精品解析：黑龙江省佳木斯市富锦市部分学校2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023-2024学年度八年级（下）期末测试 数学试卷 一、填空题（每题3分，共30分） 1. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______． 2. 如图，在平行四边形中，对角线与交于点O，图形中不再添加辅助线和字母，再添加一个条件______，使平行四边形菱形．（写出一个即可） 3. 某校规定学生期末数学总评成绩由三部分构成：卷面成绩、课外论文成绩、平日表现成绩（三部分所占比例如图），若方方的三部分得分依次是92、80、�84，则她这学期的期末数学总评成绩是________． 4. 数据﹣2，﹣1，0，3，5的方差是___． 5. 如图，已知一根长8m的竹竿在离地3m处断裂，竹竿顶部抵着地面，此时，顶部距底部有____m． 6. 直线：与直线：的图象如图所示．则关于的不等式的解集是___________． 7. 将直线向右平移3个单位长度得到的直线解析式为________． 8. 如图，在△ABC 中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点 D 在 BC 上，BD＝3，DC＝1，点 P 是 AB 上的动点，则 PC+PD 的最小值为____ 9. 已知正方形的边长为2，以为一边向外作等腰直角三角形，则点E到点B的距离为___________． 10. 如图，一次函数图象为直线l，菱形，、，…按图中所示的方式放置，顶点，，，，…均在直线l上，顶点O，，，…均在x轴上，则点的纵坐标是_______． 二、选择题（每题3分，共30分） 11. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 12. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 两条对角线相等四边形是矩形 C. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 13. 如表是乌鲁木齐市天山区青年排球队12名队员的年龄情况如表： 年龄 18 19 20 21 22 人数 1 4 3 2 2 则这个队队员年龄的众数和中位数是（ ） A. 19，20 B. 19，19 C. 19， D. 20，19 14. 已知点都在直线上，则与的大小关系是．（ ） A. B. C. D. 不能比较 15. 一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 16. 如图，矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O，AB=3， BC=4，点 P 为边 AD 上的动点，PE⊥AC 于点 E，PF⊥BD 于点 F，则 PE+PF 的值为（ ） A. B. C. 5 D. 7 17. 实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（     ） A. B. C. D. b 18. 在同一平面直角坐标系中，若一次函数与图象交于点，则点的坐标为（ ） A. （-1，4） B. （-1，2） C. （2，-1） D. （2，1） 19. 如图是一块长、宽、高分别是和的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点处，沿着长方体的表面到长方体上和顶点相对的顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（ ） A. B. C. D. 20. 如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠DAB＝60°，AE分别交BC、BD于点E、F，CE＝2，连接CF，以下结论：①△ABF≌△CBF；②点E到AB的距离是；③AF＝CF；④△ABF 的面积为其中一定成立的有( )个. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 三、解答题（共60分） 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，点、均在格点上，用直尺在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法． （1）在图①中以线段为边画一个面积为6的平行四边形； （2）在图②中以线段为边画一个面积为4的菱形． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，点在轴负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处． （1）求直线的函数表达式； （2）轴上是否存在一点，使得？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 24. 某校为了了解初中学生每天的睡眠时间（单位：h），随机调查了该校的部分初中学生，根据调查结果，绘制出如图所示的统计图． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次接受调查的初中学生人数为________，扇形统计图中的________，条形统计图中的________． （2）该校共有1600名初中学生，根据样本数据，估计该校初中学生每天睡眠时间不足的人数． 25. 在一条公路上依次有A，B，C三地，甲车从A地出发，驶向C地，同时乙车从C地出发驶向B地，到达B地停留小时后，按原路原速返回C地，两车匀速行驶，甲车比乙车晚小时到达C地．两车距各自出发地的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系如图所示．请结合图象信息解答下列问题： （1）甲车行驶速度是___________千米/时，B，C两地的路程为___________千米； （2）求乙车从B地返回C地的过程中，y（千米）与x（小时）之间的函数关系式（不需要写出自变量x的取值范围）； （3）出发多少小时，行驶中的两车之间的路程是15千米？请你直接写出答案． 26. 以四边形的边，为边分别向外侧作等边三角形和，连接、，交点为． （1）当四边形为正方形时（如图1），和的数量关系是________； （2）当四边形为矩形时（如图2），和具有怎样的数量关系？请加以证明； （3）当四边形为平行四边形时，直接写出的度数________． 27. 某体育器材店销售甲、乙两种篮球，销售甲种篮球3个，乙种篮球4个，销售收入940元；销售甲种篮球2个，乙种篮球5个，销售收入为1000元销售． （1）求甲、乙两种篮球的销售单价； （2）已知甲、乙两种篮球的进价分别为60元/个，100元/个，该体育器材店欲再次购进甲、乙两种篮球共20个，购进的甲种篮球的个数不少于乙种篮球个数，设购进的甲种篮球为n个，销售完这批篮球所获得的利润为w元，请写出w关于n的函数表达式，并求出怎样进货能使销售完这20个篮球所获得的利润最大，最大利润为多少？ 28. 如图在平面直角坐标系中，点A在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，且，的长满足． （1）求点，点的坐标； （2）若直线与线段交于点，与坐标轴轴，轴分别交于，两点，且点，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿射线方向运动，设点的运动时间为秒，连接，设的面积为，求与的函数关系式（请直接写出自变量的取值范围）； （3）在（2）的条件下，在坐标平面内是否存在点，使以A，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年度八年级（下）期末测试 数学试卷 一、填空题（每题3分，共30分） 1. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴x-1≥0， 解得x≥1． 故答案为：x≥1． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0． 2. 如图，在平行四边形中，对角线与交于点O，图形中不再添加辅助线和字母，再添加一个条件______，使平行四边形是菱形．（写出一个即可） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定，熟记相关定理内容：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可求解． 【详解】解：∵有一组邻边相等的平行四边形是菱形， ∴当时，可使平行四边形是菱形 故答案为：（答案不唯一）． 3. 某校规定学生期末数学总评成绩由三部分构成：卷面成绩、课外论文成绩、平日表现成绩（三部分所占比例如图），若方方的三部分得分依次是92、80、�84，则她这学期的期末数学总评成绩是________． 【答案】88.8 【解析】 【分析】根据加权平均数的算法计算，即可求解． 【详解】解：根据题意得：她这学期的期末数学总评成绩是． 故答案为：88.8 【点睛】本题主要考查了求加权平均数，熟练掌握加权平均数的公式是解题的关键． 4. 数据﹣2，﹣1，0，3，5的方差是___． 【答案】 【解析】 【分析】先根据平均数的计算公式要计算出这组数据的平均数，再根据方差公式进行计算即可． 【详解】解：这组数据﹣2，﹣1，0，3，5的平均数是（﹣2﹣1+0+3+5）÷5=1， 则这组数据的方差是： [（﹣2﹣1）2+（﹣1﹣1）2+（0﹣1）2+（3﹣1）2+（5﹣1）2]=； 故答案为． 5. 如图，已知一根长8m的竹竿在离地3m处断裂，竹竿顶部抵着地面，此时，顶部距底部有____m． 【答案】4 【解析】 【详解】解：解如图所示：在RtABC中，BC=3，AC=5， 由勾股定理可得：AB2+BC2=AC2 设旗杆顶部距离底部AB=x米，则有32+x2=52， 解得x=4 故答案：4． 【点睛】本题考查勾股定理． 6. 直线：与直线：的图象如图所示．则关于的不等式的解集是___________． 【答案】 【解析】 【分析】由图象可以知道，当时，两个函数的函数值是相等的，再根据函数的增减性可以判断出不等式解集． 【详解】解：观察图象得：两条直线的交点坐标为， ∵当时，直线在直线的上方， ∴不等式的解集为． 故答案为：． 