3.2 一次函数-2024年初中学业水平考试数学总复习

收第一篇数与代数 3.2一次函数 学业要求 1.能根据简单实际问题中的已知条件确定 3.认识正比例函数中两个变量之间的对应 一次函数的表达式：会在不同问题情境中运用 规律，会结合实例说明正比例函数的意义及变 待定系数法确定一次函数的表达式。 量之间的对应规律。 2.会画出一次函数的图象：会根据一次函 4.会根据一次函数的图象解释一次函数与 数的表达式求其图象与坐标轴的交点坐标：会 二元一次方程的关系：能在实际问题中列出一 根据一次函数的图象和表达式y=k.x十b(k≠ 次函数的表达式，并结合一次函数的图象与表 0),探索并理解k值的变化对函数图象的影响. 达式的性质等解决简单的实际问题 考点示例 在B和D中可以判断a<0,y=a.x十a2交y 考点1 一次函数的概念、图象与性质 轴的正半轴，y=a2x十a交y轴的负半轴.故 形如y=kx十b(k≠0)的函数，叫做一次 选D. 函数，当b=0时，称为正比例函数.一次函数的 例2（德阳中考）如图，已知点A(一2， 图象是一条直线，直线的分布范围跟k,b有 3),B(2,1),直线y=kx十k经过点P(一1， 关，正比例函数的图象是经过原点和(1，k)的 0).试探究：直线与线段AB有交点时k的变化 直线，k>0是图象经过第一、三象限，k<0时， 情况，猜想k的取值范围是 图象经过第二、四象限，k是直线与x轴的夹 角的正切值，直线与y轴的交点为(0，b).函数 的增减性与k相关，k>0,y随x的增大而增 大，k<0,y随x的增大而减小. 例1（安徽中考）在同一平面直角坐标系 中，一次函数y=a.x十a2与y=a2x十a的图 解析：当k<0,直线y=kx十k经过点P 象可能是( (一1,0)，A(一2,3)时，一2k十k=3,解得k= 本长氧 一3：当k>0,直线y=kx十k经过点P(一1， 0),B(2,1)时，2k+k=1,解得k= 3所以，直 线与线段AB有交点时，k的取值范围是k≤ 解析：当x=1时，两函数的值都是a2十a, 所以两直线的交点的横坐标为1.排除A和C -3或长>号 47 初中学业水平考试总复习·数学》 例4（苏州中考）某水果店经销甲、乙两种水 考点2一次函数与一次方程不等式的关系 果，两次购进水果的情况如表所示： 一次函数的解析式可以视为二元一次方 进货 甲种水果质量 乙种水果质量 总费用 程，一次函数的图象是一条直线，二元一次方程 批次 (单位：千克) (单位：千克) (单位：元) 就是直线方程.一次函数有两个待定系数k,b, 第一次 60 40 1520 已知两个点的坐标，代入解析式中，可以确定待 第二次 30 50 1360 定系数，求出一次函数的解析式，这与两点确定 (1)求甲、乙两种水果的进价： 一条直线是统一的.二元一次方程组的解与两 (2)销售完前两次购进的水果后，该水果店 条直线的交点是统一的. 决定回馈顾客，开展促销活动.第三次购进甲、 一次不等式可以视为已知函数值的取值范 乙两种水果共200千克，且投人的资金不超过 围，求自变量的取值范围，可以借助一次函数的 3360元.将其中的m千克甲种水果和3m千 图象，直观确定解集 克乙种水果按进价销售，剩余的甲种水果以每 例3（陕西中考）在同一平面直角坐标系 千克17元、乙种水果以每千克30元的价格销 中，直线y=一x十4与y=2x十m相交于点P 售.若第三次购进的200千克水果全部售出后， x十y-4=0, (3,n),则关于x,y的方程组 的 获得的最大利润不低于800元，求正整数m的 2.x-y十m=0 最大值。 解为() 解析：(1)设甲种水果的进价为每千克a x=一1 x=1, A. B. 元，乙种水果的进价为每千克b元.由题意，得 ly=5 y=3 60a+40b=1520,1a=12, x=3, x=9, 解得 C. D. 30a+50b=1360, b=20. y=1 y=-5 (2)设第三次购进x千克甲种水果，则购 解析：将点P(3,n)代入y=一x十4，得 进(200一x)千克乙种水果.由题意，得12.x+ n=一3十4=1.所以P(3,1),故选C. 20(200一x)≤3360，解得x≥80.