5.2 矩形-2024年初中学业水平考试数学总复习

第二篇 图形几何 5.2 矩形 学业要求 1.掌握矩形的概念;有一个角是直角的平 3.探索并证明直角三角形斜边上的中线等 行四边形是矩形;理解矩形是特殊的平行四边 于斜边的一半; 形,它具有平行四边形的所有性质; 4.探索并证明矩形的判定定理:对角线相 2.探索并证明矩形具有而一般平行四边形 等的平行四边形是矩形;有三个角是直角的四 不具有的的特殊性质;矩形的四个角都是直角 边形是矩形。 矩行的对角线相等; 考点示例 不一定等于30{*},所以直角三角形ADF中,AF 考点1 矩形的有关性质 不一定等于AD的一半,故B错误;C项,由 矩形具有平行四边形的所有性质;矩形的 △AFD△DCE,可得AF三CD,由矩形 四个角都是直角;矩形的对角线相等 ABCD,可得AB-CD,所以AB一AF,故C正 例1(荆门中考)如图,在矩形ABCD中 确:D项,由AFDo/DCE,可得CE三DF (AD>AB),点E是BC上一点,且DE=DA, 由矩形ABCD,可得BC一AD,又因为BE AF DE,垂足为F,在下列结论中,不一定正 BC一EC,所以BE一AD-DF,故D正确;因 确的是( _~ 此本题答案是B 考点2 直角三角形斜边上的中线 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一 半. A./AFD/DCE 例2(宜昌)如图,在矩形ABCD中,E B.AF- 是边AD上一点,F、G分别是BE、CE的中点; C.AB-AF 连接AF$DG FG,若AF=3,DG=4.FG=5.$$ D.BE-AD-DF 矩形ABCD的面积为 解析:A项,由矩形ABCD,AF DE可得 C= AFD=90*,AD/BC,所以 ADF DEC.又因为DE=AD,所以△AFD △DCE(AAS),故A正确;B项,因为 ADF 1113 初中学业水平考试总复习·数学 解析:由矩形的性质得出 BAE一 CDE DEBF是矩形?请说明理由. -90{},AD/BC,由直角三角形斜边上中线的 解析:(1)如图,连接DE、BF. 性质及三角形中位线的性质求出BE一6,CE 一8,BC一10,由勾股定理的逆定理得出△BCE 是直角三角形, BEC-90{},进而求出S△vcE 1 ·BE·CE-24,所以S=sABcD-2S△nCE 因为四边形ABCD是平行四边形, 2 所以BO-OD,AO-OC. -2×24-48. 因为E、F分别为AO、OC的中点. 考点3 矩形的判定 所以EO一 1.定义:有一个角是直角的平行四边形是 FO,因为BO=OD,EO=FO. 矩形; 所以四边形BFDE是平行四边形,.BE 2.对角线相等的平行四边形是矩形 -DF; 3.有三个角是直角的四边形是矩形 (2)当一2时,四边形DEBF是矩形;理 例3(十堰中考)平行四边形ABCD中. 由如下: AC、BD相交于点O,E、F分别是OA、OC的 当BD一EF时,四边形DEBF是矩形, 中点. 所以当OD一OE时,四边形DEBF是矩 (1)求证:BE-DF; 形, AC 一 ,当为何值时,四边形 (2)设 因为AE=OE,..AC=2BD. BD 所以当 一2时,四边形DEBF是矩形, 素养整合 例4 (本溪中考)在□ABCD中,BAD 请直接写出△APE与△CDG面积的比值 一,DE平分 ADC,交对角线AC于点G,交 射线AB于点E,将线段EB绕点E顺时针旋 转a得线段EP. (1)如图1,当a=120{*时,连接AP,请直接 图1 图2 写出线段AP和线段AC的数量关系: 解析:(1)如图1,连接PB、PC,先证得 (2)如图2,当a=90{*}时,过点B作BF △BPE是等边三角形,再证明△APE EP于点,连接AF,请写出线段AF、AB、AD △CPB,得出AP=CP, APE= CPB,再 之间的数量关系,并说明理由 证得△APC是等边三角形,即可得出结论; (3)当a=120{时,连接AP,若BE- 114 第二篇 图形几何 分线性质得出S△Acp= 1 ##a· 2. 