2.1 一元一次方程与分式方程的解法及应用-2024年初中学业水平考试数学总复习

初中学业水平考试总复习·数学 第2章 方程(组)与不等式(组 2.1 一元一次方程与分式方程的解法及应用 学业要求 1.掌握等式的基本性质,能运用等式的基 3.能根据具体问题中的数量关系列出方 本性质进行等式的变形. 程,理解方程的意义;认识方程解的意义,经历 2.能根据等式的基本性质解一元一次方程 估计方程解的过程。 和可化为一元一次方程的分式方程 考点示例 考点1 一元一次方程的解法及应用 系数化为1,得:x一- 2 一元一次方程的解法具体步骤是;去分母, 3 则原方程的解为:x一一 2 去括号,移项,合并同类项,系数化为1. 0.1x 0.01x-0.01 1 例2 解方程 0.2 利用方程解决实际问题的基本思路如下:首 0.06 3 先审题找出题中的未知量和所有的已知量,直接 1 66 设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x. 3 然后用含x的式子表示相关的量,找出之间的 去分母,得:3x-(x-1)-2, 相等关系列方程、求解、作答,即设、列、解、答, 去括号,得:3x-x十1-2. (院州中考)解程和+(1一一 移项,得:3x-x-2-1. 例1 合并同类项,得:2x一1 2 解析:去分母,得:3x十(1一x)一4(x十1) 则原方程的解为::一 2: 去括号,得:3x+1-x-4x十4 例3(随州中考)我国元朝朱世杰所著的 移项,得:3x-x-4x-4-1 合并同类项,得:-2x一3 《算学启蒙》中记载:“良马日行二百四土里,驽 马日行一百五十里,驽马先行一十二日,问良马 22 第一篇 数与代数 几何追及之,”意思是:“跑得快的马每天走240 2.解分式方程时,去分母后所得整式方程 里,跑得慢的马每天走150里,慢马先走12天; 的解有可能使原方程中的分母为0,所以应进 快马几天可以追上慢马?”若设快马:天可以 行如下检验:将整式方程的解代人最简公分母, 追上慢马,则可列方程为 ) 如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解 A.150(12+x)-240 是原分式方程的解;如果最简公分母的值为0. B.240(12+x)-150 则整式方程的解不是原分式方程的解 C.150(x-12)-240 3.由实际问题抽象出分式方程的关键是分 D.240(x-12)-150x 析题意找出相等关系 解析:设快马x天可以追上慢马,依题意, 例5 (成都中考)分式方程 -44- 得:150(x+12)-240x.故选A 1的解为 例4(滨州中考)在物理学中,导体中的 电流I跟导体两端的电压U、导体的电阻R之 解析:去分母得:3一x-1一x一4,解得: U x一3,经检验,工一3是分式方程的解,故答案 间有以下关系:I一 为-3. 其变形的依据是 例6 ) (衡阳中考)“绿水青山就是金山银 A.等式的性质1 山”.某地为美化环境,计划种植树木6000棵。 B.等式的性质2 由于志愿者的加人,实际每天植树的棵数比原 C.分式的基本性质 计划增加了25%,结果提前3天完成任务,则 实际每天植树 D.不等式的性质2 棵. 解析:将等式I一 解析:设原计划每天植树工棵,则实际每 6000 质上是在等式的两边同时乘R,用到的是等式 天植树(1十25%)x棵,依题意得: 7 的基本性质2.故选B 6000 (1+25%)x -=3,解得:x二400,经检验,x= 考点2 分式方程的解法及应用 400是原方程的解,且符合题意,所以(1十 1.解分式方程的步骤;①去分母;②求出整 25%)x-500.故答案为500 式方程的解:(③检验:④得出结论 素养整合 2 (淄博中考)若关于x的方程- 例7 解析:原方程化为整式方程得;2一x一m 2(x-2). 2十n -2的解为正数,则n的取值范围是 2-2 解得:=2-” 7 ,。_ ) 2 十n 因为关于x的方程。 一2的解 A.n<6 B.m6 -22-x C.m6且n去0 D.n>6且n去8 23 初中学业水平考试总复习·数学 解,则a的值为 ) 解析:去分母得:x一a-ax十a,整理得: 又因为x-2时原方程无解,所以2-” {2,解 (1一a)x一2a,由于分式方程无解,所以有两种 情况,①分母为0,即x-1,所以a-1-2a,解 得;m关0,所以m的取值范围是m 6且n:0. 