5.1 平行四边形-2024年初中学业水平考试数学总复习

初中学业水平考试总复习·数学 第5章 平行四边形 5.1 平行四边形 学业要求 1.掌握平行四边形的概念:两组对边分别 对边分别相等的四边形是平行四边形;对角线 平行的四边形是平行四边形 互相平分的四边形是平行四边形 2.探索并证明平行四边形的性质定理:平 3.理解两条平行线之间距离的概念,能度 行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相 量两条平行线之间的距离 平分,探索并证明平行四边形的判定定理:一组 4.探索并证明三角形的中位线定理 对边平行目相等的四边形是平行四边形:两组 考点示例 -23-5-18. 考点1 平行四边形的性质 因为BD=2DO,AC-2OC,BD+AC 平行四边形的对边相等、对角相等、对角 2(DO+OC)-36 线互相平分,距离是几何中的重要度量之一,两 因此本题答案是C 条平行线中,一条直线上的任意一点到另一条 考点2 平行四边形的判定 直线的距离,叫做这两条平行线之间的距离 例1(襄阳中考)如 1.定义,两组对边分别平行的四边形是平 图,平行四边形ABCD的 行四边形. 对角线交于点O,且AB一 2.一组对边平行且相等的四边形是平行四 5.△OCD的周长为23,则平行四边形ABCD 边形. 的两条对角线的和是 ) 3.两组对边分别相等的四边形是平行四 A.18 B.28 C.36 D.46 边形. 解析:因为四边形ABCD是乎行四边形, 4.对角线互相平分的四边形是平行四 所以AB-CD-5. 边形. 因为△OCD的周长为23,所以OD十OC 例2 (仙挑中考)在下列条件中,能够判 108 | 第二篇 图形几何 定一个四边形是平行四边形的是 例3 (天津中考)如图,□ABCD的项点 A.一组对边平行,另一组对边相等 C在等边△BEF的边BF上,点E在AB的延 B.一组对边相等,一组对角相等 长线上,G为DE的中点,连接CG.若AD=3. C.一组对边平行,一条对角线平分另一条 AB-CF-2,则CG的长为 对角线 D.一组对边相等,一条对角线平分另一条 对角线 解析:选项A错误,这个四边形有可能是 解析:如下图所示,延长DC交EF于点 等腰梯形,选项B错误,不满足三角形全等的 M,根据平行四边形与等边三角形的性质,可证 条件,无法证明相等的一组对边平行,选项C △CFM是等边三角形,BF=BE=EF=BC+ 正确,可以利用三角形全等证明平行的一组对 CF-5,可求出CF-CM-MF=2,可得C、G 边相等,故是平行四边形,选项D错误,不满足 是DM和DE的中点,根据中位线的性质,可得 三角形全等的条件,无法证明相等的一组对边 出CG- 3 平行,因此本题答案是C 考点3 三角形中位线 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的 中位线;三角形的中位线平行于三角形的第三 边,并且等于第三边的一半。 素养整合 例4 (武昌期中)如图,A(1,0),B(0,1), AM.BM,N的运动轨迹是线段NE.当点P 点P在线段OA之间运动,BP PM,且PB 运动到A点时,AB=AM,AB AM,此时 PM,点C为x轴负半轴上一定点,连CM,N △ABM是等腰直角三角形,AM一AB-/2 为CM中点,当点P从O点运动到A点时,点 2 进而求EN的长,EN一 N运动的路径长为 ) 1 ,& 解析:如图,取AC的中点E,连接NE. 109 初中学业水平考试总复习·数学 达标演练 一、选择题 行四边形的选法有 A.3种 1.(荆门中考)如图,将一副三角板在平行四边 B.4种 C.5种 形ABCD中作如下摆放,设 1=30{*,那么 D.6种 2-( ) 5.(孝感中考)如图,在△ABC中,BD、CE是 ## △ABC的中线,BD与CE相交于点O,点 F、G分别是BO、CO的中点,连接AO.若 AO-6 cm,BC=8cm,则四边形DEFG的 A.55* B.65* 周长是( ) C.75* D.85* 2.