专题05 三角形40道压轴题型专训（8大题型）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（人教版）

专题05 三角形40道压轴题型专训（8大题型） 【题型目录】 题型一 与三角形的高有关的计算压轴题 题型二 根据三角形中线求面积压轴题 题型三 与平行线有关的三角形内角和问题 题型四 与角平分线有关的三角形内角和问题 题型五 三角形折叠中的角度问题 题型六 三角形内角和定理的应用 题型七 三角形外角压轴题 题型八 多边形内角和压轴题 【经典例题一 与三角形的高有关的计算压轴题】 1．（22-23七年级下·广东河源·期中）如图，已知的面积为5，点M在边上移动（点M与点A、B不重合），，交于点N，连接．设，．    (1)求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)点E、F分别是边，的中点，设与的公共部分的面积为S，试用含x的代数式表示S． 2．（22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、点B在x轴上，点C在y轴上，若点，点，点，且． (1)求a，b的值； (2)动点P从点O出发沿着y轴的正半轴以每秒1个单位长度的速度运动，连接，设的面积为S，点P运动的时间为t秒，求S与t的关系式； (3)在（2）的条件下，点D是直线上一点，点D的横坐标为1，连接，，若的面积为，求点P的坐标． 3．（23-24七年级下·福建厦门·期末）请用我们学过的知识解决下列问题：如图，平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），C（0，c），，b为的整数部分． (1)a＋b＋c＝　 　； (2)点P为坐标平面内的一个动点，若S△PBC＝2S△ABC，求点A与点P距离的最小值； (3)如图2，点D在线段AB上，将点D向右平移4个单位长度至E点，若△ACE的面积等于14，求点D坐标． 4．（23-24七年级上·北京西城·阶段练习）设的面积为． (1)如图1，延长的各边得到，且，，，记的面积为，则______．（用含的式子表示） (2)如图2，延长的各边得到，且，，，记的面积为，则________．（用含的式子表示） (3)如图3，P为内一点，连接、、并延长分别交边、、于点D、E、F，则把分成六个小三角形，其中四个小三角形面积已在图上标明，则计算得到的面积________． 5．（23-24七年级下·河南信阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，，连接，将向下平移10个单位得线段，其中点的对应点为点． (1)填空：点C的坐标为____________； (2)点E从点A出发，以每秒2个单位的速度沿…运动，设运动时间为t秒， ① 当时，点E坐标为__________， ② 当E点在边上运动时，点E坐标为_____________；（用含t的式子表示） ③ 当点E到y轴距离为7时，求t值； (3)在（2）的条件下，连接并延长，交y轴于点P，当将四边形的面积分成两部分时，求点P的坐标． 【经典例题二 根据三角形中线求面积压轴题】 6．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的负半轴上，其坐标为，点C在y轴的正半轴上，其坐标为，分别过点A、C作y轴、x轴的平行线，两平行线相交于B． (1)点B坐标为（____，____）； (2)动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速沿向终点A匀速移动，设点P移动的时间为t秒，M为中点，N为中点，用含t的式子表示的长； (3)在（2）的条件下，点P到达A后，继续沿着向终点O运动，连接，求t为何值时，把长方形分成的两部分面积比为，并求出此时点P坐标． 7．（22-23七年级下·江苏扬州·期末）已知：如图，是的角平分线，点E、F分别在、上，，平分．    (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，，且的面积为27，求的面积． 8．（22-23七年级下·江苏盐城·期中）典型题例： （1）如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？为什么？ （2）如图2，是的中线，你能把一个三角形分成面积相等的4个三角形吗？试画出相应的图形？（两种方法画图）    迁移应用： （3）如图3，的两条中线，相交于点，求证：； （4）如图4，的三条中线，，相交于点， ①请你写出所有与面积相等的三角形； ②写出与的数量关系式，并说明理由；    拓展应用； （5）设的面积为a，如图①将边分别2等份，、相交于点O，的面积记为；如图②将边分别3等份，、相交于点O，的面积记为；……，以此类推，若，则a的值为__________．    9．（23-24八年级上·湖南永州·阶段练习）如图，中，，于点D，为的中线，，，．求：    (1)的长 (2)的面积 (3)和 的周长的差 10．（22-23七年级下·江苏淮安·阶段练习）已知的面积是60，请完成下列问题：    (1)如图1，若是的边上的中线，则的面积______的面积．（填“>”“<”“=”） (2)如图2，若、分别是的、边上的中线，求四边形的面积可以用如下方法，连接，由得：，同理：，设，，则，由题意得：，，可列方程组为：，解得______，则可得四边形的面积为______． (3)如图3，，，则四边形的面积为______． (4)如图4，D，F是的三等分点，E，G是的三等分点，与交于O，且，则四边形A的面积为______． 【经典例题三 与平行线有关的三角形内角和问题】 11．（23-24七年级下·广东汕头·期中）如图，已知、两点坐标分别为，，且，满足，，是轴正半轴上一点． (1)求、两点的坐标 (2)若为轴上一点，且，求点的坐标 (3)过作轴，若，，求与间的数量关系 12．（23-24七年级下·广东佛山·期中）综合探究：如图1，已知两条直线被直线所截，分别交于点E，点平分交于点M，且． (1)直线与直线平行吗？说明你的理由； (2)点G是射线上一动点（不与点M，F重合），平分交于点H，过点H作于点N，设． ①当点G在点F的右侧时，请根据题意，在图2中补全图形，并求出当时α的度数； ②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并简单说明理由． 13．（23-24七年级下·福建三明·期中）在数学探究活动课中，老师要求同学们把一块直角三角板（图中的，）摆放在画有两条平行直线的纸面上进行操作探究．    (1)小明同学把三角板按如图1摆放，请你直接写出与，之间的数量关系； (2)小明移动三角板按如图2摆放，当平分时，发现和存在特殊的数量关系，请写出这个数量关系并说明理由； (3)小明继续移动三角板，使顶点A落在直线上，如图3，分别画出和的平分线相交于点E，多次移动三角板位置（保持顶点A在直线上），经度量并计算发现都等于，请问这个等式是否一定成立？如果成立，请你说明理由；如果不成立，请你画出一个符合条件且又不等于的图形． 14．（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图，，是直线上一点，是直线上一点． 问题提出 （1）如图1，是直线上一点，是线段上一点，连接，若，，则 问题探究 （2）如图2，，平分，平分，请计算的度数． 问题解决 （3）如图3，平分，延长到点，且平分，若，请你探究与之间的关系，并说明理由（用含的式子表示）． 15．（23-24七年级下·福建厦门·期中）已知：，E、G是上的点，F、H是上的点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点M在的延长线上，作、的角平分线交于点N，交于点P，设． ①若，试判断直线上是否存在一点K使得，并说明理由； ②如图3，作的角平分线交于点Q，若，请直接回答与的数量关系：______． 【经典例题四 与角平分线有关的三角形内角和问题】 16．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）【认识概念】 如图1，在中，若，则，叫做的“三分线”．其中，是“近三分线”， 是“远三分线”． 【理解应用】 （1）在中，，，若的三分线与的角平分线交于点，则 ____________； （2）如图2，在中，、分别是的近三分线和近三分线，若，求的度数； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，、分别是的远三分线和远三分线，且，直线过点分别交、于点、，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． （4）在中，是的外角，的近三分线所在的直线与的三分线所在的直线交于点．若，；直接写出 的度数（用含m的代数式表示）． 17．（2024七年级下·浙江·专题练习）【基础巩固】（1）如图1，已知，求证：； 【尝试应用】（2）如图2，在四边形中，，点E是线段上一点．，求的度数； 【拓展提高】（3）如图3，在四边形中，，点E是线段上一点．若平分． ①试求出的度数； ②已知，点G是直线上的一个动点，连接并延长． 2.1若恰好平分，当与四边形中一边所在直线垂直时，_____； 2.2如图4，若是的平分线与的延长线交于点F，与交于点P，且，则______（用含的代数式表示）． 18．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知：如图，在中，P为内一点，平分，平分．    (1)如图1，当时，则的度数为__________． (2)如图2，过C作，交延长线于点Q，求证：． (3)如图3，在（2）的条件下，过C作，延长与延长线交于点N，若，且，求的度数． 19．（23-24七年级下·山西吕梁·期中）综合与探究 如图1，已知，是其内部一点，过点作，，分别交，于点，，平分，平分． 图1                                 图2 (1)①写出所有等于的角：______． ②试猜想与的位置关系，并说明理由． (2)如图2，点在射线上，连接，，且，平分，交于点，延长交于点，若，求的度数． 20．（22-23七年级下·江苏连云港·期中）【课本再现】苏科新版七年级数学下册第7章平面图形的认识（二）第43页第21题如下：如图1，，点A、B分别在、上运动（不与点O重合），是的平分线，的反向延长线交的平分线于点D． 【特殊探究】（1）当时， ； 【推理论证】（2）随着点A、B的运动，的大小会变吗？如果不会，求的度数，请说明理由； 【拓展探究1】（3）如图2，在图1的基础上分别作与的平分线，交于点E，则 ； 【拓展探究2】（4）如图3，若将图1中的“”拓展为一般情况，即，连接，与的平分线相交于点Q，试判断与的数量关系，并说明理由． 