2.4 不等式与不等式组-2024年初中学业水平考试数学总复习

初中学业水平考试总复习·数学川 2.4不等式与不等式组 学业要求 1.能用不等式的基本性质对不等式进行 一次不等式组成的不等式组的解集： 变形： 3.能根据具体问题中的数量关系，列出一 2.能解数字系数的一元一次不等式，并能 元一次不等式，解决简单的实际问题，建立模型 在数轴上表示出解集：会用数轴确定两个一元 观念 考点示例 解析：(1)解不等式①，得x≥一3： 考点1解一元一次不等式组 (2)解不等式②，得x<1: 1.一元一次不等式组的解集：几个一元一 (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示 次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组 出来为： 成的不等式组的解集， 2.解不等式组：求不等式组的解集的过程 叫解不等式组. 原不等式组的解集为：一3≤x<1. 3.一元一次不等式组的解法：解一元一次 故答案为：(1)x≥-3：(2)x<1:(3)-3≤ 不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集， x<1. 再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直 考点2一元一次不等式的应用 观地表示不等式组的解集。 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式 1.由实际问题中的不等关系列出不等式， 的解集：②利用数轴求公共部分 建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以 解集的规律：同大取大；同小取小：大小小 得到实际问题的答案。 大中间找：大大小小找不到. 2.列不等式解应用题需要以“至少”“最多” 例1（武汉中考）解不等式组 “不超过”“不低于”等词来体现问题中的不等关 x-2≥-5① 系.因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘 请按下列步骤完成解答。 3x<x+2②， 其内涵. (1)解不等式①，得 3.列一元一次不等式解决实际问题的方法 (2)解不等式②，得 和步骤： (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示 ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数 出来 ②根据题中的不等关系列出不等式 -4-3-2-013 ③解不等式，求出解集。 38 收第一篇数与代数 ④写出符合题意的解. 求篮球不少于30个，且总费用不超过5500 例2（邵阳中考）关于x的不等式组 元.那么有哪几种购买方案？ 12 解析：(1)设篮球的单价为a元，足球的单 3>3 有且只有三个整数解，则a 2a+3b=510, 价为b元，由题意可得： 2x-1<2a-2) 3a+5b=810, a=120, 的最大值是( 解得 b=90, A.3 B.4 C.5 D.6 答：篮球的单价为120元，足球的单价为 1 2 x①， 23 90元. 解析： 2-1u-2@, (2)设采购篮球x个，则采购足球为(50 x)个，因为要求篮球不少于30个，且总费用不 由①得x>1,由②得x<a,解得1<x< x≥30， a,因为不等式组有且仅有三个整数解，即2,3， 超过5500元，所以 120x+90(50-x)≤5500， 4,所以4<a≤5，即a的最大值是5，故选C. 例3某中学为落实《教育部办公厅关于 每得30<<3号 进一步加强中小学生体质管理的通知》文件要 因为x为整数，所以x的值可为30,31， 求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购 32,33,即共有四种购买方案， 进一批篮球和足球.已知购买2个篮球和3个 方案一：采购篮球30个，采购足球20个； 足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足 方案二：采购篮球31个，采购足球19个： 球共需费用810元. 方案三：采购篮球32个，采购足球18个； (1)求篮球和足球的单价分别是多少元： 方案四：采购篮球33个，采购足球17个 (2)学校计划采购篮球、足球共50个，并要 素养整合 例4（聊城中考）若x为实数，则[x]表示 解析：因为对任意的实数x都满足不等式 不大于x的最大整数，例如[1.6]=1，[π]=3， [x]≤x<[x]+1,[x]=2x-1,所以2.x-1≤ [一2.82]=一3等.