得a=-1;②整式方程无解,即1-a-0,解得 例8 +1 a-1.所以a-士1. 达标演练 一、选择题 7 1.(怀化中考)一元一次方程x一2一0的解是 C A.x-2 B.--2 去分母变形正确的是( ) C.x-0 D.x-1 A.-1+x=-1-2(x-2) B.1---1-2(r-2) C.-1+x=1+2(2-x) ~ D.1- =-1-2(r-2) 7.(武汉中考)将正整数1至2018按一定规律 A.3(x+1)-1-2x 排列如下表: B.2(r+1)-1-3x 2 3 4 5 6 7 8 C.2(x+1)-6-3x 12 13 11 10 11 D.3(x+1)-6-2 9 15 16 3.(贵州中考)如果3ab2*-1与9ab”是同类 _0 17 。 20 22 23 10 21 24 项,那么等于 ) 25 2 31 27 28 30 32 B.1 A.2 。 C.-1 D.0 4.(思施州中考)一商店在某一时间以每件12 平移表中带阴影的方框,方框中三个数的和 可能是( ) 元的价格卖出两件衣服,其中一性盈利 A.2019 20%,另一件亏损20%,在这次买卖中,这家 B.2018 C.2016 商店( ) D. 2013 A.不盈不亏 B.盈利20元 8.(济宁中考)世界文化遗产“三孔”景区已经完 C.亏损10元 D.亏损30元 成5G基站布设,“孔夫子家”自此有了5G网 络,5G网络峰值速率为4G网络峰值速率的 2 5.(哈尔滨中考)方程 __ 3x-11 10倍,在峰值速率下传输500兆数据,5G网 1. 2 络比4G网络快45秒,求这两种网络的峰值 A.一 1. B一 3 速率,设4G网络的峰值速率为每秒传输, 24 第一篇 数与代数 A 兆数据,依题意,可列方程式 一车,最终剩余2辆车,若每2人共乘一车, 500 500 A. .-45 最终剩余9个人无车可乘,问共有多少人, 10x 多少辆车? B.10 500 500 -45 5000 C. 0500 -45 7 500 5000 D. & -45 二、填空题 7-3 3_的解是 9.(滨州中考)方程 十1- 2-3 15.(贵阳中考)第33个国际禁毒日到来之际, 2-2 某市策划了以“健康人生,绿色无毒”为主题 的禁毒宣传月活动,某班开展了此项活动的 10.一个书包的标价为115元,按8折出售仍可 知识竞赛,学习委员为班级购买奖品后与生 获利15%,该书包的进价为 元. 活委员对话如下: 11.(湖南湘西州中考)若关于)的方程3x一 我买了两种钢笔,共100支 x十2一0的解为2,则的值为 单价分别为6元和10元,买 奖品前我领了1300元,现 12.(临沂中考)任何一个无限循环小数都可以 在还378元. 写成分数的形式,应该怎样写呢?我们以无 你肯定搞错了! 限循环小数0.7为例进行说明;设0.7-x. 由0.7-0.7777...可知,10x=7.7777..,所 (1)请用方程的知识帮助学习委员计算一 以10x一文=7,解方程,得x= 下,为什么说学习委员搞错了? (2)学习委员连忙拿出发票,发现的确错了, 因为他还买了一本笔记本,但笔记本的单价 已模糊不清,只能辨认出单价是小于10元 13.(黑龙江中考)已知关于x的分式方程 的整数,那么笔记本的单价可能是多少元? r-3 -4- 3-2 一的解为非正数,则:的取值范围 是。 三、解答题 14.(甘肃中考)中国古代人民很早就在生产生 活中发现了许多有趣的数学问题,其中《孙 子算经》中有个问题,原文:今有三人共车 二车空;二人共车,九人步,问人与车各几 何?译文为:今有若干人乘车,每3人共乘 125 初中学业水平考试总复习·数学 16.(温州中考)某经销商3月份用18000元购 17.(荆州中考)荆州古城旁“荆街”某商铺打算 进一批T衫售完后,4月份用39000元 购进A,B两种文创饰品对游客销售,已知 购进单批相同的T恼衫,数量是3月份的2 1400元采购A.种的件数是630元采购B 倍,但每件进价涨了10元 种件数的2倍,A种的进价比B种的进价 (1)4月份进了这批T血衫多少件? 