4.4 相似三角形-2024年初中学业水平考试数学总复习

初中学业水平考试总复习·数学川 4.4相似三角形 学业要求 1.了解比例的基本性质、线段的比、成比例 2.了解相似三角形的判定定理，并能熟练 的线段及相似多边形和相似比.掌握基本事实： 运用判定定理进行相关证明 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段 3.了解相似三角形的性质定理.会利用图 成比例. 形的相似解决一些简单的实际问题， 考点示例 离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线 考点1平行线分线段成比例 上的三个点A、B、C都在横线上.若线段AB= 平行线分线段成比例定理是相似这一章的 3,则线段BC的长是( 起始，它是研究相似三角形的最基本的理论，它 一方面可以直接判定线段成比例，另一方面，当 不能直接证明要证的比例成立时，常用这个定 理把两条线段的比“转化”成另两条线段的比来 证明. 2 平行线分线段成比例定理：三条平行线截 A. B.1 D.2 两条直线，所得的对应线段成比例， 解析：如图，过点A作平行横线的垂线，交 LMI 点B所在的平行横线于D,交点C所在的平行 AB DE BC EF 卡卡 横线于E,根据平行线分线段成比例定理列出 怨张素麦 AB AD 比例式BCD能即C2,解得：BC=因 -器圣-玉 此本题答案是C, 能器著著 推论：平行于三角形一边的直线截其他两 边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例 DE∥BC 考点2相似三角形的性质 相似三角形的对应角相等，对应边成比例. 例1（丽水中考）如图，五线谱是由等距 相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线 92 化第二篇图形几何 之比等于相似比.相似三角形的周长比等于相 似.) 似比：相似三角形的面积比等于相似比的平方。 4.如果两个三角形的两个角分别对应相 例2（杭州中考）如图，在△ABC中，点 等，那么这两个三角形相似.（简叙为两角对应 D、E、F分别在边AB、AC,BC上，连接DE, 相等，两个三角形相似.) DE EF.已知四边形BFED是平行四边形，B 判定直角三角形相似的方法： 1.以上各种判定均适用， 1 2.如果一个直角三角形的斜边和一条直角 边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对 应成比例，那么这两个直角三角形相似， 3.直角三角形被斜边上的高分成的两个直 角三角形与原三角形相似. (1)若AB=8,求线段AD的长 相似具有传递性： (2)若△ADE的面积为1，求平行四边形 如果△ABCC△A,B,C1,△A1B,C1 BFED的面积. △A2B,C2,那么△ABC△AzB2C2. 解析：(1)证明△ADE∽△ABC,根据相似 相似三角形常见的图形： 三角形对应边的比相等列式得把-既- 41 1 因为AB=8,所以AD=2: (2)根据相似三角形面积的比等于相似比 S△ADE DE/BO DE/BC ∠A=∠B 的平方可 S△AEB 14 16E △ABC的西积是16，同里-（}- 可得S△EFc=9,根据面积差可得SOBEED=16 -9-1=6. ∠ACD=LB/ACB=90,CDI AB∠D=LC 例3（南京中考）如下页图，在△ABC和 考点3相似三角形的判定 △A'B'C中，D、D'分别是AB、A'B上一点， 相似三角形的判定方法： AD A'D' CD AC AB ABAB.1)当CD=AC=AB时，求 1.平行于三角形一边的直线和其他两边所 构成的三角形与原三角形相似： 证：△ABC△A'B'C 2.如果两个三角形对应边的比相等且夹角 证明的途径可以用下面的框图表示，请填 相等，那么这两个三角形相似.（简叙为：两边对 写其中的空格。 应成比例且夹角相等，两个三角形相似.) 04D 3.如果一个三角形的三条边与另一个三角 形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相 A6C-A4BY四 似.