专题01 三角形（基础类型）-2024-2025学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版）

专题01三角形思维导图 【类型覆盖】 类型一、三角形的边 【解惑】下列长度的三条线段能组成三角形的是（    ） A．2、2、3 B．2、2、5 C．5、5、11 D．1、2、3 【融会贯通】 1．一位木工师傅有两根长分别是和的木条，他需要用第三根木条钉成一个封闭的三角形框架，则第三根木条的长度可以为（    ） A． B． C． D． 2．若一个三角形的边长均为整数，且两边长分别为3和5，则这样的三角形共有 个． 3．自从开展了劳动教育课程后，小宇同学喜欢上了小动物．他准备了一段长的篱笆，想在自家院子的一个角落围成一个三角形形状的场地，用于饲养小兔子．由于场地限制，若第一条边长为，则第二条边长只能是第一条边长的3倍还少． (1)请用x表示第三条边长． (2)第一条边长可以为吗？请说明理由． 类型二、三角形的高 【解惑】小林求的面积时、作了边上的高，下列作图正确的是（　　） A．   B．   C．   D．   【融会贯通】 1．如图，在△中，，，，是边上的中线，则的面积为（    ）    A． B． C． D． 2．如图，在中，、分别是边上的中线和高，，的面积为，则 ． 3．如图，在的方格纸中，的顶点均在格点上，画图并填空： (1)将向左平移格，再向上平移格，请在图中画出平移后的． (2)画出的高和中线． (3)点P为格点且（点P与点B不重合），这样的点P共有______个． 类型三、三角形的中线 【解惑】如图，在中，点D是边上的中点，若和的周长分别为16和11，则的值为（    ） A．5 B．11 C．16 D．27 【融会贯通】 1．如图所示，在中，D、E、F分别为、、的中点，且（阴影部分），则的面积等于（    ）． A． B． C． D． 2．如图中的每个小方格都是边长为1的正方形，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的格点上，则表示三条中线的交点是 ．    3．如图，在方格纸内将水平向右平移4个单位得到．    (1)画出； (2)若连接，，则这两条线段之间的关系是_________； (3)画出边上的中线；（利用网格点和直尺画图） (4)图中能使的格点P有_________个（点P异于点A）． 类型四、三角形的角平分线 【解惑】如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列说法中错误的是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面结论：①的面积的面积；②；③；④.其中正确结论的序号是 . 3．如图，是的角平分线，P是延长线上的一点，交于点M，交于点N．试说明：平分． 类型五、三角形的稳定性 【解惑】如图，空调外机安装在墙壁上时，有时会用三角形支架固定在墙壁上，这种做法蕴含的数学原理是（   ） A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短 C．三角形的稳定性 D．两点确定一条直线 【融会贯通】 1．如图，学校门口设置的移动拒马护栏是由多个钢管焊接的三角形组成的，这里面蕴含的数学原理是（    ） A．两点之间，线段最短 B．三角形的稳定性 C．三角形的任意两边之和大于第三边 D．三角形的内角和等于 2．生活中处处有数学，如自行车的三角架是三角形的稳定性的应用，而能够自由开关的活动窗户（如图）的支撑装置（四边形设计成平行四边形，其中应用的数学原理是 ． 3．三角形的三边长是三个连续的整数，且三角形的周长小于，求满足条件的三角形的三边的长． 类型六、三角形的内角与外角 【解惑】若三角形三个内角的度数分别是，，，则的值为（   ） A．30 B．45 C．60 D．90 【融会贯通】 1．如图，直线，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．如图，是直角三角形．若，则 °． 3．如图，在中，，是的外角，平分． (1)求的度数； (2)与平行吗？请说明理由． 类型七、多边形的边与对角线 【解惑】过多边形的一个顶点可以作4条对角线，则这个多边形的边数是（   ） A．六 B．七 C．八 D．九 【融会贯通】 1．从五边形一个顶点引出的对角线把该五边形分成n个三角形，则n是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 2．若一个多边形的一条对角线将其分成两个四边形，则该多边形的边数是 ． 3．连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线，如图（1），、是五边形的对角线．思考下列问题： (1)如图（2），边形中，过顶点可以画 条对角线，它们分别是 ；过顶点可以画 条对角线，过顶点可以画 条对角线． (2)过顶点的对角线与过顶点的对角线有相同的吗？