专题01 三角形（优质类型）-2024-2025学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版）

专题01三角形思维导图 【类型覆盖】 类型一、特殊三角形——等腰三角形 【解惑】等腰三角形的一边为4，另一边为9，则这个三角形的周长为（   ） A．17 B．22 C．13 D．17或22 【融会贯通】 1．在等腰△ABC 中，AB=AC，中线 BD将这个三角形的周长分为 15和12 两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（    ） A．7 B．10 C．7 或 11 D．7 或 10 2．如图，是等腰底边上的中线，平分交于点，若，，则的面积为 ． 3．多边形的内角中，锐角的最多的个数为a，内角和为的多边形的边数为b，如果以a、b为等腰三角形的两边，则这个三角形的周长为 ． 类型二、特殊三角形——直角三角形 【解惑】两个直角三角板如图摆放，其中，，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．两个直角三角板如图所示摆放，其中，，，，分别与交于点，，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 2．在，中，，现将直角顶点按照如图方式叠放，点在直线上方，且，能使有一条边与平行的所有的度数为 ． 3．如图，直线，一块含角的直角三角尺的一条边在上现将绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转的对应点分别是，，同时，直线绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转的对应点是设旋转时间为秒．    （1） ；用含的代数式表示 （2）在旋转的过程中，若直线与边平行时，则的值为 ． 类型三、三角形的内角、外角平分线 【解惑】如图，将平移后得到，若，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，已知在中，，现将分别沿边翻折得到，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，，点在直线左侧，，，射线从射线出发，绕点B以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时射线从射线出发，绕点C以每秒的速度按顺时针方向旋转，当射线旋转时两条射线都停止旋转．射线与射线交于点，若，则射线旋转了 秒．    3．如图1，将三角板与三角板摆放在一起．如图，其中，，．固定三角板，将三角板绕点按顺时针方向旋转，记旋转角． (1)若，则为 ； (2)当时，连接，如图，则 ．    类型四、三角形的n等分角 【解惑】直线与直线相交于点O，点A在射线上运动，点B在射线上运动．    (1)如图1，当直线与直线垂直时，、分别是和的角平分线，点A，B在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，请说明理由，并求出的大小．（提示：三角形三个内角的和等于） (2)如图2，点A，B在运动的过程中，、分别是和的角平分线，、的延长线交于点F，的角平分线和的角平分线相交于点E．求证：．（提示：可作结论用） (3)如图2，点A，B在运动的过程中，请探究与的数量关系，并说明理由． 【融会贯通】 1．如图①，在中，与的平分线相交于点P． (1)如果，求的度数； (2)如图②，作外角，的角平分线交于点Q，试探索，之间的数量关系． 2．小明同学在学习了三角形内角和定理和外角的相关知识后，对三角形角之间的关系进行了探究学习．如图，在中，的角平分线与的角平分线相交于点． (1)【问题解决】 如图1，若，则______度，______度； (2)【问题探究】 如图2，和是的两个外角，的角平分线与的角平分线相交于点，试确定和之间的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】 如图3，在四边形中，延长到点的角平分线与的角平分线相交于点，请直接写出与之间的数量关系． 3．综合与探究 【问题发现】 在延时服务课上，数学张老师引导大家探究角平分线的夹角问题． （1）数学课代表发现在图1中，若与的平分线交于点P，则与之间存在一定的数量关系，下面是不完整的探究过程，请补充完整． ，分别是和的平分线， ，． ， ， …… 【问题探究】 （2）如图2，在（1）的条件下，作的外角，的平分线交于点Q，试说明． 【问题拓展】 （3）如图3，在（2）的条件下，延长线段，交于点E，在中． ①请说明与之间的数量关系． ②当与两锐角存在2倍的数量关系时，直接写出的度数． 类型五、三角形的八字形 【解惑】【提出问题】已知如图1，是、的角平分线的交点，你能找到、的关系吗？ 【分析问题】在解决这个问题时，某小组同学是这样做的： 先赋予几个特殊值： 当时，计算出； 当时，计算出； 当时，计算出； 由以上特例猜想与的关系为：．再证明这一结论： 证明：点是、的角平分线的交点． ； 又 【解决问题】请运用以上解决问题的“思想方法”解决下面的几个问题： (1)如图2，若点是、的三等分线的交点，即，，猜测与的关系为________，证明你的结论． (2)若点是、的四等分线的交点，即，，则与的关系为________．（直接写出答案，不需要证明） (3)若点是、的等分线的交点，即，，则与的关系为________．（直接写出答案，不需要证明） 【融会贯通】 1．已知在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，M、N分别为射线AB、AD上一点． （1）若∠ABC＝60°，求∠ADC的大小； （2）如图①，若DE平分∠ADC，BF平分∠CBM，求证：DE⊥BF； （3）如图②，若BE，DE分别n等分∠ABC、∠ADC的外角（即∠CDE＝∠CDN，∠CBE＝∠CBM），试用含n的式子表示∠E的度数． 2．【探究发现】 如图1，在中，点是内角和外角的角平分线的交点，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 【迁移拓展】 如图2，在中，点是内角和外角的等分线的交点，即，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 【应用创新】 如图3，相交于点的角平分线交于点，请直接写出的度数． 3．已知△ABC中，∠BAC=100°． （1）若∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，如图1所示，试求∠BOC的大小； （2）若∠ABC和∠ACB的三等分线（即将一个角平均分成三等分的射线）相交于O，O1，如图2所示，试求∠BOC的大小； （3）如此类推，若∠ABC和∠ACB的n等分线自下而上依次相交于O，O1，O2…，如图3所示，试探求∠BOC的大小与n的关系，并判断当∠BOC=170°时，是几等分线的交线所成的角． 类型六、三角形的三大运动 【解惑】【数学模型】 如图（1），，交于O点，根据“三角形内角和是”，不难得出两个三角形中的角存在以下关系：①；②． 【提出问题】 分别作出和的平分线，两条角平分线交于点E，如图（2），与、之间是否存在某种数量关系呢？ 【解决问题】 为了解决上面的问题，我们先从几个特殊情况开始探究，已知的平分线与的平分线交于点E． （1）如图（3），若，，，则_______． （2）如图（4），若不平行，，，则_______． （3）在总结前两问的基础上，借助图（2），写出与、之间的数量关系，并说明理由． 