[x]十1是大于x的最小整 x<2x一1十1，解得0<x≤1，因为2x一1是整 数，对任意的实数x都满足不等式[x]≤x< 数，所以x=0.5或x=1,故答案为x=0.5或 [x]+1.①利用这个不等式①，求出满足[x]= x=1. 2x一1的所有解，其所有解为 达标演练 一、选择题 A.x≥1 1.(衢州中考)不等式3x+2≥5的解集是 R≥号 () C.x≤1 D.x≤-1 39 初中学业水平考试总复习·数学》 x-2<0, A.f(1)=0 B.f(k+4)=f(k) 2.(岳阳中考)已知不等式组 其解集 x十1≥0 C.f(k+1)≥f(k) D.f(k)=0或1 在数轴上表示正确的是( 8.(怀化中考)为了落实精准扶贫政策，某单位 针对某山区贫困村的实际情况，特向该村提 月10 B 供优质种羊若干只.在准备配发的过程中发 现：公羊刚好每户1只：若每户发放母羊5 只，则多出17只母羊，若每户发放母羊7只， 3.(广安中考)已知点P(1-a,2a+6)在第四 则有一户可分得母羊但不足3只.这批种羊 象限，则a的取值范围是( 共( )只. A.a<-3 B.-3<a<1 A.55 B.72 C.a>-3 D.a>1 C.83 D.89 4.(贵港中考)若关于x的不等式组 二、填空题 x<3a十2， 无解，则a的取值范围是( 3∠0 2 x>a-4 9.(哈尔滨中考)不等式组 的解集是 3.x+2≥1 A.a≤-3 B.a<-3 C.a>3 D.a≥3 2-x≥0， 5.(荆门中考)已知关于x的不等式3.x一m+1 10.(甘肃中考)不等式组 的最小整 2x>x-1 >0的最小整数解为2，则实数m的取值范 数解是 围是() 2.x+7>3(x+1), A.4≤m<7 B.4<m<7 11.(包头中考)不等式组23.x+42 的 C.4≤m≤7 D.4<m≤7 3t- 6 =3 6.(眉山中考)已知关于x的不等式组 非负整数解有 个 x>2a-3, 仅有三个整数解，则a的 三、解答题 2.x≥3(x-2)+5 取值范围是( 2(x+1)≤2， 12.(黄石中考)解不等式组 并求 A< 3 CiSasI D.a<1 出不等式组的整数解之和. 7.(娄底中考)已知：[x]表示不超过x的最大 整数.例：[3.9]=3，[-1.8]=-2.令关于k 的函数f)=中]-[是正整数)。 例：f3)-[3-[]-1.则下列结论错 误的是() 40 化第一篇数与代数 18(黄石中考)若点P的坐标为写，2x-叭， 15.(滨州中考)有甲、乙两种客车，2辆甲种客 车与3辆乙种客车的总载客量为180人，1 5.x-10>2(x+1), 辆甲种客车与2辆乙种客车的总载客量为 其中x满足不等式组1 3 2-1<1- 求 105人. (1)请问1辆甲种客车与1辆乙种客车的载 点P所在的象限 客量分别为多少人？ (2)某学校组织240名师生集体外出活动， 拟租用甲、乙两种客车共6辆，一次将全部 师生送到指定地点.若每辆甲种客车的租金 为400元，每辆乙种客车的租金为280元， 请给出最节省费用的租车方案，并求出最低 费用. 14.(宜宾中考)若关于x的不等式组 2x+1>x十a, 臣+1>受一)所有整数解的和为14，求 整数a的值. 41 一鱼初中学业水平考试总复习·数学》 16.(郴州中考)“七·一”建党节前夕，某校决定 17.(河南中考)某健身器材专卖店推出两种优 购买A,B两种奖品，用于表彰在“童心向 惠活动，并规定购物时只能选择其中一种。 党”活动中表现突出的学生.已知A奖品比 活动一：所购商品按原价打八折： B奖品每件多25元，预算资金为1700元， 活动二：所购商品按原价每满300元减80 其中800元购买A奖品，其余资金购买B 元，（如：所购商品原价为300元，可减80 奖品，且购买B奖品的数量是A奖品的 元，需付款220元：所购商品原价为770元， 3倍. 可减160元，需付款610元) (1)求A,B奖品的单价： (1)购买一件原价为450元的健身器材时， (2)购买当日，正逢该店搞促销活动，所有商 选择哪种活动更合算？请说明理由； 品均按原价八折销售，故学校调整了购买方 (2)购买一件原价在500元以下的健身器材 案：不超过预算资金且购买A奖品的资金 时，若选择活动一和选择活动二的付款金额 不少于720元，A,B两种奖品共100件，求 相等，求一件这种健身器材的原价： 购买A,B两种奖品的数量，有哪几种方案？ (3)购买一件原价在900元以下的健身器材 时，原价在什么范围内，选择活动二比选择 活动一更合算？设一件这种健身器材的原 价为a元，请直接写出a的取值范围. 42+a6-a)+3ah=0.整理得2（）+20-1 (2)答：不能， 理由：由题意，得x(72一2x)=650, =0,解得名=二1生5，周为a>6>0.所x么 化简，得x-366十322=0， 0 2 △=(-36)￥-4×335=-4<0， =-1+3 .一元二次方程没有实数根. 2 ∴.