2.3 一元二次方程-2024年初中学业水平考试数学总复习

初中学业水平考试总复习·数学 2.3 一元二次方程 学业要求 1.能根据一元二次方程的特征,选择配方 联系. 法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次 3.知道利用一元二次方程的根与系数的关 方程. 系可以解决一些简单的问题 2.会用一元二次方程根的判别式判别方程 4.能根据具体问题的实际意义,检验方程 是否有实根及两个实根是否相等,会将一元二 的解是否合理,建立模型观念 次方程根的情况与一元二次方程根的判别式相 考点示例 一元二次方程的解也称为一元二次方程的根 考点1 一元二次方程的解法 一元二次方程ax*十bx十c-0(a≠0)的根 一般地,任何一个关于x的一元二次方程 与△一6{-4ac有如下关系: 经过整理,都能化简成如下形式ax^}士x士c ①当A>0时,方程有两个不相等的实数 0(a关0).这种形式叫一元二次方程的一般形 根; 式. ②当A一0时,方程有两个相等的实数根; 能使一元二次方程左右两边相等的未知数 ③当△<0时,方程无实数根 的值是一元二次方程的解,又因为只含有一个 上面的结论反过来也成立. 未知数的方程的解也叫做这个方程的根,所以, 考点示例 例1 (铜仁中考)关于x的一元二次方程 △-(-4)*-4×1×3-4>0,方程有两个不相 x-4x十3-0的解为( ) -b士6-4ac 4士2 等的实数根,x一 ,则:: 2d A.x.--1,r-3 2 Bx-1,x=-3 -1,x。-3.故选C. C.x-1,x-3 方法三(因式分解法):分解因式得:(x一 D.r.=-1,x。--3 1)(x-3)-0,解得;x.=1,x-3,故选C. 解析:方法一(配方法):由题可得:r{一4x 例2(荆门中考)已知x一2是关于x的 +4-1=0,则(-2)-1,x-2=士1,t.=1, 一元二次方程x^{}+(^{}-2)x+2k+4=0的$$ x-3,故选C 一个根,则:的值为 方法二(公式法):a-1,b=-4.c-3,则 解析:把x-2代入kxr{}+(k{-2)x+2 32 第一篇 数与代数 +4-0得4+2^{}-4+2k+4-0,整理得^$}$ 余部分栽种花草,且栽种花草的面积为77m^{}, 十3k-0,解得 -0,k。=-3.因为子0,所以$ 设道路的宽为不m,则根据题意,可列方程为 e的值为-3.故答案为一3. 例3(聊城市中考)若关于x的一元二次 方程(-2)x{-2kx十^一6有实数根,则的$ ) 8cm 取值范围为( A.二0 B.0且去2 解析:由题意可知:(12一x)(8-x)-77; 解析:(-2)x*-2kx十 -6-0,因为关于 故答案为(12-x)(8-x)-77. x的一元二次方程(-2)x-2x十k-6有实数 例6 (眉山中考)建设美丽城市,改造老 -2-0. 根,所以 解 旧小区,某市2019年投入资金1000万元,2021 △=(-2)*-4(-2)(-6)0. 年投入资金1440万元,现假定每年投入资金的 增长率相同. (1)求该市改造老旧小区投入资金的年平 考点2 一元二次方程的根与系数关系 均增长率; 若x,x。是一元二次方程ax十bx十c-0 (2)2021年老旧小区改造的平均费用为每 个80万元,2022年为提高老旧小区品质,每个 (a≠0)的两根,则x.十x。二- 小区改造费用增加15%.如果投入资金年增长 。 过来也成立,即 --1x. 率保持不变,该市在2022年最多可以改造多少 个老旧小区? 例4 (天门中考)若方程x{-2x-4-0 解析:(1)设该市改造老旧小区投入资金的 的两个实数根为a,3,则。}十B{}的值为( ) 年平均增长率为x,依题意得:1000(1十x)②一 A.12 B.10 C.4 D.-4 1440,解得;x=0.2-20%,x。=-2.2(不合 解析:因为方程x②-2x-4一0的两个实 题意,舍去). 