2 ③ sin60*3 #3},即可 图 得出答案; tLK (2)如图2.,连接CF,证明△BCF 71 △EAF(SAS),进而得出 AFC-90{},利用三 AF 角函数可得AC一- -/2AF,再运用 sin ACF 勾股定理即可 图3 ②如图4,当点E在AB延长线上时,同理 2 .SAco= 3③ 可得出Sco= a*,SApE= 5 3③ 3 a,即可求出答案 图2 (3)设BE=a,则PE=AD=AE=a,AB$$ 一CD一2a,分两种情况:①当点E在AB上 时,如图3,过点G作GM| AD于点M,作GN CD于点N,过点C作CK AD于点K,过 图4 点A作AH PE的延长线于点H,利用角平 达标演练 一、选择题 A.扇形 B.平行四边形 C.等边三角形 1.(十堰中考)矩形具有而平行四边形不一定具 D.矩形 有的性质是( ) 3.(怀化中考)如图,在矩形ABCD中,对角线 A.对边相等 AC、BD相交于点O.{AOB=60*,AC= 6cm,则AB的长是( B.对角相等 ) C.对角线相等 .r D.对角线互相平分 2.(2022·无锡)雪花、风车......展示着中心对 A.3cm 称的美,利用中心对称,可以探索并证明图形 B.6cm C.10cm 的性质,请思考在下列图形中,是中心对称图 D. 12cm 形但不一定是轴对称图形的为 ) 1115 初中学业水平考试总复习·数学 4.(安微中考)两个矩形的位置如图所示,若 ) -a,则2-( ) A.正方形纸片的面积 A.a-90* B.a-45* B. 四边形EFGH的面积 C.180*-a D.270*-a C.△BEF的面积 5.(武汉中考)将矩形ABCD沿AE折叠,得到 D. △AEH的面积 如图所示的图形,已知 CED'三60*,则 二、填空题 ) 之AED的大小是( 8.(徐州中考)如图,矩形ABCD中,AC、BD D...E 交于点O,M、N分别为BC、OC的中点,若 MN一4,则AC的长为 A.60* B.50。 C.75* D.55* 6.(随州中考)如图,在△ABC中,C=90*. 9.(黄冈中考)如图,在矩形ABCD中,点E、F AC-8,BC-6,点P为斜边AB上一动点 分别在边CD、BC上,且 DC=3DE=3a.将 过点P作PE AC于点E,PF BC于点 矩形沿直线EF折叠,使点C恰好落在AD ) F.连接EE,则线段EF的最小值为 边上的点P处,则FP三 Pi() 12 A. )2 10.(嘉兴中考)如图,在矩形ABCD中,AB三 4.AD=2,点E在CD上,DE=1,点F是 18 C D.5 5 边AB 上一动点,以EF为斜边作 Rt△EFP,若点P在矩形ABCD的边上, 7.(宁波中考)将两张全等的矩形纸片和另两张 且这样的直角三角形恰好有两个,则AF的 全等的正方形纸片按如图所示的方式不重叠 值或AF的取值范围是 地放置在矩形ABCD内,其中矩形纸片和正 方形纸片的周长相等,若知道图中阴影部分 的面积,则一定能求出( ) 116 第二篇 图形几何 三、解答题 12.(常德中考)在四边形ABCD中,BAD的 11.(鄂州中考)如图,矩形ABCD中,AB-8. 