羊圈的面积不能达到650m. 3x-y=3a-6a+9, 15.3解析：依题意得 2.4不等式与不等式组 x+y=a+6a-9, 1.A解析：解不等式即可得. x=a', 解得 由x≤y,得(a-3)≤0，解得 2.D y=6a-9, 3.A解析：因为点P(1一a,2a+6)在第 a=3. 1-a>0, 16,解：1)k>是(2)k=2 四象限，即 解得a<-3. 2a+6<0, 17.解6<28. x<3a+2, 4.A解析：因为不等式组 无 x>a-4 18.解：(1)①当k一1=0即k=1时，方程：解，即a一4>≥3a十2，解得a≤-3. 有一个解：②当k一1≠0即k≠1时，方程为一 5.A解析：解不等式3.x一m+1>0,得 元二次方程，△=(2k)一4×2(k一1)=4k” 8k十8=4(k一1)十4>0，方程有两个不等根， ，则1<”气<2，可得4m<7. ix>m-1 3 综合①②得不论k为何值，方程总有实根： 6.A解析：由x>2a-3,2x>3(x一2) (2)S的值能为2，此时k的值为2. :十5，解得2a一3<x≤1，由关于x的不等式组 -2k 2 x>2a-3. 解析：x1十：一k-xtk,则S 仅有三个整数，可得一2≤ 2x≥3(x-2)+5 =+1+x,+x=2k-2=2. TI T? 2a-3<-1,则2<a<1. 19.解：(1)进馆人次的月平均增长率为 7.C 解析：当k=3时，f(3十1)= 50%:(2)校图书馆能接纳第四个月的进馆人： 次 -=1-1=0.西8)=1就选项 20.解：(1)设矩形ABCD的边AB=;C错误 xm,则边BC=70-2x十2=(72-2x)m. 8.C解析：设该村共有x户，则母羊共有 根据题意，得x(72一2x)=640, :(5x+17）只，由题意知， 化简，得x2-36.x+320=0,解得x1=16,/5x+17-7(x-1)>0 x2=20, 5.x+17-7(.x-1)<3 解得2 2 <r<12.又x 当x=16时，72-2x=72-32=40: :为整数，得x=11,则这批种羊共有11十5×11 当x=20时，72-2.x=72-40=32. :+17=83(只). 答：当羊圈的长为40m,宽为16m或长 9.x≥3 为32m,宽为20m时，能围成一个面积为 10.0 644m2的羊圈： 11.4 —206 (x+1)≤2,0 (2)设购买A种奖品的数量为m件，则购买 2 12.解：6解析： B种奖品的数量为(100一m)件，可列不等式组 x十2x+3 2☒ 40×0.8×m≥720. 3 40×0.8×m+15×0.8×(100-m)≤1700， 解①得x≤3， 解②得x≥0， 解得：22.5≤m≤25，因为m为正整数，所 所以原不等式组的解集为0≤x≤3， 以m的值为23,24,25，所以有三种方案：①购 原不等式的整数解为：0,1,2,3， 买A种奖品23件，B种奖品77件：②购买A 所以原不等式的整数解之和为：0+1十2 种奖品24件，B种奖品76件；③购买A种奖 +3=6. 品25件，B种奖品75件. 13.解：点P在第四象限 17.解：1)450×8 =360(元)，450-80 5.x-10≥2(.x+1),① 解析：1 =370(元). x-1≤7-3 1,② 选择活动一更合算： 解①得x≥4， (2)设一件这种健身器材的原价为x元， 解②得x≤4，所以x=4,代入点P 若x<300,则活动一按原价打八折，活动 号2x-9)得1，-1.故点P在第回象 二按原价，此时付款金额不可能相等； .300≤x<500, 限 2x+1>x十a,① 10x=x-80, 14.解：之十1 2x-9,@ 解得x=400, 2 ∴.一件这种健身器材的原价是320元： 解不等式①得x>a-1, (3)当300≤a<600时，a-80<0.8a, 解不等式②得x≤5， 解得a<400: .a-1<x≤5， ∴.300≤a<400: ,所有整数解的和为14， 当600≤a<900时，a-160<0.8a, .不等式组的整数解为5,4,3,2或5,4， 解得a<800: 3,2,1,0,-1, ∴.600≤a<800: .1≤a-1<2或-2≤a-1<-1, 综上所述，300≤a<400或600≤a<800. .2≤a<3或-1≤a<0, ,a为整数， 第3章函数 .a=2或a=-1. 3.1平面直角坐标系与函数 15.解：(1)1辆甲种客车与1辆乙种客车 1.A解析：二次根式的被开方数是非负 的载客量分别为45人和30人： 数。 (2)设租用甲种客车x辆，当x=4时，租 2.B解析：平方数非负可判断点P的纵 车费用最低，为4×400十2×280=2160（元）.：坐标是正数，象限内点的坐标特征是：第一象 16.解：(1)A奖品的单价为40元，则B奖：限（十，十）：第二象限（一，十）：第三象限（一， 品的单价为15元： !一)：第四象限（十，一） —207