【点睛】此题考查一次函数与一元一次不等式，解题关键在于掌握两个图象的“交点”是两个函数值大小关系的“分界点”，在“分界点”处函数值的大小发生了改变． 7. 将直线向右平移3个单位长度得到的直线解析式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图象的平移规则，理解并掌握规则是解题关键．直接根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：直线向右平移3个单位长度得到的直线解析式为， 即， 故答案为：． 8. 如图，在△ABC 中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点 D 在 BC 上，BD＝3，DC＝1，点 P 是 AB 上的动点，则 PC+PD 的最小值为____ 【答案】5 【解析】 【详解】解：过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′=OC，连接DC′，交AB于P，连接CP．此时DP+CP=DP+PC′=DC′的值最小． ∵BD=3，DC=1，∴BC=4，∴BD=3，连接BC′，由对称性可知∠C′BA=∠CBA=45°， ∴∠CBC′=90°， ∴BC′⊥BC，∠BCC′=∠BC′C=45° ∴BC=BC′=4，根据勾股定理可得：DC′==5． 故答案为5． 【点睛】本题考查了轴对称﹣线路最短的问题，确定动点P何位置时，使PC+PD的值最小是解题的关键． 9. 已知正方形的边长为2，以为一边向外作等腰直角三角形，则点E到点B的距离为___________． 【答案】4或或 【解析】 【分析】分∠AED=90°、∠DAE=90°以及 ∠ADE=90°三种情况考虑，通过构建直角三角形，利用正方形和等腰直角三角形的性质找出直角边的长度，利用勾股定理即可得出结论 【详解】AD为边向正方形外作等腰直角三角形ADE分三种情况，如图所示． 当∠AED= 90°时，过点E作EF⊥BA延长线于点F，连接BE， ∵正方形ABCD的边长为2，△AED为等腰直角三角形， ∴AF= EF=AD= 1． 在Rt△BFE中， BF= AB+ AF= 2+1=3， EF= 1， ∴BE=； 当∠DAE= 90°时， ∵正方形ABCD的边长为2，△AED为等腰直角三角形， ∴AE= AD= 2， ∴BE= AB+ AE= 2+2= 4； 当∠ADE= 90°时，连接BE， ∵正方形ABCD的边长为2，△A ED为等腰直角三角形， ∴DE= AD= 2， 在Rt△BCE中，BC = 2， CE= CD+ DE= 2+2= 4， 故答案为：4或或． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是分∠AED=90°、∠DAE=90°以及∠ADE=90°三种情况考虑．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，分类讨论是关键． 10. 如图，一次函数的图象为直线l，菱形，、，…按图中所示的方式放置，顶点，，，，…均在直线l上，顶点O，，，…均在x轴上，则点的纵坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象，菱形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识．解题的关键在于推导一般性规律．根据菱形的性质，一次函数的性质，求出，，，推出的纵坐标为，即可． 【详解】解：如图， 当，，则， 当，，则， ∵菱形，菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴为的中点，则， ∵菱形， ∴平分，， ∴，， 当，，则， 同理可求，， 当，，则， 同理可求，，…… ∴的纵坐标为， ∴点的纵坐标是， 故答案为：． 二、选择题（每题3分，共30分） 11. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则以及二次根式的性质分别化简，进而判断得出答案． 【详解】解：A、 与 不是同类二次根式，无法合并，故此选项不合题意； B、 ，故此选项符合题意； C、，故此选项不合题意； D、，故此选项不合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次根式的乘法运算法则以及二次根式的化简，解题的关键是熟练掌握相关运算法则． 12. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 两条对角线相等的四边形是矩形 C. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】A 【解析】 【分析】根据特殊四边形的判定方法进行判断． 【详解】解：对角线互相平分的四边形是平行四边形，故选项A符合题意； 对角线相等的平行四边形是矩形，故选项B不符合题意； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项C不符合题意； 对角线互相垂直且相等平行四边形是正方形，故选项D不符合题意． 故选：A． 13. 