广东省揭阳市2023-2024学年高一下学期教学质量测试数学试卷

★开封前注意保密 揭阳市2023一2024学年度高中一年级教学质量测试 数学 本试题共4页，考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的信息填写清楚、准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处。 2.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区城内作答，超出答题区战书写的答案无效。 3。答题时请按要求用笔，保持卡面济洁，不要折叠，不要开破、弄皱，不得使用涂改 液、修正带、刮纸刀。考试结束后，请将本试题及答题卡交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1.已知z=(3+i)(2-),则z的虚部为 A.-i B.-1 C.7i D.7 2.已知由小到大排列的4个数据1,3,4，a的极差是它们中位数的2倍，则a= A.5 B.6 C.7 D.8 3.设xeR,则“x=罗"是“c08x=0”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.在平行四边形ABCD中，点E满足店=花，则配= A.号成-号动 B.店-ò C.-子丽+兮动 D.-+兮0 5.已知函数y=x2+(1+m)x+2在区间(-0,4]上单调递减，则实数m的取值范围是 A.（-o,-9]B.[3,+o) C.(-o,-5] D.[7,+o) 6.中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖啦父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有 关工作，提出“幂势既同，则积不容异”，“幂”是截面积，“势”是几何体的高。详细点说 就是，夹在两个平行平面之向的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果 高一·数学第1页（共4页） 两个截面的而积相等，则这两个几何体的体积相等。上述原理在中国被称为祖啦原理。如 图，一个上底而边长为1，下底而边长为2，高为3√3的正六梭台与一个不规则几何体满 足“幂势既同”，则该不规则几何体的休积为 A.24 B.245 C.27√3 D. 2 7.已知m+e”=c,n+3"=c,则 A.1<n<m<e B.1<m<n<e C.0<n<m<1 D.0<m<n<1 8.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsin A=3 acos B,∠ABC的平 分线交AC于点D,且BD=√3，则a+2c的最小值是 A.4 B.6 C.2+25 D.3+22 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知向量a=(1,3),b=(-2,1),则 A.|b|=5 B.(a-b)⊥b Ca在b上的投影向量的筷为号 D.a与b的夹角为钝角 10.已知函数八)=in co-厅cosx+停，则下列说法正确的是 A八x)的最小正周期为受 B.八x)的图象关于点(？，0成中心对称 C.八x)在区间[0，]上单调递地 的图象关于直线x=对称，则c心 11.已知函数八x)的定义域为R,且f(1)=0,若八x+y)=八x)+八y）+2,则 A.f八-2)=-6 B.f八1013)=2024 C.八x)有最大值 D.函数(x)+2是奇函数 高一·数学第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知集合A=1-1,0},B={yl少y=2x,xeA},则AUB的所有元素之和为 r3°-x、x≤2 13.若函数(x)= 的值域为(1，+∞)，则实数a的取值范图为 logx,x>2 14.一个三棱锥形木料P-ABC,其中底而△ABC是A=90°，AB=2dm的等腰直角三角 形，PA⊥底面ABC,二面角P-BC-A的大小为45°，则三棱锥P-ABC的外接球表面 积为 dm2 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)记△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a2+b2-ab=c2. (1)求C: (2)若sinA=7,求inB. 16.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，△PCD为等边三角形， 平面PAC⊥平面PCD,CD=2,AD=3. (1)设G,H分别为PB,AC的中点，证明：GH∥平面PAD: (2)求直线AD与平面PAC所成角的正切值， 17.