【类比应用】 （4）如图（5），的平分线与的平分线交于点E．已知：、，，求的大小，并说明理由（用、表示）． 【融会贯通】 1．如图①，线段，相交于点，连接，，我们把形如图①的图形称为“字形”，试解答下列问题； (1)在图①中，请直接写出，、，之间的数量关系； (2)在图②中，若、，和的平分线和相交于点，并且与，分别相交于点，，利用（1）的结论，试求的度数． 2．（1）已知：如图①的图形我们把它称为“8字形”，试说明：． （2）如图②，分别平分，若，求的度数． （3）如图③，直线平分，平分的外角，猜想与的数量关系并证明．    3．[问题背景] （1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说理证明； [简单应用]（可直接使用问题（1）中的结论） （2）如图2，、分别平分、， ①若，，求的度数； ②和为任意角时，其他条件不变，试直接写出与、之间的数量关系为 ． [问题探究] （3）如图3，直线平分的邻补角，平分∠ADC的邻补角，若，，则的度数为 ． [拓展延伸] （4）在图4中，若设，，，，试问与、之间的数量关系为 ．（用x、y的代数式表示）    类型七、三角形的新定义 【解惑】【定义】如果两个角的差为，就称这两个角互为“伙伴角”，其中一个角叫做另一个角的“伙伴角”． 例如：，即是的“伙伴角”，也是的“伙伴角”． (1)已知和互为“伙伴角”，且，则 ． (2)如图1所示，在中，，过点C作的平行线，的平分线分别交于D、E两点 ①若，且和互为“伙伴角”，求的度数； ②如图2所示，的平分线交于点F，当和互为“伙伴角”时，的度数为多少？ 【融会贯通】 1．定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”.    (1)如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），． ①求、的度数． ②若是中边上的高，则、都是“友爱三角形”吗？为什么？ (2)如图2，在中，，，D是边上一点（不与点A，B重合），连接，若是“友爱三角形”，直接写出的度数． 2．我们知道，任何一个三角形的三条内角平分线相交于一点，      (1)如图1，若与，求的度数． (2)如图2，若的三条内角平分线相交于点I，过I作分别交于点D、E．试写出与之间有何数量关系，并说明理由． (3)定义：有两个角分别相等的两个三角形叫“孪生三角形”， ①图2中“孪生三角形”共 对； ②图2中当与满足怎样的数量关系时，与也成为“孪生三角形”（直接写出结论）． 3．新定义：在中，若存在一个内角是另外一个内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称为n倍角三角形．例如，在 中，，可知，所以为2倍角三角形． (1)在中，，则为 倍角三角形． (2)已知：在图中直线被直线EF所截交点分别为E、F，，与的平分线交于点G，若 是6倍角三角形，求． (3)如图，顶点在直线上的O处，P为上方一点， ，若，则是几倍三角形？并说明理由． (4)在中，，若既可以是一个2倍角三角形，又可以是一个3倍角三角形，求∠A的度数． 类型八、无刻度尺作图 【解惑】请仅用无刻度的直尺完成以下作图： (1)如图，在中，、分别为、的角平分线，请作出的角平分线； (2)如图，在中，，点为边上一点，点，关于对称，请作出的一条垂线． 【融会贯通】 1．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图： (1)在图①中，确定一个格点（不与重合），连结、，使得的面积和的面积相等； (2)在图②中，确定一个格点，连结、，使得的面积是的面积的2倍； (3)在图③中，确定两个格点和，连结、和，使得四边形的面积是的面积的3倍． 2．如图都是8×8的网格正方形，且每个小正方形边长都为1，请你利用无刻度直尺，按下列要求画图，所画图形的顶点均在所给的小正方形的顶点上（保留作图痕迹，不写作法）． (1)在图1中，画一个，使； (2)在图2中，画一个三角形ABD，使三角形ABD的面积为6． 3．图①、图②、图③都是5×5的网格，每个小正方形的顶点称为格点，△的顶点均在格点上，在图①、图②、图③给定网格中，仅用无刻度的直尺，按下列要求完成画图，并保留作图痕迹． （1）在图①中边上找到格点，并连接，使将△面积两等分； （2）在图②中△的内部找到格点，并连接、，使△是△面积的． （3）在图③中△外部画一条直线，使直线上任意一点与、构成的三角形的面积是△的． 【一览众山小】 1．如图，把纸片沿折叠，当点落在四边形的外部时，此时测得，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，的三等分线、与的三等分线、分别交于点D、E，若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 3．如图，，若，，则 ． 4．如图，，点在上方，连接平分交于点G，，若， ． 5．教材呈现：华师版义务教育教科书数学七下第82页的部分内容． （1）对于上述问题，在解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 如图，在中，，，平分，平分，求的度数． 解：平分（已知）， ． 同理可得________． （________）， （等式的性质） ________ ________． 问题推广： （2）如图1，在中，、的角平分线交于点P，将沿折叠使得点A与点P重合，若，求的度数； （3）如图2，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，过点B作于点H，若，则_________度． 6．阅读材料： 如图1，已知的面积为60，，边上的中线，相交于点，求四边形的面积． 小明的解答方法如下： 连接，设，，则，． 由题意，得，． 可列方程组为 …… 解答问题： (1)根据小明的方法，四边形的面积为________； (2)如图2，已知的面积为60，，，，相交于点，求四边形的面积． 7．如果两个角的差等于，就称这两个角互为“宝藏角”．其中一个角叫做另一个角的“宝藏角”．例如，，，则和互为“宝藏角”，即是的“宝藏角”，也是的“宝藏角”． (1)已知和互为“宝藏角”，，且和互补，求的度数； (2)在中，，是的角平分线， 如图，点在射线上，平分，与射线交于点，若与互为“宝藏角”，求的度数； 如图，若，射线平分且与射线交于点，若与互为“宝藏角”，则的度数为______； 如图，若于点，相交于点，若与互为“宝藏角”，求出的度数． 8．【问题情境】 如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？ 小旭同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知．因为高相同，所以，于是． 据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积． (1)【深入探究】 如图2，点D在的边上，点P在上． ①若是的中线，______． ②若，则______． (2)【拓展延伸】 如图3，分别延长四边形的各边，使得A，B，C，D分别为的中点，依次连接E，F，G，H得四边形． ①：直接写出，与之间的等量关系；_______ ②：若，则_______． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01三角形思维导图 【类型覆盖】 类型一、特殊三角形——等腰三角形 【解惑】等腰三角形的一边为4，另一边为9，则这个三角形的周长为（   ） A．17 B．22 C．13 D．17或22 【答案】B 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用； 分两种情况，结合三角形的三边关系定理进行求解即可． 【详解】解：当等腰三角形的边长为4，4，9时， ∵， ∴此情况不符合题意； 当等腰三角形的边长为4，9，9时，能构成三角形， 此时周长为， 故选：B． 【融会贯通】 1．在等腰△ABC 中，AB=AC，中线 BD将这个三角形的周长分为 15和12 两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（    ） A．7 B．10 C．7 或 11 D．7 或 10 【答案】C 【分析】题中给出了周长关系，要求底边长，首先应先想到等腰三角形的两腰相等，寻找问题中的等量关系，列方程求解，然后结合三角形三边关系验证答案． 【详解】设等腰三角形的底边长为x，腰长为y，则根据题意， 得①或② 解方程组①得， 根据三角形三边关系定理，此时能组成三角形； 解方程组②得， 根据三角形三边关系定理此时能组成三角形， 即等腰三角形的底边长是11或7； 故选：C． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质及相关计算．学生在解决本题时，有的同学会审题错误，以为15，12中包含着中线BD的长，从而无法解决问题，有的同学会忽略掉等腰三角形的分情况讨论而漏掉其中一种情况；注意：求出的结果要看看是否符合三角形的三边关系定理． 2．如图，是等腰底边上的中线，平分交于点，若，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是角平分线的性质，过点作于点，根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的性质求出，根据三角形的面积公式计算即可，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 【详解】解：过点作于点， ∵是等腰底边上的中线， ∴，， ∵平分，， ∴， ∴的面积， 故答案为：． 3．多边形的内角中，锐角的最多的个数为a，内角和为的多边形的边数为b，如果以a、b为等腰三角形的两边，则这个三角形的周长为 ． 【答案】67 【分析】先利用多边形的外角和求解，再利用多边形的内角和求解 再分两种情况讨论：以为腰或以为底，再结合三角形的三边关系，从而可得答案. 【详解】解： 多边形的外角和为 任意多边形的外角中最多只有个钝角， 多边形的内角中，锐角的最多的个数为个， 内角和为的多边形的边数为b， 当为等腰三角形的腰时，＜ 舍去， 当为等腰三角形的底边，则为腰，此时三角形成立， 故答案为： 【点睛】本题考查的是多边形的内角和与外角和的综合，等腰三角形的定义，三角形的三边关系，熟练运用以上知识是解题的关键. 类型二、特殊三角形——直角三角形 【解惑】两个直角三角板如图摆放，其中，，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形中两锐角互余的性质，熟练掌握其内容是解题的关键．由，可得，根据，可得，而，由此可求出． 【详解】解： ，， ， ， ， ， ． 故选：B． 【融会贯通】 1．两个直角三角板如图所示摆放，其中，，，，分别与交于点，，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质及三角形外角的性质，根据平行线的性质得，根据三角形内角和定理得，再根据三角形外角的性质得到．掌握平行线的性质及三角形外角的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的大小为． 故选：B． 2．在，中，，现将直角顶点按照如图方式叠放，点在直线上方，且，能使有一条边与平行的所有的度数为 ． 【答案】或或 【分析】此题考查了平行线的性质，三角形外角性质．旋转三角形，使其三边分别与形成平行状态，根据平行线的判定定理分情况讨论求解即可． 【详解】解：当时，，      当时，如图， ∴， ∵， ∵， ∴； 当时，延长交于点F， ∴， ∵， ∴； 综上所述，能使有一条边与平行的所有的度数为或或． 故答案为：或或 3．如图，直线，一块含角的直角三角尺的一条边在上现将绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转的对应点分别是，，同时，直线绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转的对应点是设旋转时间为秒．    （1） ；用含的代数式表示 （2）在旋转的过程中，若直线与边平行时，则的值为 ． 【答案】 秒或秒 【分析】（1）直接根据速度和时间可得：，所以根据余角的定义可得结论； （2）有两种情况：利用数形结合，画图后作辅助线，构建平行线的性质和外角的性质可得结论． 【详解】解：（1）如图，由题意得：，，    ， 故答案为：； （2）①如图，， 延长交的反向延长线于点，则，    由题意得：，， ， 解得：； 如图，， 延长，交于，交直线于，则，    由题意得：，， ， ， ， ， 综上，在旋转的过程中，若射线与边平行时，则的值为秒或秒， 故答案为：秒或秒． 【点睛】本题考查旋转变换和平行线的性质，熟练掌握旋转的性质，平行线的性质是解题的关键． 类型三、三角形的内角、外角平分线 【解惑】如图，将平移后得到，若，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状、大小和方向；②经过平移，对应点所连的线段平行或在同一直线上，对应线段平行且相等，对应角相等．同时考查了三角形的外角性质．由平移前后对应角相等及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得出，再根据对应线段平行得到答案即可． 【详解】∵将平移后得到， ∴，， ∴． ∴， 故选：B． 【融会贯通】 1．如图，已知在中，，现将分别沿边翻折得到，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，通过方程求解，，的度数是解题的关键．由题意设，，，利用三角形的内角和定理可求解值，即可求解各内角的度数，再由折叠的性质可求得的度数，根据周角的定义可求解． 【详解】解：， 设，，， ， 解得， ，，， 由折叠可知：， ， 故选：B． 2．如图，，点在直线左侧，，，射线从射线出发，绕点B以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时射线从射线出发，绕点C以每秒的速度按顺时针方向旋转，当射线旋转时两条射线都停止旋转．射线与射线交于点，若，则射线旋转了 秒．    