4.3 等腰三角形-2024年初中学业水平考试数学总复习

第二篇 图形几何 4.3 等腰三角形 学业要求 1.理解线段垂直平分线的概念,并能证明 三角形的性质定理及判定定理,掌握等边三角 线段垂直平分线的性质定理及其逆定理 形的性质定理及判定定理 2.理解等腰三角形的概念,并能证明等腰 考点示例 考点1 等腰三角形的性质与判定 等腰三角形是一种特殊的三角形,它除了 $$ DC- A+$ $ABD-36^{*}+36^*}-72$*,所 $$ 具有一般三角形的所有性质之外,还有许多特 C= $BDC-36^{*,所以BD=BC-$,同$$ 殊性质,特别是它的两个底角相等的性质,可以 A$D=BD=b,所以CD=AC-AD=a-b,故$ 选C. 实现一个三角形中边相等与角相等之间的转 例2 (宿迁中考)如图,在△ABC中,AB 化,是论证两角相等的重要依据之一,等腰三角 形沿底边上的高对折完全重合是论证两条线段 一AC,BAC的平分线AD交BC于点D,E 为AB的中点,若BC=12,AD=8,则DE的 相等及线段垂直的重要依据 长为 等腰三角形的性质:等边对等角:等腰三角 形底边上的中线、高和顶角的平分线重合(简称 “三线合一”). 等腰三角形的判定:等角对等边 例1 (南充中考)如图,在 解析:因为AB=AC, BAC的乎分线 等腰三角形ABC 中,BD为 AD交BC于点D,所以AD1BC,BD=CD= ABC的平分线, A-36{*,AB$ =AC=a,BC=b,则CD= 。 ) =^{}+8{}-10.又因为E为AB的中点,所以 a A. B DE一 C.a-b D.b-a 解析:因为AB=AC, A=36^{*},所以$ 考点2 等腰直角三角形 ABC= ACB=72*,因为BD乎分 AB$C, 等腰直角三角形是特殊的等腰三角形(有 一个角是直角,另两个角都是45{}),也是特殊的 185 初中学业水平考试总复习·数学 直角三角形(两条直角边相等),因此等腰直角 个,故本题正确答案是C 三角形具有等腰三角形和直角三角形的所有性 质(如三线合一.勾股定理,直角三角形中斜边 中线是斜边的一半等).等腰直角三角形三边比 例为1:1:/2. 等腰直角三角形的判定方法:有一个角是 例4(黄石模拟)如图,在等腰Rt△ABC 直角的等腰三角形是等腰直角三角形;两条边 相等的直角三角形是等腰直角三角形;三边比 中,C=90{*,AB-4 /2,F是AB边上的中$ 例为1:1:/2的三角形是等腰直角三角形;底 点,点D、E分别在AC、BC边上运动,且保持 角为45的等腰三角形是等腰直角三角形;有一 CD一BE,连接DE、EF、FD.在此运动变化过 个锐角是45{的直角三角形是等腰直角三角形 程中,下列结论:①△DEF是等腰直角三角形; 直角边和斜边的比例为1:/2的直角三角形是 ②四边形CDFE不可能为正方形;③DE长度 等腰直角三角形 的最小值为2;④四边形CDFE的面积保持不 例3(天门仙桃潜江中考)如图,已知 变;△CDE面积的最大值为2.其中正确的 结论是( △ABC和△ADE 都是等腰直角三角形, ) BAC= DAE=90*,BD、CE交于点F,连 接AF.下列结论:①BD=CE;②BF CF; ③AF平分CAD;④ AFE三45*。其中正确 结论的个数有( ) A.①②③ B.①④ C.①③④ D.③④ 解析:根据CD一BE,连接CF之后可得 一组全等三角形,进而可得①是正确的;当EF BC时可得四边形CDFE是正方形,故②错 A.1个 B.2个 误;因为△DEF是等腰直角三角形,所以DE C.3个 D.4个 一、 ②EF,..