3.4 反比例函数-2024年初中学业水平考试数学总复习

初中学业水平考试总复习·数学》 3.4反比例函数 学业要求 (1)结合具体情境用实例体会反比例函数 道当>0和k<0时反比例函数y=(k≠0) 的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表 达式 图象的整体特征. (2)会用描点法画出反比例函数的图象：知 (3)能用反比例函数解决简单的实际问题. 考点示例 C.y<y: D.y>y 考点1反比例函数的概念图象与性质 形如y=(k≠0)的函数，叫做反比例函 解折：反比制离教y=中，6>0，接双由 线经过第一、三象限，且在每一象限内y随x 数.反比例函数的图象是双曲线，由于0不能作 的增大而减小，点A(x1,y1),B(x2,y2)在反 除数，反比例函数的图象在x=0的位置断开， 比例函数y=6的图象上，且x1<0<,所以 形成两个分支.k>0时，图象在第一、三象限， 这与点的横纵坐标的积大于0，其符号相同是 点A位于第三象限，点B位于第一象限，故y 统一的.k>0时，图象在第二、四象限，这与点 <y2.故选C 的横纵坐标的积小于0，其符号相反是统一 例2（江西中考）如图，点A(m,4)在反 的. 比例函数y=(x>O)的图象上，点B在y轴 k>0时，每个象限中，y随x的增大而减 上，OB=2,将线段AB向右下方平移，得到线 小：k<0时，每个象限中，y随x的增大而增 段CD,此时点C落在反比例函数的图象上，点 大，这里要注意强调每个象限，是因为反比例函 D落在x轴正半轴上，且OD=1. 数的图象是在每个象限内是连续的 双曲线无限接近坐标轴，与坐标轴没有交 点 例1（武汉中考）已知点A(x1,y1),B (xy,)在反比例函数y=5的图象上，且x (1)点B的坐标为 ,点D的坐标 <0<x:,则下列结论中一定正确的是( 为 ,点C的坐标为 (用含m A.y1+y2<0 B.y1十y2>0 的式子表示)： 66 收第一篇数与代数 (2)求k的值和直线AC的表达式. 3 ∴.SAOAD=SAABE=2' 解析：(1)由题意得B(0,2),D(1.0),由平 移可知，线段AB向下平移2个单位，再向右平 k=3,故答案为3. 移1个单位，点A(m,4),C(m十1,2)，故答案 为(0,2)，(1,0)，(m+1,2). (2)点A和点C在反比例画数y=的图 象上，k=4m=2(m十1)， 解得m=1,k=4.所以A(1,4),C(2,2). 变式：如图，在平面直角坐标系中，直线y 设直线AC的表达式为y=n:x十b, n十b=4. n=-2. =k1x十6与双曲线y=无相交于A、B两点 解得 所以直线AC的 2n+b=2, b=6. 直线y=k1x+b与坐标轴相交于C、D两点， 表达式为：y=-2x十6. 求证：AC=BD. 考点2k的几何意义 解析：如图，分别过点A、B作坐标轴的垂 线，垂足为M、N、P,Q,由于A、B在同一个双 由于双曲线上的点的横纵坐标的积为k, 曲线上，由k的几何意义，矩形AQON和矩形 而平面中点的坐标的绝对值是点到坐标轴的距 BPOM的面积相等，所以△AMN和△BMN 离，因此，过双曲线上的点向坐标轴作垂线，两 的面积相等，从而AB∥MN,所以四边形AC 条垂线与坐标轴围成的矩形的面积等于k.k MN和四边形BMND都是平行四边形，所以 的几何意义是研究数学问题的重要工具： AC=MN=BD. 例3（乐山中考）如图，□ABCD的顶点 A在x轴上，点D在y-h>0)上且ADL x轴，CA的延长线交y轴于点E.若S△ABE ,则k= 3 D P D 考点3反比例函数的应用 反比例函数是现实世界的重要的数学模 型.我们可以根据实际问题的数量关系，建立反 解析：如图，设BC与x轴交于点F,连接 比例函数模型，然后利用模型可以将实际问题 DF,OD,,四边形ABCD为平行四边形， 转化为数学问题.