【答案】25或65 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，一元一次方程的应用，过点E作，延长，先求出，设运动时间为t，则，，分两种情况：当点P在点B的左侧时，当点P在点B的右侧时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：过点E作，延长，如图所示：    ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设运动时间为t，则，， 当点P在点B的左侧时，如图所示：   ， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：； 当点P在点B的右侧时，如图所示：    此时，， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：； 综上分析可知：射线旋转了25秒或65秒． 故答案为：25或65． 3．如图1，将三角板与三角板摆放在一起．如图，其中，，．固定三角板，将三角板绕点按顺时针方向旋转，记旋转角． (1)若，则为 ； (2)当时，连接，如图，则 ．    【答案】 /度 /度 【分析】（1）记与的交点为．根据三角形内角和定理得出，进而根据，即可求解； （2）设分别交，于点，．在中，根据三角形内角和定理，根据，，可得，即可得出． 【详解】（1）如图，记与的交点为． ， ． ． ， 即．    故答案为：． （2）如图，设分别交，于点，．在中，． ，，． ，， ．    故答案为：． 【点睛】本题考查了垂直的定义，三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 类型四、三角形的n等分角 【解惑】直线与直线相交于点O，点A在射线上运动，点B在射线上运动．    (1)如图1，当直线与直线垂直时，、分别是和的角平分线，点A，B在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，请说明理由，并求出的大小．（提示：三角形三个内角的和等于） (2)如图2，点A，B在运动的过程中，、分别是和的角平分线，、的延长线交于点F，的角平分线和的角平分线相交于点E．求证：．（提示：可作结论用） (3)如图2，点A，B在运动的过程中，请探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)不变，理由见解析， (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形内角和定理；熟练掌握角平分线的定义和三角形内角和定理，弄清角之间的数量关系是解决问题的关键． （1）由角平分线的定义和三角形内角和定理即可得出结果； （2）由角平分线的定义、三角形内角和定理和角的关系即可得出结果； （3）由角平分线的定义和角的关系即可得出结果． 【详解】（1）解：当直线与直线垂直时，， ． 、分别是和的角平分线， ，． ． ． （2）解：由已知得：． ，， ． ． （3）解：在中，， ． ． （2）知 ． ． 【融会贯通】 1．如图①，在中，与的平分线相交于点P． (1)如果，求的度数； (2)如图②，作外角，的角平分线交于点Q，试探索，之间的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查与角平分线有关的三角形内角和问题，利用数形结合的思想是解题关键． （1）由三角形内角和定理可求出，再根据角平分线的定义可得出，，从而可求出，最后再次利用三角形内角和定理即可求出； （2）由三角形内角和定理可求出，进而得出．再根据角平分线的定义得出，从而可求出，最后再次利用三角形内角和定理即可求出． 【详解】（1）∵， ∴． ∵，分别是和的角平分线， ∴，， ∴， ∴； （2）∵， ∴． ∵，分别是和的角平分线， ∴， ∴， ∴． 2．小明同学在学习了三角形内角和定理和外角的相关知识后，对三角形角之间的关系进行了探究学习．如图，在中，的角平分线与的角平分线相交于点． (1)【问题解决】 如图1，若，则______度，______度； (2)【问题探究】 如图2，和是的两个外角，的角平分线与的角平分线相交于点，试确定和之间的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】 如图3，在四边形中，延长到点的角平分线与的角平分线相交于点，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)125；70 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理： （1）根据角平分线的定义得到，，进而推出，，据此利用三角形内角和定理即可求出答案； （2）由角平分线定义可得，，再根据三角形内角和定理，即可得到结论． （3）如图所示，连接，设，，则由三角形内角和定理得到，，，进而得到；由角平分线的定义得到，，进而得到，，则，则． 【详解】（1）解：∵在中，的角平分线与的角平分线相交于点， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， 故答案为：125；70； （2）解：，理由如下： ∵的角平分线与的角平分线相交于点，，， ∴在中， ， 又， ； （3）解：如图所示，连接， 设，， ∴，，， ∴ ∵的角平分线与的角平分线相交于点， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 3．综合与探究 【问题发现】 在延时服务课上，数学张老师引导大家探究角平分线的夹角问题． （1）数学课代表发现在图1中，若与的平分线交于点P，则与之间存在一定的数量关系，下面是不完整的探究过程，请补充完整． ，分别是和的平分线， ，． ， ， …… 【问题探究】 （2）如图2，在（1）的条件下，作的外角，的平分线交于点Q，试说明． 【问题拓展】 （3）如图3，在（2）的条件下，延长线段，交于点E，在中． ①请说明与之间的数量关系． ②当与两锐角存在2倍的数量关系时，直接写出的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）①，②或 【分析】本题考查了角平分线的定义．三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． （1）先根据角平分线的性质得出，，在有三角形内角和定理得出，利用等量代换即可得出结论； （2）先根据角平分线的性质得出，，再由三角形的外角的性质即可得出结论； （3）①先根据角平分线的性质得，， ，再根据三角形的内角和定理得出根据，即可得出结论；②延长至点F，根据角平分线的定理得出，然后分、和两种情况讨论即可得出结论； 【详解】[问题发现] （1），分别是和的平分线， ，， ， ， ， ， ； [问题探究] （2），分别是，的平分线， ，， ，， ，， ， ， ， 由（1）知， ， [问题拓展] （3）①是的平分线，是的平分线， ，， ， ， ， 由（2）知， ； ②延长至点F， 是的外角的平分线， 是的外角的平分线， ， 是的平分线， ， 即， ， 即，， ， 在中，与都是锐角， 当时， ， ， ， ， 当时 ， ， ， ， 综上所述，的度数为 或 ． 类型五、三角形的八字形 【解惑】【提出问题】已知如图1，是、的角平分线的交点，你能找到、的关系吗？ 【分析问题】在解决这个问题时，某小组同学是这样做的： 先赋予几个特殊值： 当时，计算出； 当时，计算出； 当时，计算出； 由以上特例猜想与的关系为：．再证明这一结论： 证明：点是、的角平分线的交点． ； 又 【解决问题】请运用以上解决问题的“思想方法”解决下面的几个问题： (1)如图2，若点是、的三等分线的交点，即，，猜测与的关系为________，证明你的结论． (2)若点是、的四等分线的交点，即，，则与的关系为________．（直接写出答案，不需要证明） (3)若点是、的等分线的交点，即，，则与的关系为________．