(15分)某校举办“奋进新征程，建功新时代”知识能力测评，共有1000名学生参加， 随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成4组：[60,70)，[70,80)， [80,90),[90,100],并整理得到如下频率分布直方图： 频坚 细距 0.045 0.03 0.015 0.01 01 60708090100分数 (1)用分层随机抽样的方法从[80,90)，[90,100]这两个区间共抽取5名学生，则每个 区间分别应抽取多少人？ 高一·数学第3页（共4页） (2)在(1)的条件下，该校决定在这5名学生中随机抽取2名依次进行交流分享，求第二 个交流分亭的学生成绩在区间[80,90)的概率； (3)现需根据学生成绩制定评价标准，评定成绩较高的前70%的学生为良好，请根据频 率分布直方图估计良好的最低分数线。（精确到1）》 18（分)尼知是定义城上的奇两数，且1)=2 (1)求八x)的解析式： (2)判断并用定义证明八￥)在区间(0，+∞)上的单调性； (3)设函数h(x)=+京-2·f(x)(u<0),若对任意的，名e[分，小： Ih()-A()≤草，求实数！的最小值 19.(17分)“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出的，该问题是“在一个三角形内求作 一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解 答，当△ABC的三个内角均小于号时，使得LA0B=LB0C=LC0M=号的点0即为费马 点：当△ABC有一个内角大于或等于号时，最大内角的顶点为费马点。试用以上知识解决 下面问题：已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且simA+）=之 (1)求A: (2)设点P为△Mc的费马点，若可，丽+市庇+元.可=-5，求心+心的最 小值； (3)设点P为△ABC的费马点，PB+PC=PA,求实数，的取值范围. 高一·数学第4页（共4页） 揭阳市2023一2024学年度高中一年级教学质量测试 答案及评分标准（参考）数学 一、j 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D A C A D C D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 AC BCD ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.-313.(1,+0) 14.10m 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.解：(1)由已知得a2+b2-c2=ab, 44448。,年4400…00000**”】分分 由余弦定理a2+b2-2 abcos C=c2, 2分 则cosC=02+6-c=0=1 2ab =2a6=2 4分 又Ce(0,),则C=号 6分 (2)sinA=号<sinC,由正弦定理有a<c,得A<C=号 …8分 故easA=V-i万=-( -43 004年00004404000444004 10分 因为A+B+C=T, 所以sinB=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C… 12分 =宁×对+49x提 13分 16.（1)证明：如图，连接BD, 因为底面ABCD为平行四边形，H为AC的中点， 所以AC∩BD=H,BH=DH.…2分 又G为PB的中点，所以BG=PG, 故GH∥PD.… 4分 因为GH平面PAD,PDC平面PAD,…6分 所以GH∥平面PAD. …7分 (2)解：如图，取棱PC的中点N,连接DN,因为△PCD为等边三角形， 所以DN L PC.…8分 高一·数学答案及评分标准（参考）第1页（共4页） 因为平面PAC⊥平面PCD,平面PAC∩平面PCD=PC,DNC平面PCD,·9分 所以DNL平面PAC.…10分 连接AN,可知∠DAW为直线AD与平面PAC所成的角. 4004484*” 11分 因为△PCD为等边三角形，CD=2且N为PC的中点，所以DN=√5. …12分 又DN⊥AN,在RI△AND中，因为AD=3,所以NM=√AD-DW=6, tan LDAN=DN-5_ 14分 所以直线AD与平面PAC所成角的正切值为马 15分 17.