过顶点的对角线与过顶点的对角线有相同的吗？ (3)在此基础上，你能发现边形的对角线条数的规律吗？ 类型八、多边形的内角和与外角和 【解惑】把边长相等的正五边形和正方形按如图方式拼在一起，延长交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．一个多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个多边形对角线的条数是（    ） A．6 B．9 C．10 D．18 2．如图，蚂蚁先从点A出发前进，向右转，再前进，又向右转，…，这样一直走下去，那么蚂蚁第一次回到出发点A时，一共走了 ．    3．看图回答问题： (1)内角和为，小明为什么说不可能？ (2)小华求的是几边形的内角和？ (3)错把外角当内角加一起的那个外角的度数你能求出来吗？它是多少度？ 【一览众山小】 1．下列说法正确的个数是（    ） ①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③对顶角相等；④三角形任意两边之和大于第三边；⑤同位角相等；⑥三角形的三条高线交于一点． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．只用同一种正多边形地砖密铺地板，这种正多边形地砖不可以是（   ） A．正三角形 B．正方形 C．正六边形 D．正八边形 3．如图，中，为的角平分线，为的高，，，那么是（    ）    A． B． C． D． 4．如果一个多边形的每一个内角都是，那么这个多边形的边数为 ． 5．若一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为 ． 6．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的顶点都在正方形网格的格点（网格线的交点）上，将经过一次平移得到，点D、E、F分别是A、B、C的对应点． (1)画出平移后的； (2)利用格点图画出中边上的高； (3)在格点上找一点P（不与A点重合），使的面积等于的面积．满足这样条件的点P共 个； (4)平移过程中，线段扫过的图形面积是 ． 7．如图，在中，，，于点D，平分交于点E，于点F． (1)求的度数； (2)求的度数． 8．在和（共边且不重合）中，， (1)如图1，当和均为钝角三角形，在直线两侧时，和之间的数量关系为 ． (2)如图2，当和均为锐角三角形，且在直线两侧时，和之间的数量关系为 ． (3)如图3，当为钝角三角形，为锐角三角形，且在直线同侧时，求证：． (4)分别作和的角平分线，两条角平分线所在直线交于点（点不与点或者点重合），当时，直接写出的度数． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01三角形思维导图 【类型覆盖】 类型一、三角形的边 【解惑】下列长度的三条线段能组成三角形的是（    ） A．2、2、3 B．2、2、5 C．5、5、11 D．1、2、3 【答案】A 【分析】本题考查三角形的三边关系，比较两条较短的线段的长度和与较长线段的大小关系，即可． 【详解】解：A、，能组成三角形，符合题意； B、，不能构成三角形，不符合题意； C、，不能构成三角形，不符合题意； D、，不能构成三角形，不符合题意； 故选A． 【融会贯通】 1．一位木工师傅有两根长分别是和的木条，他需要用第三根木条钉成一个封闭的三角形框架，则第三根木条的长度可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形三边关系，根据第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和，根据三角形的三边关系得到第三边的范围，即可求解． 【详解】解：设第三边的长为， ∴三角形的第三边x满足：，即， 只有C选项符合， 故选：C． 2．若一个三角形的边长均为整数，且两边长分别为3和5，则这样的三角形共有 个． 【答案】5 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，解题的关键是掌握三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．三角形的两边差小于第三边．设第三边的长为，根据三角形的三边关系的定理可以确定的取值范围，进而得到答案． 【详解】解：设第三边的长为，则 ， 所以． 为整数， 可取3，4，5，6，7． ∴这样的三角形共有5个， 故答案为：5． 3．自从开展了劳动教育课程后，小宇同学喜欢上了小动物．他准备了一段长的篱笆，想在自家院子的一个角落围成一个三角形形状的场地，用于饲养小兔子．