设获得的利润 考点3一次函数的应用 为e元，由题意，得=(17一12)×(x一m)十 (30-20)×(200-x-3m)=-5.x-35m+ 次函数是描述现实世界的重要模型，我 2000,由一5<0知随x的增大而减小，所以 们根据实际问题的数量关系，建立一次函数的 x=80时，0的值最大，最大值为一35m+ 模型，将实际问题转化为数学问题，利用函数的 1600,由题意，得一35m十1600≥800，解得n≤ 性质，解决数学问题，将问题的解回归实际问题 16 之中，从而解决实际问题.函数的增减性是解决 7,所以m的最大整数值为22. 实际问题的重要工具， 48 第一篇数与代数 素养整合 例5（丽水中考）因疫情防控需要，一辆 解析：(1)a 货车先从甲地出发运送防疫物资到乙地，稍后 601.5(h: 9 辆轿车从甲地急送防疫专家到乙地.已知甲、 (2)设直线的表达式为s=k1+b,把(1.5， 乙两地的路程是330km,货车行驶时的速度是 1.5k+b=0, 0),(3,150)代入得 解得 60km/h.两车离甲地的路程s(km)与时间 3k+b=150, t(h)的函数图象如图. k=100, 所以s=100t一150： (1)求出a的值： b=-150. (2)求轿车离甲地的路程s(km)与时间 (3)由图象可得货车走完全程需要330 60 t(h)的函数表达式： 0.5=6(h),货车到达乙地需6h.s=100t一 (3)轿车比货车早多长时间到达乙地？ 150,s=330,解得t=4.8.所以，两车相差时间 s(km) 为6-4.8=1.2(h),即轿车比货车早1.2h到 达乙地 150 90 0 h) 达标演练 一、选择题 图象一定不经过( 1.(娄底中考)将直线y-2.x+1向上平移2个 A.第一象限 B.第二象限 单位，相当于() C.第三象限 D.第四象限 A.向左平移2个单位 4.(眉山中考)一次函数y=(2m一1)x十2的 B.向左平移1个单位 值随x的增大而增大，则点P(一，m)所在 C.向右平移2个单位 象限为( D.向右平移1个单位 A.第一象限 B.第二象限 2.(株洲中考)在平面直角坐标系中，一次函数 C.第三象限 D.第四象限 y=5.x+1的图象与y轴的交点的坐标为 5.(邵阳中考)在直角坐标系中，已知点 A侵m小点B停n是直线y=红+6< A.(0,-1) 0)上的两点，则m,n的大小关系是() A.m<n B.m>n c.(o) D.(0,1) C.m≥n D.m≤n 3.(凉山州中考)一次函数y=3.x+b(b≥0)的 6.(绍兴中考)已知(x1y1),(x2y2),(xgy3） 49 一鱼初中学业水平考试总复习·数学》 为直线y=一2x+3上的三个点，且x1<x2 小组结合图象设计了一个问题情境. <x,则以下判断正确的是( 已知学生公寓、阅览室、超市依次在同一条 A.若xtx>0,则y1y3>0 直线上，阅览室离学生公寓1.2千米，超市 B.若x1x3<0,则y1y:>0 离学生公寓2千米.小琪从学生公寓出发， C.若xzx3>0,则y1y3>0 匀速步行了12分钟到阅览室；在阅览室停 D.若xx<0,则y1y2>0 留70分钟后，匀速步行了10分钟到超市： 二、填空题 在超市停留20分钟后，匀速骑行了8分钟 7.(扬州中考)如图，函数y=kx十b(k<0)的 返回学生公寓.给出的图象反映了这个过程 图象经过点P,则关于x的不等式kx十b>3 中小琪离学生公寓的距离y千米与离开学 的解集为 生公寓的时间x分钟之间的对应关系. 请根据相关信息，解答下列问题： 「米 12 8292 112120x分钟 (I)填表： 8.(杭州中考)已知一次函数y=3x一1与y= 离开学生公寓的 5 8 50 87 112 kx(k是常数，k≠0)的图象的交点坐标是(1， 时间分钟 2),则方程组 3x-y=1, 离学生公寓的 的解是 0.5 1.6 kx-y=0 距离千米 9.