解：(1)依题意，设区间[80,90)中应抽取x人，区间[90,100]中应抽取y人，得 成绩在区间[80,90)中的学生人数为0.045×10×100=45；…1分 成绩在区间[90,100]中的学生人数为0.03×10×100=30，…2分 所以5子30-若-充，解得g=3,y=2,…4分 所以区间[80,90)中应抽取3人，区间[90,100]中应抽取2人.…5分 (2)由(1)不妨记区间[80,90)中3人为a,b,c,区间[90,100]中2人为m,n, 404445…6分 则从中抽取2名学生（注意分先后）的基本事件为ab,ac,am,an,ba,bc,bm,bn, ca,cb,cm,cn,ma,mb,mc,mn,na,nb,nc,nm,共20个，…8分 其中第二个交流分享的学生成绩在区间[80,90)（记为事件A)的基本事件为ab,ac,ba, bc,ca,cb,ma,mb,mc,na,nb,nc,共12个，…9分 故P(4)-号=号，即第二个交流分享的学生成绩在区间[80,90)的概率为号 …10分 (3)由频率分布直方图易得，成绩在区间[90,100]的频率为0.03×10=0.3，…11分 成绩在区间[80,100]的频率为0.045×10+0.3=0.75，…12分 所以成绩良好的最低分数线落在区间[80,90)内，不妨记为x。, 故(90-x0）X0.045+0.3=0.7,…14分 解得x。≈81.111≈81，所以估计成绩良好的最低分数线为81.…15分 18.解：（1)由八1)=2，且八x)是奇函数，得八-1)=-2，…1分 2 -a+6s-2, a=1, 所以 解得 …3分 2 a*6-2, b=0, 高一·数学答案及评分标准（参考）第2页（共4页） 即)=x+ 经检验，八x)是奇函数，满足题意， 4分 所以(x)=x+ 5分 (2)x)=x+在区间(0,1)上单调递诚，在区间(1，+0)上单训递增。 …6分 证明如下：任取x,2e(0,+∞)，且<名， 则)-)=+-(6+)-()=✉-) x12 当x1,x2e(0,1),且1<x2时，x1-x2<0,0<xx2<1,所以xx2-1<0, 所以f八x)-f八x2)>0,即八x,)>八），所以八x)在区间(0,1)上单递减， 当x1,x2e(1,+0),且1<x2时，名1-x2<0,x12>1,所以x2-1>0, 所以八x,)-八x)<0,即八x)<八)，所以八x)在区间(1，+)上单调递增. …10分 (3)由题邀知()=2+-24x+)=(+)°-24x+）-2, …11分 令：=x+,则y=2-2-2 由(2)可知函数：=x+士在区间宁，小上单调递减。 所以：e[2,引 因为函数y=2-2红-2图象的对称轴方程为z=1<0, 所以函数y=2-2-2在区间[2，多]上单调递增。 4000094048444t00 13分 当z=2时，y=2-21z-2取得最小值，y=-41+2; 当：=多时，y=2-2-2取得最大值，y=-51+好， 所以h(x)=-4+2,h(x)m=-5+只 14分 又因为对任意的，[分，小，h(x)-()≤华， 所以h(到n-AM)m∈克， 15分 即-5+？-(-4+2)≤卓，解得-子≤1<0，所以，的最小值是-2 …17分 19.解：(1)因为A(0,,所以A+子∈（号，） …1分 因为m4+》=分，所以A+号-要 …3分 高一·数学答案及评分标准（参考）第3页（共4页） 即A=夏 4分 (2)由(1)知A=受，所以△ABC的三个内角都小于号， 则由费马点定义可知LAPB=∠BPC=∠APC=红， 3 如图，设|Pi|=,IPi|=y,1P元=a,由SaPw+SAc+Sae= SAARC得 2 21 2 2 6分 整理得y++2c,则问.店+P店.p元+，p元 3 g(-)+()+知(-)=-卧 8分 因为.p店+丽.P元+P元.p:25,所以加=2 3 因为b2+c2≥2bc=4,当且仅当b=c=√2时，等号成立，所以b2+c2的最小值为4. …10分 （3)因为点P为△ABC的费马点，所以LAPB=∠BPC=LAPC=等 PB=mPA,PC=nPA,PA=x,m>0,n>0,x>0, 则由PB+PC=tPA得m+n=k. …11分 由余弦定理得，在△APB中：AB2=f+m2-2mc罗=(m2+m+1), 在△APc中：AC=+r-2nrcs9=(r2+n+I)2, 在△BPC中：BC2=m'+n2-2 mncos2年=(m2+2+mn）x, 3 故由AC2+AB2=BC2得 (n2+n+1)x2+(m2+m+1)x2=(m2+n2+mn)x2, 13分 即m+n+2=m,而m>0,n>0,故m+n+2=mm≤（士。 14分 当且仅当m=n,结合m+n+2=mn,即m=n=1+5时，等号成立. 15分 又m+n=t,即2-4t-8≥0，解得≥2+23或t≤2-25（舍去）， …16分 故实数t的取值范围是[2+2√5，+∞).… 17分 高一·数学答案及评分标准（参考）第4页（共4页）