(自贡中考)如图,在平行四边形ABCD中, $AD-2,AB= 6,B是锐角,AE |BC于 点E,F是AB的中点,连接DF、EF,若 EFD一90{*},则AE的长为 ) A.14 cm B. 18cm C.24cm D. 28 cm 二、填空题 6.(武汉中考)在探索数学名题“尺规三等分角” 的过程中,有下面的问题:如图,AC是平行 A.2 B.5 四边形ABCD的对角线,点E在AC上,AD 3/2 3/③ D.r # 一AE=BE, D=102^*},则 BAC的大小$$ 3.(安徽中考)能判定四边形ABCD是平行四 边形的是( ) 7.(十堰中考)如图,分别以Rt△ABC的直角 A.AB/CD.AD=BC 边AC及斜边AB为边向外作等边△ACD. B A- B,C= D 等边△ABE,EF|AB,垂足为F,连接DF, C.AB-CD,AD-BC 时,四边形ADFE是平行 D.AB-AD.CB-CD 四边形. 4.(荆门中考)四边形ABCD中,对角线AC BD相交于点O,给出下列四个条件:①AD/ BC:②AD=BC:③OA=OC;④OB=OD 从中任选两个条件,能使四边形ABCD为平 110 第二篇 图形几何 8.(十堰中考)如图,平行四边形ABCD中, 是BC边上一点,点F在BC的延长线上, ABC-60{*},E、F分别在CD和BC的延长 且CF-BE. 线上,AE/BD,EF BC,EF=③,则AB (1)求证:四边形AEFD是平行四边形 的长是 (2)连接ED,若 AED=90{*},AB=4;$ BE一2,求四边形AEFD的面积. 三、解答题 9.(感宁中考)如图,在\ABC中,D是AC的 中点,E是BC延长线上一点,过A作AF/ BE,连接ED并延长交AF于点F,连接 AE、CF,求证:四边形AFCE是平行四边形 10.(贵阳中考)如图,四边形ABCD是矩形,E 11 初中学业水平考试总复习·数学 11.(温州中考)如图,在△ABC中,AD1BC 12.(株洲中考)如图所示,在△ABC中,点D、 于点D,E、F分别是AC、AB的中点,0是 E分别为AB、AC的中点,点H在线段CE DF的中点,EO的延长线交线段BD于点 上,连接BH,点G、F分别为BH、CH的 G.连接DE、EFFG 中点. (1)求证,四边形DEFG是平行四边形; (1)求证:四边形DEFG为平行四边形; (2)当AD-5,tan/EDC= (2)DG BH,BD=3,EF-2,求线段B$G$ 的长度. 的长. 112交PQ于点D,延长PM交AB于点F,连接： 3.C解析：平行四边形的判定：①两组对 FQ,可得∠APF=∠AFP,从而得到AF=边分别平行的四边形是平行四边形：②两组对 AP=60m,可证得△BFQ是等边三角形.根：边分别相等的四边形是平行四边形：③对角线 据角平分线的性质定理可得DM=FM,然后：互相平分的四边形是平行四边形：④一组对边 在直角△PDM中，利用锐角三角函数可得；平行且相等的四边形是平行四边形. DM=(360-1803)m,即可求得面积最小是： 4.C解析：①②组合可根据一组对边平 (43200√3-64800)m2. 行且相等的四边形是平行四边形判定出四边 形ABCD为平行四边形：③④组合可根据对 角线互相平分的四边形是平行四边形判定出 四边形ABCD为平行四边形；①③可证明 △ADO≌△CBO,进而得到AD=CB,可利用 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 判定出四边形ABCD为平行四边形：①④可 证明△ADO≌△CBO,进而得到AD=CB,可 图2 利用一组对边平行且相等的四边形是平行四 第5章平行四边形 边形判定出四边形ABCD为平行四边形： 5.1平行四边形 有4种可能使四边形ABCD为平行四边形. 1C解析：根据等腰直角三角形的性质： 5.A解析：主要考查平行四边形的判定 求出∠FHE=45°，求出∠NHB=∠FHE=:以及三角形中位线的运用，由中位线定理，可 45°，根据三角形内角和定理求出∠HNB=:得EF∥AO,FG∥BC,且都等于边长BC的一 1O5°，根据平行四边形的性质得出CD∥AB,半. 