【经典例题五 三角形折叠中的角度问题】 21．（23-24八年级上·广西桂林·期中）在我们苏科版义务教育教科书数学七下第42页曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下：    (1)【问题再现】如图1，在中，的角平分线交于点P，若．则______； (2)【问题推广】如图2，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，过点B作于点H，若，则______； (3)如图3，如图3，在中，、的角平分线交于点，将沿DE折叠使得点与点重合． ①若，则______； ②若，求证：； (4)【拓展提升】在四边形中，，点F在直线上运动（点F不与E，D两点重合），连接的角平分线交于点Q，若，直接写出∠Q和α，β之间的数量关系． 22．（23-24七年级下·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，有点，且a，b满足，将线段向上平移个单位得到线段．    (1)求出点A、B的坐标； (2)如图1，若，过点C作直线轴，点M为直线l上一点，若的面积为8，求点M的坐标； (3)如图2，点为线段上任意一点，点为线段上任意一点，．点为线段与线段之间一点，连接，，且，．试写出与之间的数量关系，并证明你的结论； 23．（23-24八年级上·山西大同·阶段练习）综合与探究    (1)如图1，将沿着第一次折叠，顶点落在的内部点处，试探究与之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，将沿着第二次折叠，顶点恰好与点重合，若，，求的度数． (3)如图3，将沿着第三次折叠，顶点恰好与点重合，若，，用含，的代数式表示． 24．（22-23七年级下·四川成都·期中）直线与直线垂直相交于点，点在射线上运动（点不与点重合），点在射线上运动（点不与点重合）．    (1)如图1，已知、分别是和的角平分线， ①当时，求的度数； ②点、在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况：若不发生变化，试求出的大小； (2)如图2，将沿所在直线折叠，点落在的点处，折痕与交于点，连接、，在中，如果有一个角是另一个角的倍，请求出的度数． 25．（22-23七年级上·江西南昌·期末）我们在小学已经学习了“三角形内角和等于”．在三角形纸片中，点D，E分别在边上，将沿折叠，点C落在点的位置．    (1)如图1，当点C落在边上时，若，则＝　 　，可以发现与的数量关系是 　 　； (2)如图2，当点C落在内部时，且，，求的度数； (3)如图3，当点C落在外部时，若设的度数为x，的度数为y，请求出与x，y之间的数量关系． 【经典例题六 三角形内角和定理的应用】 26．（2024七年级下·北京·专题练习）已知，如图，，直线交于点，交于点，点是线段上一点，分别在射线上，连接平分平分．    (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，求与之间的数量关系，并说明理由． 27．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，，且满足，将线段先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度．点的对应点为，点的对应点为． (1)求两点的坐标． (2)连接，求平行四边形的面积． (3)设为轴负半轴上一动点（异于点），连接，的平分线与的平分线交于点，请你探究与的数量关系，并证明你的结论． 28．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）如果两个角的差等于，就称这两个角互为“宝藏角”．其中一个角叫做另一个角的“宝藏角”．例如，，，则和互为“宝藏角”，即是的“宝藏角”，也是的“宝藏角”． (1)已知和互为“宝藏角”，，且和互补，求的度数； (2)在中，，是的角平分线， 如图，点在射线上，平分，与射线交于点，若与互为“宝藏角”，求的度数； 如图，若，射线平分且与射线交于点，若与互为“宝藏角”，则的度数为______； 如图，若于点，相交于点，若与互为“宝藏角”，求出的度数． 29．（23-24七年级下·辽宁阜新·期中）如图，，点在上，点，为上两点，，，平分交于点． (1)求的度数； (2)射线绕点每秒的速度顺时针旋转秒，当转动至射线后立即以相同速度回转，当第一次与互相平行时，求的值； (3)当射线绕点每秒的速度顺时针转动的同时，射线绕点每秒的速度逆时针旋转，当转动至射线时，，同时停止转动，请求出与互相平行时的值． 30．（23-24七年级下·山东青岛·期中）已知直线，点A在直线上，点B、C为平面内两点，于点C． (1)如图1，当点B在直线上，点C在直线上方时，则和之间的数量关系是　　． (2)如图2，当点C在直线上且在点A左侧，点B在直线与之间时，小明过点B作．请根据他的思路，写出与的关系； (3)如图3，在（2）的条件下，作的平分线交直线于点E，，直接写出的度数． (4)如图4，当点C在直线上且在点A左侧，点B在直线下方时，当时，请补充图形并直接写出的度数． 【经典例题七 三角形外角压轴题】 31．（23-24七年级下·福建莆田·阶段练习）已知：点A在直线上，点都在直线上（点B在点C的左侧），连接，AC，AB平分，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点K为线段上一动点，连结，且始终满足， ①当时，在直线上取点，连接，使得，求此时的度数． ②在点K的运动过程中，与的度数之比为定值，请直接写出这个定值，不需要说明理由． 32．（2024七年级下·北京·专题练习）已知，直线，点E为直线上一定点，射线交于点F，平分，． (1)如图1，当时， °； (2)点P为线段上一定点，点M为直线上的一动点，连接，过点P作交直线于点N． ①如图2，当点M在点F右侧时，求与的数量关系； ②当点M在直线上运动时，的一边恰好与射线平行，直接写出此时的度数（用含α的式子表示）． 33．（23-24七年级下·河南郑州·期中）已知：直线与直线平行，、是直线上的点，、是直线上的点，且． (1)如图1，为的角平分线，交于点，连接，猜测、，之间的等量关系并给出证明． (2)如图2，在（1）的条件下，过点作于点，作的角平分线交于点．若，且，请直接写出的度数． 34．（2024七年级下·浙江·专题练习）已知：点在直线上，点都在直线上（点在点的左侧），连接，，平分，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点为线段上一动点，连接，且始终满足． ①当时，在直线上取点，连接，使得，求此时的度数； ②在点的运动过程中，与的度数之比是否为定值，若是，求出这个值；若不是，说明理由． 35．（22-23七年级下·江苏扬州·期末）如图1，已知线段、线段被直线所截于点A、点C，，的度数是的3倍少． (1)求证：； (2)如图2，连接，沿方向平移得到，点F在上，点G是上的一点，连接、，，，求的度数； (3)如图3，点M是线段上一点，点N是射线上一点，度数为k，度数为m，度数为n，请直接写出k、m、n之间的数量关系．（本题的角均小于） 【经典例题八 多边形内角和压轴题】 36．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期中）已知在中，是边上的高，是的角平分线． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，平分交于点F，交外角平分线于点P，过F作交于G，请猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，过点P作于点G，若，且，过点P作交的延长线于点H，求的度数． 37．（23-24七年级下·江苏南京·期中）几何图形千变万化，但是不同的图形之间往往存在联系，下面让我们一起来探索： (1)下列有、两题，请你选择其中一个进行证明(若两题都证明，按题A给分)． ．如图①，和是的两个外角，求证； ．如图②、是边、上的点，将沿翻折至，若点在内部，．我选择 作答 (2)如图③，、分别平分四边形的外角、．已知，，求的度数； (3)如图④，已知五边形，延长至，延长至，连接，点、分别在边、上，将沿翻折至，若，，，．请你直接写出的度数用含、的代数式表示) 38．（23-24七年级下·吉林长春·期中）在中，．点D、E分别在的边上，且均不与的顶点重合，连接，将沿折叠，使点A的对称点始终落在四边形的外部，交边于点F，且点与点C在直线的异侧． (1)如图①，则_______． (2)如图②，则_______． (3)如图③，设图②中的．求的度数； (4)当的某条边与或垂直时，直接写出的度数． 39．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）【问题背景】 三角形和四边形是我们熟悉的几何图形，我们知道三角形内角和，四边形的内角和是． 【问题思考】 如图1，在中，延长到点D，，分别平分和． （1）若，，求的度数； （2）设，，x与y都是变量，但x与y的和是个常量，即，m是常量．在x与y变化的过程中，的大小是否变化，若不变，请直接写出用含m的代数式表示；若变化，请说明理由． 【问题拓展】 在四边形中，设，，延长到点E，，分别平分和． （3）如图2，当，此时，的位置关系为 ； （4）如图3，当，，所在直线交于点N，请说明与α，β的数量关系； （5）将（4）中的条件改为，其余条件不变，请画出简图，并直接写出与α，β的数量关系． 40．（23-24八年级上·云南·阶段练习）（概念学习） 在平面中，我们把大于且小于的角称为优角，如果两个角相加等于，那么称这两个角互为组角，简称互组． （1）若、互为组角，且，则_____°； （理解运用） 习惯上，我们把有一个内角大于的四边形俗称为镖形． （2）如图①，在镖形中，优角与钝角互为组角，试探索内角、、与钝角之间的数量关系， （拓展延伸） （3）如图②，______；（用含α的代数式表示） （4）如图③，已知四边形中，延长、交于点Q，延长、交于P，的平分线交于点M，；直接运用（2）中的结论，试说明：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 三角形40道压轴题型专训（8大题型） 【题型目录】 题型一 与三角形的高有关的计算压轴题 题型二 根据三角形中线求面积压轴题 题型三 与平行线有关的三角形内角和问题 题型四 与角平分线有关的三角形内角和问题 题型五 三角形折叠中的角度问题 题型六 三角形内角和定理的应用 题型七 三角形外角压轴题 题型八 多边形内角和压轴题 【经典例题一 与三角形的高有关的计算压轴题】 1．