（直接写出答案，不需要证明） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理及角平分线定义． （1）先根据三角形内角和定理求出，根据三等分线求出，根据三角形的内角和定理得出，代入求出即可； （2）同（1）可得出结论； （3）先根据三角形内角和定理求出，根据等分线求出，根据三角形的内角和定理得出，代入求出即可． 【详解】（1）解：猜测：； 由示例得， 、分别是、的三等分线， ， ， 即． 故答案为：； （2）解：由示例得， 、分别是、的四等分线， ， ， 即． 故答案为：； （3）解：，、分别是、的等分线， ， ． 故答案为：． 【融会贯通】 1．已知在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，M、N分别为射线AB、AD上一点． （1）若∠ABC＝60°，求∠ADC的大小； （2）如图①，若DE平分∠ADC，BF平分∠CBM，求证：DE⊥BF； （3）如图②，若BE，DE分别n等分∠ABC、∠ADC的外角（即∠CDE＝∠CDN，∠CBE＝∠CBM），试用含n的式子表示∠E的度数． 【答案】（1）120°；（2）见解析；（3）∠E＝90°﹣ ． 【分析】（1）由四边形的内角和是360°即可得解； （2）延长DE交BF于G，根据角平分线的定义及三角形外角性质即可求解； （3）延长DC交BE于H，由三角形外角性质求解即可． 【详解】解：（1）∵在四边形ABCD中，且∠A＝∠C＝90°， ∴∠ABC＋∠ADC＝360°﹣90°×2＝180°， 又∵∠ABC＝60°， ∴∠ADC＝120°； （2）如图，延长DE交BF于G， ∵DE平分∠ADC，BF平分∠CBM， ∴∠CDE＝ ∠ADC，∠CBF＝∠CBM， ∵∠A＝∠C＝90°， ， ∴， 又∵， ∴， ∴∠CDE＝∠CBF， 又∵∠BED＝∠CDE＋∠C＝∠CBF＋∠BGE， ∴∠BGE＝∠C＝90°， ∴DG⊥BF， 即DE⊥BF； （3）如图，延长DC交BE于H， 由（1）得：∠CDN＋∠CBM＝180°， ∵∠CDE＝∠CDN，∠CBE＝∠CBM， ∴∠CDE＋∠CBE＝ ×180°， 由三角形的外角性质得，∠BHD＝∠CDE＋∠E，∠BCD＝∠BHD＋∠CBE， ∴∠BCD＝∠CBE＋∠CDE＋∠E， ∵ ， ∴∠E＝90°﹣． 【点睛】本题主要考查了四边形的内角和，三角形形外角的性质定理，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握四边形的内角和等于 ，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 2．【探究发现】 如图1，在中，点是内角和外角的角平分线的交点，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 【迁移拓展】 如图2，在中，点是内角和外角的等分线的交点，即，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 【应用创新】 如图3，相交于点的角平分线交于点，请直接写出的度数． 【答案】（1），证明见解析；（2），证明见解析；（3）． 【分析】（1）先根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的外角性质可得，，从而可得出，由此即可得出答案； （2）根据三角形的外角性质可得，，从而可得出，由此即可得出答案； （3）先根据（1）的结论可得，，再根据角的和差可得，由此即可得出答案． 【详解】（1），证明如下： 点是内角和外角的角平分线的交点， ，， 由三角形的外角性质得：，， ，即， ； （2），证明如下： ，， 由三角形的外角性质得：，， ，即， ； （3）由（1）的结论得：，， 即，， ， ， ． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、角n等分的定义、三角形的外角性质等知识点，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键． 3．已知△ABC中，∠BAC=100°． （1）若∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，如图1所示，试求∠BOC的大小； （2）若∠ABC和∠ACB的三等分线（即将一个角平均分成三等分的射线）相交于O，O1，如图2所示，试求∠BOC的大小； （3）如此类推，若∠ABC和∠ACB的n等分线自下而上依次相交于O，O1，O2…，如图3所示，试探求∠BOC的大小与n的关系，并判断当∠BOC=170°时，是几等分线的交线所成的角． 【答案】（1）；（2） ；（3）∠BOC=180°-，八等分线. 【分析】根据三角形内角和定理先求得∠ABC+∠ACB的度数， （1）根据角平分线的定义可求得∠OBC+∠OCB的度数，从而利用三角形内角和定理求∠BOC的度数； （2）根据三等分线的定义可求得∠OBC+∠OCB的度数，从而利用三角形内角和定理求∠BOC的度数； （3）根据n等分线的定义可表示出∠OBC+∠OCB的度数，从而利用三角形内角和定理表示出∠BOC的度数，然后将∠BOC=170°代入求出n的值即可. 【详解】解：∵∠BAC=100°， ∴∠ABC+∠ACB=180°-100°=80°， （1）∵点O是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点， ∴∠OBC+∠OCB=∠ABC +∠ACB =（∠ABC+∠ACB）=40°， ∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-40°=140°； （2）∵点O是∠ABC和∠ACB的三等分线的交点， ∴∠OBC+∠OCB=∠ABC +∠ACB =（∠ABC+∠ACB）=， ∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-=； （3）∵点O是∠ABC和∠ACB的n等分线的交点， ∴∠OBC+∠OCB=∠ABC +∠ACB =（∠ABC+∠ACB）=， ∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-， 当∠BOC=170°时，即170°=180°-， 解得：n=8，即是八等分线的交线所成的角. 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理以及角n等分线的定义，熟记三角形内角和为180°是解题关键. 类型六、三角形的三大运动 【解惑】【数学模型】 如图（1），，交于O点，根据“三角形内角和是”，不难得出两个三角形中的角存在以下关系：①；②． 【提出问题】 分别作出和的平分线，两条角平分线交于点E，如图（2），与、之间是否存在某种数量关系呢？ 【解决问题】 为了解决上面的问题，我们先从几个特殊情况开始探究，已知的平分线与的平分线交于点E． （1）如图（3），若，，，则_______． （2）如图（4），若不平行，，，则_______． （3）在总结前两问的基础上，借助图（2），写出与、之间的数量关系，并说明理由． 【类比应用】 （4）如图（5），的平分线与的平分线交于点E．已知：、，，求的大小，并说明理由（用、表示）． 