由于场地限制，若第一条边长为，则第二条边长只能是第一条边长的3倍还少． (1)请用x表示第三条边长． (2)第一条边长可以为吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)不可以，理由见解析 【分析】本题考查了三角形的三边关系，列代数式求值，熟练掌握三角形的三边关系并灵活运用是解决本题的关键； （1）三角形的第三边周长另外两边之和，据此解答即可； （2）根据三角形的三边关系即可判断． 【详解】（1）第一条边长为，第二条边长只能是第一条边长的3倍还少， 第二条边长是， 准备了一段长的篱笆， 第三边为：； （2）第一条边长不可以为．理由如下： 当时，三边长分别为4，11，5． ， 不能构成三角形， 第一条边长不可以为． 类型二、三角形的高 【解惑】小林求的面积时、作了边上的高，下列作图正确的是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题主要考查了作三角形的高线，从点B作，交的延长线于点E，确定图形即可． 【详解】过点B作，交的延长线于点E，如图所示．    故选：D． 【融会贯通】 1．如图，在△中，，，，是边上的中线，则的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查利用三角形的中线求面积，先求出的面积，根据中线平分面积即可得出结果． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵是边上的中线， ∴； 故选A． 2．如图，在中，、分别是边上的中线和高，，的面积为，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了三角形中线的性质，三角形的面积，熟知三角形中线的性质和三角形的面积计算公式是关键． 由为边上的中线可得，再根据三角形的面积计算公式，可解出的长． 【详解】解：为边上的中线， ， 即， 又， 解得：， 故答案为：． 3．如图，在的方格纸中，的顶点均在格点上，画图并填空： (1)将向左平移格，再向上平移格，请在图中画出平移后的． (2)画出的高和中线． (3)点P为格点且（点P与点B不重合），这样的点P共有______个． 【答案】(1)图见详解 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查作图—平移变换，三角形的高和中线，熟练掌握作图技巧是解题的关键； （1）分别作出A，B，C都是对应点，，，然后顺次连接即可； （2）根据题意知与格线的交点为E，连接即可；根据高线的定义，作即可； （3）过作的平行线，平移至，根据图象可得结论． 【详解】（1）如图，即为所求； ， （2）如图，高和中线，即为所求； ； （3）解：如图，过B作的平行线，平移至l， 则使的点P共有个 故答案为： 类型三、三角形的中线 【解惑】如图，在中，点D是边上的中点，若和的周长分别为16和11，则的值为（    ） A．5 B．11 C．16 D．27 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形的中线的概念，根据线段中点的概念得到，根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：∵点D是边上的中点， ， 的周长为16， 的周长为11， ， 的周长的周长， 故选：A． 【融会贯通】 1．如图所示，在中，D、E、F分别为、、的中点，且（阴影部分），则的面积等于（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形的中线及三角形的面积，利用三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分得到，再利用点为的中点得到，然后利用点为的中点得到，，从而得到的值．解题的关键是掌握：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，三角形的面积等于底与高的乘积的一半． 【详解】解：∵点是的中点，（阴影部分）， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵点为的中点， ∴，， ∴， ∴的面积等于． 故选：A． 2．如图中的每个小方格都是边长为1的正方形，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的格点上，则表示三条中线的交点是 ．    【答案】D 【分析】分别确定边与边的中点，然后连接中线，其交点D就是三条中线的交点． 【详解】如图，设的中点是点M，的中点为点N，则均是的中线，中线与中线的交点D即为三条中线的交点．    故答案为：D． 【点睛】本题考查了三角形三条中线的交点（即三角形的“重心”）的画法，解题的关键是熟知三角形的三条中线相交于一点． 3．如图，在方格纸内将水平向右平移4个单位得到．    (1)画出； (2)若连接，，则这两条线段之间的关系是_________； (3)画出边上的中线；（利用网格点和直尺画图） (4)图中能使的格点P有_________个（点P异于点A）． 