（22-23七年级下·广东河源·期中）如图，已知的面积为5，点M在边上移动（点M与点A、B不重合），，交于点N，连接．设，．    (1)求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)点E、F分别是边，的中点，设与的公共部分的面积为S，试用含x的代数式表示S． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）过点N作于点P，过点C作于点Q，连接，设，推出，，根据，得出，进而得出，则，，，最后根据，则，即可得出； （2）根据（1）可得当时，然后进行分类讨论：①当时，令相交于点G，，②当，令相交于点H，． 【详解】（1）解：过点N作于点P，过点C作于点Q，连接， 设， ∵，则， ∴，， ∵， ∴在上的高相等， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∵，则， ∴， 整理得：； ∵， ∴， ∴；    （2）解：如图：当时，由（1）可知，， ∴， ∴得出结论：，    ∵E、F分别是边，的中点， ∴， ∵点E、F分别是边，的中点， ∴ ，则， ∴， ∵，点F是中点， ∴， ∵点E是中点， ∴， ①当时，令相交于点G， ∵， ∴由结论可知，， 即：， 整理得：，    ②当，令相交于点H， ∵， ∴由结论可知，， 即， 整理得：．    【点睛】此题考查了平行线间的距离，等高三角形的面积比，等底三角形的面积比，三角形中线的性质，解题的关键是掌握平行线间的距离处处相等，等高三角形面积比等于底的比，等底三角形面积比等于高的比． 2．（22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、点B在x轴上，点C在y轴上，若点，点，点，且． (1)求a，b的值； (2)动点P从点O出发沿着y轴的正半轴以每秒1个单位长度的速度运动，连接，设的面积为S，点P运动的时间为t秒，求S与t的关系式； (3)在（2）的条件下，点D是直线上一点，点D的横坐标为1，连接，，若的面积为，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2)或 (3)或 【分析】（1）根据即可得到答案； （2）分点P在点下方与上方两类讨论，根据面积加减即可得到答案； （3）过点D作于点E，根据点D的横坐标为1即可得到，从而求出，结合的面积为，代入求解即可得到答案； 【详解】（1）∵点，点，点， ∴，，， ∵， ∴，，∴； （2）解：当点P在OC上时， ∵，， ∴， ∴， 当点P在OC的延长线上时， ∵， ∴， ∴或； （3）解：过点D作于点E， ∵点D的横坐标为1， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，∴ ∴， ∵， ∴ 当时， ∴ 当时， ∴ ∴或． 【点睛】本题考查动点三角形面积问题，解题的关键是分类讨论出现的情况，根据面积加减列式求解． 3．（23-24七年级下·福建厦门·期末）请用我们学过的知识解决下列问题：如图，平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），C（0，c），，b为的整数部分． (1)a＋b＋c＝　 　； (2)点P为坐标平面内的一个动点，若S△PBC＝2S△ABC，求点A与点P距离的最小值； (3)如图2，点D在线段AB上，将点D向右平移4个单位长度至E点，若△ACE的面积等于14，求点D坐标． 【答案】(1)-5 (2)4 (3)D 【分析】（1）根据二次根式的非负性、二次方的非负性求出a、c的值，根据b为的整数部分，求出b的值，即可得出答案； （2）根据点P在一条平行于y轴的直线上，根据垂线段最短，即可得出点A与点P距离的最小值； （3）连接OD、OE，设点D的坐标为（m，n），根据，得出，根据平移的性质，得出E（2n，n），根据列出关于n的方程，解方程即可得出n的值，得出D点的坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴，解得：， ∵， ∴的整数部分是2， ∴， ∴． 故答案为：-5． （2）解：∵A（a，0），B（0，b），C（0，c）， ∴A（-4，0），B（0，2），C（0，-3）， ∴， ∵S△PBC＝2S△ABC， ∴， ∵， ∴点P到BC的距离为：， ∵点B、C在y轴的直线上， ∴点P在平行于y轴的直线上，且与y轴的距离为8， ∴点P在直线或直线上， ∵点A到直线的最小距离为，点A到直线的最小距离为： ∴点A与点P之间最小距离为：． （3）解：连接OD、OE，如图所示： 设点D的坐标为（m，n）， ∵， ∴， ∴， ∴D点坐标为（2n-4，n）， ∵点D向右平移4个单位长度得到点E， ∴E（2n，n）， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了点与坐标的关系，非负性的应用，平移的性质，利用等积法求解等知识，能灵活应用相关知识点，是解题的关键． 4．（23-24七年级上·北京西城·阶段练习）设的面积为． (1)如图1，延长的各边得到，且，，，记的面积为，则______．（用含的式子表示） (2)如图2，延长的各边得到，且，，，记的面积为，则________．（用含的式子表示） (3)如图3，P为内一点，连接、、并延长分别交边、、于点D、E、F，则把分成六个小三角形，其中四个小三角形面积已在图上标明，则计算得到的面积________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题是三角形的综合题，主要考查了面积及等积变换，利用三角形同高则面积比与底边关系分别分析得出是解题关键． （1）利用三角形同高等底面积相等，进而求出即可； （2）利用三角形同高不等底面积比为底边长的比，进而求出即可； （3）利用三角形面积之间关系得出其边长比，得出关于，的方程求出即可． 【详解】（1）如图, 连接， , ，， ， 同理可得出：， ， 故答案为: ； （2）如图，连接， ， 根据等高两三角形的面积比等于底之比， ， ， ， 同理可得出：， ∴； 故答案为: ； （3）如图，过点作于点， ， ， ，即， 同理 ， 设 ，， ，即； ，， ， 又 ， ， 故答案为: ． 5．（23-24七年级下·河南信阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，，连接，将向下平移10个单位得线段，其中点的对应点为点． (1)填空：点C的坐标为____________； (2)点E从点A出发，以每秒2个单位的速度沿…运动，设运动时间为t秒， ① 当时，点E坐标为__________， ② 当E点在边上运动时，点E坐标为_____________；（用含t的式子表示） ③ 当点E到y轴距离为7时，求t值； (3)在（2）的条件下，连接并延长，交y轴于点P，当将四边形的面积分成两部分时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)①；②；③的值为2或9； (3)点P的坐标为或 【分析】（1）根据点A的坐标和平移的特点求解即可； （2）①根据题意求出点E的横坐标为，纵坐标为6，进而求解即可；②首先求出点E的横坐标为9，，，然后表示出点E的纵坐标为，进而求解即可；③根据题意分点E在上和点E在上，然后分别根据点到轴距离为7列方程求解即可； （3）首先求出四边形的面积，然后根据题意分和两种情况讨论，分别根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点，将向下平移10个单位得线段， ∴点的坐标为，即， 故答案为：； （2）解：①∵点从点出发，以每秒2个单位的速度沿运动一圈， ∴当时，， ∴点E的横坐标为，纵坐标为6 ∴点E的坐标为， 故答案为：； ②∵点在边上运动， ∴点E的横坐标为9 ∵， ∴ ∴点E的纵坐标为， ∴点E的坐标为， 故答案为：； ③∵点到轴距离为7， ∴点E的横坐标为7 ∵点E的运动路程为， ∴当点E在上时，， 解得； ∴当点E在上时， ∵点到轴距离为7， ∴ ∴ ∴ 解得； 综上所述，当点到轴距离为7时，的值为2或9； （3）∵， ∴四边形的面积 如图所示，点E在上，延长交y轴与点F，连接， 当时， ∴ ∴， ∴，即， 解得，符合题意； ， ， ， ， ， ， ， ∴点P的纵坐标为，横坐标为0， 点P的坐标为， 如图所示，当交于点E，连接，延长交y轴于点G，则，过P点作交的延长线于点H， 当时， ∴ ∴， ∴，即 解得， ，符合题意； ， ， ， ， ， ， ， ∴点P的纵坐标为，横坐标为0， ∴点P的坐标为， 综上，点P的坐标为或． 【点睛】此题考查了坐标与图形，动点问题，三角形的面积公式，列代数式等知识，解题的关键是正确表示出点E运动的路程及用分类讨论的思想． 【经典例题二 根据三角形中线求面积压轴题】 6．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的负半轴上，其坐标为，点C在y轴的正半轴上，其坐标为，分别过点A、C作y轴、x轴的平行线，两平行线相交于B． (1)点B坐标为（____，____）； (2)动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速沿向终点A匀速移动，设点P移动的时间为t秒，M为中点，N为中点，用含t的式子表示的长； (3)在（2）的条件下，点P到达A后，继续沿着向终点O运动，连接，求t为何值时，把长方形分成的两部分面积比为，并求出此时点P坐标． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查的是坐标的特点、三角形的面积公式，线段有关的计算； （1）根据坐标的定义求解即可； （2）根据M为中点，得到，根据N为中点得到， 根据求解即可； （3）线段把长方形分成的两部分面积比为，只要即可使把长方形分成的两部分面积比为，据此求解即可． 【详解】（1）∵点A的坐标为，点C的坐标为，分别过点A、C作y轴、x轴的平行线，两平行线相交于B． ∴， ∴点B坐标为 故答案为：； （2）由题意得，，即 ∵M为中点， ∴， ∵N为中点， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）由题意得，，即 连接， 则线段把长方形分成的两部分面积比为， ∵把长方形分成的两部分面积比为， ∴把分成的两部分面积比为， ∴为中点， ∴， ∴， ， 此时点P坐标． 7．（22-23七年级下·江苏扬州·期末）已知：如图，是的角平分线，点E、F分别在、上，，平分．    (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，，且的面积为27，求的面积． 