5.3 菱形-2024年初中学业水平考试数学总复习

初中学业水平考试总复习·数学 5.3 菱形 学业要求 1.掌握菱形的概念:邻边相等的平行四边 组对角: 形是菱形;理解菱形是特殊的平行四边形,它具 3.探索并证明菱形的判定定理;对角线互 有平行四边形的所有性质 相垂直的平行四边形是菱形;四条边都相等的 2.探索并证明菱形具有而一般平行四边形 四边形是菱形 不具有的特殊性质:菱形的四个边都相等;菱形 4.理解菱形是轴对称图形,它的对角线所 的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一 在的直线就是它的对称轴 考点示例 例2(襄阳中考)如图,□ABCD的对角 考点1 菱形的有关性质 线AC和BD相交于点O,下列说法正确的是 菱形具有平行四边形的所有性质;菱形的 ( ) 四条边都相等;菱形的对角线互相垂直,并且每 一条对角线平分一组对角; 例1 (孝感中考)菱形ABCD的两条对 角线AC、BD相交于点O,AC-10,BD=24; ) 则菱形ABCD的周长为( A.若OB=OD,则CABCD是菱形 A.52 C.40 D.20 B.48 B.若AC=BD,则CABCD是菱形 解析:因为四边形ABCD是菱形,BD一 C.若OA=OD,则二ABCD是菱形 $ 4.AC=10,所以AB=BC=CD=AD,A$C$$ D.若AC BD,则CABCD是菱形 BD,OB-OD- 解析:A项,因为四边形ABCD是乎行四 边形,所以QB一OD,故选项A不符合题意:B -5,在Rt△ABO中,AB-OB{+OA*= 项,因为四边形ABCD是平行四边形,AC一 12^}+5{}-13..菱形ABCD的周长-4AB- BD,所以ABCD是矩形,故选项B不符合题 52.因此本题答案是A. 意;C项,因为四边形ABCD是乎行四边形,所 考点2 菱形的判定 以OA-OC- 邻边相等的平行四边形是菱形;对角线互 OA-OD,所以AC-BD,所以CABCD是矩 相垂直的平行四边形是菱形:四条边相等的四 形,故选项C不符合题意;D项,因为四边形 边形是菱形. ABCD是乎行四边形,AC BD,所以AB- 118| 第二篇 图形几何 CD是菱形,因此本题答案是D 中点得到的四边形的关系:(原四边形对角线 例3 (荆门中考)顺次连接四边形ABCD 相等,所得的四边形是菱形;②原四边形对角线 各边中点所成的四边形为菱形,那么四边形 互相垂直,所得的四边形是矩形:③原四边形对 ABCD的对角线AC和BD只需满足的条件是 角线既相等又垂直,所得的四边形是正方形;④ C ) 原四边形对角线既不相等又不垂直,所得的四 A.相等 边形是平行四边形,因为顺次连接四边形AB- B.互相垂直 CD各边中点所成的四边形为菱形,所以四边 C.相等且互相垂直 形ABCD的对角线AC和BD相等,因此本题 D.相等且互相平分 答案是A. 解析:因为原四边形的对角线与连接各边 素养整合 例4 一张矩形纸片ABCD的边长分别 出四边形AECF是平行四边形,再根据AF一 为9cm和3cm,把顶点A和C叠合在一起; CF即可求出答案: 得到折痕EF (2)根据图形折叠的性质可得到AF一 H) CF,设AF=x,则CF=x,BF-9-x,在 () Rt△BCF中,利用勾股定理即可求出CF、BF 的长,过E作EM AB交AB于M,在 Rt△EMF中利用勾股定理即可求出EF= (1)证明四边形AECF是菱形; EM+MF②-/10; (2)计算BF及折痕EF的长 (3)根据对称的性质可知△CEH (3)求△CEH的面积 △AED,再由三角形的面积公式即可求得 解析:(1)先根据平行四边形的判定定理求 S.cen-SAep-6cm}. 达标演练 一、选择题 2.(荆州中考)如图,过矩形ABCD的四个项点 1.(鄂州中考)在矩形ABCD中,AD-3AB,点 作对角线AC、BD的平行线,分别交于E。 