向匀速运动到点，图2是点运动时，线段的长度随时间变化的关系图像，其中是曲线部分的最低点． （1）_______； （2）求的面积． 20. 某学校计划开设“机器人”“打印”“无人机”“编程”“电脑绘画”五种兴趣班，现任意抽取部分学生进行意向调查，每名同学必须选且只能选择一种，调查结束后，把调查结果制成如下图所示的条形统计图和扇形统计图，因不慎，条形统计图部分被污染． （1）参加“编程”兴趣班的同学人数是参加“电脑绘画”兴趣班同学人数的________倍； （2）求参加“打印”兴趣班同学的人数； （3）求参加“无人机”兴趣班所在扇形的圆心角的度数． 21. 如图，在平行四边形中，分别是边的中点，是对角线所在直线上的两点，且，连接．求证：四边形是平行四边形． 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，点，与直线交于点，直线交轴于点． （1）求的值及直线的函数表达式； （2）求四边形的面积； （3）我们把横坐标、纵坐标都是整数的点称为整点，现将沿轴向下平移（是整数）个单位长度，则其与直线、轴围成的三角形（不含边界）中恰好有个整点，请直接写出的值． 23. 如图1，有一个电脑程序，每按一次键，屏幕的区就会自动加上，同时区就会自动减去，且均显示化简后的结果．已知两区初始显示的数分别为和．例如，第一次按键后，两区显示的结果如图2所示： （1）从初始状态按次后，直接写出两区显示的结果；（用含的式子表示） （2）若区的运算结果用表示，区的运算结果用表示，请在图3的平面直角坐标系中画出关于的函数图像，并说明是如何随的变化而变化的； （3）在（2）的条件下，当从初始状态按次时，某条垂直于轴的直线与轴、直线，分别交于点，当这三个点中，其中一点为另外两点连线的中点时，求的值． 24. 如图，在矩形中，，点在边或边的延长线上，连接，沿将矩形折叠，使点落在处． （1）若点落在边上，求证：四边形是正方形； （2）若，连接，求的面积； （3）在折叠过程中，若，，三点恰好在同一条直线上，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023－2024学年度八年级下学期期末综合评估 数学 注意事项：共8页，总分120分，作答时间120分钟 一、选择题（本大题共12题，每题3分，共36分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的特点，掌握象限中点的符号是解题的关键． 【详解】解：∵第一象限的点的符号为，第二象限的点的符号为，第三象限的点的符号为，第四象限的点的符号为， ∴点在第二象限，   故选：B ． 2. 为了解某地年平均降雨量，在一年中最可靠的一种观测方法是（ ） A. 每个月都随机选择5天进行观测 B. 选择某个月连续进行观测 C. 选择在春节7天期间连续观测 D. 随机选择5天进行观测 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查抽样调查，根据抽样调查的选取，样本具有广泛性和代表性，进行判断即可． 【详解】解：A、选项具有广泛性和代表性，故选项正确； B、选项的时间没有代表性，集中一个月没有普遍性，故选项错误； C、选项的时间没有代表性，集中春节7天没有普遍性，故选项错误； D、选项样本容量不够大，5天太少，故选项错误， 故选A． 3. 有甲、乙两个调查：甲：调查一批进口罐装饮料的防腐剂含量，乙：调查某校八年级数学老师的视力．其中正确的说法是（ ） A. 只有甲采用普查 B. 只有乙采用普查 C. 甲、乙均采用普查 D. 甲、乙均不采用普查 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查判断普查和抽样调查，对于范围小，具有特殊意义的应采用普查，对于调查范围广，具有破坏性的用采用抽样调查，据此进行判断即可． 【详解】解：调查一批进口罐装饮料的防腐剂含量，应采用抽样调查，调查某校八年级数学老师的视力，应采用普查； 故选B． 4. 在函数中，若是整数，则的值可以是（ ） A. 7 B. 5 C. 3 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式中被开方数为非负数，列式求解不等式，即可求解．掌握二次根式有意义的条件，不等式取值方法“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解”是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，， ∴， ∵是整数， ∴的值为：2，3，4， ∴符合题意的是选项，   故选：C ． 5. 下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、如图所示，∵， ∴， ∴平行四边形是菱形，故此选项不符合题意； B、如图所示，∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形，故此选项不符合题意； C、如图所示，∵， ∴，结合四边形是平行四边形不能证明四边形是菱形，故此选项符合题意； D、如图所示，∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形，故此选项不符合题意． 6. 如图表示光从空气进入水中前、后的光路图，若按如图建立平面直角坐标系，并设入水前与入水后光线所在直线的表达式分别为，则关于与的关系，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两个函数图象的位置关系取横坐标相同的点利用纵坐标的大小列出不等式，即可求解． 