【答案】(1)平行，详见解析 (2)4 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，根据平行线的性质可得，因此，由此可得． （2）由，中上的高与中上高相同，可得，因此，由此可求出．同理可求出，，即可求出的面积． 【详解】（1）理由如下： 平分，平分， ． ， ， ， ． （2），中上的高与中上高相同， ， ． ，中上的高与中上的高相同， ， ． ，中上的高与中上的高相同， ， ． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、平行线的判定和性质、以及高相同的两个三角形的面积之比等于底边长之比，熟练掌握以上知识是解题的关键． 8．（22-23七年级下·江苏盐城·期中）典型题例： （1）如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？为什么？ （2）如图2，是的中线，你能把一个三角形分成面积相等的4个三角形吗？试画出相应的图形？（两种方法画图）    迁移应用： （3）如图3，的两条中线，相交于点，求证：； （4）如图4，的三条中线，，相交于点， ①请你写出所有与面积相等的三角形； ②写出与的数量关系式，并说明理由；    拓展应用； （5）设的面积为a，如图①将边分别2等份，、相交于点O，的面积记为；如图②将边分别3等份，、相交于点O，的面积记为；……，以此类推，若，则a的值为__________．    【答案】（1）；理由见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）①与面积相等的三角形有，，，，；②，理由见解析；（5）27 【分析】本题考查的是三角形的中线的性质、三角形的面积公式，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两个三角形是解题的关键． （1）根据过点A作于点H，根据中心得出，根据三角形的面积公式得出，，即可求出结果； （2）根据三角形面积的有关计算公式进行求解即可． （3）根据三角形的中线的性质得到，同理可得，证明结论； （4）①根据三角形的中线的性质、结合图形判断； ②根据高相等的两个三角形的面积比等于底的比证明； （5）利用三角形的面积公式，求出前三个图形的面积，再得出规律，根据规律列出方程便可求得． 【详解】解：（1）；理由见如下： 过点A作于点H，如图所示：    ∵是的中线， ∴， ∵，， ∴； （2）方法一：取的四等分点E、D、F，连接、、，此时分的四个三角形面积相等，如图所示：    ∵， ∴； 方法二：取、、的中点E、D、F，连接、、，则此时的四个三角形面积相等，如图所示：    ∵D为的中点， ∴， ∴， 同理得：，， ∴； （3）是的中线，则 ， 同理， ， ； （4）①； ∴与面积相等的三角形有，，，，； ②， 理由如下：， ， ； （5）在图①中，连接，   ，， ，，， ，， ， ， 设，则 ， 解得； 在图②中，连接、、，    则，， 设，则 ， 解得； 在图③中，连、、、、， 则，， 设，则 ， 解得， ． 由可知，， ， ， 解得． 故答案为：27． 9．（23-24八年级上·湖南永州·阶段练习）如图，中，，于点D，为的中线，，，．求：    (1)的长 (2)的面积 (3)和 的周长的差 【答案】(1)4.8 (2)12 (3)2 【分析】（1）利用“面积法”来求线段的长度； （2）与的等底同高的两个三角形，它们的面积相等．据此即可得到答案； （3）由于是中线，那么，于是的周长的周长，化简可得的周长的周长，易求其值． 【详解】（1），是边上的高， ， ， 即的长度为； （2）如图，是直角三角形，，，， ． 又是边的中线， ， ，即， ． 的面积是． （3）为边上的中线， ， 的周长的周长， 即和的周长的差是． 【点睛】本题考查了三角形的面积、三角形中线、三角形的高等知识，（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即底高．（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 10．（22-23七年级下·江苏淮安·阶段练习）已知的面积是60，请完成下列问题：    (1)如图1，若是的边上的中线，则的面积______的面积．（填“>”“<”“=”） (2)如图2，若、分别是的、边上的中线，求四边形的面积可以用如下方法，连接，由得：，同理：，设，，则，由题意得：，，可列方程组为：，解得______，则可得四边形的面积为______． (3)如图3，，，则四边形的面积为______． (4)如图4，D，F是的三等分点，E，G是的三等分点，与交于O，且，则四边形A的面积为______． 【答案】(1)= (2)，20 (3)13 (4) 【分析】（1）过点A作于点H，根据中线的定义得出，再根据三角形的面积公式得出，即可得出结论； （2）用加减消元法求解该二元一次方程组，根据，即可求解； （3）连接，根据题意得出，，则，，设，，则，，列出方程组求解， 最后根据即可求解； （4）连接，根据题意得出，，用和（3）一样的方法即可求解． 【详解】（1）解：过点A作于点H， ∵是的边上的中线， ∴， ∵， ∴， 故答案为：=；    （2）解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为， ∴， 故答案为：，20； （3）解：连接， ∵，， ∴，， ∵的面积是60， ∴，， 设，，则，， ，解得：， ∴； 故答案为：13；    （4）解：连接， ∵D，F是的三等分点，E，G是的三等分点， ∴，， ∴，， ∵的面积是60， ∴，， 设，，则，， ，解得：， ∴； 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了三角形综合，解二元一次方程组，解题的关键是掌握同高三角形面积比等于底的比． 【经典例题三 与平行线有关的三角形内角和问题】 11．（23-24七年级下·广东汕头·期中）如图，已知、两点坐标分别为，，且，满足，，是轴正半轴上一点． (1)求、两点的坐标 (2)若为轴上一点，且，求点的坐标 (3)过作轴，若，，求与间的数量关系 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）利用平方和算术平方根的非负性求出、即可； （2）先根据已知点的坐标求出，进而根据求出，由，即可求解； （3）过点作轴，根据平行的性质和三角形内角和定理可推出，进而得到，即可求解． 【详解】（1）解：，， ，， 解得：，， ，； （2），， ， ， ， ， 为轴上一点， ， 即， ， 或； （3）过点作轴， 轴， ，即， ， ， ， ，， ，， ， ． 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，平方和算术平方根的非负性，解题的关键是灵活运用这些知识． 12．（23-24七年级下·广东佛山·期中）综合探究：如图1，已知两条直线被直线所截，分别交于点E，点平分交于点M，且． (1)直线与直线平行吗？说明你的理由； (2)点G是射线上一动点（不与点M，F重合），平分交于点H，过点H作于点N，设． ①当点G在点F的右侧时，请根据题意，在图2中补全图形，并求出当时α的度数； ②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并简单说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①图见解析，；②或，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，掌握相关知识，熟练利用角的和差关系是解题关键． （1）根据角平分线的性质得到，进而得到，即可推出； （2）①根据平行的性质，得到，进而得到，再根据角平分线的定义推出，最后利用三角形内角和定理即可求出的度数； ②分情况讨论：当点在点的右侧时，根据平行线的性质得到，进而得到，再根据角平分线的定义，得到，最后利用三角形内角和定理即可得到和之间的数量关系；当点在点的左侧时，根据平行线的性质得到，再根据角平分线的定义，得到，最后利用三角形内角和定理即可得到和之间的数量关系． 【详解】（1）解：，理由如下： 平分， ， ， ； （2）①画出图形， ， ， ， 平分，平分， ，， ， ， ， ； ②猜想：或，理由如下： 当点在点的右侧时，如下图： ， ， ， 平分，平分， ，， ， ， ， ； 当点在点的左侧时，如下图： ， ， 平分，平分， ，， ， ， ， ， 综上可知，或． 13．（23-24七年级下·福建三明·期中）在数学探究活动课中，老师要求同学们把一块直角三角板（图中的，）摆放在画有两条平行直线的纸面上进行操作探究．    (1)小明同学把三角板按如图1摆放，请你直接写出与，之间的数量关系； (2)小明移动三角板按如图2摆放，当平分时，发现和存在特殊的数量关系，请写出这个数量关系并说明理由； (3)小明继续移动三角板，使顶点A落在直线上，如图3，分别画出和的平分线相交于点E，多次移动三角板位置（保持顶点A在直线上），经度量并计算发现都等于，请问这个等式是否一定成立？如果成立，请你说明理由；如果不成立，请你画出一个符合条件且又不等于的图形． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，见解析 (3)一定成立，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义： （1）过C作，则，依据平行线的性质，即可得出； （2）由角平分线的定义得到，进而推出，则由平角的定义可得，由（1）的结论可知，则，即； （3）设，则，由（1）得结论可得，则；再由角平分线的定义得到，，则，，由三角形内角和定理得到，则． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图所示，过C作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴；    （2）解：，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）的结论可知， ∴， ∴， ∴； （3）解：一定成立，理由如下： 设，则， 由（1）得结论可得， ∵， ∴； ∵和的平分线相交于点E， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 14．（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图，，是直线上一点，是直线上一点． 问题提出 （1）如图1，是直线上一点，是线段上一点，连接，若，，则 问题探究 （2）如图2，，平分，平分，请计算的度数． 