当EF最小时,DE最小,所以当 解析:因为△ABC和△ADE都是等腰直 EF BC时,即E为BC的中点时,DE最小 角三角形,易证△AEC△ADB(SAS),所以 BD一CE,故①正确;因为DEF十AEC十 EDA=90{*,所以 DEF+ EDF=90{*,所 值为2/2,故③错误;根据全等,四边形CDFE 以BDCE,故②正确;如图,作ANCE于 的面积可转化为△BCF的面积,因为△CDF 点N,AM |BD于点M,因为△AEC 八BEF,所以四边形CDFE 的面积等于 △ADB,所以AM=AN,因为AF是 BFE △BCF的面积,所以四边形CDFE的面积不 的平分线, BFE一90{*,所以 AFE-45^{*,故 变,故④正确;由④可得,△CDE面积取最大值 ④正确;因为QF去PF,故③错误,正确的有3 时,即△DEF面积取最小值时,进而可求解。 86 第二篇 图形几何 SCDE=SCDFE-SDEr=S△BCF-SDE BC1 -DE-4- 4 -DE...当DE最小 时,△CDE的面积最大,.(S。c)=4- 解析:①根据全等三角形的判定方法,证出 X(2\2)}一2,故正确,故本题正确答案是B △ACD △BCE,即可得出AD=BE,①正 确.④先证明△ACP△BCQ,即可判断出CP 考点3 等边三角形 一CQ,即可得④正确;②根据 PCQ一60{*,可 等边三角形(又称正三边形)为三边相等的 得△PCQ为等边三角形,证出 POC= 三角形,其三个内角相等,均为60{},它是锐角三 DCE-60{*},得出PQ/AE,②正确.③没有条 角形的一种,等边三角形也是最稳定的结构,等 件证出OP=OQ,得出③错误; AOB= 边三角形是特殊的等腰三角形,所以等边三角 DAE 十 AEO=DAE 十 ADC= 形拥有等腰三角形的一切性质:等边三角形是 DCE一60^{③},正确;即可得出结论 锐角三角形,等边三角形的内角都相等,且均为 例6(天津中考)如图,在边长为4的等 60{};等边三角形每条边上的中线、高线和角平 边△ABC中,D、E分别为AB、BC的中点; 分线互相重合(三线合一):等边三角形是轴对 EF IAC于点F,G为EF的中点,连接DG. 称图形,它有三条对称轴,对称轴是每条边上的 则DG的长为 中线、高线或角的平分线所在的直线;等边三 角形的重心、内心、外心、垂心重合于一点,称为 等边三角形的中心(四心合一);等边三角形内任 意一点到三边的距离之和为定值(等于其高) 等边三角形的判定:三边相等的三角形是 解析:如图,连接DE,因为在边长为4的等 等边三角形(定义);三个内角都相等的三角形 边△ABC中,D、E分别为AB、BC的中点,所以 是等边三角形;有一个内角是60度的等腰三角 DE是△ABC的中位线,所以DE-2,且DE/ 形是等边三角形;两个内角为60度的三角形 AC,BD=BE=EC=2,因为EF ]AC于点F 是等边三角形 C=60*},所以 FEC=30*,DEF- EFC 例5 (深圳模拟)如图,C为线段AE上 90”,所以FC= 一动点(不与点A,E重合),在AE同侧分别作 ③ 因为G为EF的中点,所以EG 等边△ABC和等边△CDE,AD与BE交于点 ,所以 G O.AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q 19 连接PQ.以下五个结论 2 ①AD=BE:②PQ/AE;③OP=O$ ④△CPQ为等边三角形; AOB=60{*}其中 正确的有 .(注:把你认为正确的答案 序号都写上) 2 初中学业水平考试总复习·数学 素养整合 例7(宜宾中考)如图,△ABC和△ADE 解析:①正确,证明△BAD△DAE 都是等腰直角三角形, BAC= DAE-90^{* (SAS),可得结论;②正确,证明A、D、C、E四 点D是BC边上的动点(不与点B、C重合), 点共圆,利用圆周角定理证明:③正确,设CD DE与AC交于点F,连接CE.下列结论; 2~ =m,则BD=CE=2m.DE=5m,OA$ ①BD=CE:② DAC= CED;③若BD CF4 m,过点C作CI DF于点I,求出AO、CI: 2CD,则 AF;④在△ABC内存在唯一一点 可得结论;④错误,将△BPC绕点B顺时针旋 P,使得PA+PB+PC的值最小,若点D在 转60*得到△BNM,连接PN,当点A、P、N、 AP的延长线上,且AP的长为2,则CE=2+ M四点共线时,PA十PB十PC值最小,此时 ③.