【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析；（4） 【分析】（1）根据两个三角形的有一对对顶角相等得：，，两式相加后，再根据角平分线的定义可得结论； （2）同（1）列两式相加可得结论； （3）根据（1）和（2）可得结论； （4）首先延长交于点，由三角形的外角的性质，可得，又由角平分线的性质，即可求得答案． 【详解】解：（1）如图3， ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）如图4，∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （3），理由如下： ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； （4）如图5，延长交于点， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、三角形外角的性质、平行线的性质以及角平分线的定义，熟练掌握角平分线的性质和等量代换是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图①，线段，相交于点，连接，，我们把形如图①的图形称为“字形”，试解答下列问题； (1)在图①中，请直接写出，、，之间的数量关系； (2)在图②中，若、，和的平分线和相交于点，并且与，分别相交于点，，利用（1）的结论，试求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义， （1）根据三角形内角和定理计算，得到答案； （2）根据（1）的结论列出算式，把、代入计算即可； 掌握三角形内角和等于是解题的关键． 【详解】（1）解：． 理由：∵，，， ∴； （2）由（1）可知，，， ∴， ∵和的平分线和相交于点， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 2．（1）已知：如图①的图形我们把它称为“8字形”，试说明：． （2）如图②，分别平分，若，求的度数． （3）如图③，直线平分，平分的外角，猜想与的数量关系并证明．    【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）根据三角形的内角和，得出，结合对顶角相等，即可求证； （2）设，，根据（1）中的结论，列出方程组，可得，即可求解； （3）根据题意可得，，推出，根据（1）中的结论得出，推出，则，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵， ∴；    （2）∵分别平分，设，， 则有， ∴， ∴    （3）∵直线平分平分的外角， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即．    【点睛】本题主要考查了是三角形的内角和，对顶角相等，解二元一次方程组，解题的关键是掌握三角形的内角和为，对顶角相等，以及加减消元法． 3．[问题背景] （1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说理证明； [简单应用]（可直接使用问题（1）中的结论） （2）如图2，、分别平分、， ①若，，求的度数； ②和为任意角时，其他条件不变，试直接写出与、之间的数量关系为 ． [问题探究] （3）如图3，直线平分的邻补角，平分∠ADC的邻补角，若，，则的度数为 ． [拓展延伸] （4）在图4中，若设，，，，试问与、之间的数量关系为 ．（用x、y的代数式表示）    【答案】（1）见解析；（2）①；②；（3）；（4） 【分析】（1）利用三角形内角和定理解决问题即可； （2）①设，利用（1）中结论，构建方程组即可解决问题； ②由①的结论即可得到数量关系； （3）如图3中，设．利用（1）中结论，构建方程组即可解决问题； （4）如图4中，设，则，利用（1）中结论，构建方程组即可解决问题． 【详解】解：（1）如图1中，    ∵，，， ∴； （2）①如图2中，    设，， 则有， ∴， ∴， ∴； ②由①得：； （3）如图3中，设，，    则有，， ∴， ∴； 故答案为：； （4）如图4中，设，，则，，    则有， ∴ ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，“8字型”四个角之间的关系等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题． 类型七、三角形的新定义 【解惑】【定义】如果两个角的差为，就称这两个角互为“伙伴角”，其中一个角叫做另一个角的“伙伴角”． 例如：，即是的“伙伴角”，也是的“伙伴角”． (1)已知和互为“伙伴角”，且，则 ． (2)如图1所示，在中，，过点C作的平行线，的平分线分别交于D、E两点 ①若，且和互为“伙伴角”，求的度数； ②如图2所示，的平分线交于点F，当和互为“伙伴角”时，的度数为多少？ 【答案】(1)或 (2)①；②或 【分析】本题是关于新定义的问题，考查了角平分线定义，平行线的性质，三角形内角和定理等，注意分情况讨论，是解题的关键． （1）考虑两种情况，即，根据“伙伴角”的定义，再结合补角的定义即可解答； （2）①设的度数为，则，根据角平分线的定义可得，再利用平行线的性质得到，利用“伙伴角”的概念，列方程即可解答； ②考虑两种情况，即和，两种情况，设的度数为，利用角平分线的性质和三角形内角和定理，用表示，列方程，即可解答． 【详解】（1）解：当时，， ， ； 当时，， ， ， 故答案为：或； （2）①设的度数为， ，则， ∵的平分线分别交于两点， ， ， ， ， ， 可得， 解得， ； ②设的度数为， ， ， 平分， ， 根据①可得， ， 当时，可得； 当时，可得； 综上所述，的度数为或． 【融会贯通】 1．定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”.    (1)如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），． ①求、的度数． ②若是中边上的高，则、都是“友爱三角形”吗？为什么？ (2)如图2，在中，，，D是边上一点（不与点A，B重合），连接，若是“友爱三角形”，直接写出的度数． 【答案】(1)①，；②、都是“友爱三角形”，理由见解析 (2)或 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，本题是新定义题型，理解新定义，并熟练运用是解题的关键． （1）①利用“友爱三角形”的定义及结合解答即可；②由，，，求出，，根据“友爱三角形”的定义即可得出结论； （2）利用“友爱三角形”的定义解答即可；利用分类讨论的方法，根据“友爱三角形”的定义解答即可． 【详解】（1）解：①是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（）， ， ， ，即，解得， ； ②、都是“友爱三角形”， 理由：是中边上的高， ， ，， ， 在中，，， ， 为“友爱三角形”； 在中，，， 为“友爱三角形” ； （2）解：的度数为或， 是“友爱三角形”，D是边上一点（不与点A，B重合）， 或， 当时，； 当时， ，即， ， 综上所述，的度数为或． 2．我们知道，任何一个三角形的三条内角平分线相交于一点，      (1)如图1，若与，求的度数． (2)如图2，若的三条内角平分线相交于点I，过I作分别交于点D、E．试写出与之间有何数量关系，并说明理由． (3)定义：有两个角分别相等的两个三角形叫“孪生三角形”， ①图2中“孪生三角形”共 对； ②图2中当与满足怎样的数量关系时，与也成为“孪生三角形”（直接写出结论）． 