（简叙为：三边对应成比例，两个三角形相 △4-a 93 初中学业水平考试总复习·数学川 取决于思考问题的角度，即使同一个问题，不同 的思考角度也有不同的构造方法，这充分体现 了数学的灵活性，构造相似三角形，只要紧紧抓 住根据不同的“需要”构造合适的相似三角形， 就能灵活解决有关几何问题.常用的就是作平 行线或构造等腰或等角等等 例4（龙岩中考）如图1，△ABC中，D为 ②当B-AC-BC时，判断△ABC BC边的中点，延长AD至E,使AD=2DE,连 接CE并延长，交AB的延长线于点P.试说 与△A'B'C'是否相似，并说明理由. 明：AP=3AB, CD AC AD 解析：1CD=AC=AD,利用三边 对应成比例证明△ADC∽△A'D'C',推理出 ∠A=∠A':再利用两边对应成比例及其夹角 相等判定△ABC∽△A'B'C (2)因为DE∥BC,所以△ADE∽△ABC. 图2 图3 ABBC-A长.同理AP=DEAE 得AD-DEAE 解析：1.从结论开始思考 AB BCAC 从结论开始思考，需把结论进行适当的变 又把智所 DE D'E' DE BC=BC,得DE 形，再根据这“适当的变形”构造适当的相似三 BC.同理AE=A 角形 B AC AC.所以ACAE AC 方法一：结论AP=3AB可变形为：AP AB AC ACAC.所以EC=AC ACICAE MC-EC eCAC 3,则可以构造相似三角形，使AB和AP为对 又昂A把-C,所以0 CD AC BC DE 应边，从而想到过B作BF∥PE交AE于F, EC,所以△DCEn△D'C'E'.得∠CED E 使得△ABF∽△APE,如图2所示.而由 △BFD≌△CED知：FD=ED,又AD= ∠C'E'D'.因为DE∥BC,所以∠CED+ 2DE,从而AF=FD=DE,再由△ABF ∠ACB=180°.同理∠CE'D'+∠A'C'B' AB AF 1 BC 180所以∠ACB=∠A'CB'.又AC=B, △APE知：APAE3,故AP=3AB. 方法二：结论AP=3AB还可进一步变形 所以△ABC△A'B'C'. BP 2 为：P-3,也需构造相似三角形，使B即和 考点4三角形相似的构造 AP为对应边，从而想到过B作BG∥AE交 通过添加辅助线，构造相似三角形，是解决 PE于G,使得△PBG∽△PAE,如图3所示. 几何问题重要的方法之一.而构造的方法，主要 而由△CDE∽△CBG和CD=BD知：BG= 94 收第二篇图形几何 2DE,又AD=2DE,则BC BG 系 AE AD+DE 本题还可以过C作CK∥AP交AE的延 2DE 2DE+DE=3,再由△PBG∽△PAE知 P 长线于K或者过E作EG∥AP交CB于G等 P =BG2 方法，构造相似三角形，同学们可以作为练习. AE3,故AP=3AB 考点5相似三角形的应用 2.从条件开始思考 从条件开始思考，即把已知的条件或已知 因为相似三角形的对应边成比例，对应角 的条件经过适当的变形后“移到”要求证的结论 相等，因此在实际问题中可利用相似三角形的 上，根据不同的“移法”构造不同的相似三角形. 上述性质进行有关物体的长度或角的大小的测 量，在解决实际问题中，要理解题意，从实际问 题中抽象出几何图形，尤其是相似三角形，再利 用相似三角形的性质进行计算. 例5（杭州中考）某项目学习小组为了测 图4 图5 量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把标 方法三：过D作DH∥CP交AP于H,如 杆DE直立在同一水平地面上（如图）.同一时 图4所示.由△BHD∽△BPC和BD=CD 刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是 知：BH=HP,又由△AHDO△APE知AH BC=8.72m,EF=2.18m.已知B、C、E、F AP 在同一直线上，AB⊥BC,DE⊥EF,DE= =AP=2,从而AB三BH=HP,故AP= 2.47m,则AB m. 3AB.这种方法就是把条件BD=CD和AD= 2DE“移到”AP上，把AP三等分，从而证明结 论. 