其中正确结论的选项是( $ APB= $APC- BPC=1 2 0*$$PB=$P$C$ AD BC,设PD=1,则BD=AD= 3t,构建 方程求出1..2十1=31,..=3+1.*CE 一BD一、③t一3十、③,故④错误,故本题正确答 A.①②④ B.①②③ 案是B. C.①③④ D.①②③④ 达标演练 一、选择题 1.(宿迁中考)若等腰三角形的两边长分别是 3cm和5cm,则这个等腰三角形的周长是 ( ) ## A.8cm A.25 B. 13 cm B.22 C.19 D.18 C.8cm或13cm D. 11cm或13cm 3.(宜宾中考)如图,△ABC和△ECD都是等 边三角形,且点B、C、D在一条直线上.连接 2.(宜昌中考)如图,在八ABC中,分别以点月 BE、AD,点M、N分别是线段BE、AD上的 两点,且 BM- BE,AN- 3AD,则 辄相交于点M、N.作直线MN,交AC于点 △CMN的形状是( _ D.交BC于点E,连接BD.若AB-7,AC 12.BC-6,则△ABD的周长为 ) 88 第二篇 图形几何 6.则入EBC的面积是 A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.不等边三角形 4.如图,Rt△ABC中. ABC=90{*},BC=8 8.(教材改编)如图,在四边形ABCD中, AB=6,AD是 BAC的平分线,CD1AD $ $B$AD$=$ $$B$CD$-9 0$*,AB$=$AD.B$C-6 $$$ ) 则△BDC的面积为( DC一8,则线段AC的长为 7 1 A.6 B.8 9.如图,已知△ABC中,高AD恰好平分边 D.24 C.12 BC, B=30{},点P是BA延长线上一点; 点O是线段AD上一点且OP=OC,下面的 5.如图,在△ABC中,ACB=90*$AC=B$C. M为BC的中点:CE AM于点E,其延长 结论:①APO+DCO-30;②△OPC 是等边三角形;③AC-AO+AP;④SAnc 线交AB于点D,连接DM.下列结论; 一S边形Aocp.其中正确的为 ① AMC= DMB,②DC+DM=AM.$ .(填序 号) ③ ADC= BDM,④CE=BD. AMD$$$ -2/DCM.其中正确的个数有 )个. 10.如图,在△ABC中,ACB=2a,CD平分 ACB, CAD=30{*-. BAD=30*,则$$$ BDC- B.4 A.5 .(用含a的式子表示) C.3 D.2 二、填空题 6.(自贡中考)等腰三角形顶角的度数比一个底 角度数的2倍多20{},则这个底角的度数是 三、解答题 7.(湖州中考)如图,已知在锐角△ABC中,AB 11.(温州中考)如下页图,BD是△ABC的角 一AC,AD是△ABC的角平分线,E是AD 平分线,DE/BC,交AB于点E. 上一点,连接EB、EC.若 EBC=45*,BC (1)求证: EBD一 EDB 189 初中学业水平考试总复习·数学 (2)当AB=AC时,请判断CD与ED的大 13.(襄阳中考)在△ABC中,BAC=90{*,AB 小关系,并说明理由 =AC,点D在边BC上,DE DA且DE =DA,AE交边BC干点F,连接CE (1)特例发现:如图1:当AD一AF时, ①求证:BD一CF; ②推断:乙ACE-__。; (2)探究证明:如图2,当AD去AF时,请探 究 ACE的度数是否为定值,并说明理由; 图ì 图2 12.如图,在等边三角形ABC中,AE三CD. AD、BE交于P点,BQ1AD于Q (1)求证:BP-2PQ 90 1 第二篇 图形几何 14.如图,在等边△ABC中,D为BC上一点 15.在平面直角坐标系中,点A在x轴的负半 DE/AB,且 DE-BD. 