问题解决 （3）如图3，平分，延长到点，且平分，若，请你探究与之间的关系，并说明理由（用含的式子表示）． 【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析 【分析】（1）根据“两直线平行，内错角相等”，得出，根据，结合“三角形内角和为”，求出的度数，再计算得出的度数即可； （2）点向左作，点向左作，根据“两直线平行，内错角相等”，推出，，根据角平分线的定义，得出，计算得出的度数即可； （3）交于点，点向左作，根据“两直线平行，内错角相等”、角平分线的定义，结合“三角形内角和为”，得出、，整理得出与之间的关系即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图，点向左作，点向左作， ∵， ∴， ∴，，，， ∴， ， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； （3），理由如下， 如图，交于点，点向左作， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ， ∵，平分，延长到点，且平分， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ， ∴， 整理得：． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识，熟练掌握知识点、作平行辅助线推理是解题的关键． 15．（23-24七年级下·福建厦门·期中）已知：，E、G是上的点，F、H是上的点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点M在的延长线上，作、的角平分线交于点N，交于点P，设． ①若，试判断直线上是否存在一点K使得，并说明理由； ②如图3，作的角平分线交于点Q，若，请直接回答与的数量关系：______． 【答案】(1)见详解 (2)①不存在，见解析；② 【分析】（1）由平行线的性质得，再由平行线的判定方法即可求证； （2）①由线的性质，得到，由、的角平分线交于点N，得到，，在中应用三角形内角和定理，得到，代入得，由，得，根据点到直线距离垂线段最短，即可判断，②由平行线的性质，和角分线，得到，，由， 得到， ，代入，即可求解， 本题考查了，平行线的性质与判定，与角分线有关的三角形内角和问题，解题的关键是：根据题意列出等量关系式． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ； （2）解：①∵， ∴，即：， ∵、的角平分线交于点N， ∴，， ∵，， ∴，整理得：， ∵， ∴， ∴直线不存在点K使得， ②的角平分线交CD于点Q， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即：， ∵，， ∴，即：， ， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【经典例题四 与角平分线有关的三角形内角和问题】 16．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）【认识概念】 如图1，在中，若，则，叫做的“三分线”．其中，是“近三分线”， 是“远三分线”． 【理解应用】 （1）在中，，，若的三分线与的角平分线交于点，则 ____________； （2）如图2，在中，、分别是的近三分线和近三分线，若，求的度数； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，、分别是的远三分线和远三分线，且，直线过点分别交、于点、，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． （4）在中，是的外角，的近三分线所在的直线与的三分线所在的直线交于点．若，；直接写出 的度数（用含m的代数式表示）． 【答案】（1）或；（2）；（3），（4）m或 【分析】本题考查了角平分线的计算，三分线的新定义，三角形的内角和定理，理解新定义是解题的关键． （1）分两种情况：①当为近三分线时，如图所示，求得，再利用角平分线的定义求得，最后在中利用三角形的内角和定理即可；②当为远三分线时，如图所示，然后分别根据三分线和角平分线的定义及三角形的内角和定理即可求解； （2）利用、分别是近三分线和近三分线，求得，然后再利用三角形的内角和定理即可求解； （3）如图2，在中，利用三角形的内角和定理求，再利用、分别是的远三分线和远三分线，求得，进而在中利用内角和定理求，结合，即可求得． （4）分2种情况进行画图计算：情况一：如图，当分别是“近三分线”，可得，可求解；情况二：如图， 是“远三分线”，时，可得可求解． 【详解】解：（1）分两种情况： 当为近三分线时，如图所示，， ， 平分，， ， ； 当为远三分线时，如图所示，， ， 平分，， ， ， 故答案为：或． （2）如图1，、分别是近三分线和近三分线， ，， ， ， ， ， 在中，， ． （3）如图2，在中，，， ． 、分别是的远三分线和远三分线， ， ， 在中，， ， ； ， ． （4）如图当是“近三分线”， ，，， ， 即， ，， ； 如图，当是“远三分线”， ，，， ， 即， ，， ． 故答案为：或． 17．（2024七年级下·浙江·专题练习）【基础巩固】（1）如图1，已知，求证：； 【尝试应用】（2）如图2，在四边形中，，点E是线段上一点．，求的度数； 【拓展提高】（3）如图3，在四边形中，，点E是线段上一点．若平分． ①试求出的度数； ②已知，点G是直线上的一个动点，连接并延长． 2.1若恰好平分，当与四边形中一边所在直线垂直时，_____； 2.2如图4，若是的平分线与的延长线交于点F，与交于点P，且，则______（用含的代数式表示）． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）①；②2.1：或或；2.2： 【分析】本题考查了根据平行线的性质求角度，角平分线的定义，三角形内角和定理，准确作出辅助线，分情况讨论进行求解解题关键． （1）由平行线的性质可得，即可求解； （2）由平行线的推论可得，由（1）的可求解； （3）①由平行线的性质可得，由三角形内角和定理可求；②2.1先求出的度数，再分四种情况讨论，由角的数量关系可求解；2.2分别求出的度数，由平行线的性质可求解． 【详解】（1）证明：， ， ； （2）解：如图2，过点E作，交于F， ， ， 由（1）可知：， ， ； （3）解：①， ， 平分， ， 又， ， ； ②2.1， ， ， ， ， 恰好平分， ， 当或时，； 当时，， ； 当时，， 综上所述：的度数为或或， 故答案为：或或； 2.2是的平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 18．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知：如图，在中，P为内一点，平分，平分．    (1)如图1，当时，则的度数为__________． (2)如图2，过C作，交延长线于点Q，求证：． (3)如图3，在（2）的条件下，过C作，延长与延长线交于点N，若，且，求的度数． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是掌握三角形的内角和是180度，以及角平分线的定义． （1）根据三角形的内角和得出，则，即可求解； （2）由图可知，推出，根据角平分线的定义得出，则，再根据三角形的内角和可得，即可求证； （3）设， 推出，，则，根据，得出，在中，，列出方程求出x，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：由图可知， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵， ∴设， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴，， ∴． 19．（23-24七年级下·山西吕梁·期中）综合与探究 如图1，已知，是其内部一点，过点作，，分别交，于点，，平分，平分． 图1                                 图2 (1)①写出所有等于的角：______． ②试猜想与的位置关系，并说明理由． (2)如图2，点在射线上，连接，，且，平分，交于点，延长交于点，若，求的度数． 【答案】(1)①；②，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义： （1）①由平行线的性质得到，再由角平分线的定义得到，据此可得答案；②延长交于H，由平行线的性质可得，则； （2）设交于K，由角平分线的定义得到，设，则，，由平行线的性质得到，则，进而得到，可得，再求出，得到，由平行线的性质得到，则． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， 故答案为：； ②，理由如下： 如图所示，延长交于H， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示，设交于K， ∵平分， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 20．（22-23七年级下·江苏连云港·期中）【课本再现】苏科新版七年级数学下册第7章平面图形的认识（二）第43页第21题如下：如图1，，点A、B分别在、上运动（不与点O重合），是的平分线，的反向延长线交的平分线于点D． 【特殊探究】（1）当时， ； 【推理论证】（2）随着点A、B的运动，的大小会变吗？如果不会，求的度数，请说明理由； 【拓展探究1】（3）如图2，在图1的基础上分别作与的平分线，交于点E，则 ； 【拓展探究2】（4）如图3，若将图1中的“”拓展为一般情况，即，连接，与的平分线相交于点Q，试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）45；（2）的大小不会变，理由见解析；（3）；（4），理由见解析 【分析】本题考查了平面图形中角的计算、与角平分线有关的三角形内角和问题，根据图形推理证明是解题的关键． （1）根据已知角度和角平分线，先求出和的度数，再根据计算即可； （2）设，根据已知角度和角平分线，用含的代数式表示和，再根据计算即可； （3）设，根据已知角度和角平分线，用含的代数式表示和，再根据计算即可； （4）设，，则，，表示出 ，，根据， 表 示出，根据，表示出 ，根据得 ，即可得 ． 