如表是乌鲁木齐市天山区青年排球队12名队员的年龄情况如表： 年龄 18 19 20 21 22 人数 1 4 3 2 2 则这个队队员年龄的众数和中位数是（ ） A. 19，20 B. 19，19 C. 19， D. 20，19 【答案】A 【解析】 【分析】根据中位数和众数的定义，即可进行解答． 【详解】解：数据19出现了四次最多为众数；20和20处在第6位和第7位，其平均数是20，所以中位数是20． 所以本题这组数据的中位数是20，众数是19． 故选：A． 【点睛】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数． 14. 已知点都在直线上，则与的大小关系是．（ ） A. B. C. D. 不能比较 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点坐标特点，直接把点，代入直线，求出与的值，并比较其大小即可，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 【详解】解：点都在直线上， ， ， ， 故选：A． 15. 一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数的性质：“直线中，当时，直线从左往右上升，当时，直线从左往右下降；当时，直线与y轴正半轴相交，当时，直线与y轴负半轴相交”，据此解答即可． 【详解】解：当时，，一次函数的图象经过一、三、四象限， 当时，，一次函数的图象经过一、二、四象限， 观察四个选项，只有选项C符合题意， 故选：C． 16. 如图，矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O，AB=3， BC=4，点 P 为边 AD 上的动点，PE⊥AC 于点 E，PF⊥BD 于点 F，则 PE+PF 的值为（ ） A. B. C. 5 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】连接PO，由勾股定理求出AC，得出OA、OD的长，根据三角形面积和矩形面积关系求出PE+PF即可． 【详解】解：如图，连接PO， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC=90°，AB=CD=3，AD=BC=4，OA=OC，OB=OD，AC=BD． ∴OA=OD，AC=． ∴OA=OD=AC=． ∵S△AOD=S矩形ABCD， 即OA×PE+OD×PF=×4×3． ∴××（PE+PF）=×4×3． ∴PE+PF=． 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形的面积的应用，熟练掌握矩形的性质和三角形面积公式是解题的关键． 17. 实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（     ） A. B. C. D. b 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了利用数轴比较数的大小，二次根式的性质，化简绝对值，正确利用数轴比较数的大小是解题的关键．由数轴知，，得到，化简即可． 【详解】解：由数轴知，， ∴， ∴ ， 故选：A． 18. 在同一平面直角坐标系中，若一次函数与图象交于点，则点的坐标为（ ） A. （-1，4） B. （-1，2） C. （2，-1） D. （2，1） 【答案】D 【解析】 【分析】联立两直线解析式，解方程组即可． 【详解】解：联立， 解得， 所以，点M的坐标为（2，1）． 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，方程组的解就是两条直线交点的横纵坐标，通常利用联立两直线解析式解方程组求交点坐标，需要熟练掌握． 19. 如图是一块长、宽、高分别是和的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点处，沿着长方体的表面到长方体上和顶点相对的顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】展成平面图形，根据两点之间线段最短，可求出解．本题考查平面展开路径问题、勾股定理，本题关键知道蚂蚁爬行的路线不同，求出的值就不同，有三种情况，可求出值找到最短路线． 【详解】解：就是蚂蚁爬的最短路线． 但有三种情况： 当：，． ． 当，． ． 当， ． ∵ ∴第三种情况最短． 故选：C． 20. 如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠DAB＝60°，AE分别交BC、BD于点E、F，CE＝2，连接CF，以下结论：①△ABF≌△CBF；②点E到AB的距离是；③AF＝CF；④△ABF 的面积为其中一定成立的有( )个. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的性质，逐个证明即可. 【详解】① 四边形ABCD为菱形 AB=BC ∠DAB＝60° △ABF≌△CBF 因此 ①正确. ②过E作EM垂直于AB的延长线于点M CE＝2 BE=4 ∠DAB＝60° 因此点E到AB的距离为 故②正确. ③根据①证明可得△ABF≌△CBF AF＝CF 故③正确. ④ 和 的高相等 所以 △ABF≌△CBF 故④错误. 