轴上,点B在y轴的正半轴上,点A与点C (1)如图1,若点E在AC边上,求证:AE 关于y轴对称 CE; (1)如图1,OA=OB,AF平分 BAC交 (2)如图2,若点E在△ABC内,连接CE. BC于F,BE|AF交AC于E,请直接写出 F为CE的中点,连接AF、DF,求证:AF EF与EC的数量关系: 1DF; (2)如图2,AF平分 BAC交BC于F,若 (3)如图3,点N为AB边上一点,连接 AF一2OB,求ABC的度数; BE,AN=BE.当CN+CE的值最小时, (3)如图3,OA=OB,点G在BO的垂直平 直接写出NCE的大小 分线上,作 GOH一45*交BA的延长线于 ##A## H,连接GH,试探究OG与GH的数量和 位置关系. 图2 图3 图1 图2 图3△CBP是直角三角形，BE=PC EP: ②，∠ABC=∠DFE=30°，∴.BC∥EF, 16.解：(1)EF=DF,证明：：△ABC是由①知：∠CBP=90,∴.BP⊥EF,EB= 等边三角形，∴∠BAC=∠BCA=60°，：AD、:EP∴EF是线段BP的垂直平分线，∴PF= CE分别平分∠BAC、∠ACB,·∠FAC=: BF,∴.∠PFE=∠BFE=30°： 1 (2)如图，延长DE到Q,使EQ=DE,连 BAC,∠FCA=2BCA,·∠FAC= !接CD、PQ、FQ,,EC=EP,∠DEC= ∠FCA,.FA=FC,.△EAC≌△DCA∠QEP,.△QEP≌△DEC(SAS),则PQ= (ASA),EC=DA.FA=FC,∴.EF=DC=DB,,QE=DE,∠DEF=90°，.EF DF: 是DQ的垂直平分线，∴QF=DF,CD= (2)EF=DF仍成立，理由如下：如图，在：AD,.∠CDA=∠A=60°，.∠CDB=120°， CA上截取CG=CD,∴.△CDF≌△CGF:∴.∠FDB=120°-∠FDC=120°-(60°+ (SAS). ∠EDC)=60°-∠EDC=60°-∠EQP= ∠FQP,.△FQP≌△FDB(SAS),∴.∠QFP =∠BFD,:EF是DQ的垂直平分线， :∠QFE=∠EFD=30°..∠QFP+∠EFP= 30°，∴.∠BFD+∠EFP=30 ∴，DF=GF,∠DFC=∠GFC,,∠DFC =∠FAC+∠FCA=2∠BAC+2∠BCA= 60°，.∠GFC=60°，∠AFE=60°，∴.∠AFC: =180°-（∠FAC+∠FCA)=180° (分∠BAC+号∠BCA)=180°-60=120， 4.3等腰三角形 1.D解析：当3cm是腰长时，3、3、5能 ∴.∠AFG=120°-60°=60°，.∠AFE= 组成三角形，当5cm是腰长时，5、5、3能够组 ∠AFG,∴.△AEF≌△AGF(ASA),∴EF=:成三角形.则三角形的周长为11cm或13cm. GF...EF=DF. 2.C解析：由题意可得，MN垂直平分 17.证明：(1)①：∠ACB=90°，∠ABC=BC,.DB=DC,:△ABD的周长是AB十 30°，∴.∠A=90°-30°=60°，同理∠EDF=BD+AD,.AB+BD+AD=AB+DC+ 60°，.∠A=∠EDF=60°，.AC∥DE,.AD=AB+AC,AB=7,AC=12..AB+ ∠DMB=∠ACB=90°，：D是R1△ABC斜；AC=19,∴.△ABD的周长是19. 边AB的中点，ACDM÷肥，即 3.C解析：由△ABC和△ECD都是等 边三角形，可得△BCE≌△ACD(SAS), M是BC的中点，EP=CE,即E是PC的 中点.∴ED∥BP,·∠CBP=∠DMB=9O,∠MBC=∠NAC,BE=AD,BM=3BE, -216 AN=号AD.BM=AN,△MBC≌- 2 CGXBH,CE=BH,在Rt△BDH中 △NAC(SAS),∴.MC=NC,∠BCM=:BD>BH,.BD>CE,故④错误，∠AMD ∠ACV,,∠BCM+∠MCA=60°，.∠NCA:+∠BMD+∠AMC=180°，∠DCM+ +∠MCA=60°，∴.∠MCN=60°，∴.△MCN∠AMC=90°，∠AMC=∠BMD,∴.∠AMD 是等边三角形 =2∠DCM,故⑤正确. 4.B解析：如图，延长CD、AB相交于点 E,:AD是∠BAC的平分线，.