专题01 一元二次方程（优质类型）-2024-2025学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版）

专题01一元二次方程思维导图 【类型覆盖】 类型一、配方法的应用 【解惑】学习了公式法后，老师向同学们提出了如下问题： ①将多项式因式分解： ① ②求多项式的最小值． ②由①，得，因为，所以．所以，当时，的值最小，且最小值为． 请你运用上述方法解决下列问题： (1)将多项式因式分解； (2)求多项式的最小值： 【融会贯通】 1．配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来解决一些最值问题．例如：，所以的最小值为，此时． (1)尝试：，因此当 时，代数式有最小值，最小值是 ； ，所以当 时，代数式有最 （填“大”或“小”）值． (2)应用：如图，矩形花圃一面靠墙（墙足够长）另外三面所围成的栅栏的总长是，栅栏如何围能使花圃面积最大？最大面积是多少？ 2．求最值问题有多种方法，既有代数法也有几何法． 例如：若代数式，利用配方法求M的最小值：，，当时，代数式M有最小值为2．再比如：正数a，b满足，用几何法求的最小值．如图，为线段DC的长度，为线段CE的长度，当的值最小时，D、C、E三点共线，所以最小值为． 请根据上述材料解决下列问题： (1)若代数式，求M的最小值； (2)已知正数x，y满足，求的最小值． 3．读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值． 解：设，则原方程变为，整理得，， ∴，∵，∴， 上面这种方法称为“换元法”，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． (1)设，满足等式，求的值； (2)若四个连续正整数的积为，求这四个连续正整数． 类型二、换元法的应用 【解惑】阅读理解 【学习新知】我们已经学习了一元二次方程的多种解法，其基本思路是将二次方程通过“降次”转化为一次方程求解．按照同样的思路，我们可以将更高次的方程“降次”，转化为二次方程或一次方程进行求解． ①因式分解法求解特殊的三次方程： 将变形为， ． ． ． ． 或． 原方程有三个根：，，． ②换元法求解特殊的四次方程： 设，那么，于是原方程可变为，解得，， 当，时，； 当，时，； 原方程有四个根：，，，． 【应用新知】 （1）仿照以上方法，按照要求解方程： ①（因式分解法）； ②（换元法）； 【拓展延伸】 （2）已知：，且，请综合运用以上方法，通过“降次”求的值． 【融会贯通】 1．阅读下列材料：为解方程可将方程变形为然后设，则，原方程化为①，解①得．当时，无意义，舍去；当时，，解得原方程的解为； 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题． (1)利用换元法解方程时，新字母设为，则___________，原方程化为___________，解得___________． (2)求方程的解． 2．解方程时，我们可以将视为一个整体，设，则，原方程化为，解此方程，得，， 当时，，，∴； 当时，，，∴． ∴原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 运用上述方法解答下列问题： (1)； (2)． 3．阅读材料： 材料1：一元二次方程（，）的两根，有如下的关系（韦达定理）：， 材料2：有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决.下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造.例如，如果实数、满足、，且，则可将、看作是方程的两个不相等的实数根. 方法2：利用韦达定理逆向构造.例如，如果实数、满足、，则可以将、看作是方程的两实数根. 根据上述材料解决下面问题： (1)已知实数、满足、，求的值. (2)已知实数、、满足、，且，求的最大值. 类型三、根与系数关系的对称式 【解惑】如果方程x2＋px＋q＝0的两个根是x1、x2，那么x1＋x2＝－p，x1·x2＝q.请根据以上结论，解决下列问题： （1）已知关于x的方程x2＋mx＋n＝0 (n≠0)，求出一个一元二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的倒数； （2）已知a、b满足a2－15a－5＝0，b2－15b－5＝0，求的值； （3）已知a、b、c均为实数，且a＋b＋c＝0，abc＝16，求正数c的最小值． 【融会贯通】 1．阅读材料： 材料1：若关于x的一元二次方程的两个根为，则，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为m，n， ∴，，则 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，则___________； (2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值． (3)思维拓展：已知实数s、t满足，，且，求的值． 2．阅读材料，根据上述材料解决以下问题： 材料1：若一元二次方程的两个根为，则，． 材料2：已知实数m，n满足，，且，则m，n是方程两个不相等的实数根． (1)材料理解：一元二次方程两个根为，则______，______． (2)应用探究：已知实数m，n满足，，且，求的值． 3．【观察思考】 【规律发现】 第1个图案中有“★”的个数为：（个）； 第2个图案中有“★”的个数为：（个）； 第3个图案中有“★”的个数为：（个）； 第4个图案中有“★”的个数为：（个）； 第5个图案中有“★”的个数为 个；（填最简结果） 第个图案中有“★”的个数为 个．（用含的式子填空） 【规律应用】第个图案中有“★”有227个，求的值． 类型四、一元二次方程中的规律 【解惑】将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察． (1)第n个图有 个小圆；（用含n的代数式表示） (2)是否存在某个图，其小圆的个数恰好为个？如果存在，指出是第几个图；如果不存在，请说明理由． 【融会贯通】 1．下图被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”，其规律是：从第3行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．图中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，……，我们把第1个数记为，第2个数记为，第3个数记为．，第个数记为． (1)根据这列数的规律，______，______； (2)这列数中有66这个数吗？如果有，求；如果没有，请说明理由． 2．【阅读材料】 一般地，我们把按一定顺序排列的一列数称为数列．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，它通常用字母d表示，我们可以用公式来计算等差数列的和，公式中的n表示数的个数，a表示第一个数的值． 例如：3，5，7，9，11，13，15，17，19，21． 就是一个等差数列，公差，，， 所以． 用上面的知识解决下列问题 【完成任务】 （1）等差数列：1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，34，37，40，43．则_____，_____，_____； 【能力提升】 （2）有一等差数列的和为450，用式子表示为：，求这个数列中数的个数n； 【延伸拓展】 （3）某县决定对坡荒地进行退耕还林．从2011年起在坡荒地上植树造林，以后每年植树后坡荒地的实际面积按一定规律减少，下表为2011、2012、2013、2014四年的坡荒地面积的统计数据．问到哪一年，可以将全县所有坡荒地全部种上树木． 2011年 2012年 2013年 2014年 植树后坡荒地的实际面积(公顷) 25200 24000 22400 20400 3．定义：在直角梯形中，如果有两条邻边相等，那么称这个梯形为邻等梯形，相等两邻边的夹角称为邻等角．    (1)如图，在梯形中，，，对角线平分．请判断梯形是否为邻等梯形并说明相应理由． (2)如图2，在的方格纸中，，，三点均在格点上，若四边形是邻等梯形，请在答题卷的网格图中画出三个不同的格点，并用标明． (3)如图，四边形是邻等梯形，，为邻等角，连结，过点作，交的延长线于点若，，求四边形的周长． 类型五、一元二次方程中的新定义 【解惑】定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，，因为，，所以一元二次方程为“限根方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断一元二次方程是否为“限根方程”，并说明理由； (2)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且方程的两根、满足，求k的值． 