数根为a,③,所以a十③-2,a{--4,即a十 答:该市改造老旧小区投入资金的年平均 $}-(a+③)-2a{-4+8-12,故选A. 增长率为20% 考点3 一元二次方程组的应用 (2)设该市在2022年可以改造y个老旧 小区,依题意得:80×(1+15%)y1440× 列方程解决实际问题的一般步骤是:审清 (1十20%). 题意设未知数,列出方程,解所列方程,求所列 ,又因为y为整数,所以y的 方程的解,检验和作答。 例5(山西中考)如图,在一块长12m,宽 最大值为18. 8m的矩形空地上,修建同样宽的两条互相垂 答:该市在2022年最多可以改造18个老 直的道路(两条道路各与矩形的一边平行),剩 旧小区. 133 初中学业水平考试总复习·数学 素养整合 3 (凉山中考)阅读材料 -1 材料1:若关于x的一元二次方程ax+ 2 故答案为:)# 31 br十c=0(a去0)的两个根为x,x。,则x b .xx r (2)因为一元二次方程2x-3x-1-0的 材料2:已知一元二次方程x-x-1-0 两根分别为n、”,所以m十n一 的两个实数根分别为n,n,求nn十mn}的 (m+n)②-2mn 值. nn nn 解,因为一元二次方程x-x-1=0的两 #3)# ×(-) 13 个实数根分别为m,n 一 2; 所以n+n-1,mn=-1. 则n^{②}n+mn}=mn(m+n)--1×1=-1. (3)因为实数s、1满足2s{}-3s-1-0,2r^$} 根据上述材料,结合你所学的知识,解答下 一3t-1-0,所以s、(可以看作是方程2x^{}- 列问题: 3x-1-0的两个实数根,即s十1= 3 (1)材料理解:一元二次方程2r^}一3x- 2 1=0的两个根为x1,x。,则x1+x。= (2)类比应用:已知一元二次方程2x-3 ($)*}-(3){}-4x(-).(s-)" 17 /17 #7#以-1- ,所以-,一士 4 2 st st (3)思维拓展:已知实数s、/满足2s}-3 17 -(s-t) -1-0,2t*-3t-1-0,且st,求 2 __ , st -士/17. 值. 解析:(1)因为一元二次方程2x{}一3x-1 2 达标演练 一、选择题 C.x-1.r--3 1.(天津中考)方程x十4x十3一0的两个根为 D.x1--1,x:--3 ( ) 2.(怀化中考)下列一元二次方程有实数解的是 A.x-1,x.-3 ( ) B.x.--1,x。-3 A.2x-x+1-0 B-2x+2-0 34 1 第一篇 数与代数 C+3-2-$ D.+2-$$$ A.AC的长 B. AD的长 3.(乐山中考)若关于x的一元二次方程3x^②}- C.BC的长 D.CD的长 2x+n=0有两根,其中一根为x=1,则这 8.(包头中考)已知关于x的一元二次方程x{} 两根之积为( ) +2x十m-2一0有两个实数根,n为正整 数,目该方程的根都是整数,则符合条件的所 有正整数的和为( ) C.1 A.6 B.5 C.4 4.(重庆中考)小区新增了一家快递店,第一天 D.3 二、填空题 揽件200件,第三天揽件242件,设该快递店 揽件日平均增长率为x,根据题意,下面所列 9.(娄底中考)已知实数x,x。是方程x②十 -1-0的两根,则x1x:=_. 方程正确的是( ) A.200(1+x)-242 10.(眉山中考)设x,x:是方程x②+2x-3- B.200(1-x)-242 0的两个实数根,则x1{十x。}的值为 C.200(1+2x)-242 D.200(1-2x)-242 11.(成都中考)若一个直角三角形两条直角边 5.(泸州中考)已知关于x的方程x}一(2m一 的长分别是一元二次方程x2}-6x十4-0 1)x十n一0的两实数根为x,x。,若(x+ 的两个实数根,则这个直角三角形斜边的长 1)(x。十1)-3,则n的值为( ) 是 A.-3 B.-1 12.