4.5 解直角三角形-2024年初中学业水平考试数学总复习

初中学业水平考试总复习·数学》 4.5解直角三角形 学业要求 1.理解直角三角形的概念，会证明直角三 3.会利用相似的直角三角形，探索并认识 角形的性质定理.掌握有两个角互余的三角形 锐角三角函数(sinA,cosA,tanA),知道30°、 是直角三角形. 45°、60°角的三角函数值.能用锐角三角函数解 2.会证明勾股定理及其逆定理，并能运用 直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实 它们解决一些简单的实际问题. 际问题， 考点示例 一类勾股数，如：6,8,10：8,15,17：…，若此类勾 考点1勾股定理 股数的勾为2m(m≥3，m为正整数)，则其弦是 勾股定理是一个基本的几何定理，指直角 (结果用含m的式子表示). 三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平 解析：因为m为正整数，所以2m为偶数， 方，中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角 设其股是a,则弦为a十2，根据勾股定理得， 边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为 (2m)2+a=(a+2)2,解得a=m2+1,综上所 弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高 述，其弦是m”十1，故答案为m2十1. 定理.勾股定理证明方法很多，是数学定理中证 明方法最多的定理之一，勾股定理是人类早期 考点2锐角三角函数 发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想 锐角三角函数是初中数学中的重要概念， 解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形 它反映了直角三角形中锐角与两边的比之间的 结合的纽带之一 关系，具有鲜明的几何意义，其自变量是锐角， 勾股定理：如果直角三角形的两条直角边 函数值是直角三角形中两条边的比值， 长分别为a、b,斜边长为c,那么a2十b2=c2 b 逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足 正弦：sinA=::余弦：cosA=。;正切： a2十b2=e2,那么这个三角形是直角三角形 例1（孝感中考）勾股定理最早出现在商 高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”.观 察下列勾股数：3,4,5：5,12,13：7,24,25：…，这 斜边e 斜力a 类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为 1.柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的 斜边 102 化第二篇图形几何 例2（荆州中考）如图，在平面直角坐标 修路，为加快施工进度，在直线AB上湖的另一 系中点A,B分别在x轴负半轴和y轴正半 边的D处同时施工.取∠ABC=150°，BC= 轴上，点C在OB上，OC:BC=1：2,连接 1600m,∠BCD=105°，则C、D两点的距离 AC,过点O作OP∥AB交AC的延长线于P. 是 m. 若P(1,1),则tan∠OAP的值是( 解析：过点C作CE⊥BD,垂足为E.因为 ∠ABC=150°，所以∠DBC=30°.在Rt△BCE ② 2 中，周为BC=1600m,所以CE=2BC= c号 D.3 800m,∠BCE=60°.因为∠BCD=105°，所以 ∠ECD=45°.在R1△DCE中，因为cos∠ECD= 解析：根据OP∥AB,证明出△OCP刀 C CD,所以CD= CE △BCA,得到CP：AC=OC:BC=1:2,过 s45=800√2(m).故本题正 点P作PQ⊥x轴于点Q,根据∠A(OC 确答案为800√2. ∠AQP=90°，得到CO∥PQ,根据平行线分线 段成比例定理得到OQ:AO=CP:AC=1:2, 考点4解直角三角形的应用 根据P(1,1),得到PQ=OQ=1,得到AO=2, 根据正切的定义即可得到tan∠OAP的值是 解直角三角形在测量、建筑、航海等实际中 有着非常广泛的应用.