【融会贯通】 1．【阅读理解】 【定义】如果关于的方程（是常数）与（是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足，，则这两个方程互为“对称方程”． 【举例】求方程的“对称方程”，这样思考：由方程可知，，，根据，求出就能确定这个方程的“对称方程”． 请用以上方法解决下面问题： (1)写出方程的“对称方程”是______； (2)若关于的方程与互为“对称方程”，求的值． 2．定义：若关于x的一元二次方程中的常数项是该方程的一个根，则该一元二次方程就叫做常数根一元二次方程． (1)已知关于x的方程是常数根一元二次方程，则c的值为_____________； (2)如果关于x的方程是常数根一元二次方程，则m的值； (3)若关于x的常数根一元二次方程中不含零根，求证：关于y的方程是常数根一元二次方程． 3．如图，在中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为． (1)填空：_____，_____；（用含t的代数式表示） (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 类型六、一元二次方程应用——几何动点 【解惑】如图，、、、为矩形的个顶点，，，动点从点出发，沿方向运动，动点同时从点出发，沿方向运动，如果点、的运动速度均为，经过多长时间、两点之间的距离是？ 【融会贯通】 1．如图，在四边形中，，，，，，点P从点A出发沿边以的速度向点B移动；同时，点Q从点C出发沿边以的速度向点D移动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为． (1) ， （用含x的代数式表示）； (2)当P、Q两点间的距离是时，求x的值； (3)填空：①当 时，四边形是菱形； ②当 时，四边形是矩形． 2．如图所示，中，． (1)点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，点P和点Q间的距离是？ (2)点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由； (3)若P点沿射线方向从A点出发以的速度移动，点Q沿射线方向从C点出发以的速度移动，P，Q同时出发，问几秒后，的面积为？ 3．阅读理解： 材料1：对于一个关于x的二次三项式（a≠0），除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，爱思考的小川同学还想到了其他的方法：比如先令（a≠0），然后移项可得：，再利用一元二次方程根的判别式来确定y的取值范围，请仔细阅读下面的例子： 例：求的取值范围； 解：令 ∴ ∴Δ＝4﹣4×(5﹣y)≥0 ∴y≥4 ∴． 材料2：在学习完一元二次方程的解法后，爱思考的小川同学又想到仿造一元二次方程的解法来解决一元二次不等式的解集问题，他的具体做法如下： 若关于x的一元二次方程（a＞0）有两个不相等的实数根 则关于x的一元二次不等式（a＞0）的解集为：或 则关于x的一元二次不等式（a＞0）的解集为： 请根据上述材料，解答下列问题： (1)若关于x的二次三项式（a为常数）的最小值为﹣6，求a的值； (2)求出代数式的取值范围； 类型七、阅读理解 【解惑】阅读理解：对于这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式． 理解运用：如果，那么， 即有或， 因此，方程和的所有解就是方程的解． 解决问题：解方程． 【融会贯通】 1．阅读理解：回顾我们学过的各类方程的解法，不难发现：各类方程的解法虽各不相同，但是它们的一个共同的基本数学思想——转化，即化未知为已知． 用转化的数学思想，我们可以解一些新的方程．例如：一元三次方程,可以通过因式分解把它转化为，解一元一次方程和一元二次方程，可得，，； 操作尝试：解一元三次方程． 2．阅读理解： 转化思想是常用的数学思想之一．在研究新问题或复杂问题时，常常把问题转化为熟悉的或比较简单的问题来解决．如解一元二次方程是转化成一元一次方程来解决的；解分式方程是转化为整式方程来解决的．由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验． 利用转化思想，我们还可以解一些新的方程，如无理方程（根号下含有未知数的方程）．解无理方程关键是要去掉根号，可以将方程适当变形后两边同时平方，将其转化为整式方程．由于“去根号”可能产生增根，所以解无理方程也必须检验． 例如：解方程 解：两边平方得： 解得：， 经检验，是原方程的根， 代入原方程中不合理，是原方程的增根． ∴原方程的根是． 解决问题： （1）填空：已知关于x的方程有一个根是，那么a的值为 ； （2）求满足的x的值； （3）代数式的值能否等于8 ? 若能，求出的值；若不能，请说明理由． 3．如图，分别是轴上关于轴对称的点，点坐标，连接，，． (1)如图1，求点坐标． (2)如图2，点是线段上一点（点不与点、点重合），设点的横坐标为，的面积为，求与之间的函数关系式．（不要求写出自变量的取值范围） (3)如图3，在（2）的条件下，直线经过点，点在线段上，点在直线上，连接，过点作轴垂线，连接，当四边形和四边形均为矩形时，求的面积． 类型八、一元二次方程与图形几何结合 【解惑】在如图所示的平面直角坐标系中，正方形边长为，点的坐标为． (1)如图1，动点在边上，将沿直线折叠，点落在点处，连接并延长，交于点． ①当时，点的坐标是 ； ②若点是线段的中点，求此时点与点的坐标； (2)如图2，动点，分别在边，上，将四边形沿直线折叠，使点的对应点始终落在边上（点不与点，重合），点落在点处，交于点．设，四边形的面积为，直接写出与的关系式． 【融会贯通】 1．已知，点P是边长为4的正方形对角线上的一动点，于E，于F，连结、、、，记、、的面积分别为、、，令，． (1)求证：； (2)若， 则的值是______． (3)①求（用x的代数式表示） ②若，求x的值 ③是否存在实数k，使的值与P点在上的位置无关．若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由； 2．在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，，且．点从点出发沿运动，点从点出发沿运动，点从点出发沿运动． (1)如图1，将沿折叠，点恰好落在点处，则点的坐标为 ，点的坐标为 ； (2)如图2，若，两点以相同的速度同时出发运动，使，求的值； (3)如图3，已知点为的中点，若，两点以相同的速度同时出发运动，连接，作于，直接写出的最大值． 3．若关于的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程”，的两根均为整数，其“快乐数”，若有另一个“快乐方程”的“快乐数”，且满足，则称与互为“开心数”． (1)“快乐方程”的“快乐数”为________； (2)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“快乐方程”，求的值，并求该方程的“快乐数”； (3)若关于的一元二次方程与（、均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求的值． 【一览众山小】 1．已知等腰的底边长为5，其余两边长恰好是关于的方程的两个根，则的值是（　　） A．2 B．2或10 C．4 D．4或10 2．如图①，在矩形中（），动点从点出发，沿匀速运动，运动到点处停止．设点的运动路程为，的周长为，与的函数图象如图②所示，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．若是关于的方程的根，则的值为（    ） A． B．15 C． D．16 4．如图，在平面直角坐标系中，点点B在x轴正半轴上，且，则的长是 ．    5．如图，中，，，，点从点出发向终点以1个单位长度移动，点从点出发向终点A以2个单位长度移动，、两点同时出发，一点先到达终点时、两点同时停止，则 秒后，的面积等于4． 6．（1）当__________时，多项式的最小值为__________． （2）当__________时，多项式的最大值为__________． （3）当、为何值时，多项式取最小值？并求出这个最小值． 7．已知是等腰直角三角形，．    (1)当时， ①如图①，将直角的顶点D放至的中点处，与两条直角边分别交于点E、F，请说明为等腰直角三角形； ②如图②，将直角顶点D放至边的某处，与另两边的交点分别为点E、F，若为等腰直角三角形且面积为4，求的长． (2)若等腰直角三个顶点分别在等腰直角的三边上，等腰直角的直角边长为1时，求等腰直角的直角边长的最大值． 