比如：已知函数值求自变量的 ∴.AD∥BC,∴.S△oBF=S△EBe,S△ADF 值，已知自变量的值求函数值，已知函数值的取 值范围求自变量的取值范围，反过来，已知函数 S△ABc· 67 一鱼初中学业水平考试总复习·数学》 值的取值范围求自变量的取值范围.这些问题， 可以用求代数式的值、解方程或解不等式（组） 等数学工具完成 例4（台州中考）如图，根据小孔成像的 科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡 蜡如 烛火焰高度)不变时，火焰的像高y(单位：cm) 解析：(1)由题意设y=,所以k=6X2= 是物距（小孔到蜡烛的距离）x(单位：cm)的反 比例函数，当x=6时，y=2. 12所以解新式为y=1品 (1)求y关于x的函数解析式 (2)把y=3代入y= 2得r=4,“小孔到 (2)若火焰的像高为3cm,求小孔到蜡烛 的距离。 蜡烛的距离为4cm. 素养整合 例5（重庆中考）已知一次函数y=kx十 =4的图象上，得4m=一2m=4,解得m=1,m b(k≠0)的图象与反比例函数y=4的图象相 =-2,所以A(1,4),B(-2,-2),把(1,4)， 交于点A(1,m),B(n,一2). (一2，-2)代入y=kx十b中得 k+b=4, k=2, 解得 .一次函数的解 -2k+b=-2, b=2, 析式为y=2x十2.画出函数y=2x十2图象如 2 图： +10 (1)求一次函数的表达式，并在图中画出这 个一次函数的图象： (2)根据函数图象，直接写出不等式kx十b >的解集： (2)由图象可得当0<x<1或x<一2时， (3)若点C是点B关于y轴的对称点，连 直线y=一2x十6在反比例函教y=生图象下 接AC,BC,求△ABC的面积. 解析：(1)(m,4),(一2，n)在反比例函数y 68 收第一篇数与代数 方，所以kx十b<4的解集为x<-2或0<x 解得x=一1，故点C坐标为（一1,0），所以 <1. 2×1X4=2. (3)把y=0代入y=2x十2，得0=2.x十2， 达标演练 一、选择题 人数最多的是( 1.(云南中考)反比例函数y=5的图象分别位 于() A.第一，三象限 B.第一、四象限 C.第二、三象限 D.第二、四象限 0 2.(丽水中考)已知电灯电路两端的电压U为 A.甲 B.乙 220V,通过灯泡的电流强度I(A)的最大限 C.丙 D.丁 度不得超过0.11A.设选用灯泡的电阻为R 5.(邵阳中考)如图是反比例函数y=二的图 (),下列说法中正确的是() A.R至少20002 象，点A(x,y)是反比例函数图象上任意一 B.R至多20002 点，过点A作AB⊥x轴于点B,连接OA,则 C.R至少24.2n △AOB的面积是( D.R至多24.22 3.(滨州中考)在同一平面直角坐标系中，函数 xy】 y=虹十1与y=一华k为常数且及≠0)的 图象大致是( 帝杂 1 A.1 B. 2 C.2 0.2 4.(扬州中考)某市举行中学生党史知识竞赛， 6.(天津中考)若点A(x1,2),B(x,一1)， 如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学 校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校 C(x,4)都在反比例函数y=8的图象上， 参加竞赛人数的比值)y与该校参加竞赛人 则x1,x2x3的大小关系是() 数x的情况，其中描述乙、丁两所学校情况 A.I<r:< B.:<3< 的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则 C.I<3<2 D.x2<x1<x3 这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀 7.