故有3个正确，选C. 【点睛】本题主要考查菱形的性质，关键在于证明三角形全等,是一道综合形比较强的题目. 三、解答题（共60分） 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先将括号里面的通分后，将除法转换成乘法，约分化简，然后代x的值，进行二次根式化简． 【详解】解：原式= 当时，原式= 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键． 22. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，点、均在格点上，用直尺在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法． （1）在图①中以线段为边画一个面积为6的平行四边形； （2）在图②中以线段为边画一个面积为4的菱形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了网格四边形知识点，根据题意准确求解是解题的关键． （1）根据每个小正方形的边长为1和面积为6的平行四边形进行求解即可； （2）根据已知条件可画出对角线为2和4的菱形即可． 【小问1详解】 解：如图，平行四边形即为所求； ； 【小问2详解】 解：菱形即为所求． ∵， ∴四边形为菱形， ． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处． （1）求直线的函数表达式； （2）轴上是否存在一点，使得？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，或 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形，三角形面积．数形结合是解题的关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）点的坐标为，则，再根据，建立关于m的方程，求解即可． 【小问1详解】 解：设直线的函数表达式为， 把、分别代入，得 ，解得：， ∴． 【小问2详解】 解：∵，， ∴ 设点的坐标为， ∵、， ∴ ∵ ∴ 解得：，． ∴存在，点的坐标为，． 24. 某校为了了解初中学生每天的睡眠时间（单位：h），随机调查了该校的部分初中学生，根据调查结果，绘制出如图所示的统计图． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次接受调查的初中学生人数为________，扇形统计图中的________，条形统计图中的________． （2）该校共有1600名初中学生，根据样本数据，估计该校初中学生每天睡眠时间不足的人数． 【答案】（1）50，8，15 （2）960人 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体： （1）根据睡眠5小时的人数和所占的百分比可以计算出本次接受调查的初中学生人数，再根据条形统计图中的数据，即可计算出m和n的值； （2）根据统计图中的数据，可以得出接受调查的学生每天睡眠时间不足8小时的占比，再乘总人数，从而计算出该校初中学生每天睡眠时间不足8小时的人数． 【小问1详解】 解：本次接受调查的初中学生有（人）， ，（人）， ∴， 故答案为：50，8，15； 【小问2详解】 解：解：由题意得（人）， 故该校初中学生每天睡眠时间不足的约有960人． 25. 在一条公路上依次有A，B，C三地，甲车从A地出发，驶向C地，同时乙车从C地出发驶向B地，到达B地停留小时后，按原路原速返回C地，两车匀速行驶，甲车比乙车晚小时到达C地．两车距各自出发地的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系如图所示．请结合图象信息解答下列问题： （1）甲车行驶速度是___________千米/时，B，C两地的路程为___________千米； （2）求乙车从B地返回C地的过程中，y（千米）与x（小时）之间的函数关系式（不需要写出自变量x的取值范围）； （3）出发多少小时，行驶中的两车之间的路程是15千米？请你直接写出答案． 【答案】（1）60；360 （2） （3）小时或5小时或6小时 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的实际应用—行程问题，解题的关键是结合函数图象分析运动过程，理解各个节点的实际意义． （1）根据F点坐标可求出甲车速度，根据M纵坐标可得B，C两地之间距离； （2）根据甲车比乙车晚小时到达C地得出点E坐标，再求出点N坐标，利用待定系数法求解即可； （3）根据运动过程，分五种情况讨论：①在乙车到B地之前时，②当乙在B地停留时，③当乙车从B地开始往回走，追上甲车之前，④当乙车追上甲车并超过15千米时，⑤当乙车回到C地时，甲车距离C地15千米时． 