8．阅读材料后解答问题∶ 材料1：已知一元二次方程的两个实数根分别为m， n，求的值． 解： ∵一元二次方程的两个实数根分别为m， n，    ∴，， 则． 材料2：已知实数a、b满足，，且，求的值． 解：依题意得：a与b为方程的两根， ∴，，∴ 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题∶ (1)材料理解：一元二次方程的两个根为和，则 ， ． (2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值． (3)思维拓展：已知实数s、t满足，，且，求的值． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01一元二次方程思维导图 【类型覆盖】 类型一、配方法的应用 【解惑】学习了公式法后，老师向同学们提出了如下问题： ①将多项式因式分解： ① ②求多项式的最小值． ②由①，得，因为，所以．所以，当时，的值最小，且最小值为． 请你运用上述方法解决下列问题： (1)将多项式因式分解； (2)求多项式的最小值： 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用公式法因式分解、平方的非负性， （1）利用公式法先把多项式变形成完全平方公式进行因式分解，再利用平方差公式进行因式分解即可求解； （2）先利用题目中的方法进行因式分解可得，再根据平方的非负性求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， ， ∴多项式的最小值． 【融会贯通】 1．配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来解决一些最值问题．例如：，所以的最小值为，此时． (1)尝试：，因此当 时，代数式有最小值，最小值是 ； ，所以当 时，代数式有最 （填“大”或“小”）值． (2)应用：如图，矩形花圃一面靠墙（墙足够长）另外三面所围成的栅栏的总长是，栅栏如何围能使花圃面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)；，大； (2)当为米，为米时，面积最大为平方米． 【分析】（）根据配方后的结果即可求解；根据配方后的结果即可求解； （）设垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为，列式表示出矩形的面积，再利用配方法解答即可求解； 本题考查了利用配方法求代数式的最值，掌握配方法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，代数式有最小值，最小值为， 故答案为：，； ∵， ∴当时，代数式有最大值， 故答案为：，大； （2）解：设垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为， 根据题意得，， 当时，有最大值，最大值为， ∴围成的矩形花圃垂直于墙的栅栏长时，能使花圃面积最大，最大面积是． 2．求最值问题有多种方法，既有代数法也有几何法． 例如：若代数式，利用配方法求M的最小值：，，当时，代数式M有最小值为2．再比如：正数a，b满足，用几何法求的最小值．如图，为线段DC的长度，为线段CE的长度，当的值最小时，D、C、E三点共线，所以最小值为． 请根据上述材料解决下列问题： (1)若代数式，求M的最小值； (2)已知正数x，y满足，求的最小值． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，两点之间线段最短的知识，掌握勾股定理的运算，最短路径的运用，合理作出图形是解题的关键． （1）运用配方法解题即可； （2）运用材料提示，构造图形，运用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：， ， 当，时，M有最小值为3； （2）如图，为线段DC的长度，为线段CE的长度 当的值最小时，D、C、E三点共线， 所以最小值． 3．读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值． 解：设，则原方程变为，整理得，， ∴，∵，∴， 上面这种方法称为“换元法”，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． (1)设，满足等式，求的值； (2)若四个连续正整数的积为，求这四个连续正整数． 【答案】(1)； (2)，，，． 【分析】（）由已知等式设，得出，结合可得答案； （）根据题意设最小数为，列出关系式，进而利用换元法即可求解； 本题考查了解一元二次方程，解题的关键掌握知识点的应用及换元思想． 【详解】（1）设，则， ∴， 解得：或， ∵， ∴， ∴， （2）设最小正整数为，则， 即：， 设，则，解得：，， ∵为正整数， ∴，解得，（舍去）， ∴这四个连续正整数为，，，． 类型二、换元法的应用 【解惑】阅读理解 【学习新知】我们已经学习了一元二次方程的多种解法，其基本思路是将二次方程通过“降次”转化为一次方程求解．按照同样的思路，我们可以将更高次的方程“降次”，转化为二次方程或一次方程进行求解． ①因式分解法求解特殊的三次方程： 将变形为， ． ． ． ． 或． 原方程有三个根：，，． ②换元法求解特殊的四次方程： 设，那么，于是原方程可变为，解得，， 当，时，； 当，时，； 原方程有四个根：，，，． 【应用新知】 （1）仿照以上方法，按照要求解方程： ①（因式分解法）； ②（换元法）； 【拓展延伸】 （2）已知：，且，请综合运用以上方法，通过“降次”求的值． 【答案】（1）①，，；②，；（2） 【分析】本题考查了解高次方程，理解题意，正确进行计算是解此题的关键． （1）①仿照题中所给方法，利用因式分解法解方程即可；②仿照题中所给方法，利用换元法解方程即可； （2）根据题意对所给代数式进行“降次”，再用整体思想即可解决问题． 【详解】（1）①将变形为， ∴， ∴， ∴， . 或. 解方程得. 解方程得，， ∴原方程的根为：，，； ②， 设，则，方程变形为， ∴， 解得：， 当，时，无实根，舍去， 当，时，解得或； ∴原方程有两个根：，； （2）解：方程的解为：， 由于， ∴， ， ，， ， 当时， 原式 ． 【融会贯通】 1．阅读下列材料：为解方程可将方程变形为然后设，则，原方程化为①，解①得．当时，无意义，舍去；当时，，解得原方程的解为； 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题． (1)利用换元法解方程时，新字母设为，则___________，原方程化为___________，解得___________． (2)求方程的解． 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题考查了换元法解方程，正确换元是解题的关键； （1）根据题意，可设，于是原方程变形为，利用因式分解法求解即可． （2）根据，转化为方程，，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意，可设，于是原方程变形为， 解得， 故答案为：，；． （2）解：根据题意，得，方程转化为，， 故， 解得； 当时，此时，方程无解， 故原方程的解为． 2．解方程时，我们可以将视为一个整体，设，则，原方程化为，解此方程，得，， 当时，，，∴； 当时，，，∴． ∴原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 运用上述方法解答下列问题： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根的判别式等知识，利用换元法解一元二次方程是解题关键． （1）先把要求的式子变形为，再进行因式分解，求出符合条件的的值，从而得出的值； （2）根据已知条件设求出的值，即可获得答案． 【详解】（1）解：， 设，则原方程化为， ∴， ∴或（舍去）， 即， ∴，； （2）解：， 设，则原方程化为， ∴， ∴或， 当时，可有，解得，， 当时，可有， ∵， ∴该方程无解， ∴原方程的解为，． 3．阅读材料： 材料1：一元二次方程（，）的两根，有如下的关系（韦达定理）：， 材料2：有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决.下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造.例如，如果实数、满足、，且，则可将、看作是方程的两个不相等的实数根. 方法2：利用韦达定理逆向构造.例如，如果实数、满足、，则可以将、看作是方程的两实数根. 