∠EAD= ∠CAD,CD⊥AD,.∠ADC=∠ADE= 90°，：AD=AD,.△ADE≌△ADC,AE =AC,DE=DC,,∠ABC=90°，BC=8,AB -6,..AC=AB2+BC=10,..AE=AC= 6.40°解析：设底角的度数是x°，则顶角 10,.BE=AE一AB=4,.△BEC的面积= 的度数为(2r+20)°，根据题意得x十x十2x十 2BC·BE=号×8×4=16，△BDC的西20-180，解得x-40 7.9解析：，AB=AC,AD是△ABC的 积为8. 角平分线BD=CD=2BC=3,ADLBC. 在Rt△EBD中，∠EBC=45°，∴.ED=BD= 8Sam=BC,ED=号×6X3=9. D 8.72解析：BC+DC=√2AC. 9.①②③④解析：①如图1，连接OB, 5.B解析：作BG⊥CB,交CD的延长线： 于点G,过点B作BH⊥CG于H,知图所示， 根据垂直平分线性质即可求得OB=OC :∠CBG=90,CE⊥AM,∠CAM+:OP,即可解题：②根据周角等于360°和三角形 ∠AMC=∠BCG+∠AMC=90,:∠CAM:内角和为180即可求得∠POC=2∠ABD =∠BCG.△ACM2△CBG(ASA),AM60,即可解题：图知图2，在AC上载取AE PA,连接PE,易证△OPA≌△CPE,可得 =CG,CM=BG,∠CMA=∠CGB,,CM= :AO=CE,即可解题：④如图3，作CH⊥BP, BM,.BG=BM,∠ABC=45°，∴.∠MBD 可证△CDO≌△CHP和Rt△ABD≌Rt =∠GBD=号∠CBG.∴△BDG≌△BDM△ACH,根据金等三角形面积相等即可解题. (SAS),∴.∠DGB=∠DMB,∠BDG= ∠BDM,DM=DG,.∠AMC=∠DMB, ∠ADC=∠BDG=∠BDM.AM=CG=CD: +DG=CD+DM,故①②③正确，，△ACM 图1 2 1 ≌△CBG∴S△Aw=Sacm2 XAMXCE 217 :=AE,.CD=BE,由(1)得，∠EBD= ∠EDB,.BE=DE,.CD=ED 12.解：(1)在等边△ABC中，AB=AC, B ∠BAE=∠ACD=60°，∴.△BAE≌△ACD ☒3 :(SAS),.∠ABE=∠CAD,.∠BPQ= 10.120°+a解析：如图，延长CB到点 ∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP= E,使CE=CA,连接DE、EA,,CD平分 ∠BAC=60,:BQ⊥AD于Q,∠PBQ= ∠ACB,∠ACB=2a,∴.∠ACD=∠BCD= 30°，∴.BP=2PQ: 1 ∠ACB=a.·△ADC≌△EDC(SAS).. (2),∠ABE=∠CAD,.∠ABC- AD=ED,∠ADC=∠EDC.'∠CAD=30∠ABE=∠BAC-∠CAD,即∠PBC -a,∠ACD=a,∠ADC=180°-(30°-a)∠BAQ△BAQ≌△CBP(AAS),AQ 150°，.∠EDC=∠ADC=150,&BP=2PQ.∴AP=PQ,即 ∠EDA=360°-150°-150°=60°，ED= 13.解：(1)①AB=AC,∴.∠B= AD,△EDA为等边三角形，∠EAD=:∠ACF,:AD=AF,·∠ADF=∠AFD ∠AED=60.:∠BAD=30,∠EAB=60°∠ADB=∠AFC,·△ABD≌△ACF -30°=30°，AB是∠EAD的平分线.AD(AAS),BD=CF. =AE,∴.AB是ED的垂直平分线，BD= ②结论：∠ACE=90°.理由：如图1中， BE,·∠BED=∠BDE.'∠ACB=2a·DA=DE,∠ADE=90°，AB=AC,∠BAC ∠EAC=∠EAD+∠DAC=60°+30°-Q=90°，.∠ACD=∠AED=45,∴.A、D、E,C 90°-a,∠AEC=180°-2a-(90°-a)=90°四点共圆，∠ADE+∠ACE=180°， -a,∠BED=∠AEC-∠AED=90°-&-∠ACE=90. 