【详解】解：（1），，是的平分线，的反向延长线交的平分线于点D， ，，，， ， ， 故答案为：45； （2）的大小不会变，理由如下： 设， ，是的平分线，的反向延长线交的平分线于点D， ，，，，， ； （3）设， ，是的平分线，的反向延长线交的平分线于点D， ，，，， 在图1的基础上分别作与的平分线，交于点， ，，，， ， 故答案为：； （4），理由如下： 设， ，是的平分线，的反向延长线交的平分线于点D，与的平分线相交于点Q， ，，，， ， ， ，， ，， ， ， ． 【经典例题五 三角形折叠中的角度问题】 21．（23-24八年级上·广西桂林·期中）在我们苏科版义务教育教科书数学七下第42页曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下：    (1)【问题再现】如图1，在中，的角平分线交于点P，若．则______； (2)【问题推广】如图2，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，过点B作于点H，若，则______； (3)如图3，如图3，在中，、的角平分线交于点，将沿DE折叠使得点与点重合． ①若，则______； ②若，求证：； (4)【拓展提升】在四边形中，，点F在直线上运动（点F不与E，D两点重合），连接的角平分线交于点Q，若，直接写出∠Q和α，β之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)①；②见解析 (4)F在E左侧；F在之间；F在D右侧． 【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； （2）先由角平分线的定义得到，再由三角形外角的性质得到，根据三角形内角和定理推出，再由垂线的定义得到，据此求解即可； （3）①同（1）求得，由折叠的性质可得，据此计算即可求解；②证明，同①即可证明； （4）分点F在点E左侧，点F在D、E之间，点F在点D右侧三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：； （2）解：∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴； 故答案为：； （3）解：①∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴； （4）解：当点F在点E左侧时，如图4-1所示，    ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴ ； 当F在D、E之间时，如图4-2所示：    同理可得， ， ∴ ； 当点F在D点右侧时，如图4-3所示：    同理可得 ； 综上所述，F在E左侧；F在之间；F在D右侧． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，平行线的性质，垂线的定义，熟知相关知识是解题的关键． 22．（23-24七年级下·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，有点，且a，b满足，将线段向上平移个单位得到线段．    (1)求出点A、B的坐标； (2)如图1，若，过点C作直线轴，点M为直线l上一点，若的面积为8，求点M的坐标； (3)如图2，点为线段上任意一点，点为线段上任意一点，．点为线段与线段之间一点，连接，，且，．试写出与之间的数量关系，并证明你的结论； 【答案】(1)点，点； (2)点的坐标为或 (3) 【分析】（1）由算术平方根和绝对值的非负性质可求，的值，即可求解； （2）①点在点右侧，且在直线左侧时，②当点在点右侧，且在直线右侧时，③当点在点左侧时，进行讨论，由三角形的面积关系即可求解； （3）延长、交于点，延长、交于点，设，，由平行线的性质可得，，再由外角性质可得，，可求，即可得出结论． 【详解】（1）解：， ，， 点，点； （2）①当点在点右侧，且在直线左侧时，连接，如图3所示：   ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积为8， ， ， 点， ②当点在点右侧，且在直线右侧时，如图4所示：   ， 的面积为8， ， ， 点； ③当点在点左侧时，连接，如图5所示：   ， 的面积为8， ， （不合题意舍去） 综上所述：点的坐标为或； （3），理由如下： 延长、交于点，延长、交于点，如图2所示：    设，， 则， ， ，， ， ，， ，， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了平行线的性质、三角形的面积公式、坐标与图形性质、三角形的外角性质、算术平方根和绝对值的非负性质等知识，本题综合性强，添加恰当辅助线是解题的关键． 23．（23-24八年级上·山西大同·阶段练习）综合与探究    (1)如图1，将沿着第一次折叠，顶点落在的内部点处，试探究与之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，将沿着第二次折叠，顶点恰好与点重合，若，，求的度数． (3)如图3，将沿着第三次折叠，顶点恰好与点重合，若，，用含，的代数式表示． 【答案】(1)，理由见解析； (2) (3) 【分析】（1）由折叠的性质得出，，由平角的定义及三角形内角和定理可得出答案； （2）由（1）可知，，求出，则可得出答案； （3）由（2）可知，，求出，由周角的定义求出，则可得出答案． 【详解】（1）． 理由：由折叠得：，， ， ， ； （2）由（1）可知，， ， ， ， ， ， ； （3）由（2）可知，， ， ，， ， 又 ， ． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了折叠的性质，三角形内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 24．（22-23七年级下·四川成都·期中）直线与直线垂直相交于点，点在射线上运动（点不与点重合），点在射线上运动（点不与点重合）．    (1)如图1，已知、分别是和的角平分线， ①当时，求的度数； ②点、在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况：若不发生变化，试求出的大小； (2)如图2，将沿所在直线折叠，点落在的点处，折痕与交于点，连接、，在中，如果有一个角是另一个角的倍，请求出的度数． 【答案】(1)①，②大小发生变化，随着的增大而减小 (2)或． 【分析】（1）①根据垂直的定义可得，根据角平分线的定义可得，根据三角形内角和定理，即可求解； ②同①的方法根据三角形的内角和定理求得，即可求解． （2）连接，根据三角形的角平分线交于一点可得是的角平分线，进而根据题意分类讨论，求得，根据角平分线的定义，以及折叠的性质，即可求解． 【详解】（1）解：①∵于点， ∴， ∵，、分别是和的角平分线， ∴ ∴    ②∵于点， ∴， ∵、分别是和的角平分线， ∴ ∴ ∴随着的增大而减小； （2）解：∵是的角平分线， ∴ ∴， ∴ 连接，如图所示， ∵三角形的三条角平分线交于一点， ∴是的角平分线， ∵折叠， ∴是的角平分线，      ①当时，则， ∵ ∴，故此情形不存在，同理可得不存在 ②当时， 则， ∴， ∴， ③当， 则， ∴， ∴， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了垂直的定义，三角形角平分线的应用，折叠的性质，分类讨论是解题的关键． 25．（22-23七年级上·江西南昌·期末）我们在小学已经学习了“三角形内角和等于”．在三角形纸片中，点D，E分别在边上，将沿折叠，点C落在点的位置．    (1)如图1，当点C落在边上时，若，则＝　 　，可以发现与的数量关系是 　 　； (2)如图2，当点C落在内部时，且，，求的度数； (3)如图3，当点C落在外部时，若设的度数为x，的度数为y，请求出与x，y之间的数量关系． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据平角定义求出，再利用折叠性质即可求出，然后利用三角形内角和进行计算即可； （2）根据平角定义求出，，然后利用折叠性质可得，然后利用三角形内角和进行计算即可； （3）根据平角定义求出，再利用折叠性质即可求出，然后利用三角形内角和进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 由折叠得： . ∴， ∴， （2）解：∵， ∴， 由折叠得： ∴， ∴的度数为； （3）解：如图：    ∵， ∴， 由折叠得： ， ∴ ， ∴与x，y之间的数量关系：． 【点睛】本题考擦汗折叠性质和三角形内角和，灵活运用所学知识是关键． 【经典例题六 三角形内角和定理的应用】 26．（2024七年级下·北京·专题练习）已知，如图，，直线交于点，交于点，点是线段上一点，分别在射线上，连接平分平分．    (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，求与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】（1）延长交于，设，交于点，设，则，根据可表示出，进而根据三角形内角和推论表示出，进而表示出，在和中，由三角形内角和得出关系式，进一步得出结果； （2）类比（1）的方法过程，即可得出结果． 【详解】（1）解：延长交于，设，交于点，如图所示：   平分， 设，则， ， ， ， ， ， 平分， ， 在和中，，，， ，即， ， （2）解：延长交于，设，交于点，如图所示：   平分， 设，则， ， ， ， ， 平分， ， 在和中，，，， ，即， ． 【点睛】本题考查了平行线性质，角平分线定义，三角形内角和定理及其推论等知识，解决问题的关键是利用数形结合，准确找出各个角度之间的和差倍分关系列方程． 27．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，，且满足，将线段先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度．点的对应点为，点的对应点为． (1)求两点的坐标． (2)连接，求平行四边形的面积． (3)设为轴负半轴上一动点（异于点），连接，的平分线与的平分线交于点，请你探究与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)， (2)15 (3)当点在线段上时，，当点在延长线上时， 【分析】（1）根据非负数的性质得出，，求出的值，即可得出答案； （2）作轴，交的延长线于，设交轴于，则四边形的面积四边形的面积，由平移过程知，求出四边形的面积即可得解； （3）分两种情况：当点在线段上时；当点在延长线上时，分别求解即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴，； （2）解：如图，作轴，交的延长线于，设交轴于， ， 则四边形的面积四边形的面积， 由平移过程知， ∵， ∴， ∴四边形的面积， ∴四边形的面积为； （3）解：如图，当点在线段上时，延长交于，令交轴于， ， 由平移的性质可得：， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ， ∵， ∴； 如图，当点在延长线上时，延长交于，令交轴于， ， 由平移的性质可得：， ∴， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ， ∴； 综上所述：当点在线段上时，，当点在延长线上时，． 