【答案】(1)作图见解析 (2)平行且相等 (3)作图见解析 (4)3 【分析】本题主要考查了平移作图，平移的性质，三角形面积的计算，解题的关键是作出平移后的对应点． （1）先作出点A、B、C平移后的对应点，然后顺次连接即可； （2）根据平移的性质解答即可； （3）找出的中点D，然后连接即可； （4）过点A作的平行线，找出此平行线上的格点即可． 【详解】（1）如图，即为所求．    （2）连接，，根据平移性质可知，这两条线段之间的关系是平行且相等； 故答案为：平行且相等． （3）解：如图，即为所求． （4）解：如图，过点A作的平行线，所经过的格点，，即为满足条件的点，共有3个． 故答案为：3． 类型四、三角形的角平分线 【解惑】如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列说法中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中线、高线及角平分线的意义，三角形一边上的中线平分此三角形的面积等知识．根据上述知识逐项进行判断即可． 【详解】解：∵是的中线， ，A说法正确，不符合题意； 是高， ， ，B说法正确，不符合题意； 是角平分线， ，而与不一定相等，C说法错误，符合题意； ， ，D说法正确，不符合题意； 故选：C． 【融会贯通】 1．如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形高，中线，角平分线的定义，熟知相关定义是解题的关键．根据三角形高，中线，角平分线的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A、是的中线，，原结论正确，不符合题意； B、是的角平分线，，原结论正确，不符合题意； C、是的中线，，，原结论错误，符合题意； D、是的高，，原结论正确，不符合题意； 故选：C． 2．如图，在中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面结论：①的面积的面积；②；③；④.其中正确结论的序号是 . 【答案】①②③ 【分析】本题考查了三角形的中线、高、角平分线；根据三角形角平分线和高的性质可确定角之间的数量关系；根据三角形的中线和面积公式可确定和的面积关系以及求出的长度． 【详解】解： 是的中线 的面积等于的面积   故正确； ，是的高 ， 是的角平分线 ∴ 又 故正确；   故正确； 故错误； 故答案为：①②③． 3．如图，是的角平分线，P是延长线上的一点，交于点M，交于点N．试说明：平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义；由是角平分线得；由两平行条件及等量代换可得，再由角平分线的定义即可证明结论． 【详解】∵是的角平分线， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴平分． 类型五、三角形的稳定性 【解惑】如图，空调外机安装在墙壁上时，有时会用三角形支架固定在墙壁上，这种做法蕴含的数学原理是（   ） A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短 C．三角形的稳定性 D．两点确定一条直线 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性．正确掌握三角形的这一性质是解题的关键． 用三角形支架把空调外机固定在墙壁上，是应用了三角形的稳定性． 【详解】由图可知，这种方法蕴含的数学原理是：三角形的稳定性． 故选：C． 【融会贯通】 1．如图，学校门口设置的移动拒马护栏是由多个钢管焊接的三角形组成的，这里面蕴含的数学原理是（    ） A．两点之间，线段最短 B．三角形的稳定性 C．三角形的任意两边之和大于第三边 D．三角形的内角和等于 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的稳定性是实际应用，学校门口设置的移动拒马护栏做成三角形的形状，利用三角形不变形即三角形的稳定性，从而可得答案，掌握“三角形具有稳定性”是解题的关键． 【详解】解：因为学校门口设置的移动拒马都用钢管焊接成三角形， 所以这样做的数学原理是利用了三角形的稳定性， 故选：B． 2．生活中处处有数学，如自行车的三角架是三角形的稳定性的应用，而能够自由开关的活动窗户（如图）的支撑装置（四边形设计成平行四边形，其中应用的数学原理是 ． 【答案】平行四边形具有不稳定性 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，利用平行四边形的不稳定性求解可得． 【详解】解：因为平行四边形具有不稳定性， 所以可以灵活的开关窗户， 故窗户的支撑装置（四边形被设计成平行四边形． 故答案为：平行四边形具有不稳定性． 3．三角形的三边长是三个连续的整数，且三角形的周长小于，求满足条件的三角形的三边的长． 