平分线AF交BC于F,延长AB到E使 AD一6,点O是对角线BD的中点,过点Q BE=FC,G 是AF的中点,GE交BC于 的直线分别交AB、CD边于点E、F. O.连接GD. (1)求证:四边形DEBF是平行四边形 (1)当四边形ABCD是矩形时,如图1,求 (2)当DE一DF时,求EF的长. 证:①GE=GD;②BO·GD=GO·$FC.$ (2)当四边形ABCD是平行四边形时,如图 2.(1)中的结论都成立,请给出结论②的证 明. ì 1:2 1117可得出一组对边平行且相等，即可得证. 12.(1)证明：点D、E分别为AB、AC 8.1解析：根据平行四边形性质推出AB的中点，点G、F分别为BH、CH的中点， =CD,AB∥CD.得出平行四边形ABDE,推 .DE是△ABC的中位线，GF是△HBC 出DE=DC=AB,根据直角三角形性质求出：的中位线， CE长，即可求出AB的长。 9.证明：，D是AC的中点，AD=CD, DE//BC.DE-BC.GF/BC.GF- AFBE.∠DAF=∠DCE,在△ADF和2BC I∠DAF=∠DCE, △CDE中，AD=CD, ÷△ADFe ∴.DEGF,DE=GF, ∠ADF=∠CDE, .四边形DEFG为平行四边形： △CDE(ASA),AF=CE,∴四边形AFCE (2)解：四边形DEFG为平行四边形， 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形 ∴.DG=EF=2, 是平行四边形). ,DG⊥BH, 10.解：(1)四边形ABCD是矩形，. .∠DGB=90°， AD∥BC,AD=BC,'BE=CF,·.BE+EC ∴.BG=√/BD-DG=√3-2=√5， =EC十CF,即BC=EF,AD=EF,,四边： 即线段BG的长度为√5. 形AEFD是平行四边形： 5.2矩形 (2),四边形ABCD是矩形，.∠B= 1.C解析：矩形的对角线相等，而平行四 90°，在Rt△ABE中，AE=√4+2=25，：边形的对角线不一定相等. AD∥BC,.∠AEB=∠EAD,,∠B= 2.B解析：A项，扇形是轴对称图形，不 ∠AED=90°，△ABE∽△DEA,AE::是中心对称图形，故此选项不合题意：B项，平 AD=BE1AE,AD-252,5-10,:号.散此选须特合题毫：C项：等边三角彩是轴 行四边形不一定是轴对称图形，是中心对称图 AB=4,∴，四边形AEFD的面积=ABXAD对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合 =4×10=40. 题意：D项，矩形既是轴对称图形，又是中心对 11.解：(1)由三角形中位线定理得EF∥：称图形，故此选项不合题意. BC,则∠EFO=∠GDO,再证△OEF≌ 3.A解析：矩形的对角线相等且互相平 △OGD(ASA),得EF=GD,然后由平行四边：分，∠AOB=60°，得到△AOB为等边三角形， 形的判定即可得出结论： .AB=A0=3. (2)由直角三角形斜边上的中线性质得： 4.C解析：如图，∠1=90°+∠3， DE=2AC=CE,则∠C=∠EDC,再由锐角 三角函数定义得CD=2,然后由勾股定理得 AC=,2四.则DE=2AC-罗.由平行调边 形的性质可得FG=DE=√2 2 ,∠1=g,.∠3=a-90°， 227 .∠3+∠2=90°，∴.∠2=90°-∠3 :CE=2a,由折叠的性质得，PE=CE=2a= =90°-(a-90°)=90°-a+90°=180°-2DE,∠EPF=∠C=90°，.∠DPE=30°，. a. ∠MPF=180°-90°-30°=60°，在Rt△MPF 5.A解析：根据折叠前后对应部分相等：中，可求FP=2√3a. 