【点睛】本题考查了非负数的性质、平移的性质、角平分线的性质、平行线的性质、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． 28．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）如果两个角的差等于，就称这两个角互为“宝藏角”．其中一个角叫做另一个角的“宝藏角”．例如，，，则和互为“宝藏角”，即是的“宝藏角”，也是的“宝藏角”． (1)已知和互为“宝藏角”，，且和互补，求的度数； (2)在中，，是的角平分线， 如图，点在射线上，平分，与射线交于点，若与互为“宝藏角”，求的度数； 如图，若，射线平分且与射线交于点，若与互为“宝藏角”，则的度数为______； 如图，若于点，相交于点，若与互为“宝藏角”，求出的度数． 【答案】(1)； (2)；或；或． 【分析】（）根据新定义列出方程组即可求解； （）根据定义和角平分线的有关计算即可求解； 根据定义和角平分线的定义进行分类讨论并计算即可求解； 根据定义和角平分线的定义进行分类讨论并计算即可求解； 本题主要考查了角平分线的性质、直角三角形的性质和平行线的性质、三角形的内角和定理，解题关键是能够根据条件找出角与角之间的数量关系． 【详解】（1）∵和互为“宝藏角”，，且和互补， ∴，， ∴， （2）∵，是的角平分线， ∴，， ∵， ∴，即， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵与互为“宝藏角”， ∴， ∴； ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵与互为“宝藏角”, ∴或， ∴或， 故答案为：或； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或， ∵与互为“宝藏角”， ∴或， ∴或， ∴或， ∴或． 29．（23-24七年级下·辽宁阜新·期中）如图，，点在上，点，为上两点，，，平分交于点． (1)求的度数； (2)射线绕点每秒的速度顺时针旋转秒，当转动至射线后立即以相同速度回转，当第一次与互相平行时，求的值； (3)当射线绕点每秒的速度顺时针转动的同时，射线绕点每秒的速度逆时针旋转，当转动至射线时，，同时停止转动，请求出与互相平行时的值． 【答案】(1) (2) (3)的值可能是：6或15 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，关键在于分情况讨论求值， （1）由，知，再利用，，即可求解； （2）当时，可求出，进而得出，可求值； （3）设与互相平行为秒，分情况画好图形，再结合角的和差与平行线的性质建立方程解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （2）解：如图，当时， ， ； （3）解：设与互相平行时间为秒，射线绕点每秒的速度顺时针转动，同时，射线绕点每秒的速度逆时针旋转， 第一次时，如图2，， 解得：； 第二次时，如图，， 解得：； 答：的值可能是：6，15． 30．（23-24七年级下·山东青岛·期中）已知直线，点A在直线上，点B、C为平面内两点，于点C． (1)如图1，当点B在直线上，点C在直线上方时，则和之间的数量关系是　　． (2)如图2，当点C在直线上且在点A左侧，点B在直线与之间时，小明过点B作．请根据他的思路，写出与的关系； (3)如图3，在（2）的条件下，作的平分线交直线于点E，，直接写出的度数． (4)如图4，当点C在直线上且在点A左侧，点B在直线下方时，当时，请补充图形并直接写出的度数． 【答案】(1) (2) (3) (4)图见解析， 【分析】（1）利用平行线的性质，直角三角形两内角性质求解即可； （2）结论：．构造平行线，利用平行线的性质和垂直定义求解即可； （3）设，则，根据，构建方程求解即可； （4）设交于J．设，则，中，利用三角形内角和定理，构建方程求解即可． 【详解】（1）如图1中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）结论：． 理由：如图2，过点B作, ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图3中， ∵， ∴可以假设，则， ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （4）图形如图4所示，设交于J． ∵， ∴可以假设，则， ∵， ∴， ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线和角平分线．作出合适辅助线构成平行线，熟练掌握平行线的性质，垂直定义，角平分线的定义，直角三角形性质，三角形内角和定理，平角定义，是解题的关键． 【经典例题七 三角形外角压轴题】 31．（23-24七年级下·福建莆田·阶段练习）已知：点A在直线上，点都在直线上（点B在点C的左侧），连接，AC，AB平分，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点K为线段上一动点，连结，且始终满足， ①当时，在直线上取点，连接，使得，求此时的度数． ②在点K的运动过程中，与的度数之比为定值，请直接写出这个定值，不需要说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①的度数为或；② 【分析】本题考查平行线的判定，角平分线的定义，三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和定理是解题的关键． （1）由角平分线的定义可得，再根据内错角相等，两直线平行可得结论； （2）①由垂直的定义可知，即可得，设，则可表示和的度数，然后利用三角形的内角和解题即可解题； ②设，则可求出的值，然后表示的度数解题即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）①如图1，当F在A点右边时， ∵， ∴， 又∵， ∴， 设， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴； 如图：当F在A点左侧时， ∵， ∴， 又∵， ∴， 设， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴； 综上，的度数为或； ②，理由为： 设， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ∴ ∴． 32．（2024七年级下·北京·专题练习）已知，直线，点E为直线上一定点，射线交于点F，平分，． (1)如图1，当时， °； (2)点P为线段上一定点，点M为直线上的一动点，连接，过点P作交直线于点N． ①如图2，当点M在点F右侧时，求与的数量关系； ②当点M在直线上运动时，的一边恰好与射线平行，直接写出此时的度数（用含α的式子表示）． 【答案】(1) (2)①；②的度数为：或，理由见解析 【分析】（1）由得，根据平角的定义及角平分线的性质可得出，然后将代入即可； （2）①延长交于点，由得，由得可得出结论； ②由于的一边恰好与射线平行，因此有以下两种情况， （ⅰ）当与射线平行时，设，延长交于点，由得，，再由及（1）的结论得，然后由三角形的内角和定理得，据此可得出答案； （ⅱ）当与射线平行时，由得由得，进而得，据此可得，最后再由三角形的外角定理可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， 平分， ， ． （2）解：①与的数量关系是：． 理由如下： 延长交于点， ∵， ， ， ， ， ， ， ． ②的度数为：或． 理由如下： 的一边恰好与射线平行， 有以下两种情况， （ⅰ）当与射线平行时，设， 延长交于点， ∵， ，， ∵， ， 由（1）可知：， ， ， ， ， ， （ⅱ）当与射线平行时， ∵， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】此题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂直的定义，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握两直线平行内错角相等，两直线平行同位角相等，难点是分类讨思想在解题中的应用，这也是解答此题的易错点之一． 33．（23-24七年级下·河南郑州·期中）已知：直线与直线平行，、是直线上的点，、是直线上的点，且． (1)如图1，为的角平分线，交于点，连接，猜测、，之间的等量关系并给出证明． (2)如图2，在（1）的条件下，过点作于点，作的角平分线交于点．若，且，请直接写出的度数． 【答案】(1)；证明见解析 (2) 【分析】本题考查平行线，三角形的内角和，三角形的外角，二元一次方程等知识，解题的关键是掌握平行线的性质，三角形的内角和，三角形的外角，二元一次方程组的运用，即可． （1）根据平行线的性质，，，根据，等量代换，则，根据角平分线的性质，则，根据三角形的内角和，则，求得，根据三角形的内角和，则，求得，等量代换，即可； （2）根据题意，设，；设，；根据三角形内角和，求得，根据（1）得，，三角形内角和，求得；根据平行线的性质，则，，根据角平分线的性质，等量代换，则，根据三角形的内角和，求得，联立，解得：，再根据，即可． 【详解】（1）证明，如下： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）∵， ∴设，， ∵， ∴设，； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵平方， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵平方， ∴， 在中，， ∴， ∴， 联立 ∴， 解得：， ∴． 34．