【答案】满足条件的三角形的三边的长分别为，，或，，或，，或，， 【分析】本题考查三角形三边关系（三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边）．利用三角形的三边长是三个连续的自然数，可设三角形三边的长分别为，，，根据三角形三边的关系得到，解得，根据三角形的周长小于得到，解得，从而得到为，，，，然后分别计算出三角形三边的长．解题的关键是根据三角形的三边关系得出：三角形的第三边小于两边之和且大于两边之差．也考查了不等式组的应用． 【详解】解：设三角形三边的长分别为，，， ∴， 解得：， ∵三角形的周长小于， ∴， 解得：， ∴， 又∵为整数， ∴为，，，， 当时，三角形的三边的长分别为，，； 当时，三角形的三边的长分别为，，； 当时，三角形的三边的长分别为，，； 当时，三角形的三边的长分别为，，， ∴满足条件的三角形的三边的长分别为，，或，，或，，或，，． 类型六、三角形的内角与外角 【解惑】若三角形三个内角的度数分别是，，，则的值为（   ） A．30 B．45 C．60 D．90 【答案】C 【分析】本题考三角形内角和定理及解方程，由题意列方程求解即可得到答案，熟记三角形内角和定理是解决问题的关键． 【详解】解：三角形三个内角的度数分别是，，， 由三角形内角和定理可得， 即， 解得， 故选：C． 【融会贯通】 1．如图，直线，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据平行线的性质可知，利用是的外角，即可求得答案． 【详解】解：， 又是的外角， 故选：B． 2．如图，是直角三角形．若，则 °． 【答案】90 【分析】本题主要考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余等知识，延长交于点D，由平行线的性质可得出，根据直角三角形两锐角互余可得出，进而可得出，变形即可得出． 【详解】解：延长交于点D，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：90． 3．如图，在中，，是的外角，平分． (1)求的度数； (2)与平行吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)平行，理由见解析 【分析】本题考查三角形的内角和定理，三角形的外角，平行线的判定： （1）根据，结合三角形的内角和定理，进行求解即可； （2）根据三角形外角的性质，角平分线的性质，推出即可得证． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）平行，理由如下： ∵是的外角，平分 ∴，， ∴， ∴． 类型七、多边形的边与对角线 【解惑】过多边形的一个顶点可以作4条对角线，则这个多边形的边数是（   ） A．六 B．七 C．八 D．九 【答案】B 【分析】本题考查了多边形的对角线，掌握过n边形的一个顶点可以作条对角线是解题关键．过n边形的一个顶点可以作条对角线，据此解答即可． 【详解】解：设多边形的边数是n， 由题意得：， ． 这个多边形的边数是七． 故选：B． 【融会贯通】 1．从五边形一个顶点引出的对角线把该五边形分成n个三角形，则n是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】此题主要考查了多边形的对角线，理解从边形的一个顶点引出的对角线把边形分成个三角形是解决问题的关键．根据从边形的一个顶点引出的对角线把边形分成个三角形可得出答案． 【详解】解：从五边形一个顶点引出的对角线把该五边形分成个三角形． ， 故选：C 2．若一个多边形的一条对角线将其分成两个四边形，则该多边形的边数是 ． 【答案】六/ 【分析】本题考查了多边形的对角线，根据一个多边形被一条对角线分成两个四边形，可得多边形的边数，可得答案． 【详解】解：两个四边形有一条公共边，得多边形边的数目是， 故答案为：六． 3．连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线，如图（1），、是五边形的对角线．思考下列问题： (1)如图（2），边形中，过顶点可以画 条对角线，它们分别是 ；过顶点可以画 条对角线，过顶点可以画 条对角线． (2)过顶点的对角线与过顶点的对角线有相同的吗？过顶点的对角线与过顶点的对角线有相同的吗？ (3)在此基础上，你能发现边形的对角线条数的规律吗？ 【答案】(1)，，， (2)过点的和过点的没有重复的，但和过点的有重复的和重复） (3)边形的对角线条数的为 【分析】此题考查了多边形的对角线的知识． （1）过点和任意不相邻的两点连接可得出到一条对角线；同理可得过点、的情况． （2）过点的和过点的没有重复的，但和过点的有重复的和重复）； （3）过每一点有条对角线，除去重复的即可得出总对角线的条数． 