【详解】解：如图，在两个图象上分别取横坐标为m的两个点A和B， 则，， ∵， ∴， 当取横坐标为正数时，同理可得， 综上所述， 故选：D 【点睛】本题考查了正比例函数的图象与性质，解题关键是取横坐标相同的点，利用纵坐标的大小关系得到比例系数的关系． 7. 对于题目“把的三个顶点的横坐标与纵坐标均乘以，画出得到的三角形”，嘉嘉和淇淇的答案如图所示，对于这两个答案，其中说法正确的是（ ） A. 只有嘉嘉对 B. 只有淇淇对 C. 嘉嘉、淇淇均对 D. 嘉嘉、淇淇均不对 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中心对称，根据题意得到的三个顶点与对应三角形的三个顶点关于原点对称，即可得出结果． 【详解】解：把的三个顶点的横坐标与纵坐标均乘以，则：的三个顶点与对应三角形的三个顶点关于原点对称， 故只有淇淇对； 故选B． 8. 如图，在中，分别是的中点，作平分交于点，若，，则的长为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线，角平分线，平行线的性质，掌握中位线定理，角平分线的性质，等角对等边的知识是解题的关键． 根据中位线定理可得，，根据平行线的性质，角平分线的性质可得，由此可得的值，再根据中位线的性质即可求解． 【详解】解：∵是中点， ∴，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，   故选：C ． 9. 在平面直角坐标系中，已知四点，若其中两点不可能在同一个函数图像上，则这两点是（ ） A. 点和点 B. 点和点 C. 点和点 D. 点和点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数的定义，设在某个变化过程中有两个变量，当在某一范围内的每一个确定的值，都有唯一值与之对应，那么是的函数，是自变量，由此即可求解，掌握函数的定义是解题的关键． 【详解】解：A、点中，随的变化而变化，在同一个函数图像上，不符合题意； B、中，随的变化而变化，在同一个函数图像上，不符合题意； C、，不随的变化而变化，不在同一个函数图像上，符合题意； D、，随的变化而变化，在同一个函数图像上，不符合题意；   故选：C ． 10. 小明向各种空水壶内匀速注水，壶内水的深度（单位：）与注水时间（单位：）的函数关系如图所示，选项中是各种水壶的平面图，则小明使用的水壶是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图象的变化即可得出结论． 【详解】解：根据图象可知，刚开始注水的时候，水的深度变化的是先慢后快，且不是线性关系， 水壶应该是下宽上窄型，只有A选项符合， 故选：A． 【点睛】本题考查了函数图象的实际应用，数形结合是解题的关键． 11. 在平面直角坐标系中，已知四点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中两点之间的距离公式，掌握两点之间距离的计算方法是解题的关键． 已知两点，则，由此即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，故A选项错误，不符合题意； ∵，， ∴，故B选项错误，不符合题意； ∵，， ∴，故C选项错误，不符合题意； ∵， ∴，故D选项正确，符合题意；   故选：D ． 12. 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．已知：如图，在中，，是边上的中线．求证：． 方法1：如图1，延长至点E，使，连接． 方法2：如图2，取边的中点E，连接． 下列说法正确的是（ ） A. 只有方法1可以证明该定理，运用了平行四边形的对角线互相平分 B. 只有方法2可以证明该定理 C. 方法2不可以证明该定理 D. 方法1、方法2都可以证明该定理 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定和性质，三角形的中位线定理，方法1，先证明四边形为矩形，再根据矩形的性质，即可得出结论，方法2，根据三角形的中位线定理，推出垂直平分，得到，即可，据此进行判断即可． 【详解】解：方法1： ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴； 方法2：∵，为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴； 故方法1，方法2均可证明； 故选D． 二、填空题（本大题共4题，每题3分，共12分） 13. 根据如图所示的函数图像可得关于x，y的二元一次方程组的解为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查图像法求方程组的解，根据两条直线的交点的横纵坐标即为由对应的两个一次函数组成的方程组的解，进行求解即可． 【详解】解：由图像可知，两直线的交点的横坐标为， 把代入，得：， ∴两直线的交点坐标为：， ∴二元一次方程组的解为：； 故答案为：． 14. 八年级期末考试数学成绩如图所示（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值），则成绩为分及分以上的人数为_________． 