（2024七年级下·浙江·专题练习）已知：点在直线上，点都在直线上（点在点的左侧），连接，，平分，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点为线段上一动点，连接，且始终满足． ①当时，在直线上取点，连接，使得，求此时的度数； ②在点的运动过程中，与的度数之比是否为定值，若是，求出这个值；若不是，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①或；②是定值， 【分析】（1）由角平分线的定义可得，再根据“内错角相等，两直线平行”可得结论； （2）①由垂直的定义可知，即可得，设，则可表示和的度数，然后利用三角形的内角和解题即可解题；②设，则可求出的值，然后表示的度数解题即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：①如下图，当点可以在点的右侧， ∵， ∴， 又∵， ∴， 设， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在中，， 即， 解得， ∴； 当点可以在点的左侧， 同理，可得， 综上，的度数为或； ②，理由如下： 如图，设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了角平分线、平行线的判定与性质、三角形外角的定义和性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 35．（22-23七年级下·江苏扬州·期末）如图1，已知线段、线段被直线所截于点A、点C，，的度数是的3倍少． (1)求证：； (2)如图2，连接，沿方向平移得到，点F在上，点G是上的一点，连接、，，，求的度数； (3)如图3，点M是线段上一点，点N是射线上一点，度数为k，度数为m，度数为n，请直接写出k、m、n之间的数量关系．（本题的角均小于） 【答案】(1)见解析 (2)或 (3)或或 【分析】（1）根据已知先求得的邻补角的度数，得到即可得结论； （2）过G作，利用平行线的性质定理和平行公理的推论即可，注意分类思想的应用； （3）利用平行线的性质定理和平行公理的推论，三角形外角性质论即可． 本题考查了平行线的性质定理及平行公理的推论，三角形外角性质，理解题意是解决问题的关键． 【详解】（1）解：∵，的度数是的3倍少． ∴，， ∴， ∴． （2）当点G在F下方时，设与交于点N， 根据平移，得， ∴； ∵，，， ∴； 当点G在F上方时，过G作， 根据平移，得， ∴， ∴； ∵，，， ∴； 综上所述，的度数为或． （3）①当点N在D左侧时，过M作， 根据平移，得， ∴， ∴； ∵，， ， ∴； ∴； ∴； ②当点N在D右侧时，如图，过M作， 根据平移，得， ∴， ∴； ∵，， ， ∴； ∴， ∴； ∴； ③当点N在D右侧时，如图，延长交的延长线于点P， 则， 是的外角， 是的外角， ，即， ， 综上所述，或或． 【经典例题八 多边形内角和压轴题】 36．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期中）已知在中，是边上的高，是的角平分线． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，平分交于点F，交外角平分线于点P，过F作交于G，请猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，过点P作于点G，若，且，过点P作交的延长线于点H，求的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）先求解，，，再结合三角形的高可得答案； （2）先证明结合，可得，结合，从而可得结论； （3）设，可得，，，，结合（2）可得，，求解，结合，再建立方程进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∵是边上的高， ∴， ∴． （2）．理由如下： ∵，分别平分和的外角， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）设， ∴， ∴，，， ∴由（2）可得， ∵平分， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ 在四边形中，． 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，四边形的内角和定理的应用，角平分线的含义，理清各角度之间的关系是解本题的关键． 37．（23-24七年级下·江苏南京·期中）几何图形千变万化，但是不同的图形之间往往存在联系，下面让我们一起来探索： (1)下列有、两题，请你选择其中一个进行证明(若两题都证明，按题A给分)． ．如图①，和是的两个外角，求证； ．如图②、是边、上的点，将沿翻折至，若点在内部，．我选择 作答 (2)如图③，、分别平分四边形的外角、．已知，，求的度数； (3)如图④，已知五边形，延长至，延长至，连接，点、分别在边、上，将沿翻折至，若，，，．请你直接写出的度数用含、的代数式表示) 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，多边形的外角和定理，折叠的性质； （1）选择，根据三角形的外角的性质，即可得证；选择B，由翻折性质得：，，进而根据三角形的外角的性质，折叠的性质证明，即可得证； （2）延长，交于点，根据折叠的性质以及角平分线的定义得出，即可求解； （3）由（2）可知：，设，，根据，得出，由（1）B可知：，即可求解． 【详解】（1）证明：选择，证明如下： ，，， ， ； 选择B，证明如下： 由翻折性质得：，， ，， ， ， ， 又，， ， ， 即； 故答案为：或． （2）延长，交于点，如图③所示： 由（1）可知：，， 则 ，， ， 、分别平分、， ， ； （3）由（2）可知：， ，， ， 设，， ，， ，， ， 即， ， ， 由（1）B可知：． 38．（23-24七年级下·吉林长春·期中）在中，．点D、E分别在的边上，且均不与的顶点重合，连接，将沿折叠，使点A的对称点始终落在四边形的外部，交边于点F，且点与点C在直线的异侧． (1)如图①，则_______． (2)如图②，则_______． (3)如图③，设图②中的．求的度数； (4)当的某条边与或垂直时，直接写出的度数． 【答案】(1)48 (2)222 (3) (4)或 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，四边形的内角和定理，平行的性质和折叠的性质，熟悉相关性质并能熟练应用是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理可得的度数； （2）根据四边形内角和定理可得的度数； （3）由（2）的结论可得，由折叠可得，由三角形内角和定理可得，两式相减，可得答案； （4）分两种情况：或或时，分别求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：48； （2）解：， ， 故答案为：222； （3）解：由（2）知， ， 由折叠知， ， ， 得：； （4）解：如图，当时， ， ， ， 由（3）知， ， 由折叠知， ； 如图，当时， ； 如图，当时，点与点C在直线的同侧，不合题意； 综上可知，的度数为或． 39．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）【问题背景】 三角形和四边形是我们熟悉的几何图形，我们知道三角形内角和，四边形的内角和是． 【问题思考】 如图1，在中，延长到点D，，分别平分和． （1）若，，求的度数； （2）设，，x与y都是变量，但x与y的和是个常量，即，m是常量．在x与y变化的过程中，的大小是否变化，若不变，请直接写出用含m的代数式表示；若变化，请说明理由． 【问题拓展】 在四边形中，设，，延长到点E，，分别平分和． （3）如图2，当，此时，的位置关系为 ； （4）如图3，当，，所在直线交于点N，请说明与α，β的数量关系； （5）将（4）中的条件改为，其余条件不变，请画出简图，并直接写出与α，β的数量关系． 【答案】（1）；（2）不变，；（3）平行；（4），说明见解析；（5）图见解析， 【分析】（1）根据角平分线的定义可求得和的度数，再根据，即可求出的度数． （2）由（1）得，将，代入化，再将 代入化简以后的式子中即可得与m的关系式． （3）根据四边形的内角和等于，且，可得，进一步可得．根据角平分线的定义及平行线的性质可得． （4）根据四边形的内角和等于，可得，由平角的定义可得．根据角平分线的定义可得，．再根据进行化简即可得到与α，β的数量关系． （5）根据四边形的内角和等于，可得，由平角的定义可得．根据角平分线的定义可得，，再根据进行化简即可得到与α，β的数量关系． 【详解】（1）， ． ∵，分别平分和， ，， ， ． （2）的大小不变，理由如下： 由（1）得， ． （3）∵四边形内角和等于， 而， ， ， ， ∵，分别平分和， ，， ， ． 故答案为：平行 （4）∵四边形中， ， ， ， ∵、分别平分和， ，， ． （5）如图，时， ∵四边形中， ， ， ． ∵、分别平分和， ，， ， ． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，四边形内角和定理，角平分线的定义，三角形的外角的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 40．（23-24八年级上·云南·阶段练习）（概念学习） 在平面中，我们把大于且小于的角称为优角，如果两个角相加等于，那么称这两个角互为组角，简称互组． （1）若、互为组角，且，则_____°； （理解运用） 习惯上，我们把有一个内角大于的四边形俗称为镖形． （2）如图①，在镖形中，优角与钝角互为组角，试探索内角、、与钝角之间的数量关系， （拓展延伸） （3）如图②，______；（用含α的代数式表示） （4）如图③，已知四边形中，延长、交于点Q，延长、交于P，的平分线交于点M，；直接运用（2）中的结论，试说明：． 【答案】（1）225；（2）；（3）；（4）见解析． 【分析】本题考查多边形的内角和及三角形的内角与外角的性质，熟练掌握多边形的内角和及三角形的内角与外角的性质是解题关键． （1）根据组角的定义直接得答案； （2）根据组角的定义和四边形的内角和可得结论； （3）根据（2）的结论可直接得出答案； （4）由（2）中的结论可知在镖形中，有，在镖形中，有，再根据等式的性质可得结论． 【详解】解：（1）、互为组角，且， ， 故答案为：； （2）钝角； 理由：优角与钝角互为组角， 优角钝角， 四边形的内角和是， 优角， 钝角； （3）由（2）得，在镖型中，， 在镖型中， ， ， 故答案为：； （4）的平分线交于点M， ， 令． 由（2）中的结论可知在镖形中，有 在镖形中，有， 于是根据等式的性质得出， 而， ，即． 学科网（北京）股份有限公司 $$