【答案】(1)； (2)，见解析 (3)①4；② 【分析】（1）利用角平分线的定义求得，，再利用三角形内角和定理即可求解； （2）根据角平分线定义、用三角形内角和定理得到，接着根据三角形外角性质得，于是有； （3）①根据（2）的结论即可得解；②当时，与也成为“孪生三角形”，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵，，平分，平分， ∴，， ∴； （2）解：∵的三条内角平分线相交于点I， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 而平分， ∴， ∴， ∴； （3）解：①由（2）知，，， ∴和是“孪生三角形”； 同理，，， ∴和是“孪生三角形”； ∴和是“孪生三角形”； ∵，， ∴和是“孪生三角形”； 故答案为：4； ②当时，与也成为“孪生三角形”， 由（2）知，，， ∵， ∴， 整理得． ∴当时，与也成为“孪生三角形”． 故答案为： 【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理：三角形内角和是．熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． 3．新定义：在中，若存在一个内角是另外一个内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称为n倍角三角形．例如，在 中，，可知，所以为2倍角三角形． (1)在中，，则为 倍角三角形． (2)已知：在图中直线被直线EF所截交点分别为E、F，，与的平分线交于点G，若 是6倍角三角形，求． (3)如图，顶点在直线上的O处，P为上方一点， ，若，则是几倍三角形？并说明理由． (4)在中，，若既可以是一个2倍角三角形，又可以是一个3倍角三角形，求∠A的度数． 【答案】(1)3 (2)或或或 (3)既是2倍角三角形，也是8倍角三角形，理由见解析 (4)或或 【分析】（1）利用三角形内角和定理求出的度数即可得到答案； （2）先根据平行线的性质和角平分线的定义求出，则，然后分四种情况讨论求解即可； （3）根据 ，求出， 从而得到，再由三角形内角和定理可得，由此即可得到结论； （4）分当时， 当时，当时，三种情况利用三角形内角和定理讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∴， ∴为3倍角三角形， 故答案为：3； （2）解：∵， ∴， ∵分别是的角平分线， ∴， ∴， ∴， 当时，则， ∴； 当时，则， ∴； 当，则， ∴； 当，则， ∴； 综上所述，的度数为或或或； （3）解：既是3倍角三角形，也是8倍角三角形，理由如下： ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴既是3倍角三角形，也是8倍角三角形； （4）解：∵在中，，若既可以是一个2倍角三角形，又可以是一个3倍角三角形， ∴当时，∵， ∴， ∴； 当时，同理可求得； 当时，同理可求得； 综上所述，的度数为或或． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，平行线的性质，正确理解题意是解题的关键． 类型八、无刻度尺作图 【解惑】请仅用无刻度的直尺完成以下作图： (1)如图，在中，、分别为、的角平分线，请作出的角平分线； (2)如图，在中，，点为边上一点，点，关于对称，请作出的一条垂线． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析． 【分析】（）根据的三条角平分线交于一点，即可得到结论； （）根据的三条高所在直线交于一点，即可得到结论； 本题考查了无刻度直尺作图，熟练掌握三角形的有关线段是解题的关键． 【详解】（1）如图，延长交于点， ∴即为所求； （2）如图，延长交于点，延长交于点， ∵点，关于对称， ∴， ∴是三角形的高， ∴即为所求． 【融会贯通】 1．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图： (1)在图①中，确定一个格点（不与重合），连结、，使得的面积和的面积相等； (2)在图②中，确定一个格点，连结、，使得的面积是的面积的2倍； (3)在图③中，确定两个格点和，连结、和，使得四边形的面积是的面积的3倍． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图应用与设计作图，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握等高模型解决问题，学会利用数形结合的思想解决问题． （1）利用平行线构造等高模型解决问题； （2）利用三角形中线的性质及等高模型解决问题． （3）利用平行线及等高模型，构造四边形即可． 【详解】（1）如图，点即为所求； （2）如图，点即为所求； （3）如图，点，即为所求． 2．如图都是8×8的网格正方形，且每个小正方形边长都为1，请你利用无刻度直尺，按下列要求画图，所画图形的顶点均在所给的小正方形的顶点上（保留作图痕迹，不写作法）． (1)在图1中，画一个，使； (2)在图2中，画一个三角形ABD，使三角形ABD的面积为6． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由勾股定理与网格问题，即可画出； （2）由网格问题，根据三角形的面积公式，即可画出图形 【详解】（1）解：图1中为所画． （2）解：图2中三角形ABD为所画． 【点睛】本题考查了画角、画三角形，解题的关键是理解网格问题，三角形的面积公式进行画图． 3．图①、图②、图③都是5×5的网格，每个小正方形的顶点称为格点，△的顶点均在格点上，在图①、图②、图③给定网格中，仅用无刻度的直尺，按下列要求完成画图，并保留作图痕迹． （1）在图①中边上找到格点，并连接，使将△面积两等分； （2）在图②中△的内部找到格点，并连接、，使△是△面积的． （3）在图③中△外部画一条直线，使直线上任意一点与、构成的三角形的面积是△的． 【答案】（1）见解析图；（2）见解析图；（3）见解析图 【分析】（1）根据三角形中线的性质可知，当CD为△在AB边上的中线时，可将其面积平分，即找到AB的中点，连接AE即可； （2）可按照△与△都以BC为底边进行分析，当都以BC为底边时，△的高为4，从而使得△的高为1即可； （3）延续（2）的解题思路，都以BC为底边，要使得构成的三角形的面积是△的，则让构成的三角形的高为即可，则在BC下方个单位处作平行于BC的直线即为所求． 【详解】如图所示： （1）D在格点上，也为AB的中点，故CD即为所求； （2）当点E在直线m上，且三角形内部时，均满足题意，如图△BCE，此时答案不唯一，符合要求即可； （3）如图，直线l即为所求． 【点睛】本题主要考查作图－应用与设计作图，充分理解三角形中线的性质，以及灵活运用底相等时，面积之比等于高之比进行图形构造是解题关键． 【一览众山小】 1．如图，把纸片沿折叠，当点落在四边形的外部时，此时测得，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形外角性质，折叠的性质，根据折叠性质得出，根据三角形外角性质得出，． 【详解】解：如图，设与交于点O， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 2．