(十堰中考)对于实数a,6,定义运算“※”如 C.-3或1 D.-1或3 下:a※b-a{}-ab,例如,5※3-5^{}-5$ 6.(遂宁中考)已知n为方程x十3x-2022 3-10.若(x十1)※(x-2)-6,则x的值为 0的根,那么n+2n-2025m+2022的值 为( ) 13.(黄冈中考)一个三角形的两边长分别为3 A.-2022 B.0 和6,第三边长是方程x*-10x十21-0的 C.2022 D.4044 根,则三角形的周长为 7.(嘉兴中考)欧几里得的《原本》记载,形如文} 十ax一b^{}的方程的图解法是:画Rt△ABC, _ 使乙ACB=90{,BC- 0,则 AB上截取BD- 15.(泰州中考)已知3x-y-3a*-6a+9,x十 y=a*十6a-9,若x<y,则实数a的值为 ,→_ ~ 三、解答题 16.(随州中考)已知关于x的一元二次方程1^{②} +(2+1)x十左{}十1-0有两个不等实数根 135 初中学业水平考试总复习·数学 x1.2. 18.(鄂州中考)关于x的方程(-1)x^{}十$ (1)求 的取值范围; 2x+2-0 (2)若xx。一5,求 的值 (1)求证:无论人为何值,方程总有实数根 (2)设x,x。是方程(-1)x*+2x+2-0 r1: 值能为2吗?若能,求出此时足的值;若不 能,请说明理由. 17.(南充中考)已知关于x的一元二次方程 *+3x+b-2-0有实数根. (1)求实数人的取值范围 (2)设方程的两个实数根分别为x,x。,且 (x十1)(x+1)一-1,求 的值 36 第一篇 数与代数 19.(德州中考)习近平总书记说:“读书可以话 20.(东营中考)如图,老李想用长为70m的栅 人保持思想活力,让人得到智慧启发,让人 栏,再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一 滋养浩然之气,”某校为响应我市全民阅读 个矩形羊圈ABCD,并在边BC上留一个 活动,利用节假日面向社会开放学校图书 2m宽的门(建在EF处,另用其他材料). 馆,据统计,第一个月进馆128人次,进馆人 (1)当羊剧的长和宽分别为多少来时,能围 次逐月增加,到第三个月末累计进馆608人 成一个面积为640m{的羊圈? 次,若进馆人次的月平均增长率相同 (2)羊圈的面积能达到650m{}吗?如果能; (1)求进馆人次的月平均增长率; 请你给出设计方案;如果不能,请说明理由. (2)因条件限制,学校图书馆每月接纳能力 , 不超过500人次,在进馆人次的月平均增长 率不变的条件下,校图书馆能否接纳第四个 月的进馆人次,并说明理由 371 答：购买牛肉面60份. T=- 2 (2) 2.3一元二次方程 、3 y= 1.D解析：通过因式分解法可求出一元 二次方程的根 14.解：：关于x、y的二元一次方程组为 2.C解析：利用根的判别式可以求出答 3x-y=4m+1,① 案 x+y=2m-5,② 3.D解析：方程的其中一个根是1，代入 ①一②，得 可得m=一1，再根据根与系数的关系可求 .2.x-2y=2m十6， 4.A解析：设该快递店揽件日平均增长 .x-y=m十3， 率为x,可列方程：200(1十x)2=242,解方程 x-y=4 即可 .m十3=4， 5.A解析：通过因式分解求得方程的根， ,,m=1. 再利用根的判别式可求答案 15.解：中型汽车有12辆，小型汽车有18： 6.B解析：m为方程x2+3.x-2022=0 辆 的根，即得m2+3m=2022,化简m3十3m2 16.解：(1)笔记本的单价为5元，单独购m2-3m-2022m+2022=m(m+3m)-（m 买一支笔芯的价格为3元： :+3m）-2022m+2022=2022m-2022- (2)小贤和小艺带的总钱数为19+2+26：2022m+2022=0. =47(元)，两人合在一起购买所需费用为5×3 7.B解析：设AD=x,根据勾股定理得 +(3-0.5)×10=40(元).47-40=7（元），3： ×2=6(元)，因为7>6，所以他们合在一起购 x+号)产=6+（受，娄理得x+ar=b, 买才能既买到各自需要的文具用品，又都购买： 则该方程的一个正根是AD的长。 