【小问1详解】 解：由题意可得： ， ∴甲车的行驶速度是：千米/时， M的纵坐标为360， ∴B，C两地之间的距离为360千米， 故答案为：60；360； 【小问2详解】 解：∵甲车比乙车晚小时到达C地， ∴点， 乙的速度为千米/小时， 则， ∴，， 设表达式为，将和代入， 得，解得：， ∴y（千米）与x（小时）之间的函数关系式为：； 【小问3详解】 解：设出发x小时，行驶中的两车之间的路程是15千米， ①在乙车到B地之前时， ，即， 解得：； ②∵小时，小时， ∴甲乙同时到达B地， 当乙在B地停留时， 小时（不符合题意，舍弃）； ③当乙车从B地开始往回走，追上甲车之前， 小时； ④当乙车追上甲车并超过15千米时， 小时； ⑤当乙车已经回到C地时，甲车距离C地15千米时， 小时（不符合题意，舍弃）； 综上：行驶中的两车之间的路程是15千米时，出发时间为小时或5小时或6小时． 26. 以四边形的边，为边分别向外侧作等边三角形和，连接、，交点为． （1）当四边形为正方形时（如图1），和的数量关系是________； （2）当四边形为矩形时（如图2），和具有怎样的数量关系？请加以证明； （3）当四边形为平行四边形时，直接写出的度数________． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质，平行四边形的性质，矩形的性质，等边三角形的性质； （1）要求与之间的数量关系，由题可知四边形为正方形，和为等边三角形，可证得与全等，即可求解； （2）要求与之间的数量关系，由题可知四边形为矩形，同（1）证明即可； （3）同（2）可得与全等，得出，根据三角形的外角的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：； 四边形为正方形， ， 以四边形的边、为边分别向外侧作等边三角形和， ，，， ，即， 在和中， ， ， ． 【小问2详解】 ， 证明：为等边三角形， ，， 又为等边三角形， ，， ， 即， 和中， ， ， ； 【小问3详解】 ． 为等边三角形， 同（2）可得：， ， 27. 某体育器材店销售甲、乙两种篮球，销售甲种篮球3个，乙种篮球4个，销售收入为940元；销售甲种篮球2个，乙种篮球5个，销售收入为1000元销售． （1）求甲、乙两种篮球的销售单价； （2）已知甲、乙两种篮球的进价分别为60元/个，100元/个，该体育器材店欲再次购进甲、乙两种篮球共20个，购进的甲种篮球的个数不少于乙种篮球个数，设购进的甲种篮球为n个，销售完这批篮球所获得的利润为w元，请写出w关于n的函数表达式，并求出怎样进货能使销售完这20个篮球所获得的利润最大，最大利润为多少？ 【答案】（1）甲种篮球的销售单价为100元，乙种篮球的销售单价为160元 （2）甲、乙两种篮球各购进10个时所获得的利润最大，最大利润为1000元 【解析】 【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题； （2）先列出函数关系式，再根据及函数的性质进行解答即可． 【小问1详解】 设甲种篮球的销售单价为x元，乙种篮球的销售单价为y元，由题意得 解得 答：甲种篮球的销售单价为100元，乙种篮球的销售单价为160元 【小问2详解】 由题意得 ∴ 由题意得， ∴ ∵在中，， w随着n的增大而减小 ∴当时，w取得最大值． ． 答：甲、乙两种篮球各购进10个时所获得的利润最大，最大利润为1000元 【点睛】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，一次函数的性质的运用，解答时根据方程组的解求函数的解析式是关键． 28. 如图在平面直角坐标系中，点A在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，且，的长满足． （1）求点，点的坐标； （2）若直线与线段交于点，与坐标轴轴，轴分别交于，两点，且点，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿射线方向运动，设点的运动时间为秒，连接，设的面积为，求与的函数关系式（请直接写出自变量的取值范围）； （3）在（2）的条件下，在坐标平面内是否存在点，使以A，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）存在，或或 【解析】 【分析】（1）根据非负数的性质求出，的长，再根据点A在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，即可得出点的坐标； （2）分两种情况：当时 ， 当时，根据三角形的面积公式求解即可； （3）分两种情况：①当为边时，②当为对角线时，分别利用平行四边形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵ ∴，， ∴，， ∵点A在轴正半轴上，点在轴的正半轴上， ∴，． 【小问2详解】 解：∵， ∴， 当时 ， ， 当时， ， 综上，． 【小问3详解】 解：如图，连接， 由（1）知，，， 由（2）知，， ， 以、、、为顶点的四边形是平行四边形， ①当为边时，，， 或； ②当为对角线时，点向下平移4个单位，再向右平移2个单位， 点向下平移4个单位，再向右平移2个单位得到点的坐标， ， 即：点的坐标为或或． 【点睛】本题考查非负数的性质，坐标与图形，求一次函数解析式，三角形的面积，平行四边形的面积，平移的坐标变换．熟练掌握绝对值与二次根式的非负性，根据三角形的列一次函数解析式，平行四边形的性质是解题的关键．注意分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$