G.H分别在AD、BC上,连接BG、DH,且 F.G、H四点,则四边形EFGH为 ) _( )时,四边形BHDG 为菱形. A.梯形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 D. 3 7。 3.(黄冈中考)若菱形的周长为16,高为2,则菱 1119 初中学业水平考试总复习·数学 A.1个 B.2个 C.3个 ) 形两邻角的度数之比为( D.4个 B.5:1 A.4:1 二、填空题 C.6:1 D.7:1 7.(十堰中考)如图,在△ABC中,点D是BC 4.(随州中考)如图,在菱形ABCD中, BAD 的中点,点E,F分别在线段AD及其延长线 -120{},已知△ABC的周长是15,则菱形 上,且DE=DF,给出下列条件:①BE 1 ABCD的周长是( ) EC:②BF/CE;③AB=AC.从中选择一个 条件使四边形BFCF是菱形,你认为这个条 件是 (只填写序号) A.25 B.20 C.15 D.10 5.(威宁中考)已知菱形OABC在平面直角坐 标系的位置如图所示,顶点A(5,0).OB-4 8.(孝感中考)如图,四边形ABCD是菱形,AC 5,点P是对角线OB上的一个动点,D(0. -24,BD-10,DH AB于点H,则线段 ~ BH的长为 1).,当CP十DP最短时,点P的坐标为 {### 9.(黄石中考)已知菱形的周长为40cm,对角 A.(0,0) 线之比为3:4,则菱形的面积为 cm. D.10.7 10.(仙桃中考)菱形ABCD在直角坐标系中的 位置如图所示,其中点A的坐标为(1,0), 6.(孝感中考)如图,在菱形ABCD中,A一 点B的坐标为(0,③),动点P从点A出 60*},E、F分别是AB、AD的中点,DE、BF 发,沿A→B→C→D→A→B→...的路径, 相交于点G,连接BD、CG.有下列结论; 在菱形的边上以每秒0.5个单位长度的速 ① BGD =120{*;②BG +DG=$CG; 度移动,移动到第2015秒时,点P的坐标 ③ ③△BDF△CGB;④SAp= #AB{,其 为 中正确的结论有( ) 120 | 第二篇 图形几何 三、解答题 12.(恩施州中考)两个完全相同的矩形纸片 11.(荆门中考)如图,在四边形ABCD中, ABCD、BFDE 如图放置,AB=BF.请判 AB/CD,E、F为对角线AC上两点,且 断四边形BNDM的形状,并给出证明 AE=CF,DF//BE,AC平分 BAD.求 证:四边形ABCD为菱形 121 初中学业水平考试总复习·数学 13.(十堰中考)如图,D是△ABC外角ACE 14.(黄冈中考)如图,四边形ABCD是菱形,对 的平分线上一点,DF 1AC于F,DE BC 角线AC、BD相交于点O,DHIAB于H, 交延长线于E. 连接OH,求证: DHO=DCO (1)求证:CE-CF; (2)找一点D,使得四边形DFDE是菱 形,请你画出草图,并简要叙述D的位置 122 第二篇 图形几何 15.(淮安中考)在数学兴趣小组活动中,同学们 【综合运用】 对菱形的折叠问题进行了探究,如图(1),在 如图(3),当 B一60*}时,连接B'C,延长 菱形ABCD中, B为锐角,E为BC的中 DC交A'B'干点G,连接EG,请写出B'C. 点,连接DE,将菱形ABCD沿DE折叠,得 EG、DG之间的数量关系,并说明理由 到四边形ABED,点A的对应点为点A', 点B的对应点为点B. 【观察发现】AD与BE的位置关系是 【思考表达】 B 图[3) (1)连接B'C,判断 DEC与 B'CE是否 相等,并说明理由 (2)如图(2),延长DC交A'B'于点G,连接 EG.请探究 DEG的度数,并说明理由; 图 图2) 123=∠OTG,:∠BOE=∠GOT,∴.