【详解】（1）解：过顶点可以画条对角线，它们分别是； 过顶点可以画条对角线， 过顶点可以画条对角线； 故答案为：，，，； （2）解：过点的和过点的没有重复的，但和过点的有重复的和重复）； （3）解：边形的一个顶点不能与它本身及左右两个邻点相连成对角线，故可连出条， 共有个顶点，应为条，这样算出的数，正好多出了一倍，所以再除以2． 即边形的对角线条数的为． 类型八、多边形的内角和与外角和 【解惑】把边长相等的正五边形和正方形按如图方式拼在一起，延长交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形的内角和定理，外角和定理的运用，根据正五边形，正方形的内角和分别求出的度数，再根据角度的和差计算方法即可求解，掌握正多边形内角和定理是解题的关键． 【详解】解：根据题意，， ∵延长交于点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 故选：C ． 【融会贯通】 1．一个多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个多边形对角线的条数是（    ） A．6 B．9 C．10 D．18 【答案】B 【分析】本题考查了多边形内角与外角以及多边形的对角线，先根据该多边形的内角和是外角和2倍，可得出：，求出多边形的边数n，再根据n边形对角线的总条数为：，求解即可． 【详解】解：∵该多边形的内角和是外角和2倍， ∴， 解得：， ∴这个多边形的对角线的总条数为：． 故选：B． 2．如图，蚂蚁先从点A出发前进，向右转，再前进，又向右转，…，这样一直走下去，那么蚂蚁第一次回到出发点A时，一共走了 ．    【答案】30 【分析】本题主要考查了多边形内角与外角的应用，解题的关键是判断出蚂蚁所走的路线为正多边形，牢记任何一个多边形的外角和都是，正多边形的每一个外角都相等． 由题意可知蚂蚁所走的路线为正多边形，根据多边形的外角和定理即可求出答案． 【详解】解：蚂蚁从点出发最后回到出发点时正好走了一个正多边形， 根据外角和定理可知正多边形的边数为， 则一共走了（厘米）． 故答案为：30． 3．看图回答问题： (1)内角和为，小明为什么说不可能？ (2)小华求的是几边形的内角和？ (3)错把外角当内角加一起的那个外角的度数你能求出来吗？它是多少度？ 【答案】(1)见解析 (2)13边形的内角和 (3)能，这个外角为 【分析】本题主要考查了多边形内角和，一元一次不等式的应用．解决本题的关键是熟练掌握多边形的内角和公式．n边形的内角和是． （1）n边形的内角和是，因而内角和一定是180度的倍数，据此可进行解答； （2）设这个多边形的边数为n，根据已知可得，进行求解即可，注意n为正整数； （3）根据上面的结果求出这个多边形的内角和，再用减去求出的结果，计算即可． 【详解】（1）∵不是的整数倍， ∴小明说不可能． （2）设这个多边形的边数为n， 由题意，得． 解得． ∵n为整数， ∴． ∴小华求的是13边形的内角和． （3）∵当时，， ， ∴这个外角为． 【一览众山小】 1．下列说法正确的个数是（    ） ①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③对顶角相等；④三角形任意两边之和大于第三边；⑤同位角相等；⑥三角形的三条高线交于一点． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查平行线的判定和性质，对顶角，三角形的高，垂线，三角形三边关系等知识，掌握相关定理和性质是解题的关键． 【详解】解：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；故①错误， 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故②错误， 对顶角相等，故③正确， 三角形任意两边之和大于第三边，故④正确， 两直线平行，同位角相等，故⑤错误， 三角形的三条高线所在直线交于一点，故⑥错误， 正确的有③，④ 故选：B． 2．只用同一种正多边形地砖密铺地板，这种正多边形地砖不可以是（   ） A．正三角形 B．正方形 C．正六边形 D．正八边形 【答案】D 【分析】此题考查了平面镶嵌，根据几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角，对每项进行分析即可． 【详解】解：A、等边三角形的每个内角是，能整除，能密铺； B、正方形的每个内角是，个能密铺； C、正六边形的每个内角是，能整除，个能密铺； D、正八边形每个内角是，不能整除，不能密铺． 故选：D． 3．如图，中，为的角平分线，为的高，，，那么是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的高，角平分线，对顶角相等，解题的关键是掌握这些知识点． 根据三角形内角和定理得，根据角平分线得，根据高得，可得，根据对顶角相等即可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∵为的高， ∴， ∴ ∴， 故选：A． 