1.5 有理数的比较大小（题型专练）数学华东师大版2024七年级上册

1.5 有理数的比较大小 题型一 利用法则比较两个负数大小 1．（24-25七年级上·全国·假期作业）比较下列各对数的大小： ①与；②与；③与；④与． 2．（23-24七年级上·北京·期末）比较下列各组数的大小： (1)与；(2)与；(3)与；(4)与． 3．（23-24七年级上·全国·课堂例题）比较下列各对数的大小： (1)和；(2)和；(3)和；(4)和． 题型二 选用其它方法比较数的大小 1．（24-25七年级上·全国·假期作业）比较大小：和 2．（23-24七年级上·河南洛阳·期中）请阅读材料，并解决问题． 比较两个数的大小的方法： 若比较与的大小，利用绝对值法比较这两个负数的大小要涉及到分数的通分，计算量大，可以使用如下的方法改进： 解：因为，所以，所以． (1)上述方法是先通过找中间量______来比较出与的大小，再根据两个负数比较大小，______大的负数反而小，把这种方法叫做借助中间量比较法； (2)利用上述方法比较与的大小． 3（2021七年级上·全国·专题练习）（1）当a＞0时，a______－a；当a＝0时，a______－a；当a＜0时，a______－a． （2）请仿照（1）的方法，比较a和的大小关系． 4．阅读材料：若a-b>0，则a>b；若a-b=0，则a=b；若a-b<0，则a<b．运用此方法可进行有理数的大小比较，如比较5与3的大小．因为5-3=2>0，所以5>3，我们把这种比较大小的方法叫作“求差法”． （1）请用“求差法”比较大小：与； （2）请运用不同于（1）的方法比较与的大小. 题型三 有理数大小的比较 1．（24-25七年级上·江苏·假期作业）在、、、四个数中，最大的数是 ，最小的数是 ． 2．（23-24七年级上·湖南怀化·期末）已知下列各数，按要求完成各题： ，，0，，6，，． (1)负数集合：{                            ．．．．．． }； (2)用“”把它们连接起来是 ； (3)画出数轴，并把已知各数表示在数轴上． 3．（23-24七年级上·广东韶关·期中）请你把，，，，0按从小到大的顺序在图中串成糖葫芦状．（数写在○内的横线上）    4．（22-23七年级上·湖北恩施·阶段练习）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示：    (1)请在数轴上标出； (2)比较的大小（用“”将它们连接起来）． 5．（22-23七年级上·河南安阳·阶段练习）用数轴上的点表示下列各数，并把他们用“<”连接起来． ①点：3的相反数；②点B：的倒数；③点：1.25；④点D：绝对值最小的数． 6．（21-22七年级上·四川遂宁·阶段练习）若已知，试讨论四个数的大小关系，并用“”把它们连接起来．（提示：画数轴帮助理解） 题型四 已知有理数的大小关系，求未知数的值 1．（23-24七年级上·河南郑州·期中）若表示正整数，且，则的值可以是（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 2．（23-24七年级上·全国·课后作业）已知，，并且，求，的值． 3．（22-23八年级上·广东梅州·阶段练习）已知 ，，，且 ．求 ，， 的值． 4．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）已知有理数a、b、c，其中a是最大的负整数，b是绝对值最小的数，c是倒数等于本身的数，则的值是 ． 5．（23-24七年级上·河南驻马店·阶段练习）根据以下信息，完成相应的任务． a是最大的负整数；b是最小的正整数； c是负数，且数轴上表示c的点到原点的距离为2；d的相反数是其本身． 任务：求出有理数a，b，c，d的值，并用“”将值连接起来． 题型五 有理数大小比较的实际应用 1．（20-21六年级上·上海静安·期中）小杰自行车上的一个螺帽松了，他准备用扳手紧一下．他拿了一套扳手，它们的尺寸大小分别是：，，，，，．小杰用的扳手太小，用的扳手紧太大，那么小杰可以选择的扳手还有几把？分别是哪几把？ 2．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）已知零件的标准直径是100mm，超过标准直径长度的数量（单位：mm）记作正数，不足标准直径长度的数量（单位：mm）记作负数，检验员某次抽查了五件样品结果如下： 序号 ① ② ③ ④ ⑤ 检验结果 (1)在所抽查的五件样品中，最符合要求是样品______（填序号）； (2)如果规定零件误差的绝对值在之内是正品，那么上述五件样品中哪些是正品？ 3．（21-22七年级上·陕西西安·期中）希望小学要买60个足球，现有甲、乙、丙三个商店可以选择，三个商店足球单价都是30元，但各个商店的优惠办法不同： 甲店：全部打八折销售； 乙店：当购买足球不超过20个时，不打折；购买超过20个时，超过部分打六折； 丙店：买10个足球免费赠送2个，不足10个不赠送； 为了节省费用，希望小学应到哪个商店购买合算？为什么？ 4．（21-22七年级上·河南南阳·期中）如图，给出了未来一周中每天的最高气温和最低气温，其中最低气温是多少？最高气温呢？请先将这七天中每天的最低气温在数轴上表示出来，再按从低到高的顺序排列． 1．试比较，，，这四个数的大小． 2．（23-24七年级上·河南信阳·开学考试）如图，在数轴上有三个点A，B，C，请回答下列问题：    (1)若将点B沿数轴向左移动3个单位长度后，A，B，C三个点所表示的数谁最小？是多少？ (2)若将点A沿数轴向右移动4个单位长度后，A，B，C三个点所表示的数谁最小？是多少？ (3)怎样移动A，B，C中的两个点才能使三个点所表示的数相同？有几种移动方法？移动后三个点所表示的相同的数是多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.5 有理数的比较大小 题型一 利用法则比较两个负数大小 1．（24-25七年级上·全国·假期作业）比较下列各对数的大小： ①与； ②与； ③与； ④与． 【答案】①；②；③；④ 【分析】本题主要考查有理数比较大小，绝对值的性质的运用，掌握有理数比较大小的方法是解题的关键． ①两个负数比较大小，绝对值大的反而小，由此即可求解； ②先化简绝对值，再根据负数小于零，即可求解； ③两个负数比较大小，绝对值大的反而小，由此即可求解； ④先化简，再根据负数小于零，即可求解． 【详解】解：①∵，，， ∴； ②， 因为负数小于， 所以； ③∵，， ， ∴； ④分别化简两数，得： ， ∵正数大于负数， ∴． 2．（23-24七年级上·北京·期末）比较下列各组数的大小： (1)与； (2)与； (3)与； (4)与． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数大小比较，多重符号化简，绝对值运用，小数分数的互化，根据正数大于，负数小于，正数大于负数；两个正数中绝对值大的数大；两个负数中绝对值大的反而小，解答本题即可． （1）将分数化为小数，根据两个负数中绝对值大的反而小解答即可； （2）将带分数化为假分数，根据两个负数中绝对值大的反而小解答即可； （3）化简多重符号，将分数化为小数，根据两个负数中绝对值大的反而小解答即可； （4）化简绝对值，多重符号，根据正数大于负数进行解答即可． 【详解】（1）解：，， ， ； （2），， ， ； （3），， ， ； （4），， ， ． 3．（23-24七年级上·全国·课堂例题）比较下列各对数的大小： (1)和； (2)和； (3)和； (4)和． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先相反数的定义化简各数，再根据正数大于负数求解即可； （2）先利用相反数的定义与绝对值的性质化简各数，再根据正数大于负数求解即可； （3）先根据绝对值的性质化简各数，再根据正数大于负数求解即可； （4）先根据绝对值的性质化简各数，再根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）解：，，， ∴； （3）解：∵，，， ∴； （4）解：∵，， ∴． 【点睛】本题考查有理数的大小比较、绝对值、相反数，正确化简各数，熟练掌握有理数大小比较方法是解答的关键． 题型二 选用其它方法比较数的大小 1．（24-25七年级上·全国·假期作业）比较大小：和 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，解题的关键是先将其拆分成整数加或减一个分数，然后再进行比较．先变形，，再比较大小． 【详解】解：，， 2．（23-24七年级上·河南洛阳·期中）请阅读材料，并解决问题． 比较两个数的大小的方法： 若比较与的大小，利用绝对值法比较这两个负数的大小要涉及到分数的通分，计算量大，可以使用如下的方法改进： 解：因为，所以，所以． (1)上述方法是先通过找中间量______来比较出与的大小，再根据两个负数比较大小，______大的负数反而小，把这种方法叫做借助中间量比较法； (2)利用上述方法比较与的大小． 【答案】(1)；绝对值 (2) 【分析】本题主要考查有理数大小比较： （1）根据计算过程和有理数大小比较法则得出答案即可； （2）找出中间量是，再比较大小即可， 【详解】（1）上述方法是先通过找中间量来比较出与的大小，再根据两个负数比较大小，绝对值大的负数反而小，把这种方法叫做借助中间量比较法； 故答案为：；绝对值； （2）∵， ∴， ∴． 3（2021七年级上·全国·专题练习）（1）当a＞0时，a______－a；当a＝0时，a______－a；当a＜0时，a______－a． （2）请仿照（1）的方法，比较a和的大小关系． 【答案】（1）＞，=，＜；（2）见详解． 【分析】（1）根据正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数即可得出答案； （2）根据有理数大小比较的方法，分a＞1、a=1、0＜a＜1、-1＜a＜0、a=-1、a＜-1六种情况分类判断即可求解． 【详解】解：（1）当a＞0时，a＞－a；当a＝0时，a=－a；当a＜0时，a＜－a． 故答案为：＞，=，＜； （2）当a＞1时，a＞；当a=1时，a=；当0＜a＜1时，a＜； 当-1＜a＜0时，a＞；当a=-1时，a=；当a＜-1时，a＜． 【点睛】本题考查了有理数的大小比较，熟知有理数大小比较的法则，根据题意正确分类是解题关键． 4．阅读材料：若a-b>0，则a>b；若a-b=0，则a=b；若a-b<0，则a<b．运用此方法可进行有理数的大小比较，如比较5与3的大小．因为5-3=2>0，所以5>3，我们把这种比较大小的方法叫作“求差法”． （1）请用“求差法”比较大小：与； （2）请运用不同于（1）的方法比较与的大小. 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【详解】试题分析: （1）利用作差法比较两个有理数的大小； （2）比较两个负数的绝对值，绝对值大的反而小． 试题解析: （1）因为， 所以； 因为，，又， 所以 题型三 有理数大小的比较 1．（24-25七年级上·江苏·假期作业）在、、、四个数中，最大的数是 ，最小的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，先把分数化成小数，再比较即可求解，掌握有理数的大小比较方法是解题的关键． 【详解】解：，， ∵， ， ∴在、、、四个数中，最大的数是，最小的数是， 故答案为：，． 2．（23-24七年级上·湖南怀化·期末）已知下列各数，按要求完成各题： ，，0，，6，，． (1)负数集合：{                            ．．．．．． }； (2)用“”把它们连接起来是 ； (3)画出数轴，并把已知各数表示在数轴上． 【答案】(1)，，， (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了用数轴表示有理数，有理数比较大小，负数的定义，化简绝对值和多重符号： （1）先化简绝对值和多重符号，再根据负数是小于0的数进行求解即可； （2）根据正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小绝对值越大其值越小进行求解即可； （3）在数轴上表示出各数即可． 【详解】（1）解：，， ∴负数有，，，； （2）解：∵， ∴， 故答案为：； （3）解：如图所示，即为所求． 3．（23-24七年级上·广东韶关·期中）请你把，，，，0按从小到大的顺序在图中串成糖葫芦状．（数写在○内的横线上）    【答案】；；0；； 【分析】根据比较有理数大小的方法，先比较5个数的大小，然后再填在横线上即可． 【详解】解：∵， ∴数写在○内的横线上，如图所示：    【点睛】本题主要考查了比较有理数的大小，解题的关键是熟练掌握有理数大小的比较方法． 4．（22-23七年级上·湖北恩施·阶段练习）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示：    (1)请在数轴上标出； (2)比较的大小（用“”将它们连接起来）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据互为相反数的两个数关于原点对称，找到，，的位置； （2）根据数轴右边的数总比左边的数大可得答案． 【详解】（1）解：如图，    （2）解：由（1）可知，． 【点睛】此题综合考查了数轴、绝对值，解题的关键是掌握数形结合的思想求解． 5．（22-23七年级上·河南安阳·阶段练习）用数轴上的点表示下列各数，并把他们用“<”连接起来． ①点：3的相反数； ②点B：的倒数； ③点：1.25； ④点D：绝对值最小的数． 【答案】表示见解析， 【分析】先分别求出点，，，所表示的数，再在数轴上表示即可． 【详解】解：由题意可得，点表示的数是，点表示的数是，点C表示的数为1.25 ，点表示的数是0， 将它们在数轴上表示如下： 把它们用“”连接起来为：． 【点睛】此题考查了有理数的相反数、绝对值、倒数的求解及用数轴上点表示有理数，关键是能对以上知识准确理解并求解、表示． 6．（21-22七年级上·四川遂宁·阶段练习）若已知，试讨论四个数的大小关系，并用“”把它们连接起来．（提示：画数轴帮助理解） 【答案】 【分析】先根据题意在数轴上标出a，，b，的位置，再比较即可． 【详解】解：∵，，， 在数轴上表示如图： ∴． 【点睛】本题考查了数轴，相反数和有理数的大小比较，能知道a，，b，在数轴上的位置是解此题的关键． 题型四 已知有理数的大小关系，求未知数的值 1．（23-24七年级上·河南郑州·期中）若表示正整数，且，则的值可以是（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】D 【分析】根据两个负数的大小确定它们相反数的大小，利用分子相同，分母大的则小，得出结果即可． 本题考查两个负数与相反数的大小比较，确定字母的范围，掌握两个负数的大小与相反数的大小关系是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选D． 2．（23-24七年级上·全国·课后作业）已知，，并且，求，的值． 【答案】， 【分析】首先根据绝对值的性质求出a、b的值，再根据确定a、b的对应情况． 【详解】因为，， 所以，． 因为， 所以，． 【点睛】本题考查绝对值的性质和比较大小，熟记绝对值的性质是解题的关键． 3．（22-23八年级上·广东梅州·阶段练习）已知 ，，，且 ．求 ，， 的值． 【答案】，， 或 ，， 【分析】根据绝对值的性质可得，再由，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴，， 或 ，，． 【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键． 4．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）已知有理数a、b、c，其中a是最大的负整数，b是绝对值最小的数，c是倒数等于本身的数，则的值是 ． 【答案】0或/或0 【分析】本题考查了有理数的大小比较，绝对值，倒数和有理数的加法，熟练掌握法则是解题的关键． 先根据题目的已知求出a，b，c的值，然后相加即可． 【详解】解：由题意得： ，， 当时， 当时， ∴的值是：0或 故答案为：0或 5．（23-24七年级上·河南驻马店·阶段练习）根据以下信息，完成相应的任务． a是最大的负整数；b是最小的正整数； c是负数，且数轴上表示c的点到原点的距离为2；d的相反数是其本身． 任务：求出有理数a，b，c，d的值，并用“”将值连接起来． 【答案】，，，， 【分析】本题考查了有理数中相关定义，做题关键是掌握有理数中相关定义．利用相关定义确定字母、、、的值，再用“>”将值连接起来．． 【详解】解：由题意得：，；因为，且c是负数， 所以；． 用“”连接起来：． 题型五 有理数大小比较的实际应用 1．（20-21六年级上·上海静安·期中）小杰自行车上的一个螺帽松了，他准备用扳手紧一下．他拿了一套扳手，它们的尺寸大小分别是：，，，，，．小杰用的扳手太小，用的扳手紧太大，那么小杰可以选择的扳手还有几把？分别是哪几把？ 【答案】三把， ，， 【分析】先通分，再比较分数大小即可求解； 【详解】解：，，，，，， ∵小杰用的扳手太小，用的扳手紧太大， 又∵ ， ∴小杰可以选择的扳手有：三把，分别是 ，，． 【点睛】本题主要考查有理数大小比较，正确通分是解题的关键． 2．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）已知零件的标准直径是100mm，超过标准直径长度的数量（单位：mm）记作正数，不足标准直径长度的数量（单位：mm）记作负数，检验员某次抽查了五件样品结果如下： 序号 ① ② ③ ④ ⑤ 检验结果 (1)在所抽查的五件样品中，最符合要求是样品______（填序号）； (2)如果规定零件误差的绝对值在之内是正品，那么上述五件样品中哪些是正品？ 【答案】(1)③ (2)样品①③④ 【分析】本题考查的是绝对值的含义，有理数的大小比较； （1）直接比较各个选项数据的绝对值，找出最接近标准的即可． （2）找出绝对值大于的不是正品，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵，，，，， 而， ∴最符合要求是样品③； （2）∵规定零件误差的绝对值在之内是正品， 而，， ∴②⑤不符合题意； ∴正品是样品①③④． 3．（21-22七年级上·陕西西安·期中）希望小学要买60个足球，现有甲、乙、丙三个商店可以选择，三个商店足球单价都是30元，但各个商店的优惠办法不同： 甲店：全部打八折销售； 乙店：当购买足球不超过20个时，不打折；购买超过20个时，超过部分打六折； 丙店：买10个足球免费赠送2个，不足10个不赠送； 为了节省费用，希望小学应到哪个商店购买合算？为什么？ 【答案】为了节省费用，希望小学应到乙商店购买合算，理由见解析 【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出三家商店需要花费的情况，然后比较大小即可． 【详解】解：为了节省费用，希望小学应到乙商店购买合算． 理由：由题意可得， 在甲店购买需要花费为：30×60×0.8＝1440（元）， 在乙店购买需要花费为：30×20+30×（60﹣20）×0.6＝1320（元）， 在丙店购买需要花费为：30×50＝1500（元）， ∵1320＜1440＜1500， ∴为了节省费用，希望小学应到乙商店购买合算． 【点睛】本题考查了有理数比较大小，解答本题的关键是明确题意，求出三个商店的花费情况． 4．（21-22七年级上·河南南阳·期中）如图，给出了未来一周中每天的最高气温和最低气温，其中最低气温是多少？最高气温呢？请先将这七天中每天的最低气温在数轴上表示出来，再按从低到高的顺序排列． 【答案】最低气温为℃，最高气温为℃，数轴见解析，从低到高的顺序排序为、、、、、、 【分析】根据有理数大小比较方法求得最高气温和最低气温，再将最低气温表示在数轴上，利用数轴的性质排序即可． 【详解】解：观察数据可得，最高气温为℃，最低气温为℃， 这七天的最低气温（单位℃）分别为、、、、、、 在数轴上表示，如下图： 由数轴的性质可得，从低到高的排序为、、、、、、 【点睛】此题考查了有理数大小的比较，涉及了的数轴的应用，表示数和利用数轴比较大小，解题的关键是掌握数轴的有关性质． 1．试比较，，，这四个数的大小． 【答案】 【分析】本题考查了有理数大小比较，绝对值的求解，根据这几个数的特点，先求出每个数的绝对值，再将这些数的绝对值表示为1与某个分数的差的形式比较大小，最后由“几个负数，绝对值大的反而小”即可得出结论. 【详解】∵，，，，且， ， . 2．（23-24七年级上·河南信阳·开学考试）如图，在数轴上有三个点A，B，C，请回答下列问题：    (1)若将点B沿数轴向左移动3个单位长度后，A，B，C三个点所表示的数谁最小？是多少？ (2)若将点A沿数轴向右移动4个单位长度后，A，B，C三个点所表示的数谁最小？是多少？ (3)怎样移动A，B，C中的两个点才能使三个点所表示的数相同？有几种移动方法？移动后三个点所表示的相同的数是多少？ 【答案】(1)点B表示的数最小，是 (2)点B表示的数最小，是 (3)见解析 【分析】（1）由题图可知，点A表示的数是，点B表示的数是，点C表示的数是3， 将点B沿数轴向左移动3个单位长度后，表示的数是，比较大小，然后作答即可； （2）由题意知，将点A沿数轴向右移动4个单位长度后，表示的数是0，比较大小，然后作答即可； （3）由题意知，共有3种移动方法：分①点A不动，将点B，点C沿数轴移动；②点B不动，将点A，点C沿数轴移动；③点C不动，将点A沿，点B沿数轴移动，三种情况进行作答即可． 【详解】（1）解：由题图可知，点A表示的数是，点B表示的数是，点C表示的数是3， 将点B沿数轴向左移动3个单位长度后，表示的数是， ∵， ∴此时点B表示的数最小，是； （2）解：由题意知，将点A沿数轴向右移动4个单位长度后，表示的数是0， ∵， ∴此时点B表示的数最小，是； （3）解：由题意知，共有3种移动方法：①点A不动，将点B沿数轴向左移动2个单位长度，点C沿数轴向左移动7个单位长度，此时三个点都表示； ②点B不动，将点A沿数轴向右移动2个单位长度，点C沿数轴向左移动5个单位长度，此时三个点都表示； ③点C不动，将点A沿数轴向右移动7个单位长度，点B沿数轴向右移动5个单位长度，此时三个点都表示3． 【点睛】本题考查了用数轴上的点表示有理数，有理数大小比较，数轴上的动点问题．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$