△OBE∽： 6.C解析：先判断出△ABD、△BDC是 BE OB 等边三角形，然后根据等边三角形的三心（重 AOGT.GT-0GGT-GD.BE-CF. 心、内心、垂心)合一的性质，结合菱形对角线 .BO·GD=GO·FC 平分一组对角，三角形的判定定理可分别进行 5.3菱形 !各项的判断 L.C解析：首先根据菱形的性质可得： 7.③解析：首先利用对角线互相平分的 BG=GD,然后设AB=x,则AD=3x,设AG:四边形是平行四边形判定该四边形为平行四 =y,则GD=3.x一y,BG=3x一y,再根据勾边形，然后结合菱形的判定得到答案即可， 股定理可得y2+x2=(3.x-y),再整理得 0 8.3 解析：直接利用菱形的性质得出 3 4·然后可得y一，再进一步可得AC的A0D0的长，再利用三角形面积以及勾股定 !理得出答案 位. 9.96解析：根据已知可分别求得两条对 2.C 角线的长，再根据菱形的面积等于两对角线乘 3.B解析：如图，AH为菱形ABCD的 积的一半即可得到其面积. 高，AH=2,利用菱形的性质得到AB=4,利： 用正弦的定义得到∠B=30°，则∠C=150°，从 解析：先根据勾股定理求 而得到∠C:∠B的比值。 出菱形的边长，再根据，点P的运动速度求出沿 A→B→C→D→A所需的时间，进而可得出结 论. 11.证明：：AB∥CD,.∠DCA= ∠BAC,:DF∥BE,.∠DFA=∠BEC, ∠AEB=∠CFD,在△AEB和△CFD中， 4,B解析：由于四边形ABCD是菱形， {∠DCF=∠EAB, AC是对角线，根据菱形对角线性质可求 AE=CF, .△AEB≌△CFD ∠BAC=60°，而AB=BC,易证△BAC是等： ∠AEB=∠CFD, 边三角形，结合△ABC的周长是15，从而可求(ASA),AB=CD,:AB∥CD,四边形 AB=BC=5,那么就可求菱形的周长. :ABCD是平行四边形，，AC平分∠BAD, 5.D解析：如图，连接AC、AD,分别交∠BAE=∠DAF,:∠BAE=∠DCF, OB于G、P,作BK⊥OA于K.首先说明点P∠DAF=∠DCF,AD=CD,.四边形AB 就是所求的点，再求出点B坐标，求出直线CD是菱形. OB、DA,列方程组即可解决问题. 12.证明：，纸片ABCD、BFDE是两个 完全相同的矩形，∴.BC∥AD,BE∥DF,.四 边形BNDM是平行四边形，，·∠ABM+ ∠MBN=90°，∠MBN+∠FBN=90°， :∠ABM=∠FBN.在矩形纸片ABCD、BFDE !中，∠A=∠BFN=90°，AB=BF, -230- △ABM≌△FNB,(ASA).∴.BM=BN,.四： 设∠BDE=∠B'DE=x,∠A=∠A'= 边形BNDM是菱形. y.四边形ABCD是菱形，∠ADB 13.解：(1)，D是△ABC外角∠ACE的；∠CDB=∠B'DA',∴.∠A'DG=∠BDB'= 平分线上一点，DF⊥AC于F,DE⊥BC交延：2x,∴∠DGA'=180°-2x-y,∠BEB= 长线于E,DF=DE.:DC=DC',·∠EBD+∠EB'D+∠BDB',·∠BEB'= △DFC≌△DEC.∴.CE=CF. :180°-y+2.x,:EC=EB′，∴.∠EB'C= (2)如图，连接EF交DC于点O,延长： DC到D',使OD'=D0.:△DFC2△DEC,∠BCB'=2∠BEB'=90-y+x, ∴.∠FDC=∠EDC,.DC⊥EF,OE=OF.::∠GB'C=∠A'B'E-∠EB'C=180°-y- DO=D'O,∴.四边形DFD'E是菱形. (90-2+d）-90-2-x∠0GA' 2∠GB'C,∠CGA'=∠GB'C+∠GCB', ∠GB'C=∠GCB'..GC=GB',EB'=EC, .EG⊥CB',DE∥CB',.DE⊥EG, ∠DEG=90°： 14.