用解直角三角形的有关 了·故本题正确答案是C 知识解决实际问题的关键是借助图形，将实际 问题转化为解直角三角形问题，并分析问题中 考点3解直角三角形 的数量关系，将其归结为直角三角形中元素之 在直角三角形中，除直角外，共有五个元 间的关系 素，即三条边和两个锐角.由直角三角形中的已 常用术语：仰角、俯角、方位角、坡度（坡 知元素，求出其余未知元素的过程就是解直角 比)，这里特别强调坡度不是角度，它是坡角的 三角形.解直角三角形是解斜三角形的基础，是 正切值 所有涉及初中平面几何计算的核心。 例4（咸宁中考）如图，有甲、乙两座建筑 三边关系：a2+b2=c2:两锐角之间的关 物，从甲建筑物A点处测得乙建筑物D点的俯 系：∠A+∠B=90°： 角a为45°，C点的俯角3为58°，BC为两座建 边角之间的关系：simA=名c0sA= b 筑物的水平距离，已知乙建筑物的高度CD为 6m,则甲建筑物的高度AB为 m. tanA=d b (sin58°≈0.85，c0s58°≈0.53，tan58°≈1.60，结 例3（武汉中考）如图，沿AB方向架桥 果保留整数) 103 初中学业水平考试总复习·数学川 x)m,在Rt△ABC中，tan∠ACB=tan58°= AB-6十工≈1,60，解得x=10,进而可得出答 BC 案16. 解析：过点D作DE⊥AB于点E,则 BE=CD=6m,∠ADE=45,∠ACB=58°，在 Rt△ADE中，∠ADE=45°，设AE=xm,则 DE=x m,BC=m:AB=AE+BE=(6+ 素养整合 例5（随州中考）(1)如图1所示，分别以 ①a2+b”+c2+d2 直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月 ②b与c的关系为 ,a与d的关系 形图案（图中阴影部分）的面积分别为S:,S: 为 直角三角形面积为S:,请判断S1、S2、S:的关 解析：(1)结论S,十S2=S,证明如下：S,十S 系并证明： (2)如果以正方形一边为斜边向外作直角 三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向 (a2+b2-c2)+S. 外作正方形，重复这一过程就可以得到如图2 a2+b2=c2,.S1+S2=Sa 所示的“勾股树”，在如图3所示的“勾股树”的 (2)如图所示，①由(1)的证明可知：SA十 某部分图形中，设大正方形M的边长为定值 SB+Sc+SD=SE+Sr=SM m,四个小正方形A、B、C,D的边长分别为a、 ,大正方形M的边长为定值m,四个小正 b、c,d,已知∠1=∠2-∠3=∠a,则当∠a变 方形A、B、C、D的边长分别为a、b、c、d, 化时，回答下列问题：（结果可用含m的式子表 ∴.a2+b2+c2+d2=m2. 示) ②设正方形E、F的边长分别为e、f, :∠1=∠2=∠3=∠a.:b=d=￡又 a c e ,a2+b2+c2+d2=m2,a2+b2=e2,.c2+ d2=f2,∴.b=c,a十d=m. 图1 图2 M 图3 104 收第二篇图形几何 达标演练 一、选择题 和点D距离门槛AB都为1尺(1尺=10 1.(天津中考)tan45°的值等于( 寸)，则AB的长是( B.1 c号 A.2 D.3 2尺 2.(随州中考)如图，已知点B、D、C在同一直 线的水平地面上，在点C处测得建筑物AB 的顶端A的仰角为a,在点D处测得建筑物 个J槛 图2 AB的顶端A的仰角为B,若CD=a,则建筑 图1 A.50.5寸 B.52寸 物AB的高度为( C.101寸 D.104寸 二、填空题 5.(滨州中考)在Rt△ABC中，若∠C=90°， AC=5,BC=12,则sinA的值为 6.(乐山中考)如图，在Rt△ABC中，∠C a A.tana-tang B. an3-tana 90°，BC=5,点D是AC上一点，连接BD. a tanatanB a tanatanB D. 'tana-tanB tan3-tana 若1an∠A=2lan∠ABD-},则CD的长 3.