得∠AED'=∠AED,再由已知求解. ! 6.B解析：连接PC,当CP⊥AB时，PC 0.0或1<AF<或4 最小，利用三角形面积提示即可. 解析：，△EFP是直角三角形，且点P在 7.C解析：设PD=x,GH=y,则PH矩形ABCD的边上，∴.P是以EF为直径的圆 =x一y,矩形纸片和正方形纸片的周长相O与矩形ABCD的交点，①当AF=0时，如图 等，2AP+2(x-y)=4x,AP=r+y,1,此时点P有两个，一个与D重合，一个交在 图中阴影部分的面积=S事AmD一2△ADm一：边AB上：②当⊙O与AD相切时，设与AD !边的切点为P,如图2，此时△EFP是直角三 25Am=(2x+y)(2x-y)-2X7·(x-y)· 角形，点P只有一个， 2x+）-2x号(2r-yx=4-y D 2x+xy+y2-2x+xy=2xy.A项，正方形 纸片的面积=x2,故不符合题意：B项，四边形 A】 EFGH的面积=y,故不符合题意：C项， 1 图2 △BEF的面款=·EF,BQ=号y,故持 合题意：D项，△AEH的面积=，·EH· 图3 图4 2y(x一y)=22y,数不符合题 意，故选C 8.16解析：矩形的对角线相等且互相平 分，由MV为△BOC的中位线，.OB=8,. B上) BD=AC=16. 图5 9.23a解析：作FM⊥AD于M,如图： 解法一：当⊙O与BC相切时，如图4，连 接OP、EP、PF,此时构成三个直角三角形， 所示： P(”） EC∥OP∥BF,EO=OF,.PC=BP=1, DE=1,CD=4,∴.CE=3,∠ECP=∠EPF =∠B=90°，∴.∠EPC=∠BFP,.△ECP∽ EC PB △PBF…CP-BF,即 31 1一B示，..BF=2、 B 111 剥MF=DC=3a,:四边形ABCD是矩六AF=4-3=3: 形，.∠C=∠D=90°.，DC=3DE=3a,∴.： 解法二：当⊙O与BC相切时，如图4，连 -228 接OP,此时构成三个直角三角形.则OP⊥：GJ⊥CD于点J. BC,设AF=x,则BF=PC=4一x,EP,=x D -1.0P/EC,0E=0F,∴0G=2EP,= 号.：00的丰径为：0r=0p=号+4 一r),在Rt△OGF中，由勾股定理得OF= 0G+G.2+4-°=(2） ,四边形ABCD是矩形，.∠BAD= ∠ABC=90°，AD=BC,'AF平分∠BAD, 1,解得r=号当1<AF<号时，这样的 ∴.∠BAF=∠DAF=45,.∠AFB=∠BAF =45°，.BA=BF,BE=CF,.AE=AB+ 直角三角形恰好有两个，如图3： BE=BF+CF=BC=AD,'AG=AG... ③当AF=4,即F与B重合时，这样的直 △EAG≌△DAG(SAS),.EG=DG,∠AEG 角三角形恰好有两个，如图5： =∠ADG.②，AD∥FC,AG=GF,.DJ= 综上所述，则AF的值或AF的取值范围 :JC,GJ⊥CD,.GD=GC,.∠GDC= 是0或1KAF<号减4， ∠GCD,∠ADC=∠BCD=90°，.∠ADG 11.解：(1)四边形ABCD是矩形，， =∠GCO,.∠OEB=∠OCG,,∠BOE= AB/CD.∠DF0=∠BEO,又：∠D0F=∠G0C,△OBE∞△0GC,25-光，y ∠BOE,OD=OB,·△DOF≌△BOE GC=GD,BE=CF,∴BO·GD=GO·FC: (ASA),.DF=BE,又DF∥BE,.四边形 (2)如下图，过点D作DT⊥BC于点T, BEDF是平行四边形： 连接GT. (2)DE=DF,四边形BEDF是平行四 边形∴.