(苏州中考)一个装有进水管和出水管的容 (Ⅱ)填空： 器，开始时，先打开进水管注水，3分钟时，再 ①阅览室到超市的距离为 千米： 打开出水管排水，8分钟时，关闭进水管，直 ②小琪从超市返回学生公寓的速度为 至容器中的水全部排完，在整个过程中，容器 千米分钟： 中的水量y(升)与时间x(分钟)之间的函数 ③当小琪离学生公寓的距离为1千米时，他 关系如图所示，则图中a的值为 离开学生公寓的时间为 分钟， 1/川 (Ⅲ)当0≤x≤92时，请直接写出y关于x 的函数解析式： 30 三、解答题 30 11.(陕西中考)如下页图，是一个“函数求值机” 的示意图，其中y是x的函数.表格中是通 过该“函数求值机”得到的几组x与y的对 8 a x分钟 应值 10.(天津中考)在“看图说故事”活动中，某学习 50 收第一篇数与代数 输人x 4 一4 -2 12.(新疆中考)A,B两地相距30千米，甲、乙 输出y -6 -2 2 16 两人分别开车从A地出发前往B地，其中 甲先出发1小时.如图是甲、乙行驶路程y甲 输人x 光x<1时当x≥1时 (千米)，yz(千米)随行驶时间x(小时)变 化的图象，请结合图象信息，解答下列问题： =kx+h(≠00 =8x ↑W了米 300… 输女 根据以上信息，解答下列问题： 5小时 (1)当输入的x值为1时，输出的y值为 (1)填空：甲的速度为 千米/时： (2)求k,b的值： (2)分别求出y甲，y乙与x之间的函数解析 (3)当输出的y值为0时，求输入的x值. 式： (3)求出点C的坐标，并写出点C的实际意 义 51 一鱼初中学业水平考试总复习·数学 l3.(衡阳中考)冰墩墩(Bing DwenDwen)、雪 14.(湖州中考)某校组织学生从学校出发，乘坐 容融(Shuey Rhon Rhon)分别是2022年北 大巴前往基地进行研学活动.大巴出发1小 京冬奥会、冬残奥会的吉祥物.冬奥会来临 时后，学校因事派人乘坐轿车沿相同路线追 之际，冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国，小雅在 赶.已知大巴行驶的速度是40千米/小时， 某网店选中两种玩偶.决定从该网店进货并 轿车行驶的速度是60千米/小时 销售.第一次小雅用1400元购进了冰墩墩 (1)轿车出发后多少小时追上大巴？此时， 玩偶15个和雪容融玩偶5个，已知购进1 两车与学校相距多少千米？ 个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136 (2)如图，图中OB,AB分别表示大巴、轿车 元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元，每 离开学校的路程s(千米)与大巴行驶的时 个雪容融玩偶可获利20元. 间t(小时)的函数关系的图象.试求点B的 (1)这两种玩偶的进货价分别是多少？ 坐标和AB所在直线的解析式： (2)第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩 (3)假设大巴出发a小时后轿车出发追赶， 偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量 轿车行驶了1.5小时追上大巴，求a的值. 的1.5倍.小雅计划购进两种玩偶共40个， s千米) 应如何设计进货方案才能获得最大利润，最 大利润是多少元？ 40 i小时) 52 第一篇数与代数 15.(绍兴中考)一个深为6米的水池积存着少 16.(云南中考)某学校要购买甲、乙两种消毒 量水，现在打开水阀进水，下表记录了2小 液，用于预防呼吸道传染病.若购买9桶甲 时内5个时刻的水位高度，其中x表示进 消毒液和6桶乙消毒液，则一共需要615 水用时（单位：小时），y表示水位高度（单 元：若购买8桶甲消毒液和12桶乙消毒液， 位：米) 则一共需要780元. 0 0.5 1 1.5 (1)每桶甲消毒液、每桶乙消毒液的价格分 y 1.5 2.5 别是多少元？ 为了描述水池水位高度与进水用时的关系， (2)若该校计划购买甲、乙两种消毒液共30 现有以下三种函数模型供选择：y=k.x十b 桶，其中购买甲消毒液α桶，且甲消毒液的 k 数量至少比乙消毒液的数量多5桶，又不超 (k≠0)，y=ax2+bx+c(a≠0)，y=(k 过乙消毒液的数量的2倍.