(广元中考)如图，在正方形方格纸中，每个小 为 正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点 处，AB与CD相交于点P,则cos∠APC的 值为( 7.(仙桃中考)如图，海中有个小岛A,一艘轮船 由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它 的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里， 继续航行至点D处，测得小岛A在它的北 偏西60°方向，此时轮船与小岛的距离AD A R25 D 为 海里. c 4.(广西中考)《九章算术》是古代东方数学代表 作，书中记载：今有开门去阔（读kùn,门槛的 意思)一尺，不合二寸，问门广几何？题目大 意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图）， 8.(荆州中考)“健康荆州，你我同行”，市民小张 推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C 积极响应“全民健身动起来”号召，坚持在某 105 一鱼初中学业水平考试总复习·数学》 环形步道上跑步.已知此步道外形近似于如 10.(咸宁中考)如图，在矩形ABCD中，AB= 图所示的Rt△ABC,其中∠C=90°，AB与 2,BC=25,E是BC的中点，将△ABE沿 BC间另有步道DE相连，D在AB正中位 直线AE翻折，点B落在点F处，连接CF, 置，E地与C相距1km,若tan∠ABC=手， 求cos∠ECF的值， ∠DEB=45°，小张某天沿A→C→E→B→ D→A路线跑一圈，则他跑了 km. 三、解答题 9.(上海中考)如图，已知△ABC中，AB= BC=5,tam∠ABC=元 (1)求边AC的长： (2)设边BC的垂直平分线与边AB的交点 为D,求品的值。 106 化第二篇图形几何 11.(宜昌中考)知识小提示：要想使人安全地攀 12.(西安模拟)问题提出：如图1，在四边形 上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面 ABCD中，已知∠A=60°，∠B=150°，AB 所成的角a一般要满足53°≤：≤72°.（参考 =3,AD=4,BC=2√5，求四边形ABCD 数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈ 的面积.（结果保留根号） 1.33,sin72°≈0.95，c0s72°≈0.31，tan72≈ 问题探究：某地有两条平行的道路m、n,以 3.08,sin66°≈0.91，cos66°≈0.41，tan66°≈ 及与其相交的另一条道路，交点分别为 2.25). A、B两点（如图2所示），在道路m、n上分 如图，现有一架长4m的梯子AB斜靠在一 别有一点P、Q,且AP=60m,BQ= 竖直的墙AO上. 180m,AB=240m,∠ABQ=60°，现计划 (1)当人安全使用这架梯子时，求梯子顶端 在道路m、n之间，道路1右侧选取两点 A与地面距离的最大值； M、N,修建四边形花园PMQN,且满足 (2)当梯子底端B距离墙面1.64m时，计 PM=PN,∠MPN=120°，∠MQN=30, 算∠ABO等于多少度，并判断此时人是否 想使得这个花园（四边形PMQN)的面积最 能安全使用这架梯子」 小，试问：是否存在符合要求的四边形 PMQN？若存在，请求出其面积的最小值： 若不存在，请说明理由 107得，PM=MN+PN=3m=CM.anC即2=，2 13,.x=323·AB=3,“.AP =PN=5m-5 CN =3-5,∴.PB=5: G B (3)如图，在Rt△ABC中，sin∠BAC=: ②如图，过C作CH⊥AB于H,延长AB C-过点A作AG⊥BE于G,过点C作到E,使BE=BP,设BP=.”∠ABC= CH⊥BE交EB的延长线于H,:∠DEB=45,∠A=60,∴.CH=3,HE=3+x,: 90 CH/AG/DE-S-同 CE=(3)+(3+x)2,,PB=BE,PM CM,∴.BM∥CE,∴.∠PMB=∠PCE=60°= D的方法得，△AGO△CH.8所-折∠A,:∠E=∠E△PC△EAC小品 -A5=号设BG=4m,CH=3m,AG=4n,0 AE ECE=EPEA.3+3+2 BH=3n,AB=AE,AG LBE,:EG=BG x=2x(x+3+1)..=7-1,PB=7 =4m,.GH=BG+BH=4m+3n,:-1. 4m十3n_5 4m -2mEH=EG+GH= 4m+4m+3n=8m+3n=8m+6m=14m,在 R1△CEH中，tan∠BEC=CH-3 EH14 4.5解直角三角形 1.B解析：tan45°的值等于1. 2.D解析：设AB=x,在Rt△ABD中， 19.解：(1)，∠ACP=∠B,∠A=∠A, △ACpn△ACS-AeAC- AB tang-BDBD心BD= ang心BC=BD+ AB AP·AB: tang在Rt△ABC中，tana=AC (2)①如图，取AP的中点G,连接MG,设： AG=x,则PG=x,BG=3-x,,M是PC的 ,解得x=atanatang tang-tana 中点，∴.MG∥AC,∴∠BGM=∠A,∠ACP tan? 3.B解析：把AB向上平移一个单位到 PBM△APCO△GMB,GMBG'DE,连接CE,如下图，剩DE∥AB,/A 223 -∠EDC.在△DCE中有EC-√2+1=5，：AB-√AC+BC=5,DE-1,∴AE-2, DC=√+2=25，DE=√3+4=5，∴.AD=AE+DE=√+2=5，.CD EC+DC2=DE,故△DCE为直角三角：=AC-AD=√5. 形，∠DCE=90°.∴.cos∠APC=cos∠EDC=- DE=S.故选B DC 25 D 7.20√2解析：如下图所示，过点A作 ;AC⊥BD于点C,:在B点测得小岛A在东 北方向上时轮船与小岛相距20海里，在D处 测得小岛A在它的北偏西60°方向，∴.∠ABC =45°，AB=20海里，∠ADC=30°，.在 Rt△ABC中，AC=BC,AC=20×sin45°= 4.C解析：过D作DE⊥AB于E.如下 图2所示：由题意得，0A=OB=AD=BC,设102R1△ADC中，AD=2AC=20V2(海 OA=OB=AD=BC=r,则AB=2r,DE=里). 10.OE=2CD=1,AE=r-1,在Rt△ADE 中，AE+DE2=AD2,即(r-1)+10=r2, 609 解得r=50.5,∴.2r=101(寸)，∴.AB=101 寸，因此本题选C 8.24解析：如下图，过点D作DF⊥ 2风 BC,垂足为F,设DF=x,∠DEB=45, EO :tan∠ABC= 4,六tan∠ABC=DE-3 3 BF=4 图2 12 解折：∠C=0,AC=5BC=a∠DEF-F=1BF=亨，EF-, DF 12 12,∴.AB=/122+5=13,∴.sinA= CE=1,2.BC=4 13 +a+1-号e+1.:Dr ⊥BC,AC⊥BC,,DF∥AC,,D在AB正中 6.5解析：如下图，过D点作DE⊥AB: 位置，.DF是△ABC的中位线，.AC=2DF 于E,m∠A-R-an∠ABD DE BE :=2.x在Rt△ABC中，∠C=90,tan∠ABC -3AE-2DE.BE-2DE,2DE+3DE- 3 。.tanZABC-—4·聊73 3x+14 7 =5DE=AB,在Rt△ABC中，an∠A=2,:解得x=3,AC=6,BC=8,AB= BC=5,BC-51 :√6十8=10，.当小张某天沿A→C→E→B AC-AC=豆解得AC=2,5→D→A路线跑一国时，则他驰了24km -224 0.95=3.8(米)，.梯子顶端A与地面的距离 的最大值为3.8米： (2)在R1△AOB中，cos∠ABO= BO AB 1.64÷4=0.41..c0s66°≈0.41，.∠AB0= 66°，53°≤≤72°，.人能安全使用这架梯 9.解：(1)如下图，过A点作AE⊥BC,在 子 R△ABE中，an∠ABC-能-，AB=5, 12.解：(1)如图1，连接BD,延长DA、BC .AE=3,BE=4,..CE=BC-BE=5-4= 交于点E,过点A作AF⊥BE于点F,过点B 1,在Rt△AEC中，根据勾股定理得AC= 作BH⊥AD于点H,过点D作DG⊥BC于 √/32+1=10： 点G.可得△AEFU∽△DBG,从面得到能 (2)作DF⊥BC于F,连接CD,:DF垂AF 直平分BC,∴BD=CD,BF=CF=5 DG,再由∠BAD=60°，∠ABC-150°，可得 ∠E=∠ABE,从而得到AE=AB=3,进而得 ∠DBF-BE=DF- 8,在R△BFD到DE=7,EF= 2,BE=33,进而得到 5 中，根据勾股定理得BD=,( 8 GE=5店，BH-,可得到D0-再由 AD=5--则品 25 BD 5 四形ABCD的面积等于S△AD十S△D,即可 求解，答案是1 10.解：由折叠可得，AB=AF=2,BE= EF,∠AEB=∠AEF,:点E是BC中点， BC=25,∴.BE=CE=EF=N5,∴∠EFC 肉1 =∠ECF,AE=√2+(5)=3，∠BEF= (2)如图2，理由同(1)连接PQ,过点A作 ∠AEB+∠AEF=∠EFC+∠ECF,::AC⊥BQ于点C,可证得四边形ACQP是矩 ∠ECF=∠AEB,cos∠ECF-cos∠AEB=形，从而得到PQ∥AC,PQ=AC=1203m, BE 5 :∠APQ=90°.再由四边形PMQN等于S△PO AE 3 十S△PvQ,可得要使四边形PMQN的面积最 11.解：(1)53°≤a≤72°，当a=72时，AO:小，则点M、N到PQ的距离的和最小，此时 取最大值，在R△AOB中，Sin∠ABO=AC, MN⊥PQ,可得到PQ垂直平分MN,从而得 AB': A0=AB·sin∠AB0=4Xsin72°=4× 到∠MQP-2∠MQN=15R.然后连接MN -225 交PQ于点D,延长PM交AB于点F,连接： 3.C解析：平行四边形的判定：①两组对 FQ,可得∠APF=∠AFP,从而得到AF=边分别平行的四边形是平行四边形：②两组对 AP=60m,可证得△BFQ是等边三角形.根：边分别相等的四边形是平行四边形：③对角线 据角平分线的性质定理可得DM=FM,然后：互相平分的四边形是平行四边形：④一组对边 在直角△PDM中，利用锐角三角函数可得；平行且相等的四边形是平行四边形. DM=(360-1803)m,即可求得面积最小是： 4.C解析：①②组合可根据一组对边平 (43200√3-64800)m2. 行且相等的四边形是平行四边形判定出四边 形ABCD为平行四边形：③④组合可根据对 角线互相平分的四边形是平行四边形判定出 四边形ABCD为平行四边形；①③可证明 △ADO≌△CBO,进而得到AD=CB,可利用 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 判定出四边形ABCD为平行四边形：①④可 证明△ADO≌△CBO,进而得到AD=CB,可 图2 利用一组对边平行且相等的四边形是平行四 第5章平行四边形 边形判定出四边形ABCD为平行四边形： 5.1平行四边形 有4种可能使四边形ABCD为平行四边形， 1.C解析：根据等腰直角三角形的性质！ 5.A解析：主要考查平行四边形的判定 求出∠FHE=45°，求出∠NHB=∠FHE=:以及三角形中位线的运用，由中位线定理，可 45°，根据三角形内角和定理求出∠HNB=:得EF∥AO,FG∥BC,且都等于边长BC的一 1O5°，根据平行四边形的性质得出CD∥AB,半. 根据平行线的性质得出∠2+∠HNB=180°，： 6.26°解析：根据平行四边形的性质得 再求出答策即可. :到∠ABC=∠D=102°，AD=BC,根据等腰 2.B解析：如图，延长EF交DA的延长：三角形的性质得到∠EAB=∠EBA,∠BEC 线于Q.连接DE,设BE=x,证△QFA≌ =∠ECB,根据三角形外角的性质得到∠ACB △EFB(AAS),∴AQ=BE=x,QF=EF,”:=2∠CAB,由三角形的内角和定理即可得到 ∠EFD=90,DF⊥QE,DQ=DE=t+结论. 2,AE⊥BC,BC∥AD,.AE⊥AD,. ∠AEB=∠EAD=90°，：AE=DE-AD 解析：由三角形ABE为等边三角 =AB2-BE,d(x+2)2-4=6-x,整理得 2x十4红-6=0，解得x=1或-3（含弃）心 形，EF垂直于AB,利用三线合一得到EF为 角平分线，得到∠AEF=30°，进而确定∠BAC BE=1,∴AE=√AB-BE=√G-I=√5」 =∠AEF,再由一对直角相等，及AE=AB, 利用AAS即可得证△ABC≌△EAF:由 :∠BAC与∠DAC度数之和为90°，得到DA 垂直于AB,而EF垂直于AB,得到EF与AD !平行，再由全等得到EF=AC,而AC=AD, 226