根据上述材料解决下面问题： (1)已知实数、满足、，求的值. (2)已知实数、、满足、，且，求的最大值. 【答案】(1) 或 2； (2)1； 【分析】（1）当 时，、 是方程 的两根，利用根与系数的关系可求得 和 的值， 然后利用整体代入的方法计算原式的值；当 时，易得原式 ； （2）将 、 看作是方程 的两实数根，利用判别式的意义得到，所以，解得 ，从而得到 的最大值； 【详解】（1）解：当 时， ∵实数 、 满足 ，， ∴、 可看作方程 的两根， 原式， 当 ， 则原式 ； 综上所述，原式的值为 或 2 ； （2）∵， ∴将 、 看作是方程得两实数根； 而 即 c的最大值为1． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若 是一元二次方程的两根时，，也考查了判别式的意义 类型三、根与系数关系的对称式 【解惑】如果方程x2＋px＋q＝0的两个根是x1、x2，那么x1＋x2＝－p，x1·x2＝q.请根据以上结论，解决下列问题： （1）已知关于x的方程x2＋mx＋n＝0 (n≠0)，求出一个一元二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的倒数； （2）已知a、b满足a2－15a－5＝0，b2－15b－5＝0，求的值； （3）已知a、b、c均为实数，且a＋b＋c＝0，abc＝16，求正数c的最小值． 【答案】（1）nx2＋mx＋1＝0；（2）－47或2；（3）c的最小值为4． 【分析】(1) 设x2＋mx＋n＝0 (n≠0)的两根为x1、x2，根据根与系数的关系可得x1＋x2＝－m，x1·x2＝n，将以上两式变形可得 和，即可求出答案．(2)根据a、b满足a2－15a－5=0，b2－15b－5=0，得出a，b是x2－15x－5=0的解，求出a+b和ab的值，即可求结果；(3)根据a+b+c=0，abc=16，得出a+b=-c，ab=，a、b是方程x2+cx+ =0的解，再根据c2-4×≥0，即可求出c的最小值． 【详解】解：(1)设x2＋mx＋n＝0 (n≠0)的两根为x1、x2.∴x1＋x2＝－m，x1·x2＝n ∴＝＝－，＝ ∴所求一元二次方程为x2＋x＋＝0，即nx2＋mx＋1＝0； (2)①当a≠b时，由题意知a、b是一元二次方程x2－15x－5＝0的两根， ∴a＋b＝15，ab＝－5 ∴＋＝＝＝＝－47 ②当a＝b时，＋＝1＋1＝2 综上，＋＝－47或2； (3)∵a＋b＋c＝0，abc＝16，∴a＋b＝－c，ab＝ ∴a、b是方程x2＋cx＋＝0的两根， ∴Δ＝c2－≥0 ∵c＞0，∴c3≥64，∴c≥4， ∴c的最小值为4． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．本题的运算过程有点复杂，难度也较大，灵活运用根与系数的关系是解答本题的关键． 【融会贯通】 1．阅读材料： 材料1：若关于x的一元二次方程的两个根为，则，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为m，n， ∴，，则 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，则___________； (2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值． (3)思维拓展：已知实数s、t满足，，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系，以及利用根与系数关系求代数式的值，根据代数式的结构特征恒等变形为已知代数式的形式是解决问题的关键． （1）根据材料1中，一元二次方程根与系数关系即可得到，，然后代入求解即可得到答案； （2）根据材料1及材料2，由一元二次方程根与系数关系，得到，，将化为，将，代入求值即可得到答案； （3）根据题意，确定与看作是方程的两个实数根，由一元二次方程根与系数关系，得到，，先求出的值，再由变形得到，将，代入求值即可得到答案． 【详解】（1）解：一元二次方程的两个根为， ，， ∴， 故答案为：； （2）解：一元二次方程的两根分别为、， ，， ， ， ， ， ； （3）解：实数、满足，， 与看作是方程的两个实数根， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 2．阅读材料，根据上述材料解决以下问题： 材料1：若一元二次方程的两个根为，则，． 材料2：已知实数m，n满足，，且，则m，n是方程两个不相等的实数根． (1)材料理解：一元二次方程两个根为，则______，______． (2)应用探究：已知实数m，n满足，，且，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟记根与系数的关系，并灵活应用是解本题的关键． （1）直接根据根与系数的关系可得答案； （2）由题意可得m，n是的两个根，则，，再把分解因式，再代入求值即可； 【详解】（1）解：∵一元二次方程两个根为， 则，． （2）解：∵实数m，n满足，，且， ∴m，n是方程两个不相等的实数根． ∴，， ∴； 3．【观察思考】 【规律发现】 第1个图案中有“★”的个数为：（个）； 第2个图案中有“★”的个数为：（个）； 第3个图案中有“★”的个数为：（个）； 第4个图案中有“★”的个数为：（个）； 第5个图案中有“★”的个数为 个；（填最简结果） 第个图案中有“★”的个数为 个．（用含的式子填空） 【规律应用】第个图案中有“★”有227个，求的值． 【答案】规律发现：38，；规律应用：14 【分析】本题考查了图形类规律，解一元二次方程． 规律发现：根据前几个图案的规律，可得规律：每个式子的第一个数为；底个个数字为，第三个式数字为2，即第个图案中有“★”的个数为个．据此即可求解． 规律应用：根据规律，列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】解：规律发现：第1个图案中有“★”的个数为：（个）； 第2个图案中有“★”的个数为：（个）； 第3个图案中有“★”的个数为：（个）； 第4个图案中有“★”的个数为：（个）； ； 第5个图案中有“★”的个数为（个）；, 第个图案中有“★”的个数为个． 规律应用：根据题意：，即， ，即， （负值舍去）． 类型四、一元二次方程中的规律 【解惑】将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察． (1)第n个图有 个小圆；（用含n的代数式表示） (2)是否存在某个图，其小圆的个数恰好为个？如果存在，指出是第几个图；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)第个图中小圆的个数恰好为个 【分析】本题考查了图形规律的探究和一元二次方程的解法．（1）第1个图形中小圆的个数为；第2个图形中小圆的个数为；第3个图形中小圆的个数为；…；则知第个图形中小圆的个数为．（2）假设存在第个图的小圆个数为，列方程为，再解方程即可． 【详解】（1）解：由题意可知第1个图形有小圆个； 第2个图形有小圆个； 第3个图形有小圆个； 第4个图形有小圆个； 第个图形有小圆个， 故答案为：． （2）解：设第个图中小圆的个数恰好为个，根据题意得 ，（不符题意，舍去） 答：第个图中小圆的个数恰好为个． 【融会贯通】 1．下图被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”，其规律是：从第3行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．图中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，……，我们把第1个数记为，第2个数记为，第3个数记为．，第个数记为． (1)根据这列数的规律，______，______； (2)这列数中有66这个数吗？如果有，求；如果没有，请说明理由． 【答案】(1)； (2)有66这个数，是第11个数． 【分析】本题主要考查找规律和解一元二次方程： （1）根据题目中的数据，可以写出前几项，从而可以数字的变化特点，然后即可得到的值； （2）当时，得一元二次方程，求解方程即可． 【详解】（1）解：由题意可得，， ， ， ， ， …， ∴， ∴当时，， 故答案为：36；． （2）解：当时，即：， 整理得， 解得，（舍去） 所以，这列数中有66这个数，此时． 2．【阅读材料】 一般地，我们把按一定顺序排列的一列数称为数列．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，它通常用字母d表示，我们可以用公式来计算等差数列的和，公式中的n表示数的个数，a表示第一个数的值． 例如：3，5，7，9，11，13，15，17，19，21． 就是一个等差数列，公差，，， 所以． 用上面的知识解决下列问题 【完成任务】 （1）等差数列：1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，34，37，40，43．则_____，_____，_____； 【能力提升】 （2）有一等差数列的和为450，用式子表示为：，求这个数列中数的个数n； 【延伸拓展】 （3）某县决定对坡荒地进行退耕还林．从2011年起在坡荒地上植树造林，以后每年植树后坡荒地的实际面积按一定规律减少，下表为2011、2012、2013、2014四年的坡荒地面积的统计数据．问到哪一年，可以将全县所有坡荒地全部种上树木． 2011年 2012年 2013年 2014年 植树后坡荒地的实际面积(公顷) 25200 24000 22400 20400 【答案】（1）1，3，330；（2）；（3）到2020年可以将全县所有的坡荒地全部种上树木 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，以及计算等差数列的和公式，解题的关键是熟练掌握题意，正确找出等量关系，列出方程进行解题． （1）根据题意，找出a、d、n，再由公式来计算等差数列的和，即可得到答案； （2）根据题意，找出a、d、并设出n，再由公式来列方程求解即可得到答案； （3）根据题意，设再过x年可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：（1）由题意，得：第一个数字是1，公差为3，共用15个数字， 即，，，， ∵， ∴， 故答案为：1；3；330； （2）由题意，得：第一个数字是2，公差为4， 即，， 设共用n个数字， ∵， ∴； 解得：，即； （2）解：由表可知，第一年种了：(公顷)， 第二年种了：(公顷)， 第三年种了：(公顷)， ∴公差为(公顷)， 设再过x年可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．根据题意，得 ， 整理得：， ∴或(负值舍去)． ∴完成年份为：； 答：到年，可以将全县所有的坡荒地全部种上树木． 3．定义：在直角梯形中，如果有两条邻边相等，那么称这个梯形为邻等梯形，相等两邻边的夹角称为邻等角．    (1)如图，在梯形中，，，对角线平分．请判断梯形是否为邻等梯形并说明相应理由． (2)如图2，在的方格纸中，，，三点均在格点上，若四边形是邻等梯形，请在答题卷的网格图中画出三个不同的格点，并用标明． (3)如图，四边形是邻等梯形，，为邻等角，连结，过点作，交的延长线于点若，，求四边形的周长． 【答案】(1)梯形为邻等梯形，理由见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】（1）先证明，，再证明，即可得到结论； （2）根据新定义分两种情况进行讨论即可；①，结合图形再确定满足或的格点；②，结合图形再确定满足的格点； （3）如图，过作于，可得四边形是矩形，，，证明四边形为平行四边形，可得，，设，而，，，由新定义可得，由勾股定理可得：，再解方程可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵对角线平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为邻等四边形． （2）解：，，即为所求；    （3）解：如图，过作于，        ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，， 设，而， ∴，， 由新定义可得， 由勾股定理可得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意舍去）， ∴， ∴四边形的周长为． 【点睛】本题考查的是新定义的含义，平行线的性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，理解题意，作出合适的辅助线是解本题的关键． 类型五、一元二次方程中的新定义 【解惑】定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，，因为，，所以一元二次方程为“限根方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断一元二次方程是否为“限根方程”，并说明理由； (2)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且方程的两根、满足，求k的值． 【答案】(1)此方程为“限根方程”，理由见解析 (2)2 【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式． （1）解该一元二次方程，得出，，再根据“限根方程”的定义判断即可； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得出，，代入，即可求出，，再结合“限根方程”的定义分类讨论舍去不合题意的值即可. 【详解】（1）解：此方程为“限根方程”，理由如下： ， 解得：，， ∵， ∴方程为“限根方程”； （2）由根与系数的关系，得，， ∵， ∴, ∴或； 当时，，， ∴, ∴符合题意； 当时，， ∴, ∴（不符合题意，舍去）， ∴k的值为2. 【融会贯通】 1．【阅读理解】 【定义】如果关于的方程（是常数）与（是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足，，则这两个方程互为“对称方程”． 【举例】求方程的“对称方程”，这样思考：由方程可知，，，根据，求出就能确定这个方程的“对称方程”． 请用以上方法解决下面问题： (1)写出方程的“对称方程”是______； (2)若关于的方程与互为“对称方程”，求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式、求代数式的值、“对称方程”的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的一般形式以及理解“对称方程”的定义． （1）根据“对称方程”的定义解答即可； （2）根据“对称方程”的定义可得，求出的值，代入计算即可． 【详解】（1）解：，， 方程的“对称方程”是， 故答案为：； （2）解：由，移项可得：， 方程与为对称方程， ， 解得：， ． 2．定义：若关于x的一元二次方程中的常数项是该方程的一个根，则该一元二次方程就叫做常数根一元二次方程． (1)已知关于x的方程是常数根一元二次方程，则c的值为_____________； (2)如果关于x的方程是常数根一元二次方程，则m的值； (3)若关于x的常数根一元二次方程中不含零根，求证：关于y的方程是常数根一元二次方程． 【答案】(1)0或 (2)或 (3)见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程以及新定义，解题的关键是利用常数根一元二次方程的定义，得出关于c或m的方程． （1）根据常数根一元二次方程的定义，把代入方程，解关于c的方程即可； （2）根据常数根一元二次方程的定义，把代入方程，解关于m的方程即可； （3）根据常数根一元二次方程的定义，把代入方程，得到，因此是关于y的方程的一个根，从而得证结论． 【详解】（1）解：∵关于x的方程是常数根一元二次方程， ∴方程的一个根为， 代入方程得，， 解得或； 故答案为：0或 （2）解：∵关于x的方程是常数根一元二次方程， ∴方程的一个根为， 代入方程得，， 整理得，， 解得或． （3）解：∵关于x的常数根一元二次方程中不含零根， ∴方程的一个根为，且， 代入方程，得，即， ∵， ∴， ∴把代入方程，得左边右边， ∴是关于y的方程的一个根， ∴关于y的方程是常数根一元二次方程． 3．如图，在中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为． (1)填空：_____，_____；（用含t的代数式表示） (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)，； (3)当时，四边形的面积等于． 【分析】本题考查了行程问题的运用，一元二次方程的解法，勾股定理的运用，三角形面积公式的运用，再解答时要注意所求的解使实际问题有意义． （1）根据路程速度时间就可以表示出，．再用就可以求出的值； （2）在中由（1）结论根据勾股定理就可以求出其值； （3）利用（1）的结论，根据三角形的面积公式建立方程就可以求出的值． 【详解】（1）解：由题意，得，． 故答案为：，； （2）解：在中，由勾股定理，得， 解得：，； （3）解：由题意，得， 解得：，（不符合题意，舍去）， 当时，的面积等于． 四边形的面积． 答：当时，四边形的面积等于． 类型六、一元二次方程应用——几何动点 【解惑】如图，、、、为矩形的个顶点，，，动点从点出发，沿方向运动，动点同时从点出发，沿方向运动，如果点、的运动速度均为，经过多长时间、两点之间的距离是？ 【答案】秒或秒 【分析】可设运动秒时，它们相距，根据题意表示出，的长，再根据勾股定理列出方程求解即可． 本题主要考查了勾股定理与一元二次方程，根据勾股定理列出关于的方程及正确求得方程的解是解决本题的关键． 【详解】解：设运动秒时，它们相距，则，，依题意有 ， 解得，． 故运动秒或秒时，它们相距． 【融会贯通】 1．如图，在四边形中，，，，，，点P从点A出发沿边以的速度向点B移动；同时，点Q从点C出发沿边以的速度向点D移动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为． (1) ， （用含x的代数式表示）； (2)当P、Q两点间的距离是时，求x的值； (3)填空：①当 时，四边形是菱形； ②当 时，四边形是矩形． 【答案】(1)，x (2)1 (3)①2；② 【分析】（）根据题意即可求解； （）过点作于，过点作的延长线于，可得四边形和四边形是矩形，得，，，可得，利用勾股定理得，在中，由勾股定理得，解方程得或，又根据，得，即可求解； （）由菱形的性质得，即，解方程即可求解； 由矩形的性质得，即，解方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得，，， ∴， 故答案为：，； （2）解：过点作于，过点作的延长线于，则， ∵，， ∴， ∴，， ∴四边形和四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得或， ∵， ∴， ∴不合，舍去， ∴； （3）解：要使四边形是菱形，则， 即， ∴， 故答案为：； 要使四边形是矩形，则， 即， ∴ 故答案为：，． 【点睛】本题考查了一元一次方程的几何应用，矩形的判定和性质，平行线的性质，解一元二次方程，勾股定理，不等式组的应用，菱形的性质，掌握矩形和菱形的性质是解题的关键． 2．如图所示，中，． (1)点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，点P和点Q间的距离是？ (2)点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由； (3)若P点沿射线方向从A点出发以的速度移动，点Q沿射线方向从C点出发以的速度移动，P，Q同时出发，问几秒后，的面积为？ 【答案】(1)2.4秒 (2)不能，理由见解析 (3)经过秒或5秒或秒后，的面积为 【分析】（1）设经过x秒，点P和点Q间的距离是，列出方程求解即可； （2）设经过y秒，线段能将分成面积相等的两部分，根据面积之间的等量关系和判别式即可求解； （3）分三种情况：①点P在线段上，点Q在线段上；②点P在线段上，点Q在射线上；③点P在射线上，点Q在射线上；进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：设经过x秒，点P和点Q间的距离是，依题意有 ， 解得：， 经检验，符合题意． 故经过2.4秒点P和点Q间的距离是； （2）解：设经过y秒，线段能将分成面积相等的两部分，依题意有 的面积， ， 即， ∵， ∴此方程无实数根， ∴线段不能将分成面积相等的两部分； （3）解：①设经过m秒，点P在线段上，点Q在线段上， 依题意有 ， 即， 解得， ， 经检验， 不符合题意，舍去， ∴； ②设经过n秒，点P在线段上，点Q在射线上；依题意有 ， 即， 解得， 经检验，符合题意． ③设经过k秒，点P在射线上，点Q在射线上， 依题意有 ， 即， 解得， ， 经检验， 不符合题意，舍去， ∴； 综上所述，经过）秒或5秒或秒后，的面积为． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．注意分类思想的运用． 3．阅读理解： 材料1：对于一个关于x的二次三项式（a≠0），除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，爱思考的小川同学还想到了其他的方法：比如先令（a≠0），然后移项可得：，再利用一元二次方程根的判别式来确定y的取值范围，请仔细阅读下面的例子： 例：求的取值范围； 解：令 ∴ ∴Δ＝4﹣4×(5﹣y)≥0 ∴y≥4 ∴． 材料2：在学习完一元二次方程的解法后，爱思考的小川同学又想到仿造一元二次方程的解法来解决一元二次不等式的解集问题，他的具体做法如下： 若关于x的一元二次方程（a＞0）有两个不相等的实数根 则关于x的一元二次不等式（a＞0）的解集为：或 则关于x的一元二次不等式（a＞0）的解集为： 请根据上述材料，解答下列问题： (1)若关于x的二次三项式（a为常数）的最小值为﹣6，求a的值； (2)求出代数式的取值范围； 【答案】(1)a＝6或a＝﹣6 (2)或≥﹣2 【分析】（1）仿照例题，设，变形为，根据，列出不等式，根据最小值为﹣6，即可求解； （2）仿照例题，设y＝，变形为，根据，得，解法方程，得，根据材料二即可求解． 【详解】（1）解：设，变形为， ∵， ∴可得， 而由已知y≥﹣6， 故3﹣＝﹣6， ∴a＝6或a＝﹣6． （2）设y＝，变形为， ∵， ∴，化简得， 解得：， ∴根据材料二，， ∴y或y≥﹣2． 【点睛】本题考查了利用一元二次方程根的判别式来确定代数式的取值范围，仿造一元二次方程的解法来解决一元二次不等式的解集问题，掌握一元二次方程根的判别式与解一元二次方程是解题的关键． 类型七、阅读理解 【解惑】阅读理解：对于这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式． 理解运用：如果，那么， 即有或， 因此，方程和的所有解就是方程的解． 解决问题：解方程． 【答案】或 【分析】利用因式分解把原方程化为，从而得到或，再分别求出两个方程，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 则，即， 或， 解得或 【点睛】本题考查了解一元二次方程：理解阅读材料，把原方程转化成二次方程或一次方程是解题的关键． 【融会贯通】 1．阅读理解：回顾我们学过的各类方程的解法，不难发现：各类方程的解法虽各不相同，但是它们的一个共同的基本数学思想——转化，即化未知为已知． 用转化的数学思想，我们可以解一些新的方程．例如：一元三次方程,可以通过因式分解把它转化为，解一元一次方程和一元二次方程，可得，，； 操作尝试：解一元三次方程． 【答案】，， 【分析】先通过因式分解把方程化为两个二次方程，然后再利用公式法求解二次方程． 【详解】解：， ∴． ∴或． 当时，； 当时，． ∴，． 【点睛】本题考查了一元二次方程、高次方程的解法，看懂题例掌握一元二次方程的解法是解决本题的关键． 2．阅读理解： 转化思想是常用的数学思想之一．在研究新问题或复杂问题时，常常把问题转化为熟悉的或比较简单的问题来解决．如解一元二次方程是转化成一元一次方程来解决的；解分式方程是转化为整式方程来解决的．由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验． 利用转化思想，我们还可以解一些新的方程，如无理方程（根号下含有未知数的方程）．解无理方程关键是要去掉根号，可以将方程适当变形后两边同时平方，将其转化为整式方程．由于“去根号”可能产生增根，所以解无理方程也必须检验． 例如：解方程 解：两边平方得： 解得：， 经检验，是原方程的根， 代入原方程中不合理，是原方程的增根． ∴原方程的根是． 解决问题： （1）填空：已知关于x的方程有一个根是，那么a的值为 ； （2）求满足的x的值； （3）代数式的值能否等于8 ? 若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1）2；（2）3；（3）不能，理由见解析 【分析】（1）根据方程解的定义把x=1代入方程，解关于a的无理方程即可； （2）类比提供的例题解方程，并检验即可求解； （3）将原方程变形为，两边平方，整理，再平方，得到此方程无解，得出结论即可． 【详解】解：（1）把x=1代入方程得， 两边平方得 3-a=1， 解得a=2， 经检验，a=2是方程的解， 故答案为：a=2； （2） 两边平方得： 解得：， 经检验，x2=-2代入原方程中不合理，是原方程的增根，x1=3是原方程的根 ∴原方程的根是x=3； （3）不能． ， 原方程变形得， 两边平方得 整理得， 两边平方得， 此方程无解， ∴代数式的值不等于8． 【点睛】本题考查了学生的学习能力，能理解文本和提供的例题并结合所学知识灵活运用是解题的关键． 3．如图，分别是轴上关于轴对称的点，点坐标，连接，，． (1)如图1，求点坐标． (2)如图2，点是线段上一点（点不与点、点重合），设点的横坐标为，的面积为，求与之间的函数关系式．（不要求写出自变量的取值范围） (3)如图3，在（2）的条件下，直线经过点，点在线段上，点在直线上，连接，过点作轴垂线，连接，当四边形和四边形均为矩形时，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据，求出，结合点在轴负半轴，即可得出答案； （2）由题意得出，从而得出，待定系数法求出直线直线的解析式为，从而得出，再根据计算即可得出答案； （3）由四边形为矩形，得出，，待定系数法求出直线的解析式为：，设，，由四边形是矩形，求出，，得到，再利用勾股定理求出的值即可得解． 【详解】（1）解：由题意得：， ∵点坐标， ∴， 解得：， ∵点在轴负半轴， ∴点坐标为； （2）解：∵分别是轴上关于轴对称的点， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入直线解析式为， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点是线段上一点，设点的横坐标为， ∴， ∴； （3）解：∵四边形为矩形， ∴，， 设直线的解析式为：， 将代入解析式得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵过点作轴垂线， ∴点的纵坐标为， 设，， ∵四边形是矩形， ∴， 解得：，， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得：或， ∵点不与点、点重合， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了坐标与图形、一次函数的应用、矩形的性质、勾股定理、三角形面积公式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 类型八、一元二次方程与图形几何结合 【解惑】在如图所示的平面直角坐标系中，正方形边长为，点的坐标为． (1)如图1，动点在边上，将沿直线折叠，点落在点处，连接并延长，交于点． ①当时，点的坐标是 ； ②若点是线段的中点，求此时点与点的坐标； (2)如图2，动点，分别在边，上，将四边形沿直线折叠，使点的对应点始终落在边上（点不与点，重合），点落在点处，交于点．设，四边形的面积为，直接写出与的关系式． 【答案】(1)①；点D的坐标为，点的坐标为 (2) 【分析】（1）①由折叠的性质可得，结合可得；②连接，先证，推出，设点的坐标为，用勾股定理解可得点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，设出点的坐标，结合，利用两点间距离公式列方程，即可求解； （2）连接，，，设，用勾股定理解求出与的关系，进而用含的代数式表示出；设，用勾股定理解，，用含，的式子分别表示出，，由折叠可知垂直平分，推出，进而可得与的关系，用含的代数式表示出，最后根据即可求解． 【详解】（1）解：①正方形边长为，点的坐标为， ， 由折叠的性质可得， 又， ， ， 点的坐标是， 故答案为：； 如图，连接， 点是线段的中点， ， 由折叠的性质可得，， 又， ， 在和中，， ， ， 设点的坐标为，则， ， ， 在中，， ， 解得， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 将和代入，得， 解得， 直线的解析式为， 设点的坐标为， ，， ， 解得或（舍去）， 点的坐标为； （2）解：如图，连接，，， 设，则． 设，则， 在中，， ， 解得， ； 设，则， 在中，， 在中，， 由折叠可知垂直平分， ， ，即， 解得， ； ， 即． 【点睛】本题考查坐标与图形，正方形折叠问题，垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，求一次函数解析式，勾股定理等，第二问有一定难度，根据折叠得出垂直平分，进而得出是解题的关键． 【融会贯通】 1．已知，点P是边长为4的正方形对角线上的一动点，于E，于F，连结、、、，记、、的面积分别为、、，令，． (1)求证：； (2)若， 则的值是______． (3)①求（用x的代数式表示） ②若，求x的值 ③是否存在实数k，使的值与P点在上的位置无关．若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由； 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)①；②，，③ 【分析】（1）如图，连接，证明，可得，证明四边形为矩形，可得，从而可得结论； （2）证明四边形是矩形，可得，，，，可得，，，再结合三角形的面积公式可得答案； （3）①证明四边形是矩形，得到，，继而得到，，根据等边对等角得到，，再根据三角形的面积即可得解；②利用①的结论建立方程求解即可；③求出，再进一步即可得解 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴，，， 而， ∴， ∴， ∵于E，于F， ∴四边形为矩形， ∴， ∴； （2）解：∵点是边长为的正方形的对角线上的一点，且， ，，，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，，，， ∴，，， ∴； （3）解：①∵点是边长为的正方形的对角线上的一点，且， ，，，，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，，，， ∴，， ∵，，的面积分别为，，， ∴，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， 解得：，； ③∵四边形是矩形，，， ∴， ∴ ， ∵的值与点在上的位置无关，即与值无关， ∴， 解得：， ∴当时，的值为，与点在上的位置无关 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，等角对等边，一元二次方程的解法等知识点．掌握矩形的判定和性质，熟练的利用方程思想是解题的关键． 2．在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，，且．点从点出发沿运动，点从点出发沿运动，点从点出发沿运动． (1)如图1，将沿折叠，点恰好落在点处，则点的坐标为 ，点的坐标为 ； (2)如图2，若，两点以相同的速度同时出发运动，使，求的值； (3)如图3，已知点为的中点，若，两点以相同的速度同时出发运动，连接，作于，直接写出的最大值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据二次根式的非负性以及平方的非负性，即可得，，，由题意得：，．在中，，，，即可得，，即，设，则，利用勾股定理得，即可得，即可求解； （2）延长交轴于点，延长交轴于点，过点作，使，连接，，证明得出，进而证明，，得出，，，设，则，根据勾股定理得出一元二次方程，解方程得出，进而即可求解． （3）连接，交于点，连接，，取的中点，连接，，证明，可得，即点为矩形的中心，勾股定理求得，进而根据当点，，三点在一条直线上时，取得最大值，即可求解． 【详解】（1）解：， 又，， ，， ，； ，，． ，． 四边形为矩形， ，． 将沿折叠，点恰好落在点处， ，， ， ； ， 设，则， ， ， ． ． ． 故答案为：，； （2）延长交轴于点，延长交轴于点，过点作，使，连接，，如图， ，， ． 在和中， ， ， ． ， ． ，两点以相同的速度同时出发运动， ， 为等腰直角三角形， ， ， 和为等腰直角三角形， ，，， ，，为等腰直角三角形， ． 在和中， ， ， ，， ，， ． ， ， 设，则， ， ， ． 负数不合题意，舍去， ， ． （3）连接，交于点，连接，，取的中点，连接，，如图， ，两点以相同的速度同时出发运动， ． ， ． 在和中， ， ， ， 即点为矩形的中心， 点为的中点，为的中点， ． ，为的中点， ． ， 当点，，三点在一条直线上时，取得最大值， 的最大值为． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的中位线的性质，直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半，等腰三角形的判定与性质，解一元二次方程，构造合理的辅助线，掌握矩形的性质，是解答本题的关键． 3．若关于的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程”，的两根均为整数，其“快乐数”，若有另一个“快乐方程”的“快乐数”，且满足，则称与互为“开心数”． (1)“快乐方程”的“快乐数”为________； (2)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“快乐方程”，求的值，并求该方程的“快乐数”； (3)若关于的一元二次方程与（、均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求的值． 【答案】(1) (2)， (3)n的值为0或3或 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式以及“快乐方程”的定义，读懂题目中“快乐方程”， “快乐数”的定义是解题的关键． （1）根据“快乐数”的定义即可求出“快乐方程”的“快乐数”； （2）先计算，根据“快乐方程”的定义，得到为完全平方数，根据，得到，即可求出或36，根据m为整数，即可求出m的值，即可求其“快乐数”； （3）关于x的一元二次方程是“快乐方程”，即可求出m的值，求出方程的“快乐数”，根据“开心数”的定义即可求出n的值． 【详解】（1）解：方程的“快乐数为：， 故答案为：； （2）解：方程， ∴， ∵， ∴， 又方程是“快乐方程”， ∴或36， ∴，（舍去）， ∴方程为：， 则， 故其“快乐数”数是； （3）解：， ∴， 设， 则， 又与同奇偶， ∴或或或 解得或， ∴方程为：或； ， ∴， ， 当时， ∵两方程的“快乐数”互为“开心数”， ∴， 解得：或， 当时，， ∵两方程的“快乐数”互为“开心数”， ∴， 解得， 综上，n的值为0或3或． 【一览众山小】 1．已知等腰的底边长为5，其余两边长恰好是关于的方程的两个根，则的值是（　　） A．2 B．2或10 C．4 D．4或10 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，以及三角形的三边关系，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答本题的关键． 根据一元二次方程根的判别式，求得，再将的分别代入一元二次方程求出腰长，结合三角形的三边关系，即可确定m的值． 【详解】解：∵等腰三角形的两腰相等， ∴方程有两个相等的实根， ，，， ， 解得：， ∴， 解得：， ，满足三角形的三边关系， 即m的值是2， 故选：A． 2．如图①，在矩形中（），动点从点出发，沿匀速运动，运动到点处停止．设点的运动路程为，的周长为，与的函数图象如图②所示，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】设的长为a，由函数图象可知，根据第一次周长为12时列方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴． 设的长为a， 由函数图象可知，当周长第一次为12时，点P运动到点D，当周长第二次为12时，点P运动到点C， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查了动点问题的函数土象，矩形的性质，勾股定理，解一元二次方程，数形结合是解答本题的关键． 3．若是关于的方程的根，则的值为（    ） A． B．15 C． D．16 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解、求代数式的值，由题意得出，从而得到，整体代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵是关于的方程的根， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 4．如图，在平面直角坐标系中，点点B在x轴正半轴上，且，则的长是 ．    【答案】/ 【分析】本题考查坐标与图形，勾股定理，设，勾股定理求出，过点作，易得为等腰直角三角形，求出的长，等积法列出方程进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 过点作，    ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则：， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴； 故答案为：． 5．如图，中，，，，点从点出发向终点以1个单位长度移动，点从点出发向终点A以2个单位长度移动，、两点同时出发，一点先到达终点时、两点同时停止，则 秒后，的面积等于4． 【答案】1 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据图形正确列出一元二次方程成为解题的关键 设t秒后的面积等于4，然后根据三角形面积公式列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：设t秒后的面积等于4， 由题意得：，则， ∵， ∴，整理得：， 解得：，， ∵点从点C到点A的时间为， ∴，不合题意，舍去， ∴1秒后，的面积等于4． 故答案为：1． 6．（1）当__________时，多项式的最小值为__________． （2）当__________时，多项式的最大值为__________． （3）当、为何值时，多项式取最小值？并求出这个最小值． 【答案】（1）3，3 （2）1， （3），，最小值是10 【分析】本题考查了配方法的应用，非负数的性质应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）由配方可知，然后根据非负数的性质，判断出的值，然后进行计算即可； （2）由配方可知，然后根据非负数的性质，判断出的值，然后进行计算即可； （3）由配方可知，然后根据非负数的性质，判断出和的取值，然后进行计算即可． 【详解】（1） 当时，多项式取最小值，且最小值为3； 故答案为：3，3 （2） 当时，多项式取最大值，且最大值为； 故答案为：1，； （3） ， 当且，即时，多项式取最小值，并且最小值为． ，，最小值是10． 7．已知是等腰直角三角形，．    (1)当时， ①如图①，将直角的顶点D放至的中点处，与两条直角边分别交于点E、F，请说明为等腰直角三角形； ②如图②，将直角顶点D放至边的某处，与另两边的交点分别为点E、F，若为等腰直角三角形且面积为4，求的长． (2)若等腰直角三个顶点分别在等腰直角的三边上，等腰直角的直角边长为1时，求等腰直角的直角边长的最大值． 【答案】(1)①见解析；②2或 (2) 【分析】（1）①过点D作于G，于 H， 连接．是等腰直角三角形，点是的中点，可得， ，，， 由“”可证，可得，即可求解； ②过点 F作于 N．由“”可证，可得，设， 则．根据勾股定理得再列出方程即可求解； （2）当点在上时，当C、Q、D共线时， 最长，当D在直角边上，过点E分别作于点E，于H．设．则 即可求解． 【详解】（1）① 如图， 过点D作于G，于 H， 连接．   是等腰直角三角形，，点是的中点， ，，， ，， ， ， ， ， ， 又， ， ， 是等腰直角三角形； ② 如图， 过点 F作于 N．    ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵ ∴， ∴． 设， 则． ， ， 或 ∴或 ， （2）设等腰的直角顶点为 D， 若 D 在上， 如图3．    取的中点Q， 连接， 则 ∵是直角边长为1的等腰直角三角形()． ∴当C、Q、D共线时， 最长， 则 ∴在等腰中， 当时，的长最大． 最大为2． 若D在直角边上， 如图4， 过点E分别作于点E，于H．    由知 设． 则 解得 当s取最大值时，    ∴的最大值为 ． 综上，的最大值为 ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 8．阅读材料后解答问题∶ 材料1：已知一元二次方程的两个实数根分别为m， n，求的值． 解： ∵一元二次方程的两个实数根分别为m， n，    ∴，， 则． 材料2：已知实数a、b满足，，且，求的值． 解：依题意得：a与b为方程的两根， ∴，，∴ 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题∶ (1)材料理解：一元二次方程的两个根为和，则 ， ． (2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值． (3)思维拓展：已知实数s、t满足，，且，求的值． 【答案】(1)3； (2) (3) 【分析】本题考查根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． （1）根据根与系数的关系进行求解即可； （2）根据根与系数的关系可得：，再利用分式的化简求值的方法进行运算即可； （3）可把s与t看作是方程的两个实数根，则有，再利用分式的化简求值的方法进行运算即可； 【详解】（1）解：一元二次方程的两个根为，， ， 故答案为：3；． （2）解：一元二次方程的两根分别为m，n， ， ． （3）解：实数s，t满足，且， s，t是一元二次方程的两个实数根， ． ， ． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$