(娄底中考)在平面直角坐标系中，O为坐标 69 一鱼初中学业水平考试总复习·数学》 原点，已知点P(m,1)、Q(1,m)(m>0且m △OAB为等腰三角形，且腰长为5，则AB ≠1)，过点P、Q的直线与两坐标轴相交于 的长为 A、B两点，连接OP、OQ,则下列结论中成立 的有() ①点P,Q在反比例函数y=”"的图象上： ②△AOB为等腰直角三角形： ③0°<∠POQ<90°： 12.(随州中考)如图，在平面直角坐标系中，直 ④∠POQ的值随m的增大而增大 线y=x+1与x轴、y轴分别交于点A、B, A.②③① B.①③① C.①②④ D.①②③ 与反比例函数y=的图象在第一象限交 8.(怀化中考)如图，直线AB交x轴于点C,交 于点C,若AB=BC,则k的值为 反比例函数y=“二(u>1)的图象于A,B 两点，过点B作BD⊥y轴，垂足为D,若 S△mp=5,则a的值为( 13.(湖州中考)如图，已知在平面直角坐标系 xOy中，点A在x轴的负半轴上，点B在y 轴的负半轴上，tan∠ABO=3,以AB为边 向上作正方形ABCD.若图象经过点C的 A.8 B.9 反比例函数的解析式是y一二，则图象经过 C.10 D.11 点D的反比例函数的解析式是 二、填空题 9.(成都中考)在平面直角坐标系xOy中，若反 比例函数y=二的图象位于第二，四象限， 则k的取值范围是 10.(陕西中考)已知点A(一2，m)在一个反比 14.(广元中考)如图，已知在平面直角坐标系 例函数的图象上，点A'与点A关于y轴对 中，点A在x轴负半轴上，点B在第二象限 称.若点A在正比例函数y=2x的图象 内，反比例函数y=的图象经过△OAB 上，则这个反比例函数的表达式为 的顶点B和边AB的中点C,如果△OAB 1山.（江西中考）已知点A在反比例函数y= 的面积为6，那么k的值是 x (x>0)的图象上，点B在x轴正半轴上，若 70 化第一篇数与代数 16.(杭州中考)设函数y1=,函数y=k江 十b(k1、k:、b是常数，k1≠0，k≠0). (1)若函数y1和函数y2的图象交于点A (1,m),点B(3,1), 三、解答题 ①求函数y1y2的表达式； 15.(孝感中考)如图，已知一次函数y1=kx十b ②当2<x<3时，比较y1与y2的大小（直 的图象与函数y,=m(x>0)的图象交于A 接写出结果)： (2)若点C(2,n)在函数y1的图象上，点C (6,-之，B(分m)两点，与y轴交于点C. 先向下平移2个单位，再向左平移4个单 位，得点D,点D恰好落在函数y1的图象 将直线AB沿y轴向上平移t个单位长度 上，求n的值. 得到直线DE,DE与y轴交于点F. (1)求y1与y2的解析式： (2)观察图象，直接写出y1<y:时x的取 值范围； (3)连接AD、CD,若△ACD的面积为6，则 1的值为 71(3)当m= 时，令的最大值为织 5 !根据三角形面积公式列方程求解 9.k<2 22.解：(1)y,=2x”-6.x+4.对称轴为直 10.y=-2 线x=2: x 11.5或2√5或√10解析：因为等腰三角 (2)把b十（的值看作是h的二次函数，b:形的腰不确定，所以分三种情况分别计算. 十c=2(h一1)2-4.当h=1时，b十c的最小： 12.2解析：过点C作CH⊥x轴于，点 值是一4： :H.求出点C的坐标. (3)由题意得，y=y1一y:=2(,x一m)(x: 一m-2)-(x-m)=(x一m)[2(x-m)- 13.y=-3 解析：如图，过点C作CT 5].函数y的图象经过点(x。,0),(x。一m)[2;⊥y轴于点T,过点D作DH⊥CT交CT的 (x。一m)-5]=0.x。-m=0,或2(.x。-m)- 延长线于点H,由an∠AB0- OB =3.可以 5 5=0.即x。-m=0或x。