方法四：过D作DO∥AP交CP于O,如 图5所示，由△EDOD△EAP知：AP-EA DO ED 解析：因为同一时刻测得旗杆和标杆在太 3,则AP=3D0,又由△CDO△CBP DO 阳光下的影长分别是BC=8.72m,EF BP 2.18m.所以AC∥DF,故∠ACB=∠DFE,因 =CB2从而BP=2DO,故AB=3 CD 1 为AB⊥BC,DE⊥EF,所以∠ABC=∠DEF BP=2,从而 AP=3AB.这种方法就是把条件AD=2DE =90,故R1△ABC∽R△DEF,得E-C, 支形为积-起D=D度指为器-合 中部盘限解释AB=983,所以浪样的高 找到DO和AP及DO和BP的关系，从而找 度为9.88m. 到AP和BP的关系，再得到AP和AB的关 95 初中学业水平考试总复习·数学川 素养整合 例6（武汉中考）如图(1)，在△ABC中， (2)如图2，取BC的中点H,连接DH,因为点 AB=AC,D是AC的中点，延长BC至点E, D为AC的中点，所以DH∥AB,DH=AB, 使DE=DB,延长ED交AB于点F,探究A 因为AB=AC,所以DH=DC,得∠DHC= 的值. ∠DCH,因为BD=DE,所以∠DBH= 问题探究 ∠DEC,得∠BDH=∠EDC,故△DBH≌ (1)先将问题特殊化.如图(2)，当∠BAC △DEBC(ASA.得BH=EC,用路-因为 =60时，直接写出铝的值。 DH∥AB,所以△EDHD△EFB,得DH FB (2)再探究一般情形.如图(1)，证明(1)中 的结论仍然成立 ,所以AF1 EB 3FB 3 EH2,得AB AB4 问题拓展 问题拓展 如图(3)，在△ABC中，AB=AC,D是 如图3，取BC的中点H,连接DH,由(2) 4C的中点，G是边BC上一点，C-(m3 同理可证明△DGH≌△DEC(ASA),得GH 2),延长BC至点E,使DE=DG,延长ED交 =GE,得HE-0c,因为密所以 HE BC AB于点R.直接写出A5的值（用含n的式于 船-是特E-e周为DH/B, n 表示) 所以△EDHO△EFB,特能-异2 图为DH=AB,所以F=n十2 AB=4,所以AF AB 2一n 4 解析：问题探究 (1)如图1，取AB的中点G,连接DG,利 用等边三角形的性质可得，点F为AG的中点， 1 从而得出答案 96 化第二篇图形几何 达标演练 一、选择题 1.(营口中考)如图，在△ABC中，DE∥AB,且 D则货的值为 A.4个 B.5个 C.6个 D.7个 5.(天门中考)如图，AB为⊙O的直径，BC为 ⊙O的切线，弦ADOC,直线CD交BA的 3 A. c 3 0. 延长线于点E,连接BD.下列结论：①CD是 ⊙O的切线：②CO⊥DB:③△EDAC∽ 2.(十堰中考)如图，某零件的外径为10cm,用 △EBD:④ED·BC=BO·BE.其中正确 一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）可 结论的个数有( 测量零件的内孔直径AB.如果OA：OC= OB:OD=3,且量得CD=3cm,则零件的 厚度x为( A.4个 B.3个C.2个 D.1个 6.(乐山中考)如图，等腰△ABC的面积为 10em1 A.0.3 cm B.0.5 cm 23,AB=AC,BC=2.作AE∥BC且AE C.0.7 em D.1 cm -号C.点P是线段AB上一动点，连接 3.(连云港中考)△ABC的三边长分别为2、3、 4,另有一个与它相似的三角形DEF,其最长 PE,过点E作PE的垂线交BC的延长线于 边为12，则△DEF的周长是( 点F,M是线段EF的中点.那么，当点P从 A.54 B.36 C.27 D.21 A点运动到B点时，点M的运动路径长为 4.(昆明中考)在正方形网格中，每个小正方形 ( 的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫 做格点三角形.如图，△ABC是格点三角形， 在图中的6×6正方形网格中作出格点三角 形△ADE(不含△ABC),使得△ADEn △ABC(同一位置的格点三角形△ADE只 算一个)，这样的格点三角形一共有() A.3 B.3 C.23 D.4 97 初中学业水平考试总复习·数学》 二、填空题 7.