根据平行线的性质得出∠2+∠HNB=180°， 6.26°解析：根据平行四边形的性质得 再求出答策即可. :到∠ABC=∠D=102°，AD=BC,根据等腰 2.B解析：如图，延长EF交DA的延长：三角形的性质得到∠EAB=∠EBA,∠BEC 线于Q.连接DE,设BE=x,证△QFA≌ ,=∠ECB,根据三角形外角的性质得到∠ACB △EFB(AAS),∴AQ=BE=E,QF=EF,”:=2∠CAB,由三角形的内角和定理即可得到 ∠EFD=90,DF⊥QE,.DQ=DE=x+:结论. 2,AE⊥BC,BC∥AD,.AE⊥AD,. ∠AEB=∠EAD=90°，：AE=DE-AD 解析：由三角形ABE为等边三角 =AB:-BE,(x+2)2-4=6一x,整理得 形，EF垂直于AB,利用三线合一得到EF为 2x十4x-6=0,解得x=1或-3（舍弃），. 、 角平分线，得到∠AEF=30°，进而确定∠BAC BE=1,∴AE=AB-BE=√G-I=√5」 =∠AEF,再由一对直角相等，及AE=AB, 利用AAS即可得证△ABC≌△EAF;由 ：∠BAC与∠DAC度数之和为90°，得到DA 垂直于AB,而EF垂直于AB,得到EF与AD :平行，再由全等得到EF=AC,而AC=AD, 226 可得出一组对边平行且相等，即可得证. 12.(1)证明：，点D、E分别为AB、AC 8.1解析：根据平行四边形性质推出AB的中点，点G,F分别为BH、CH的中点， =CD,AB∥CD,得出平行四边形ABDE,推 ,.DE是△ABC的中位线，GF是△HBC 出DE=DC=AB,根据直角三角形性质求出：的中位线， CE长，即可求出AB的长， 9.证明：，D是AC的中点，AD=CD, DE//BC.DE-BC.GF/BC.GF- AF/BE,∠DAF=∠DCE,在△ADF和2BC@ I∠DAF=∠DCE, △CDE中，AD=CD, ÷△ADFe ..DE//GF.DE=GF. ∠ADF=∠CDE, .四边形DEFG为平行四边形： △CDE(ASA),AF=CE,∴四边形AFCE (2)解：四边形DEFG为平行四边形， 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形： ∴.DG=EF=2, 是平行四边形). ,DG⊥BH, 10.解：(1)，四边形ABCD是矩形，. ∴.∠DGB=90°， AD∥BC,AD=BC,BE=CF,·.BE+EC ∴.BG=√BD-DG=√3-2=5， =EC+CF,即BC=EF,.AD=EF,,四边： 即线段BG的长度为√5. 形AEFD是平行四边形： 5.2矩形 (2),四边形ABCD是矩形，.∠B= 1.C解析：矩形的对角线相等，而平行四 90°，在Rt△ABE中，AE=√4+2=25，，边形的对角线不一定相等. AD∥BC,.∠AEB=∠EAD,,∠B= 2.B解析：A项，扇形是轴对称图形，不 ∠AED=90°，△ABE∽△DEA,∴AE::是中心对称图形，故此选项不合题意：B项，平 行四边形不一定是轴对称图形，是中心对称图 AD三BEAE,品AD一25义250.形，故此选项特合题意：C项，辛边三角彩是朝 2 AB=4,∴，四边形AEFD的面积=ABXAD对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合 =4×10=40. 题意：D项，矩形既是轴对称图形，又是中心对 11.解：(1)由三角形中位线定理得EF∥；称图形，故此选项不合题意. BC,则∠EFO=∠GDO,再证△OEF≌ 3.A解析：矩形的对角线相等且互相平 △OGD(ASA),得EF=GD,然后由平行四边：分，∠AOB=60°，得到△AOB为等边三角形， 形的判定即可得出结论： .AB=A0=3. (2)由直角三角形斜边上的中线性质得 4.C解析：如图，∠1=90°+∠3， DE=2AC=CE,则∠C=∠EDC,再由锐角 三角函数定义得CD=2,然后由勾股定理得 AC=v2.则DE=2AC-罗.由平行调边 形的性质可得FG=DE=√2 2 ,∠1=g,.∠3=a-90°， 227