一m= 2 假设OB=a,OA=3a,利用全等三角形的性 23,解：(1)y=-x2+2x+3: ;质分别求出C(a,2a),D(-2a,3a),可得结 (2)P(2,3): 论. 3+ (3)直线PF的解析式为y= 3,点 M的坐标为0，号)： 24.解：(1)y=x2-2.x-3 (2)周长的最小值为√26 (③)点N的坐标为(？，)或1+， 14.一4解析：如图，过B作BD⊥OA于 D,设B(一m,n),根据三角形的面积公式得到 -2+√2I)或(6+√21,3+2I) :OA= 3.4反比例函数 吕表释A(是o0:极据点C是AB 1.A2.A3.A 的中点，可得C( 4.C解析：点丙在反比例画数图象上面，得。 ”m,》到方即可 所以丙校的xy的值最大，即优秀人数最多， 5.B解析：由反比例函数的几何意义可 知，k=1. 6.B 7.D解析：根据反比例函数图象上点的 坐标特征即可判断①：根据P,Q点的坐标特 D 征即可判断②③：求得直线OP、OQ的解析： 式，根据正比例函数的系数即可判断。 15.解：1)y1=工-13 y3 8D解析：设点B的坐标为(m,a二) (2)2<x<6时y1< 211 (3)2. :∠ACB即可得出答案. 3 7.2<d<8解析：，平面内，将长分别为 16.解：1Dy=元y=-x+4: :1,5,1,1,d的线段，顺次首尾相接组成凸五边 (2)当2<x<3时，y1<y:: 形，.1+d+1+1>5且1+5+1+1>d,.d (3)n的值为1. 的取值范围为：2<d<8 第二篇图形几何 8.48解析：，五边形ABCDE是正五边 第4章三角形 形，÷∠EAB=5-2)X180=108,:∠EAB 4.1几何初步 5 1.A解析：该几何体的三视图中完全相：是△AEO的外角，.∠AEO=∠EAB一 同的是主视图和左视图，均为半圆：俯视图是∠MON=108°一60°=48 一个整圆.故选A 9.解：11解析：设这个多边形的边数为 2.B解析：这样做应用的数学知识是两 n,根据题意可得。×(n一2)X180°=360°，解 点确定一条直线，故选B. 3.C解析：：AB∥CD,.∠EFG+得n=11. ∠BEF=180°.∠EFG=64°，∴.∠BEF= 10.解：30°解析：由AB∥EF可得∠B十 180°-64°=116°.EG平分∠BEF,:∠1=180°，而∠B=75°，则∠1=105°：由对顶 ∠BEG=2∠BEF=58.AB∥CD,∴ 角相等可得∠1=∠2=105°：由三角形的一个 外角等于与它不相邻的两个内角之和，得∠2 ∠EGD+∠BEG=180°，∴.∠EGD=180°- +∠C=135°，进而求出∠C=30°. 58°=122°.故选C. 75 4.C解析：：BD是△ABC的角平分 线，AE⊥BD,∴∠ABD=∠EBD-号∠ABC 2,∠AFB=∠EEB=90,:∠E ∠BEF=90°-17.5°，AB=BE,AF=EF, 11.(1)解：AD∥BC, AD=ED,∠DAF=∠DEF,:∠BAC=180° ∴.∠B+∠BAD=180. -∠ABC-∠C=95°，.∠BED=∠BAD= ∠B=80° 95°，∠CDE=95°-50°=45°，故选C. ∴.∠BAD=100. 5.三棱柱解析：从三视图的俯视图看是 (2)证明：AE平分∠BAD,∴∠DAE 一个三角形，而主视图是一个矩形，左视图为：=50°， 矩形，可知这是一个三棱柱 ,AD∥BC,.∠AEB=∠DAE=50° 6.75°解析：设矩形纸片左上角的顶，点 ,∠BCD=50°，∴.∠BCD=∠AEB. 为D,首先根据平行线的性质可得∠ABD十： ∴.AEDC. ∠CAB=180°，∠DBC=∠ACB,由∠CAB: 另解：运用三角形内角和也可以得证. =30°，求得∠ABD度数，再根据折叠可得 12,证明：∠H=∠AEH-∠B=专 ∠DBC=号∠ABD=75,再由∠DBC=180-∠BAC)-∠B —212