证明：四边形ABCD是菱形，.OD 【综合运用】结论：DG2=EG+16B'C 49 =OB,∠COD=90°，DH⊥AB,∴.OH= 2BD=OB,·∠OHB=∠OBH,又：AB∥ 理由：如图(3)中，延长DG交EB'的延长 线于点T,过点D作DR⊥GA'交GA'的延长 CD,.∠OBH=∠ODC,在Rt△COD中， 线于点R.设GC=GB'=x,CD=A'D=A'B ∠ODC+∠DC0=90°，在Rt△DHB中，：=2a,:∠B=60, ∠DHO+∠OHB=90°，∴.∠DHO=∠DCO. 15.解：AD/B'E: (1)结论：∠DEC=∠B'CE. 理由：如图(2)中，连接BB'.EB=EC =EB',.∠BB'C=90,∴.BB'⊥BC,由翻折 变换的性质可知BB⊥DE,∴DE∥CB',∴. ∠DEC=∠B'CE: (2)结论：∠DEG=90 图31 理由：如图(2)中，连接DB、DB'、B'C,由 .∠A=∠DA'B'=120,.∠DA'R 翻折的性质可知∠BDE=∠B'DE, 60°，∴.A'R=A'D·cos60°=a,DR=√3a,在 Rt△DGR中，则有(2a+x)2=(3a)2+(3a -x)'x=4 aGB=aAG=9a 5a, 4 TB'GB'.TB'54 B TB/DADA-GA286 图2) 231 TB'=4。 、3口，CB”/DE,.B=E :∠AED的度数，根据等腰三角形的性质，可得 :∠AEB与∠ABE的关系，根据三角形的内角 !和，可得∠AEB的度数，根据角的和差，可得 34 ,.·.DE7CB”·∠DEG—90·；答案. 4 a+ 8.65解析：根据正方形的性质得出∠BAE DG-EG+DEDG:-EG+4 16B'C. =∠DAE,再利用SAS证明△ABE与△ADE全 等，再利用三角形的内角和解答即可 5.4正方形 9.(一1,5)解析：可过点E构造垂直模 1.A解析：根据正方形的面积等于对角！型，证三角形全等.求得点F的坐标 线乘积的一半列式计算即可得解 10.证明：在正方形ABCD中，AB=BC 2.C解析：先根据正方形的四边相等即：=CD=DA,∠ABE=∠BCF=90°，：CE= 对角线相等且互相平分的性质，可得AB=BCDF,∴.BE=CF,在△AEB与△BFC中， =CD=AD,AO=OD=OC=OB,再根据等：AB=BC, 腰三角形的定义即可得出图中的等腰三角形∠ABE=∠BCF,∴、△AEB≌△BFC 的个数 BE=CF, 3.C解析：根据对顶角的定义，正方形的：(SAS),∴AE=BF. 判定，平行四边形的性质，矩形的性质对各选： 11.解：：四边形ABCD是矩形，.∠B= 项提示判断利用排除法求解 ∠D=∠C=90°，：△AEF是等边三角形， 4.D解析：根据平行四边形、矩形、菱形、：AE=AF,∠AEF=∠AFE=60°，，∠CEF 正方形的判定定理即可得到结论 :=45°，.∠CFE=∠CEF=45°，.∠AFD= 5.C解析：作BF⊥DC于F,如图，易得：∠AEB=180°-45°-60°=75°，∴.△AEB≌ 四边形BEDF为矩形，再证明△ABE≌：△AFD(AAS),∴.AB=AD,'.矩形ABCD △CBF得到BE=BF,S△A=S△CF,则可判：是正方形. 断四边形BEDF为正方形，四边形BEDF的： 12.解：(1)①过F作FG⊥BC于G,连接 面积=四边形ABCD的面积，然后根据正方CF,如图： 形的面积公式计算BE的长. ,四边形ABCD是正方形，∠AEF 6.1.4解析：根据题意可得：正方形边长为1：90°∠BAE=90°-∠AEB=∠FEG,∠B 的对角线长=1X7=1,4 =∠G=90°，，等腰直角三角形AEF,.AE 5 EF,在△ABE和△EGF中， 7.45°解析：根据正方形的性质，可得：「∠B=∠G, AB与AD的关系，∠BAD的度数，根据等边；∠BAE=∠FEG,.△ABE≌△EGF 三角形的性质，可得AE与AD的关系，！AE=EF, -232