4．如果一个多边形的每一个内角都是，那么这个多边形的边数为 ． 【答案】6/六 【分析】本题主要考查的是多边形的内角和公式，依据多边形的内角和公式列方程求解即可． 【详解】解：， 解得：， 故答案为：6． 5．若一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为 ． 【答案】6/六 【分析】本题考查了多边形的内角和，一元一次方程的应用．熟练掌握多边形的内角和，一元一次方程的应用是解题的关键． 设多边形的边数为，依题意得，，计算求解即可． 【详解】解：设多边形的边数为， 依题意得，， 解得，， 故答案为：6． 6．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的顶点都在正方形网格的格点（网格线的交点）上，将经过一次平移得到，点D、E、F分别是A、B、C的对应点． (1)画出平移后的； (2)利用格点图画出中边上的高； (3)在格点上找一点P（不与A点重合），使的面积等于的面积．满足这样条件的点P共 个； (4)平移过程中，线段扫过的图形面积是 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)7 (4)9 【分析】本题考查作图平移变换，三角形的高，割补法求面积等知识，解题的关键是如何用相关知识在网格中找出关键的格点． （1）根据平移的性质画图即可； （2）根据三角形高线的概念和网格的特点求解即可； （3）利用等底等高的两三角形面积相等即可求解； （4）利用割补法求出四边形的面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，即为所求． （3）解：如图，均满足题意， ∴足这样条件的点P共7个． 故答案为：7． （4）解：平移过程中，线段扫过的图形面积是 ． 故答案为：9． 7．如图，在中，，，于点D，平分交于点E，于点F． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了三角形内角和定理与直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． （1）先求出，再根据角平分线的定义得出结论； （2）利用三角形内角和定理求出，利用直角三角形性质求出结论． 【详解】（1）解： 平分 ； （2）由（1）知 又 8．在和（共边且不重合）中，， (1)如图1，当和均为钝角三角形，在直线两侧时，和之间的数量关系为 ． (2)如图2，当和均为锐角三角形，且在直线两侧时，和之间的数量关系为 ． (3)如图3，当为钝角三角形，为锐角三角形，且在直线同侧时，求证：． (4)分别作和的角平分线，两条角平分线所在直线交于点（点不与点或者点重合），当时，直接写出的度数． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4)， 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，外角和定理，四边形的内角和定理，角平分线的性质的综合，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． （1）根据三角形的外角的性质定理即可求解； （2）根据多边形的内角和的公式即可求解； （3）根据三角形的外角和定理，角的等量代换即可求解； （4）根据题意，结合（1）、（2）、（3）的结论，角平分线的性质，三角形的内角和定理，外角和定理，分类讨论，由此即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，延长，    在，中，，， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：根据四边形的内角和可知，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （3）证明：如图所示，设交于点，    ∵在中，，在中，， ∴， 又∵，， ∴ ， ∵， ∴． （4）解：①如图所示，，分别是的平分线，，    ∴，， ∵，， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴； ②如图所示，，分别是的平分线，，且，，    ∴，， ∴， 由（2）可知，， ∴， 在四边形中，根据四边形内角和可得，； ③如图所示，，分别是的平分线，，设交于点，    在中，，在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由（3）可知，， ∴， ∴； ④如图所示，是的角平分线，交于点，是的角平分线， 由②可得，则， ∵， ∴， ∴． 综上所示，的度数为． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$