60°=30°-a,∴.∠BED=∠BDE=30°-a,. (2)结论：∠ACE=90°.理由：：DA= ∠DBC=∠BDE+∠BED=(30°-a)X2=DE,∠ADE=90°，AB=AC,∠BAC=90°， 60°-2a,∠BDC=180°-∠DBC-∠DCB:∠ACD=∠AED=45,∴.A、D、E.C四点共 =180°-(60°-2a)-a=120°+a. 圆，.∠ADE+∠ACE=180°，∴.∠ACE= !90°. 14.解：(1)，△BAC是等边三角形， ∠ABC=∠ACB=60°，BC=AC,:DE∥ :AB,.∠EDC=∠ABC=60°，.△EDC是等 边三角形，∴.DE=CE=CD,BD=DE, 11.解：(1)：BD是△ABC的角平分线，：BD=CD,.点D是BC的中点，∴点E是 ∴.∠CBD=∠EBD,:DE∥BC,∴∠CBD=AC的中点，∴.AE=EC. ∠EDB,.∠EBD=∠EDB. (2)如图2，延长DF至点G,使得DF= (2)CD=ED,理由如下：：AB=AC,∴.FG,连接CG、AD、AG,则∠EFD=∠CFG, ∠C=∠ABC,:DE∥BC,∠ADE=∠C,::点F是EC的中点，∴EF=CF,∴△EFD ∠AED=∠ABC,∴.∠ADE=∠AED,.AD!≌△CFG(SAS),∴.CG=DE=BD,∠EDF= -218 ∠CGF,∴.DE∥CG,,AB∥DE,∴.DE∥CG,:,FQ∥BP,.∠BPF=∠PFQ,PF=FP, .∠DCG=180°-∠ABC=180°-60°=120°，∴.△BPF≌△QFP(AAS),∴.FQ=BP, ∠ACB=60°，∠ACG=∠ABD=60°，：：AF=FQ,∴.∠FAQ=∠FQA=∠BPA, AB=AC,∴.△ABD≌△ACG(SAS),∴.AD∠BFA=∠FBP,设∠FAC=x,则∠BAC =AG,:DF=GF,AF⊥DF ∠ACB=2x,.∠PBA=∠FBP=3x, (3)30°解析：如图3，构造等腰直角三角：∠OBC+∠OCB=90°，.3.x+2x=90°，.x 形CAM,连接MN,易证△MAN≌△CBE,;=18,∴.∠ABC=2∠BOC=6.x=108°： CE+CN=MN+CN,最小值即CM 图2 3 15.(1)解：(1)EF=EC解析：如图1，设 图2 AF交BE于点J.,AF平分∠BAC,. (3)结论：OG=GH,OG⊥GH. 如图3，过，点H作HM⊥OH交OG的延 ∠BAF=∠CAF,,BE⊥AF,.∠BAF+ ∠ABE=90°，∠CAF+∠AEB=90°，. :长线于点M,过点H作VH⊥HA交x轴于 :点N,连接MN交DG于点I.∠GOH= ∠ABE=∠AEB,AB=AE,A、C关于y 45°，∠NAH=∠BAO=45°，.△OMH、 轴对称，.OA=OC,OA=OB,∴OA=OB! △NHA都是等腰直角三角形，，NH=AH, =OC,∴.∠OAB=∠OBA=45°，∠OCB= :MH=OH,:∠NHM+∠MHA=90 ∠OBC=45°，.∠ABC=90°，∴.△ABF≌ ;∠MHA+∠OHA=90°，∴.∠MHN= △AEF(SAS),.∠AEF=∠ABF=90°，∴. ∠OHA,.△MHN≌△OHA(SAS),∴.MN ∠CEF=90°，.∠ECF=∠EFC=45°，∴.EF =OA=OB,∠MNH=∠OAH=135°，∴. =EC: ∠MVNO=90°，.NI=OD,:DG是OB的垂 直平分线，∴.OB=2OD,.MN=OB=2N1, .NI=IM=OD,.△GIM≌△HDO (AAS)..MG=OG,∴.GH=GO,GH⊥GO. 图1 对称点P,连接AP、FP,作FQ∥BP交AP的 延长线于点Q.则∠BAC=∠PAC,BP= 图3 2OB,:AF=2OB,.BP=AF,A、C关于 4.4相似三角形 y轴对称，∴.∠ACB=∠BAC=∠PAC,∴.BC ∥AP,∴.∠BFA=∠FAP,∠FBP=∠BPA, 1A部折：DE/AB,是-品 -219