四边形BEDF是菱形，∴.DE=BE, EF⊥BD,OE=OF,设AE=x,则DE=BE: =8一x,在Rt△ADE中，根据勾股定理，有 AE2十AD2=DE2.x2+62=(8-x)2,解得 -7DE-8-子-空在R△ABD中， 根据勾股定理，有AB十AD=BD..BD= 四边形ABCD是平行四边形，.AD= BC,AD∥BC,∴.∠DAG=∠AFB,:AF平 6+8=10,OD=专BD=5,在分∠DAB,∠DAG=∠BAF,:BAF R△DOE中，根据勾股定理，有DE-OD=∠AFB,∴AB=BF,∴AE=AB+BE=BF :+CF=BC=AD,:'AG=AG,∴.△EAG≌ OE,..OE=( -5-5.EF=2OE△DAG(SAS.)∠AEG=∠AG.:AD/ 4 15 FT.AG=GF,..DJ=JT..GJ LDT,..GD 2 :=GT,.∠GDT=∠GTD,:∠ADT= 12.解：(1)①如下图，连接CG,过点G作：∠BTD=90°，.∠ADG=∠GTO,.∠OEB —229 =∠OTG,:∠BOE=∠GOT,∴.△OBE∽： 6.C解析：先判断出△ABD、△BDC是 BE OB 等边三角形，然后根据等边三角形的三心（重 AOGT.GT-0GGT-GD.BE-CF. 心、内心、垂心)合一的性质，结合菱形对角线 .BO·GD=GO·FC 平分一组对角，三角形的判定定理可分别进行 5.3菱形 !各项的判断 L.C解析：首先根据菱形的性质可得： 7.③解析：首先利用对角线互相平分的 BG=GD,然后设AB=x,则AD=3x,设AG:四边形是平行四边形判定该四边形为平行四 =y,则GD=3.x一y,BG=3x一y,再根据勾边形，然后结合菱形的判定得到答案即可， 股定理可得y2+x2=(3.x-y),再整理得 0 8.3 解析：直接利用菱形的性质得出 3 4·然后可得y一，再进一步可得AC的A0D0的长，再利用三角形面积以及勾股定 !理得出答案 位. 9.96解析：根据已知可分别求得两条对 2.C 角线的长，再根据菱形的面积等于两对角线乘 3.B解析：如图，AH为菱形ABCD的 积的一半即可得到其面积. 高，AH=2,利用菱形的性质得到AB=4,利： 用正弦的定义得到∠B=30°，则∠C=150°，从 解析：先根据勾股定理求 而得到∠C:∠B的比值。 出菱形的边长，再根据，点P的运动速度求出沿 A→B→C→D→A所需的时间，进而可得出结 论. 11.证明：：AB∥CD,.∠DCA= ∠BAC,:DF∥BE,.∠DFA=∠BEC, ∠AEB=∠CFD,在△AEB和△CFD中， 4,B解析：由于四边形ABCD是菱形， {∠DCF=∠EAB, AC是对角线，根据菱形对角线性质可求 AE=CF, .△AEB≌△CFD ∠BAC=60°，而AB=BC,易证△BAC是等： ∠AEB=∠CFD, 边三角形，结合△ABC的周长是15，从而可求(ASA),AB=CD,:AB∥CD,四边形 AB=BC=5,那么就可求菱形的周长. :ABCD是平行四边形，，AC平分∠BAD, 5.D解析：如图，连接AC、AD,分别交∠BAE=∠DAF,:∠BAE=∠DCF, OB于G、P,作BK⊥OA于K.首先说明点P∠DAF=∠DCF,AD=CD,.四边形AB 就是所求的点，再求出点B坐标，求出直线CD是菱形. OB、DA,列方程组即可解决问题. 12.证明：，纸片ABCD、BFDE是两个 完全相同的矩形，∴.BC∥AD,BE∥DF,.四 边形BNDM是平行四边形，，·∠ABM+ ∠MBN=90°，∠MBN+∠FBN=90°， :∠ABM=∠FBN.在矩形纸片ABCD、BFDE !中，∠A=∠BFN=90°，AB=BF, -230-