怎样购买，才能 ≠0). 使总费用W最少？并求出最少费用. (1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应 的点，再选出最符合实际的函数模型，求出 相应的函数表达式，并画出这个函数的图 象。 米) 6 5 4 6x小时) (2)当水位高度达到5米时，求进水用时x. 53 一鱼初中学业水平考试总复习·数学 17.(凉山州中考)为全面贯彻党的教育方针，严 18.(成都中考)随着“公园城市”建设的不断推 格落实教育部对中小学生“五项管理”的相 进，成都绕城绿道化身成为这座城市的一个 关要求和《关于进一步加强中小学生体质健 超大型“体育场”，绿道骑行成为市民的一种 康管理工作的通知》精神，保障学生每天在 低碳生活新风尚，甲、乙两人相约同时从绿 校1小时体育活动时间，某班计划采购A、 道某地出发同向骑行，甲骑行的速度是18 B两种类型的羽毛球拍.已知购买3副A 千米/时，乙骑行的路程s(千米)与骑行的 型羽毛球拍和4副B型羽毛球拍共需248 时间1（小时）之间的关系如图所示. 元：购买5副A型羽毛球拍和2副B型羽 (1)直接写出当0≤t≤0.2和t>0.2时，s 毛球拍共需264元. 与t之间的函数表达式： (1)求A、B两种类型羽毛球拍的单价 (2)何时乙骑行在甲的前面？ (2)该班准备采购A、B两种类型的羽毛球 4s千米 拍共30副，且A型羽毛球拍的数量不少于 B型羽毛球拍数量的2倍，请给出最省钱的 购买方案，求出最少费用，并说明理由。 0.20.5小时 541 化第一篇数与代数 19.(绍兴中考)一条笔直的路上依次有M、P、20.(德阳中考)为了发展特色产业，红旗村花费 N三地，其中M、N两地相距1000米.甲、 4000元集中采购了A种树苗500株，B种 乙两机器人分别从M、N两地同时出发，去 树苗400株，已知B种树苗的单价是A种 日的地N、M,匀速而行.图中OA,BC分别 树苗单价的1.25倍. 表示甲、乙机器人离M地的距离y(米)与 (1)A、B两种树苗的单价分别是多少元？ 行走时间x(分钟)的函数关系图象， (2)红旗村决定再购买同样的树苗100株用 (1)求OA所在直线的表达式； 于补充栽种，其中A种树苗不多于25株， (2)出发后甲机器人行走多少时间，与乙机 在单价不变，总费用不超过480元的情况 器人相遇？ 下，共有几种购买方案？哪种方案费用最 (3)甲机器人到P地后，再经过1分钟乙机 低？最低费用是多少元？ 器人也到P地，求P、M两地间的距离 米)1 1000 10x分种 1553.D解析：函数的图象的最高，点对应的： (3)由图象可知，当y=260时，x=5或x 函数值」 =10或x-18或x-23,所以当5<x<10或 4.A解析：路程最大而时间最少的速度：18<x<23时，y>260,即当5<x<10或18 最快 <x<23时，货轮进出此港口. 5.C解析：在不同时间段中，找出y的 3.2一次函数 值. 1.B解析：直线y=kx十b平移，k值不 6.D解析：先证明CD=AD=y,过D:变，只有b发生改变. 点作DE⊥AC于点E,证明△ABCp△AED, 2.D解析：一次函数的图象与y轴的交 利用相似三角形的性质可得函数关系式」 点的横坐标是0. 7,D解析：由图象可知，A、B、C都正确， 3.D解析：k=3>0,b>0,此函数的图象 当温度为1℃时，甲、乙的溶解度都为30g,故一定经过一、三象限，可能经过第二象限，一定 D错误. !不经过第四象限。 8.A解析：根据函数图象可知，小聪从家 4.B解析：一次函数y=(2m一1)x十2 出发，则图象从原点开始，在10~20分钟休的值随x的增大而增大，所以2m-1>0. 息 5.A解析：根据k>0可知函数y随着x 且4,2)解析：题中数字可以化成：厄，增大而减小，再根>即可比较m和n的 A6,N8:10,2,√14,16：规律为：被大小. 开数为从2开始的偶数每一行4个数，27= 6.D解析：若xx1<0,则x2、x1异号， √28,28是第14个偶数，而14÷4=3…2，所以：则、1：同时为负，故y1、y2同时为正，故 2√7的位置记为(4,2). y1y2>0.