如图，在中，的三等分线、与的三等分线、分别交于点D、E，若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是掌握三角形的内角和定理，角平分线的定义； 根据三角形内角和定理求出，再根据三等分线求出可解答． 【详解】解：∵， 的三等分线、与的三等分线、分别交于点D、E，， ，， ∴ ∵在中，°， ∴， 故选：B． 3．如图，，若，，则 ． 【答案】40 【分析】本题考查了三角形内角和定理，对顶角相等，设，，则，，根据三角形内角和表示出，根据对顶角相等可得到，，再利用三角形内角和即可得出结果． 【详解】解：如图， 设，， 则，， ， ， ， ， ，即， 在中， ， 故答案为：40． 4．如图，，点在上方，连接平分交于点G，，若， ． 【答案】/122度 【分析】此题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，熟记平行线的性质定理是解题的关键． 根据题意设，则，根据三角形内角和定理及对顶角性质求出，根据角平分线定义求出，根据平行线的性质求出，根据三角形外角性质得出，求出x，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图，交于点H， ∵， ∴， 设设，则， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又， 即， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：． 5．教材呈现：华师版义务教育教科书数学七下第82页的部分内容． （1）对于上述问题，在解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 如图，在中，，，平分，平分，求的度数． 解：平分（已知）， ． 同理可得________． （________）， （等式的性质） ________ ________． 问题推广： （2）如图1，在中，、的角平分线交于点P，将沿折叠使得点A与点P重合，若，求的度数； （3）如图2，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，过点B作于点H，若，则_________度． 【答案】（1）25，三角形的内角和是，，；（2）；（3）48 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，垂线的定义，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； （2）先由折叠的性质和平角的定义得到，进而求出，同（1）即可得到答案； （3）先由角平分线的定义得到，，再由三角形外角的性质得到，继而得到，再由垂线的定义得到，则； 【详解】解：（1）∵平分（已知）， ∴． 同理可得． ∵（三角形内角和定理）， ∴（等式的性质） ． 故答案为：，三角形内角和定理，，； （2）由折叠的性质可得，， ，，， ， ， ， ， 平分，平分， ，， ， 即， ， 故答案为：； （3）平分，平分， ，， ，即，， ， ， ， 即， ； 故答案为：48； 6．阅读材料： 如图1，已知的面积为60，，边上的中线，相交于点，求四边形的面积． 小明的解答方法如下： 连接，设，，则，． 由题意，得，． 可列方程组为 …… 解答问题： (1)根据小明的方法，四边形的面积为________； (2)如图2，已知的面积为60，，，，相交于点，求四边形的面积． 【答案】(1)20 (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，三角形中线的性质，等高三角形的面积的比等于底的比，熟练掌握这个结论是解题的关键． （1）解方程组求出的值，即可得到结果； （2）连接，由，得到，同理可得，设，则，由题意得列方程组即可得到结果． 【详解】（1）解方程组， ，得 ， ∴， ∴四边形的面积为20． 故答案为：20； （2）解：连接， ∵，与等高， ∴， 同理可得， 设，则， ∴， 解得， ∴， ∴四边形的面积为13． 故答案为：13． 7．如果两个角的差等于，就称这两个角互为“宝藏角”．其中一个角叫做另一个角的“宝藏角”．例如，，，则和互为“宝藏角”，即是的“宝藏角”，也是的“宝藏角”． (1)已知和互为“宝藏角”，，且和互补，求的度数； (2)在中，，是的角平分线， 如图，点在射线上，平分，与射线交于点，若与互为“宝藏角”，求的度数； 如图，若，射线平分且与射线交于点，若与互为“宝藏角”，则的度数为______； 如图，若于点，相交于点，若与互为“宝藏角”，求出的度数． 【答案】(1)； (2)；或；或． 【分析】（）根据新定义列出方程组即可求解； （）根据定义和角平分线的有关计算即可求解； 根据定义和角平分线的定义进行分类讨论并计算即可求解； 根据定义和角平分线的定义进行分类讨论并计算即可求解； 本题主要考查了角平分线的性质、直角三角形的性质和平行线的性质、三角形的内角和定理，解题关键是能够根据条件找出角与角之间的数量关系． 【详解】（1）∵和互为“宝藏角”，，且和互补， ∴，， ∴， （2）∵，是的角平分线， ∴，， ∵， ∴，即， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵与互为“宝藏角”， ∴， ∴； ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵与互为“宝藏角”, ∴或， ∴或， 故答案为：或； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或， ∵与互为“宝藏角”， ∴或， ∴或， ∴或， ∴或． 8．【问题情境】 如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？ 小旭同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知．因为高相同，所以，于是． 据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积． (1)【深入探究】 如图2，点D在的边上，点P在上． ①若是的中线，______． ②若，则______． (2)【拓展延伸】 如图3，分别延长四边形的各边，使得A，B，C，D分别为的中点，依次连接E，F，G，H得四边形． ①：直接写出，与之间的等量关系；_______ ②：若，则_______． 【答案】(1)① ② (2)① ②30 【分析】本题考查了三角形的中线，掌握三角形的一条中线把原三角形分成两个等底同高的三角形是题的关键． （1）①根据中线的性质可得，点为的中点，推得是的中线，，得到，即可得出结果； ②设边上的高为，根据三角形的面积公式可得，，即可推得，同理推得，即可求得，即可证明； （2）①连接，，，根据中线的判定和性质可得，，，，推得，，即可求得，即可证明， ②由①可得，同理可证得，根据，即可推得，即可求解． 【详解】（1）解：①证明：∵是的中线， ∴，点为的中点， ∴是的中线， ∴， ∴， 即， ∴ ②， 解：设边上的高为， 则，， ∵， ∴， 同理， 则， 即， ∴． （2）①证明：连接，，，如图： ∵点、、、分别为、、、的中点， ∴，，，分别为，，，的中线， ∴，，，， ∴， ∵， 即； ②由①可得，同理可证得， ， 即， ∵， ∴． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$