(麦底中专)若会--a*c.则6-d 2 a-c 8.(邵阳中考)如图，在△ABC中，点D在AB 12.(长沙中考)如图，点P在以MN为直径的 边上，点E在AC边上，请添加一个条件： 半圆上运动，（点P与M、N不重合）PQ⊥ ,使△ADEC∽△ABC. MN,NE平分∠MNP,交PM于点E,交 PQ于点F.若PN=PM·MN,则NO= 9.(广西中考)如图，在△ABC中，BC=120,高 AD=60,正方形EFGH一边在BC上，点 三、解答题 E,F分别在AB,AC上，AD交EF于点N, 则AN的长为 13.(吉林中考)如图，AB/∥CD∥EF.若AG= 2BD=5,求DF的长. 10.(绍兴中考)如图1，长、宽均为3，高为8的 长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有 水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜 后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时 的示意图，则图2中水面高度为 容器口边缘 水而高度 图1 图2 11.(十堰中考)如图，平面直角坐标系中， A(-8,0),B(一8,4)，C(0,4),反比例函数 y一的图象分别与线段AB,BC交于点 D、E,连接DE.若点B关于DE的对称点 恰好在OA上，则k= 98 化第二篇图形几何 14.(泰安中考)如图，矩形ABCD中，点E在 15.(绍兴中考)将一张以AB为边的矩形纸片， DC上，DE=BE,AC与BD相交于点O. 先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下 BE与AC相交于点F. 的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角 (1)若BE平分∠CBD,求证：BF⊥AC: 形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是 (2)找出图中与△OBF相似的三角形，并说 如图所示的四边形纸片ABCD,其中∠A 明理由； 90°，AB=9,BC=7,CD=6,AD=2,则剪 (3)若OF=3,EF=2,求DE的长度. 掉的两个直角三角形的斜边长是多少？ D 99 一鱼初中学业水平考试总复习·数学川 16.(温州中考)如图是某风车示意图，其相同的 作CE∥AB,交AD的延长线于点E,构造 四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在 相似三角形来证明 AB BD 旋转中心O的正下方.某一时刻，太阳光线 CCD' 恰好垂直照射叶片OA、OB,此时各叶片影 尝试证明： 子在点M右侧成线段CD,测得MC= (1)请参照小慧提供的思路，利用图2证明： 8.5m,CD=13m,垂直于地面的木棒EF AB BD ACCD' 与影子FG的比为2：3，则点O,M之间的 应用拓展： 距离等于多少米？转动时，叶片外端离地面 (2)如图3，在Rt△ABC中，∠BAC=90°， 的最大高度等于多少米？ D是边BC上一点.连接AD,将△ACD沿 AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上 的E点处 ①若AC=1,AB=2,求DE的长： ②若BC=m,∠AED=a,求DE的长（用 含m,a的式子表示). 个 2 图3 17.(黄冈中考)问题背景： 一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证 明了关于三角形角平分线的一个结论.如图 1,已知AD是△ABC的角平分线，可证A仁 CD小慧的证明思路是：如图2，过点C B 100 化第二篇图形几何 18.(武汉中考)在△ABC中，∠ABC=90°. 19.