其他选项举反例排除. 7,x<一1解析：根据函数图象中的数据 10.x>1 解析：a(a≥0)，以及分母不 和一次函数的性质，可以写出等式kx十b>3 能为0，可得x-1>0. 的解集。 11.解：(1)①如图： /x=1 ↑cmj 8. 解析：掌握一次函数的交点坐 350 y=2 320 标与二元一次方程组的解的关系是解题的关 2 260 键 230 20 10 9 解析：设水管每分钟排水x升，由 110 9.3 110 80 题意进水管每分钟进水10升，则有80一5x= 0246801214161820224):20,求出x,再求出8分钟后的放水时间，可得 ②通过观察函数图象，当x=4时，y=:结果. 200,当y值最大时，x=21: 10.解：(I)0.8,1.2,2. (2)该函数的两条性质如下（答案不唯： (Ⅱ)0.8：0.25：10或116. 0.1x, (0≤r≤12) ①当2≤x≤7时，y随x的增大而增大： (Ⅲ)y=1.2, (12<x≤82) ②当x=14时，y有最小值为80： 0.08.x-5.36(82<x≤92) —208 11.解：(1)8： 的前面. (2)将(-2,2)(0,6)代入y=kx十b得 19.解：(1)由图象可知，OA所在直线为正 12=-2k+b, k=2 比例函数， 解得 6=k, b=6 .设y=kx, (3)令y=0,由y=8.x得0=8.x,所以x A(5,1000): =0<1(舍去)，由y=2x+6,得0=2.x+6,所 1000=5k,k=200. 以输出的y值为0时，输人的x值为一3. ∴.OA所在直线的表达式为y=200x. 12.解：(1)60： (2)由图可知甲机器人速度为1000÷5= (2)y甲=60x(0<x≤5)：yz=100x-100:200(米，/分)， (1<x3): 乙机器人速度为1000÷10=100（米：分）， (3)根据题意，得60x=100x一100，解得： 1000 10 两人相遇时100+2003 分钟)， x=2.5,所以，点C的坐标为(2.5,1500)，故 点C的实际意义是甲车出发2.5小时后被乙 答：出发后甲机器人行走9分钟，与乙机 车追上，此时两车行驶了150km. 13.解：1)冰墩墩的进价为72元/个，雪 器人相遇， 容融的进价为64元个.(2)冰墩墩购进24： (3)设甲机器人行走t分钟时到P地，P 个，雪容融购进16个时才能获得最大利润，最 地与M地距离为200t, 大利润是992元. 则乙机器人(t+1)分钟后到P地，P地与 14.解：(1)轿车出发后2小时追上大巴， :M地距离1000-100(t+1), 此时，两车与学校相距120千米： 由200t=1000一100(t+1),解得t=3, (2)B(3,120),AB所在直线的解析式为s .∴.2001=600， =601-60: 答：M两地间的距离为600米。 20.解：(1)A种树苗每株4元，B种树苗 (3)a的值为 3 每株5元.(2)共有6种购买方案，费用最省的 15.解：(1)图略，表达式为y=x+1(0≤x购买方案是购买A种树苗25株，B种树苗75 ≤5)：(2)当水位高度达到5米时，进水用时x:株，最低费用是475元 为4小时. 3.3二次函数 16.解：(1)每桶甲消毒液价格为45元，每 1.C解析：纵坐标相等的两个点是对称 桶乙消毒液的价格为35元.(2)购买甲消毒液：的. 18瓶，乙消毒液12瓶时，才能使总费用W最： 2.C解析：抛物线经过，点(1,0)，且对称 少，最少费用是1230元. :轴在y轴的左侧，故另一交点在点（一1,0）的 17.解：(1)A种球拍每副40元，B种球拍；左侧. 每副32元.(2)费用最少的方案是购买A种球 3.D解析：点C最高，若c<0,则c<a 拍20副，B种球拍10副，所需费用1120元. <b:若c>0.则a<b<c. 18.解：(1)s与t之间的函数表达式为s= 4.B解析：抛物线的对称轴为直线x= 15t(0≤t≤0.2)， 1. (2)0.5小时后乙骑行在甲： 20t-1(t>0.2): 5.A解析：抛物线的对称轴为直线x 209