到一个小工艺品： 8.B解析：代入a=1,b=2,c=m一2，代 17.解：(1)设购买炸酱面x份，牛肉面y 入一元二次方程，再利用根的判别式求出m 份， 的范国，可得m=2十3=5. x+y=170, 9.-1 根据题意得 15.x+20y=3000, 10.10 x=80 11.2√7解析：设直角三角形两条直角边 解得 y=90. 分别为a,b,斜边为c,因为直角三角形两条直 答：购买炸酱面80份，牛肉面90份： 角边的长分别是一元二次方程x2一6.x十4=0 (2)设购买牛肉面m份，则购买炸酱面 的两个实数根， (1+50%)n份， 所以a十b=6,ab=4,斜边c=√a+b 根据题意得1200 1260 =√/(a+b)2-2ab=62-2X4=2/7, =6. m (1十50%)m 12.1 解得m=60, 13.16 经检验，m=60是所列方程的解，且符合： 题意 14.1+3 解析：由题意得2b(b一a) 205 +a6-a)+3ah=0.整理得2（）+20-1 (2)答：不能， 理由：由题意，得x(72一2x)=650, =0,解得名=二1生5，周为a>6>0.所x么 化简，得x-366十322=0， 0 2 △=(-36)￥-4×335=-4<0， =-1+3 .一元二次方程没有实数根. 2 ∴.羊圈的面积不能达到650m. 3x-y=3a-6a+9, 15.3解析：依题意得 2.4不等式与不等式组 x+y=a+6a-9, 1.A解析：解不等式即可得. x=a', 解得 由x≤y,得(a-3)≤0，解得 2.D y=6a-9, 3.A解析：因为点P(1一a,2a+6)在第 a=3. 1-a>0, 16,解：1)k>是(2)k=2 四象限，即 解得a<-3. 2a+6<0, 17.解6<28. x<3a+2, 4.A解析：因为不等式组 无 x>a-4 18.解：(1)①当k一1=0即k=1时，方程：解，即a一4>≥3a十2，解得a≤-3. 有一个解：②当k一1≠0即k≠1时，方程为一 5.A解析：解不等式3.x一m+1>0,得 元二次方程，△=(2k)一4×2(k一1)=4k” 8k十8=4(k一1)十4>0，方程有两个不等根， ，则1<”气<2，可得4m<7. ix>m-1 3 综合①②得不论k为何值，方程总有实根： 6.A解析：由x>2a-3,2x>3(x一2) (2)S的值能为2，此时k的值为2. :十5，解得2a一3<x≤1，由关于x的不等式组 -2k 2 x>2a-3. 解析：x1十：一k-xtk,则S 仅有三个整数，可得一2≤ 2x≥3(x-2)+5 =+1+x,+x=2k-2=2. TI T? 2a-3<-1,则2<a<1. 19.解：(1)进馆人次的月平均增长率为 7.C 解析：当k=3时，f(3十1)= 50%:(2)校图书馆能接纳第四个月的进馆人： 次 -=1-1=0.西8)=1就选项 20.解：(1)设矩形ABCD的边AB=;C错误 xm,则边BC=70-2x十2=(72-2x)m. 8.C解析：设该村共有x户，则母羊共有 根据题意，得x(72一2x)=640, :(5x+17）只，由题意知， 化简，得x2-36.x+320=0,解得x1=16,/5x+17-7(x-1)>0 x2=20, 5.x+17-7(.x-1)<3 解得2 2 <r<12.又x 当x=16时，72-2x=72-32=40: :为整数，得x=11,则这批种羊共有11十5×11 当x=20时，72-2.x=72-40=32. :+17=83(只). 答：当羊圈的长为40m,宽为16m或长 9.x≥3 为32m,宽为20m时，能围成一个面积为 10.0 644m2的羊圈： 11.4 —206