(武汉中考)在△ABC中，P为边AB上 (1)如图1，分别过A、C两点作经过点B的 一点 直线的垂线，垂足分别为M、N,求证： (1)如图1，若∠ACP=∠B,求证：AC2= △ABM∽△BCN: AP·AB: (2)如图2，P是边BC上一点，∠BAP= (2)若M为CP的中点，AC=2. ∠C.an∠PAC=25,求IanC的值： ①如图2，若∠PBM=∠ACP,AB=3,求 BP的长： (3)如图3，D是边CA延长线上一点，AE ②如图3，若∠ABC=45°，∠A=∠BMP= =AB.∠DEB=90,sin∠BAC=3,AD 60°，直接写出BP的长 5'AC 昌，直接写出an∠CEB的值) 图1 图2 因3 图 1101∠CGF,∴.DE∥CG,,AB∥DE,∴.DE∥CG,:,FQ∥BP,.∠BPF=∠PFQ.PF=FP, ∴∠DCG=180°-∠ABC=180°-60=120°，：∴.△BPF≌△QFP(AAS),.FQ=BP, ∠ACB=60°，∠ACG=∠ABD=60°，！AF=FQ,∴.∠FAQ=∠FQA=∠BPA, AB=AC,∴.△ABD≌△ACG(SAS),∴.AD∠BFA=∠FBP,设∠FAC=x,则∠BAC =AG,:DF=GF,.AF⊥DF ∠ACB=2x,.∠PBA=∠FBP=3x, (3)30°解析：如图3，构造等腰直角三角：∠OBC+∠OCB=90°，.3x+2x=90°，.x 形CAM,连接MN,易证△MAN≌△CBE,:=18°，.∠ABC=2∠BOC=6.x=108°： CE+CN=MN+CN,最小值即CM 图2 3 15.(1)解：(1)EF=EC解析：如图1，设 图2 AF交BE于点J.,AF平分∠BAC,. (3)结论：OG=GH,OG⊥GH. 如图3，过，点H作HM⊥OH交OG的延 ∠BAF=∠CAF,BE⊥AF,.∠BAF+ ∠ABE=90°，∠CAF+∠AEB=90°，. :长线于点M,过点H作VH⊥HA交x轴于 :点V,连接MN交DG于点L.∠GOH= ∠ABE=∠AEB,AB=AE,A、C关于y 45°，∠NAH=∠BAO=45°，.△OMH、 轴对称，.OA=(OC,OA=OB,.OA=OB △NHA都是等腰直角三角形，.NH=AH, =OC,∴.∠OAB=∠OBA=45°，∠OCB= :MH=OH,:∠NHM+∠MHA=90. ∠OBC=45°，∠ABC=90°，∴.△ABF≌ :∠MHA+∠OHA=90°，∴.∠MHN= △AEF(SAS),∴.∠AEF=∠ABF=90°，∴. ∠OHA,.△MHN≌△OHA(SAS),∴.MN ∠CEF=90°，∴.∠ECF=∠EFC=45°，∴，EF =OA=OB,∠MNH=∠OAH=135°，. =EC: ∠MNO=90°，.NI=OD,,DG是OB的垂 直平分线，.OB=2OD,.MN=OB=2N1, .NI=IM=OD,∴.△GIM≌△HDO (AAS)..MG=OG,∴.GH=GO,GH⊥GO. 图1 对称点P,连接AP、FP,作FQ∥BP交AP的 延长线于点Q.则∠BAC=∠PAC,BP= 图3 2OB,:AF=2OB,.BP=AF,A、C关于 4.4相似三角形 y轴对称，∴.∠ACB=∠BAC=∠PAC,∴.BC ∥AP,∴.∠BFA=∠FAP,∠FBP=∠BPA, 1A阁折：DE/AB,是-品 -219 CE+AE-AC蛋- 2.B解析：OA:OC=OB:OD=3, ∠COD=∠AOB,.△COD∽△AOB,∴.AB ：CD=3,CD=3cm,.AB=9cm,某零 件的外径为10cm,.零件的厚度x为(10一 B(pmH Cu) 9)÷2=1÷2=0.5(cm). AB=AC,AH⊥BC,∴.BH=CH, 3.C解析：△ABCn△DEF,六CA CAE/BC.AE=2BC,AE=CH,四边形 =4.:2+3+41 :AHCE是平行四边形，，∠AHC=90°，.四 12·C△DEF 心Car=27:故选C. !边形AHCE是矩形，∴.EC⊥BF”,AH=EC, 4.A解析：如图所示： :BC=2.Sam=2B,号×2×AH= 2V3,∴AH=EC=23,:∠BEF"=∠ECB =∠ECF",∴.∠BEC+∠CEF"=90°，∠CEF" +∠F"=90°，∴.∠BEC=∠F",∴.△ECBn AF'CE..EC=CB .CF"..CR"(23) 2 =6,∴.MM"=3. 5.A解析：由切线的性质得∠CBO= 1.2 解析：由台=4-1 c=2(a≠c)可得a 90°，首先连接OD,易证得△COD≌△COB (SAS),然后由全等三角形的对应角相等，求 =26,6=2d,因此本题填7 得∠CDO=90°，即可证得直线CD是⊙O的 8.∠ADE=∠B或∠AED=∠C或AD AB 切线，根据全等三角形的性质得到CD=CB,: 根据线段垂直平分线的判定定理得到即CO上： AC(答案不唯-）解析：∠A=∠A,: A DB,故②正确：根据余角的性质得到∠ADE =∠BDO,等量代换得到∠EDA=∠DBE,根 当∠ADE=∠B成∠ABD=∠Ck品怎 据相似三角形的判定定理得到△EDAO:时，△ADEP△ABC. △EBD,故③正确；根据相似三角形的性质得： 9.20解析：设正方形EFGH的边长EF 到品-设于是得到ED·BC=B0·BE, =EH=x,四边EFGH是正方形， ∠HEF=∠EHG=90°，EF∥BC,.△AEF 故④正确 :C∽△ABC,AD是△ABC的高，.∠HDN 6,B解析：如图，过点A作AH⊥BC于：=9O°，四边形EHDN是矩形DN=EH 点H.当点P与A重合时，点F与C重合，当 点P与B重合时，点F的对应，点为F”,点M =x△AEF∽△ABC,.AD-EBC 的运动轨连△BCF的中位线，MMr-CF,120.AD=60AN=60-x,600- 601201 —220 解得x=40,.AN=60-x=60-40=20. :(-1-√5)a 10,告解折：设DE=x,则AD=8-, 2 喻8名5 由长方体容器内水的体积得出方程，解方程求 1解：AB/CD /EF:8瓷-80又 出DE,再由句股定理求出CD,过点C作CFAC=】 1 、、.3D=5·.京—2--D10. ⊥BG于F,由△CDEC∽△BCF的比例线段求： 得结果即可 14.解：(1)如图，在矩形ABCD中，OD= 11.-12解析：过点E作EG1OA,垂足OC,ABCD,∠BCD=90,.∠2=∠3= 为G,设点B关于DE的对称点为F,连接DF、∠4，∠3十∠5=90°，：DE=BE,∠1 EF,BF,知图所示：△BDE≌△FDE,BD=∠2，又：BE平分∠DBC.∠1=∠6.∠3 FD,BE=FE,∠DFE=∠DBE=90,易证=∠6∠6+∠5=90°，∴BF⊥AC: (2)与△OBF相似的三角形有△ECF、 △ADO△GFE,一能-：A(-8o.△BAP么BC强抽如下，由可转 B(-8,4),C(0,4),∴.AB=OC=EG=4,OA=!∠4，BF⊥AC,∴.∠AFB=∠BFC=90°，∴ BC=8,:D,E在反比例函数y=的困象上， △ABF0△BOF,:∠1=∠3，∠EFC= ∠BFO,.△ECF∽△OBF,,∠1=∠6， E停小.D(-8,-装)0G=EC=-令，∠CFB=∠BCD=90.AERCAOBF: AD-- BD-4+会E-8+会配 4+8 1 DF AF 8+2EAF=G=2,由 4 (3)△ECF∞△OBF·DE-E, 勾度定理得：AD+AF=DF,即（一）厂+2 2 CF =(+合)广解得表=一12， “号-F,即3CF=2BF30A=2BF+9 ①，△ABFO△BOF,BF=AFBF=】 :OF·AF,.BF=3(OA十3)②，联立①②， 可得BF=1+W19(负值已舍去)，.DE=BE A F G O =2+1+19=3+/19. 15.解：①如图1，由已知可得，△DFEの 解析：由相似基本图形射影型 得PN2=QN·MN,又：PN=PM·MN, △ca.瓷-语-器设DF-,CE 27 ∴.QN=PM.设QN=PM=a,MQ=b,a= 4 ..DE=CD 6(a+b),解得b=-1+5) y则5-9-士，解得 y=72+ 21 2 或b= y= 4 221 +CE=6+21_45 4=4,EB=DF+AD=2 4 +2= 17.解：(1)CE∥AB,∴∠E=∠EAB, 35 ∠B=∠ECB,∴△CEDO△BAD..8E :②如图2，由已知可得，△DCFO△FEB, :C 则PC-CFDF FEEB一FB,设FC=m,FD=n, BD,·∠E=∠EAB,∠EAB=∠CAD, 9 m=8, ∠E=∠cDGE=cA小A00 .FD=10,BF= n=10, (2)①，将△ACD沿AD所在直线折叠， FC+BC=8十6=14. 点C恰好落在边AB上的E点处，∴，∠CAD =∠BAD,CD=DE,由(I)可知，AC=CD AB BD 又：AC=1,AB=2号-80BD 2CD,∠BAC=90°，∴.BC=JAC2+BC= 1+2=5,∴.BD+CD=√5，∴3CD=5, 肉1 图2 16.解：如图，过点O作OP∥BD,交MG CD=/ 3DE-5 :②将△ACD沿AD 于P,过P作PN⊥BD于N,则OB=PN,:所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点 Ac/BD,.AC /OP∥BD.÷胎-S :处，∴∠CAD=∠BAD,CD=DE,∠C= A ∠EGF=∠OPM,OA=OB,∴.CP=PD= ∠AED=a,.tan∠C=tana= AC,由(1)可 CD-6.5.MP-CM+CP-8.56.5- ·AC CD tana AB BD CDBD=CD· B 5,tan∠EGF=an∠oPM,EE=Og tana,又，BC=BD+CD=m,∴.CD·tana+ MP 号0M=号×15=10：DB∥EG. CD-CD-1tanDE-1tang 18.解：(1)，AM⊥MN,CN⊥MN, ∠EGF=∠NDP,.sin∠EGF=sSin∠NDP,:∠AMB=∠BNC=9O,∠BAM+∠ABM 即5=，六OB=PN三I3,以点O为=90，∠ABC=90°.∠ABM+∠CBN白 90,.∠BAM=∠CBN,,∠AMB= 圆心，OA的长为半径作圆，当OB与OM共线： ∠NBC,∴.△ABM∽△BCN: 时，叶片外端离地面的高度最大，其最大高度 (2)如图，过点P作PM⊥AP交AC于 等于(10十√13)米 :M,PN⊥AM于N.'.∠BAP+∠1=∠CPM +∠1=90°，∴.∠BAP=∠CPM=∠C, MP-MC.tanZPAC=PN25 P设MN=2m,PN=5m,根据勾股定理 222 得，PM=MN+PN=3m=CM.anC即2=，2 13,.x=323·AB=3,“.AP =PN=5m-5 CN =3-5,∴.PB=5: G B (3)如图，在Rt△ABC中，sin∠BAC=: ②如图，过C作CH⊥AB于H,延长AB C-过点A作AG⊥BE于G,过点C作到E,使BE=BP,设BP=.”∠ABC= CH⊥BE交EB的延长线于H,:∠DEB=45,∠A=60,∴.CH=3,HE=3+x,: 90 CH/AG/DE-S-同 CE=(3)+(3+x)2,,PB=BE,PM CM,∴.BM∥CE,∴.∠PMB=∠PCE=60°= D的方法得，△AGO△CH.8所-折∠A,:∠E=∠E△PC△EAC小品 -A5=号设BG=4m,CH=3m,AG=4n,0 AE ECE=EPEA.3+3+2 BH=3n,AB=AE,AG LBE,:EG=BG x=2x(x+3+1)..=7-1,PB=7 =4m,.GH=BG+BH=4m+3n,:-1. 4m十3n_5 4m -2mEH=EG+GH= 4m+4m+3n=8m+3n=8m+6m=14m,在 R1△CEH中，tan∠BEC=CH-3 EH14 4.5解直角三角形 1.B解析：tan45°的值等于1. 2.D解析：设AB=x,在Rt△ABD中， 19.解：(1)，∠ACP=∠B,∠A=∠A, △ACpn△ACS-AeAC- AB tang-BDBD心BD= ang心BC=BD+ AB AP·AB: tang在Rt△ABC中，tana=AC (2)①如图，取AP的中点G,连接MG,设： AG=x,则PG=x,BG=3-x,,M是PC的 ,解得x=atanatang tang-tana 中点，∴.MG∥AC,∴∠BGM=∠A,∠ACP tan? 3.B解析：把AB向上平移一个单位到 PBM△APCO△GMB,GMBG'DE,连接CE,如下图，剩DE∥AB,/A 223