【答案】321 【解析】 【分析】本题考查了频数分布直方图，根据图示信息进行计算即可求解，掌握频数分布直方图中横轴，纵轴表示的意义，频数的计算方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意，横轴表示成绩，横轴中为组中距， ∴组距为， ∴分组为：， ∴成绩在分及分以上的人数为：， 故答案为：321 ． 15. 如图，在中国象棋棋盘上，如果棋子“炮”的坐标是，棋子“帅”的坐标是，则棋子“马”的坐标是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了运用坐标表示地理位置，掌握平面直角坐标的确定方法是解题的关键，根据“炮”，“帅”的点坐标可确定直角坐标系的原点，建立平面直角坐标系即可求解． 【详解】解：如图所示， ∴“马”的坐标为， 故答案为： ． 16. 有一条公共边的正五边形与正六边形按如图所示的方式摆放，则的度数为_________；连接并延长交正六边形的边于点，则的度数为_________． 【答案】 ①. ##度 ②. ##度 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的性质，正多边形的内角和的计算，根据内角和定理，n为多边形的边数，即可求解，掌握正多边的性质，内角和定理是解题的关键． 【详解】解：根据题意，正六边形中，， 如图所示， 正五边形中，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在四边形中，， ∴， 故答案为： ． 三、解答题（本大题共8题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 小明在一次调查中收集了个数据，结果如下：． （1）在列频数分布直方图时，如果取组距为，求应该分成的组数； （2）这组的频数是多少？并求出其频率． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查频数分布直方图的分组的计算，频率的计算等知识，掌握分组的方法，频数的计算方法是解题的关键． （1）根据“最大数减去最小数除以组距”的方法即可求解； （2）根据题意，将数据分为5组，找出的频数，根据频率的计算方法即可求解． 【小问1详解】 解：， ∴应该分为5组； 【小问2详解】 解：由（1）可知分为5组，即， 将收集的数据从小到大排序为： ∴的频数为：， ∴频率为：． 18. 已知点，解答下列各题： （1）若点在轴上，求出点的坐标； （2）若点的坐标为，且轴，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查点与坐标轴的特点，两点之间距离的计算，掌握点在坐标轴上点的横纵坐标的特点，两点之间距离的计算方法是解题的关键． （1）根据点在横轴上，纵坐标为零，即可求解； （2）根据平行与纵轴，则横坐标相等，可求出m的值，再根据两点之间距离的计算方法即可求解． 【小问1详解】 解：点在轴上，纵坐标为0， ∴， 解得，， ∴； 【小问2详解】 解：轴，则横坐标相等， ∴， 解得，， ∴， ∴． 19. 如图1，点从的顶点出发，沿的方向匀速运动到点，图2是点运动时，线段的长度随时间变化的关系图像，其中是曲线部分的最低点． （1）_______； （2）求的面积． 【答案】（1）30 （2）336 【解析】 【分析】本题主要考查动点与函数图象，勾股定理的综合，掌握函数图象的性质，勾股定理，几何图形面积的计算是解题的关键． （1）根据动点运动规律和函数图象的性质即可求解； （2）根据函数图象的性质可得的值，根据勾股定理可得的值，根据几何图形的面积计算方法即可求解． 【小问1详解】 解：根据图2可得，点从时，的长度随时间的增加而增大，从时，随的增加而减小，至时，的值最小；当再增加时，的值又开始增大，直到与点重合， ∴， 故答案为：30； 【小问2详解】 解：由上述论述，结合图形可得，当时，的值最小，最小为， 当点与点重合时，，如图所示， 在中，， 在中，， ∴， ∴． 20. 某学校计划开设“机器人”“打印”“无人机”“编程”“电脑绘画”五种兴趣班，现任意抽取部分学生进行意向调查，每名同学必须选且只能选择一种，调查结束后，把调查结果制成如下图所示的条形统计图和扇形统计图，因不慎，条形统计图部分被污染． （1）参加“编程”兴趣班的同学人数是参加“电脑绘画”兴趣班同学人数的________倍； （2）求参加“打印”兴趣班同学的人数； （3）求参加“无人机”兴趣班所在扇形的圆心角的度数． 【答案】（1）2 （2）64 （3） 【解析】 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用： （1）直接从条形图中获取信息，作答即可； （2）先根据编程的人数和所占的比例求出样本容量，再利用样本容量乘以“打印”的学生所占的比例进行求解即可； （3）360度乘以无人机的人数所占的比例进行求解即可． 【小问1详解】 解：由条形图可知：参加“编程”兴趣班的同学人数为80人，参加“电脑绘画”兴趣班的同学人数为40人， ∴参加“编程”兴趣班的同学人数是参加“电脑绘画”兴趣班同学人数的2倍； 故答案为：2． 【小问2详解】 抽取人数为：， ， 故参加“打印”兴趣班同学的人数为64； 【小问3详解】 ， 答：求参加“无人机”兴趣班所在扇形的圆心角的度数为． 21. 如图，在平行四边形中，分别是边的中点，是对角线所在直线上的两点，且，连接．求证：四边形是平行四边形． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点是中点， ∴，， ∵， ∴，且， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质，中点的性质可得，可证，可得，再根据一组对边平行且相等，即可求解． 【详解】略 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，点，与直线交于点，直线交轴于点． （1）求的值及直线的函数表达式； （2）求四边形的面积； （3）我们把横坐标、纵坐标都是整数的点称为整点，现将沿轴向下平移（是整数）个单位长度，则其与直线、轴围成的三角形（不含边界）中恰好有个整点，请直接写出的值． 【答案】（1），直线的解析式为： （2）四边形的面积为 （3）的值为 【解析】 【分析】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数与几何图形的结合，图形平移的性质，掌握一次函数图象的性质，几何图形面积的计算，图形与坐标轴的交点的计算方法是解题的关键． （1）把点代入直线可求出的值，再把点代入直线即可求解； （2）如图所示，过点作轴于点，图形结合可得的长，根据即可求解； （3）根据题意作图，结合图形平移的性质即可求解． 【小问1详解】 解：已知直线与轴，轴分别交于点，点，与直线交于点， ∴， 解得，， ∴， 把点代入直线中， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为：； 【小问2详解】 解：如图所示，过点作轴于点， ∵，， ∴，则， ∵直线交轴于点， ∴令，则， ∴，则， ∴ ， ∴四边形的面积为； 【小问3详解】 解：根据题意作图如下， ∵将沿轴向下平移（是整数）个单位长度， ∴平移后直线的解析式为：， ∴如图所述，， 解得，， ∴， ∴的值为． 23. 如图1，有一个电脑程序，每按一次键，屏幕的区就会自动加上，同时区就会自动减去，且均显示化简后的结果．已知两区初始显示的数分别为和．例如，第一次按键后，两区显示的结果如图2所示： （1）从初始状态按次后，直接写出两区显示的结果；（用含的式子表示） （2）若区的运算结果用表示，区的运算结果用表示，请在图3的平面直角坐标系中画出关于的函数图像，并说明是如何随的变化而变化的； （3）在（2）的条件下，当从初始状态按次时，某条垂直于轴的直线与轴、直线，分别交于点，当这三个点中，其中一点为另外两点连线的中点时，求的值． 【答案】（1）， （2） 作图如下， 随的增大而减小 （3）的值为：或或 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数，中点坐标的计算，掌握一次函数图象的性质，中点坐标计算方法是解题的关键． （1）根据题意列式即可求解； （2）分别用表示出的结果，根据整式的运算即可得出解析式，根据解析式求出两点，即可作图，根据图形即可求出自变量与函数值的变化关系； （3）根据题意，可得点三点横坐标相等，纵坐标为，再根据中点坐标计算方法即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意，按次后，区显示的结果为：，区显示的结果为：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意，区的结果为：，区的结果为：， ∴， ∴，整理得，， 当时，；当时，； ∴随的增大而减小； 【小问3详解】 解：初始状态按4次，区的结果为：，区的结果为：， ∵垂直于轴的直线与轴交于点，与直线交于，与交于点， ∴点的横坐标相同，纵坐标分别为：， ∴当是的中点时，， 解得，； 当是的中点时，， 解得，； 当是的中点时，， 解得，； 综上所述，的值为或或． 24. 如图，在矩形中，，点在边或边的延长线上，连接，沿将矩形折叠，使点落在处． （1）若点落在边上，求证：四边形是正方形； （2）若，连接，求的面积； （3）在折叠过程中，若，，三点恰好在同一条直线上，请直接写出的长． 【答案】（1） 证明：如图所示， ∵四边形是矩形， ∴，， 根据折叠，且点 在线段上， ∴，，， ∴， ∴四边形是矩形，且， ∴四边形是正方形； （2） （3）的长为：或 【解析】 【分析】（1）根据矩形，折叠的性质可得四边形是矩形，，再根据邻边相等的矩形是正方形即可求证； （2）由（1）中正方形的性质可得点在线段上时，，作，可得是等腰直角三角形，可得的值，根据三角形面积的计算方法即可求解； （3）画出图形，分类讨论，运用折叠的性质，勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，由（1）可知，四边形是正方形，则对角线平分，过点作于点， ∴当点在线段上时，， ∵，， ∴，且， ∴是等腰直角三角形， ∴，且， ∴； 【小问3详解】 解：第一种情况，如图所示， ∵四边形是矩形， ∴，， 根据折叠可得，，，， ∵点三点共线， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∴； 第二种情况，如图所示， 根据折叠可得，，， ∵点三点共线， ∴在中，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为：或； 【点睛】本题主要考查矩形的性质，正方形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质的综合运用，画出图形，分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $