精品解析：山东省济南市天桥区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

2023－2024学年第二学期七年级学业质量监测 数学试题 注意事项： 本试题共6页，满分为150分．考试时间为120分钟． 答卷前，请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号和座号填写在试卷规定的位置上． 答选择题时，必须使用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔在答题卡上题号所提示的答题区域作答．答案写在试卷上无效． 第Ⅰ卷（选择题共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 新能源汽车是我国经济发展的重要产业之一，下列新能源车标中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 中国是世界上稀土资源最丰富的国家，素有“稀土王国”之称．镧是一种重要的稀土金属，在地壳中的含量约为，其化合物常用来制作光学玻璃、高温超导体等．数据0.00183用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在下列四组线段中，不能组成直角三角形的是( ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 5. 下列说法正确的是( ) A. 投掷一枚质地均匀的硬币800次，正面向上的次数一定是400次 B. 在只装有红球和绿球的袋子中摸出一个球，结果是黄球的可能性是很大的 C. 篮球队员在罚球线上投篮一次，“投中”为随机事件 D. 经过城市中某一有交通信号灯的路口，遇到绿灯是必然事件 6. 如图，直线，将含角直角三角板按图中位置摆放，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 某大学计划为新生配备如图①所示的折叠凳.图②是折叠凳撑开后的侧面示意图(木条等材料宽度忽略不计),其中凳腿AB和CD的长相等,O是它们的中点.为了使折叠凳坐着舒适,厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为30 cm,则由以上信息可推得CB的长度也为30 cm,依据是(　　) A. SAS B. ASA C. SSS D. AAS 8. 如图，长方形纸片中，，，将此长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点位置，折痕为，则的长度为( ) A. 6 B. 10 C. 24 D. 48 9. 如图，在△中，分别以，为圆心，以大于长度为半径作弧，两弧分别在线段的上方和下方相交于点，，作直线，与，分别交于点，，再以点为圆心，以任意长度为半径作弧，与，分别交于点，，再分别以，为圆心，以大于长度为半径作弧，两弧相交于点，作射线，交于点，交于点，则下列结论不一定成立的是( ) A. B. C. D. 10. 如图1，在矩形中，，动点由点出发，沿点的方向运动，设点的运动路程为，的面积为，与的函数关系如图所示，当时，的值为( ) A. 2 B. 8 C. 2或6 D. 2或8 第Ⅱ卷（非选择题共110分） 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 11. ______． 12. 如图，地板上每一个小正方形除颜色外都相同，向地板上随机掷一枚石子，石子落在阴影部分的概率是______． 13. 某汽车生产厂对其生产的型汽车进行油耗试验，试验中汽车为匀速行驶，在行驶过程中，油箱的余油量(升)与行驶时间(小时)之间的关系如下表： (小时) (升) 由表格中与的关系可知，当汽车行驶______小时，油箱的余油量为升． 14. 已知，则的值为______． 15. 如图，平分，于点，点在上，若，，则的面积为______． 16. 如图，等腰直角三角形中，，、分别为、边上点，，交于点，过点作交的延长线于点，交于点．以下四个结论：①：②；③是等腰三角形：④；恒成立的结论有______． 三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 先化简，后求值：，其中，． 19. 已知：如图，，平分交于点，．求证：．(请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据．) 证明：(已知)， (______)． ∠______(______)： 平分(已知)， (______)． (______)． (已知)， (等量代换)． (______)． 20. 已知：如图，，点，点在上，，请你添加一个条件，使，并给出证明． 我添加的条件是：______，证明：______． 21. 2024年4月23日是第29个世界读书日．为了营造多读书、读好书的氛围，我校举办了第十届校园读书节．在班级组织的“读书分享会”活动中，小明和小华都想当主持人，但只有一个名额、小华建议用游戏的方法来选人，如图，现有一个圆形转盘被平均分成份，分别标有、、、、、这六个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字（若指针指向分界线，则重新转），求： （1）转动转盘一次，转出的数字为的概率是______； （2）若小明转动两次后转到的数字分别是和，小明再转动一次，转出的数字与前两次转出的数字分别作为三条线段的长度（长度单位均相同），则这三条线段能构成等腰三角形的概率是______； （3）自由转动转盘，若转出的数字是偶数，小明参加；若转出的数字大于，小华参加；你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 22. 如图，图1是某品牌婴儿车，图是其简化结构示意图．其中与之间由一个固定为零件连接，即，根据安全标准需满足．淇淇爸爸只有测量长度的工具，且无法直接测量，请你帮他判断该车是否符合安全标准，请说明需要测量哪些数据，并说明如何判断． 23. 如图，的顶点，，都在小正方形的格点上，利用网格线按下列要求画图或解答． （1）画，使它与关于直线成轴对称； （2）若网格上的每个小正方形的边长为，求的面积； （3）在直线上求作一点，使点，点到它的距离之和最小（保留作图痕迹）． 24. 共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向～千米的出行市场，现有、两种品牌的共享电动车，收费(元)与骑行时间(分钟)之间的关系如图所示，其中品牌收费方式对应，品牌的收费方式对应． （1）______是自变量； （2）写出品牌与的关系式______； （3）如果小明每天早上需要到距家千米工厂上班，且两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为千米小时，那么小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱呢？ （4）请直接写出两种收费相差元时，的值是______． 25. 阅读下列材料，解决相应问题： 已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“友好数对”．例如，所以和与和都是“友好数对” 请你判断和是否是“友好数对”，并探究“友好数对”中四个数字之间的数量关系，再根据这一数量关系写出一对新的“友好数对”． 26. 如图1，等边的边长为，点是直线上异于，的一动点，连接，以为边长，在右侧作等边，连接． 【初步感知】 （1）求证：； 【类比探究】 （2）当点在直线上运动时， ①与数量关系是； ②的周长是否存在最小值？若存在，求此时的长；若不存在，说明理由； 【拓展应用】 （3）当点在直线上运动时，能否形成直角三角形？若能，请直接写出此时的长；若不能，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023－2024学年第二学期七年级学业质量监测 数学试题 注意事项： 本试题共6页，满分为150分．考试时间为120分钟． 答卷前，请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号和座号填写在试卷规定的位置上． 答选择题时，必须使用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔在答题卡上题号所提示的答题区域作答．答案写在试卷上无效． 第Ⅰ卷（选择题共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 新能源汽车是我国经济发展的重要产业之一，下列新能源车标中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A.是轴对称图形，不符合题意； B.不是轴对称图形，符合题意； C.是轴对称图形，不符合题意； D.是轴对称图形，不符合题意； 故选B． 2. 中国是世界上稀土资源最丰富的国家，素有“稀土王国”之称．镧是一种重要的稀土金属，在地壳中的含量约为，其化合物常用来制作光学玻璃、高温超导体等．数据0.00183用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数．绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为，为正整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答． 【详解】解：0.00183用科学记数法可表示为． 故选：A 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂相乘，幂的乘方、积的乘方，同底数幂相除来判断. 【详解】，故A错误. ，故B正确. ，故C错误. ，故D错误. 故选B 【点睛】本题考查同底数幂相乘，幂的乘方、积的乘方，同底数幂相除，熟记各运算的法则是关键. 4. 在下列四组线段中，不能组成直角三角形的是( ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】】本题考查了勾股定理的逆定理，先求出两小边的平方和，再求出最大边的平方，再根据勾股定理的逆定理得出即可． 【详解】解：A、∵， ∴以，，为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意； B、∵， ∴以，，为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意； C、∵， ∴以，，为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意； D、∵， ∴以，，为边不能组成直角三角形，故本选项符合题意； 故选：D． 5. 下列说法正确的是( ) A. 投掷一枚质地均匀的硬币800次，正面向上的次数一定是400次 B. 在只装有红球和绿球的袋子中摸出一个球，结果是黄球的可能性是很大的 C. 篮球队员在罚球线上投篮一次，“投中”为随机事件 D. 经过城市中某一有交通信号灯的路口，遇到绿灯是必然事件 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查可能性的大小、随机事件，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、投掷一枚质地均匀的硬币800次，正面向上的次数一定是400次是随机事件，说法错误，不符合题意； B、在只装有红球和绿球的袋子中摸出一个球，结果是黄球的可能性是没有的，说法错误，不符合题意； C、篮球队员在罚球线上投篮一次，“投中”为随机事件，说法正确，符合题意； D、经过城市中某一个有交通信号灯的路口，遇到绿灯是随机事件，不符合题意； 故选：C． 6. 如图，直线，将含角的直角三角板按图中位置摆放，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对顶角相等可得，根据三角形外角性质得出，然后根据领补角求出，最后根据平行线的性质得出结果即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查平行线的性质及三角形外角的性质，对顶角性质，熟练掌握平行线的性质及三角形外角的性质是解题的关键． 7. 某大学计划为新生配备如图①所示的折叠凳.图②是折叠凳撑开后的侧面示意图(木条等材料宽度忽略不计),其中凳腿AB和CD的长相等,O是它们的中点.为了使折叠凳坐着舒适,厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为30 cm,则由以上信息可推得CB的长度也为30 cm,依据是(　　) A. SAS B. ASA C. SSS D. AAS 【答案】A 【解析】 【分析】根据中点定义求出OA=OB，OC=OD，然后利用“边角边”证明△AOD和△BOC全等，根据全等三角形对应边相等即可证明． 【详解】解：∵O是AB、CD的中点， ∴OA=OB，OC=OD， 在△AOD和△BOC中， ， ∴△AOD≌△BOC（SAS）， ∴CB=AD， ∵AD=30cm， ∴CB=30cm． 故选A 【点睛】本题考查了全等三角形的应用，比较简单，证明得到三角形全等是解题的关键． 8. 如图，长方形纸片中，，，将此长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点的位置，折痕为，则的长度为( ) A. 6 B. 10 C. 24 D. 48 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题；由折叠可知，设利用勾股定理进行分析计算即可． 【详解】解：由折叠可知， 设 由勾股定理可得， 即， 解得， ， 故选：B． 9. 如图，在△中，分别以，为圆心，以大于长度为半径作弧，两弧分别在线段的上方和下方相交于点，，作直线，与，分别交于点，，再以点为圆心，以任意长度为半径作弧，与，分别交于点，，再分别以，为圆心，以大于长度为半径作弧，两弧相交于点，作射线，交于点，交于点，则下列结论不一定成立的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了作图基本作图、角平分线的性质和线段垂直平分线的性质．利用基本作图得到平分，垂直平分，则根据角平分线的定义可对选项进行判断；根据线段垂直平分线的性质可对、选项进行判断；由于不能确定，于是可对选项进行判断． 【详解】解：由作法得平分，垂直平分， ，，，所以A选项、B选项不符合题意， ，所以D选项不符合题意， 不能确定，则不能确定与相等，C选项符合题意． 故选：C． 10. 如图1，在矩形中，，动点由点出发，沿点的方向运动，设点的运动路程为，的面积为，与的函数关系如图所示，当时，的值为( ) A. 2 B. 8 C. 2或6 D. 2或8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，利用函数图象求出、和，再分析出当时，点在上，且，，再求出的面积即可． 【详解】解：当点运动到点处时，，即， 当点运动到点处时，，即， ， ， ， ， 时，分三种情况： 点在上时，如图1， ∴，即， 解得：； 当在上时， 如图2， ，即 ， 解得：； 当在上时， 如图3， ，即， 结合图象，这种情况不符合题意，舍去， 当时，的值为或， 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题共110分） 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 11 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是单项式乘多项式，根据单项式与多项式相乘的运算法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 如图，地板上每一个小正方形除颜色外都相同，向地板上随机掷一枚石子，石子落在阴影部分的概率是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查几何概率；根据几何概率的求法：石子落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值． 【详解】解：设每个正方形的面积都为，总面积为，其中阴影部分面积为， 石子落在阴影部分的概率是． 故答案为：． 13. 某汽车生产厂对其生产的型汽车进行油耗试验，试验中汽车为匀速行驶，在行驶过程中，油箱的余油量(升)与行驶时间(小时)之间的关系如下表： (小时) (升) 由表格中与的关系可知，当汽车行驶______小时，油箱的余油量为升． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了表格表示关系式．表格可知，开始油箱中的油为L，每行驶小时，油量减少，据此可得与的关系式． 【详解】解：由题意可得：， 当时，， 解得：， 故答案为：． 14. 已知，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，代数式求值，先根据多项式乘多项式求得，再根据多项式相等的条件求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案：． 15. 如图，平分，于点，点在上，若，，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的性质，过点作于，根据角平分线的性质求出，再根据三角形面积公式计算，得到答案． 【详解】解：如图，过点作于， 平分，，，， ， ， 故答案为：． 16. 如图，等腰直角三角形中，，、分别为、边上点，，交于点，过点作交的延长线于点，交于点．以下四个结论：①：②；③是等腰三角形：④；恒成立的结论有______． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质与判定，①首先得出，再利用，得出即可；②③利用，得出，再由，可得，结合可得出，，继而可得出结论；④先大致观察三者的关系，过点作的垂线，交的延长线于点，利用①的结论可将转化为，转化为，从而在一条直线上得出三者的关系． 【详解】解：等腰直角三角形中，， ，， 在和中， ， ，故①正确； ， ， ∵ 故②正确； ， ，， ∵ ， ， ， ， ， ，为等腰三角形，故③正确； 过点作的垂线，交的延长线于点， ，， ． ， ， ， ，， 由①可得， ， 在和中， ， ， ，， 又， ， ， 又， ，故④正确； 故答案为：①②③④． 三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数和整式的混合运算； （1）先根据负整数指数幂的性质、零指数幂的性质和乘方的意义计算乘方，再算乘法，最后算加减即可； （2）先根据同底数幂相除法则和单项式除以单项式法则计算乘除，再合并同类项即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 先化简，后求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，先根据平方差公式，完全平方公式，多项式除以单项式进行化简，然后将字母的值代入，即可求解． 【详解】解： ， 当，时，原式． 19. 已知：如图，，平分交于点，．求证：．(请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据．) 证明：(已知)， (______)． ∠______(______)： 平分(已知)， (______)． (______)． (已知)， (等量代换)． (______)． 【答案】同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；角平分线的定义；等量代换；同位角相等，两直线平行 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义；先根据同旁内角互补，两直线平行证得，再根据两直线平行，内错角相等得出，结合角平分线的定义即可证得，结合已知可证得，再根据同位角相等，两直线平行得出即可． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）． ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义）． ∴（等量代换）． ∵（已知）， ∴（等量代换）． ∴（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；角平分线的定义；等量代换；同位角相等，两直线平行． 20. 已知：如图，，点，点在上，，请你添加一个条件，使，并给出证明． 我添加的条件是：______，证明：______． 【答案】(答案不唯一)，证明过程见解析 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，先由得，再结合有以下种情况：①添加条件，可依据判定和全等，从而可得出结论；②添加条件，则，此时可依据判定和全等，从而可得出结论；③添加条件，同②可得出结论；④添加条件，可依据判定和全等，从而可得出结论；⑤添加条件，则，同④可得出结论，因此所添加的条件是上述种情况的一种即可，故答案不唯一． 详解】解：， ， ， 有以下种情况： ①添加条件，证明如下： 在和中， ，，， ， ； ②添加条件，证明如下： ， ， 即， 在和中， ，，， ， ； ③添加条件，证明过程同②； ④添加条件，证明如下： 在和中， ，，， ， ； ⑤添加条件，证明如下： ， ， 同④可得：． 因此添加的条件是上述种情况的一种即可． 故答案为：(答案不唯一)． 21. 2024年4月23日是第29个世界读书日．为了营造多读书、读好书的氛围，我校举办了第十届校园读书节．在班级组织的“读书分享会”活动中，小明和小华都想当主持人，但只有一个名额、小华建议用游戏的方法来选人，如图，现有一个圆形转盘被平均分成份，分别标有、、、、、这六个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字（若指针指向分界线，则重新转），求： （1）转动转盘一次，转出的数字为的概率是______； （2）若小明转动两次后转到的数字分别是和，小明再转动一次，转出的数字与前两次转出的数字分别作为三条线段的长度（长度单位均相同），则这三条线段能构成等腰三角形的概率是______； （3）自由转动转盘，若转出的数字是偶数，小明参加；若转出的数字大于，小华参加；你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）不公平，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查概率公式，游戏的公平性，三角形的三边关系， （1）直接根据概率公式求解即可； （2）小明再转动一次，转出的数字共有6种等可能结果，其中与前两次转出的数字分别作为三条线段能构成等腰三角形的有4、5这2种结果，再根据概率公式求解即可； （3）因为自由转动转盘共有6种等可能解雇，其中转出的数字是偶数的有2、4这2种结果，转出的数字大于4的有5、7、9这3种结果，再求出小明与小华参加的概率，继而可得答案． 【小问1详解】 解：（1）转动转盘一次，转出的数字为3的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 小明再转动一次，转出的数字共有6种等可能结果，其中与前两次转出的数字分别作为三条线段能构成等腰三角形的有4、5这2种结果， 所以这三条线段能构成等腰三角形的概率是， 故答案为：； 【小问3详解】 这个游戏不公平，理由如下： 因为自由转动转盘共有6种等可能解雇，其中转出的数字是偶数的有2、4这2种结果，转出的数字大于4的有5、7、9这3种结果， 所以小明参加的概率为，小华参加的概率为， 因为， 所以这个游戏不公平． 22. 如图，图1是某品牌婴儿车，图是其简化结构示意图．其中与之间由一个固定为的零件连接，即，根据安全标准需满足．淇淇爸爸只有测量长度的工具，且无法直接测量，请你帮他判断该车是否符合安全标准，请说明需要测量哪些数据，并说明如何判断． 【答案】需要测量，，和的长，见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用以及勾股定理的逆定理，先根据勾股定理求出的长，由，然后由勾股定理的逆定理得是直角三角形，，即可作判断． 【详解】解：判断该车是否符合安全标准，需要测量，，和的长， 判断如下： 在中，，可计算的长， 中，根据， 可判断是直角三角形，， ， 该车符合安全标准． 23. 如图，的顶点，，都在小正方形的格点上，利用网格线按下列要求画图或解答． （1）画，使它与关于直线成轴对称； （2）若网格上的每个小正方形的边长为，求的面积； （3）在直线上求作一点，使点，点到它距离之和最小（保留作图痕迹）． 【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图-轴对称变换，三角形面积； （1）分别作出点关于直线的对称点即可； （2）用一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积计算的面积； （3）连接交直线于，利用两点之间线段最短可判断点满足条件． 【小问1详解】 解：如图1，为所作； 【小问2详解】 的面积； 【小问3详解】 如图2，点为所作． 24. 共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向～千米的出行市场，现有、两种品牌的共享电动车，收费(元)与骑行时间(分钟)之间的关系如图所示，其中品牌收费方式对应，品牌的收费方式对应． （1）______是自变量； （2）写出品牌与的关系式______； （3）如果小明每天早上需要到距家千米的工厂上班，且两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为千米小时，那么小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱呢？ （4）请直接写出两种收费相差元时，的值是______． 【答案】（1）骑行时间 （2） （3）小明选择B品牌更省钱 （4）， 【解析】 【分析】本题考查函数的定义、根据函数图象获取信息，一次函数的应用； （1）根据函数图象可知，分钟至分钟，车费需要元，即可求出； （2）由函数图象可知，品牌成正比例关系，依据分钟，收费元，即可求得函数关系式； （3）根据时间路程速度，求出时间，分别代入，； （4）根据提亚和函数图象可知分为两种情况，然后列出相应方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，骑行时间是自变量， 故答案为：骑行时间； 【小问2详解】 设品牌的函数关系式为， 点在该函数图象上， ， 解得：， ． 故答案为： 【小问3详解】 小明从家到工厂的时间为： 分钟， 由图象可知，当时，， 小明选择品牌更省钱． 【小问4详解】 由题意可知， 当时，， 解得：， 当时，设品牌的函数关系式为： 点在该函数图象上， ， 解得：， ， 由题意可得：， 解得：， 综上所述：值为或． 故答案为：或． 25. 阅读下列材料，解决相应问题： 已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“友好数对”．例如，所以和与和都是“友好数对” 请你判断和是否是“友好数对”，并探究“友好数对”中四个数字之间的数量关系，再根据这一数量关系写出一对新的“友好数对”． 【答案】34和86是“友好数对”，这两个两位数的十位的乘积等于两个数的个位的乘积；一对新的“友好数对”为和 【解析】 【分析】本题考查了有理数的计算、整式的运算，多项式乘多项式计算和，根据定义判断；利用“十位数字个位数字”表达出交换后的两位数，结合友好数对的定义列出等量关系，并化简，即可求解，进而根据数量关系写出一对新的“友好数对”． 【详解】解：，， ， 和是“友好数对”， ∵一个数的十位数字为个位数字为；另一个数的十位数字为个位数字为 交换后十位数字为个位数字为另一个的十位数字为个位数字为 两个数依次表示为 这两个数是友好数对， ， 化简得： 即这两个两位数的十位的乘积等于两个数的个位的乘积 根据题意，写出一对新的“友好数对”为和． 26. 如图1，等边的边长为，点是直线上异于，的一动点，连接，以为边长，在右侧作等边，连接． 【初步感知】 （1）求证：； 【类比探究】 （2）当点在直线上运动时， ①与的数量关系是； ②的周长是否存在最小值？若存在，求此时的长；若不存在，说明理由； 【拓展应用】 （3）当点在直线上运动时，能否形成直角三角形？若能，请直接写出此时的长；若不能，说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）①；②；（3）或 【解析】 【分析】（1）证即可得证； （2）①同第一问，证证即可得证； ②由(1)得，则，因为，所以要使的周长最小，只要最小，当时，的长最小，此时最小，由“三线合一”即可求出的长； （3）分两种情况：当时和当时，分别作出图形，作于点，利用（1）的结果及勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：、都是等边三角形， ．，，，， ， ， ． （2）①如图，当点在线段上、点在延长线上、点在延长线上时， 证明方法同第一问： 、都是等边三角形， ，，，， ， ， ． 故答案为：． ②的周长存在最小值，由（1）得， ， ， 要使的周长最小，则最小， ， 当时，的长最小，如图2， ，， ； （3）当点在直线上运动时，能形成直角三角形，分两种情况， ①当时，作于点，如图3， ， ， ， ，， ， ， ， ； ②当时，作于点，如图4， 同理得，， 设， 由（1）得， ， ， 由勾股定理得，， 即， 解得，， ， 综上，当点在直线上运动时，能形成直角三角形，的值为或． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理求最短路线问题、勾股定理等知识，灵活运用全等三角形的判定与性质、勾股定理是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$