每件多1元,两种饰品的售价均为每件15 (2)4月份,经销商将这批T衫平均分给 元;计划采购这两种饰品共600件,采购B 甲、乙两家分店销售,每件标价180元,甲店 种的件数不低于390件,不超过A种件数 按标价卖出a件以后,剩余的按标价八折 的4倍. 全部售出:乙店同样按标价卖出&件,然后 (1)求A,B饰品每件的进价分别为多少元? 将>件按标价九折售出,再将剩余的按标价 (2)若采购这两种饰品只有一种情况可优 七折全部售出,结果利润与甲店相同 惠,即一次性采购A种超过150件时,A种 ①用含a的代数式表示b; 超过的部分按进价打6折.设购进A种饰 ②已知乙店按标价售出的数量不超过九折 品:件: 售出的数量,请你求出乙店利润的最大值 ①求:的取值范围; ②设计能让这次采购的饰品获利最大的方 案,并求出最大利润 26 原式=100-199 232.x 100100 5.C 解析：3x=。'x(3x-1D 21.解：(1)，①和②能够重合，③和④能3(3x-1) 31,所以2x=9x一3，即正=号，经检 够重合，AE=a,DE=b, ,.PQ=a一b,故答案为：a-b: 验江=7是方程的根，故方程的解为工= 7· (2).a2-2ab-b=0. 6.D解析：去分母得1一x=一1一2(x一 .a2-2ab+b2-2b”=(a-b)2-2b”= 2). (a-b+√2b)(a-b-√2b)=0, 7.D解析：设中间数为x,则另外两个数 .a-b十√2b=0或a-b-√2b=0,即a分别为x-1、x+1,故三个数之和为(x一1)十 =b-√2b(负舍)或a=b+√2b, x+(x+1)=3.x,根据题意得：3.x=2019、3z “这四个矩形的面积都是5，EP=5 =2018、3.x=2016、3.x=2013,解得：x=673,x 672号（舍去）.x=672,x=671.因为673日 EN=5 84×8十1，所以2019不合题意，舍去：672=84 ×8,所以2016不合题意，含去：671=83×7+ S四边形AD (a+b). :7,所以三个数之和为2013. S形PQMN 5_ (a-b)b-a 8.A解析：设4G网络的峰值速率为每 5(a+b)】 (a+b)· 秒传输上兆数据，依题意，可列方程：500 ab (a十b)2a2+b2+2ab 5(a-b) (a一b)· (a-b)2 a+b2-2ab 500 =45. ab 10x a+6+a2-b=a= (b+√2b) 9.x=1 a2+62-a2+6=6 一3+ 10.80解析：设该书包的进价为x元，可 22. :列方程：115×0.8一x=15%.x,解得：x=80. 11.4解析：把x=2代入即可求出. 第2章方程（组）与不等式（组） 2.1一元一次方程与分式方程的解法及应用 12. 4 1.A解析：x-2=0,解得x=2. 13.A解析：本题考查了分式方程的解 D解析：方程】（x十1D=1一-工的两：法，用含字琴的式子表示方程的解，解分 边同时乘6，得3(x十1)=6-2.x. 程可得x=令十4，因为解为非正数，所以专十 3 3.A解析：根据题意可得2m一1=m十：4≤0，得k≤一12. 1,解得n=2, 14.解：共有39人，15辆车 4.C解析：设两件衣服的进价分别为x、 15.解：(1)钢笔的数量不可能是小数，所 y元，根据题意得120一x=20%x,y一120=：以学习委员搞错了； 20%y,解得x=100,y=150,所以120+120 (2)笔记本的单价可能是2元或6元. -100-150=-10(元). 16.解：(1)4月份进了300件T恤衫： —203 (2)①6=150，-0，@乙店利润的最大值为 件，商铺获利最大，最大利润为3630元. 2 2.2二元一次方程组 3900元. 1.D 17.解：(1)设A种饰品每件的进价为a 2.C 元，则B种饰品每件的进价为(a一1)元， 3.D 由题意得1400-630 4.C解析：根据“小马十大马=100匹” a a-l ×2, 及“小马拉瓦的片数十大马拉瓦的片数=100 解得a=10, 经检验，a=10是所列方程的解，且符合片，得 x+y=100, 1 从而求解。 题意， 3x+3y=10 a-1=9, 5.C解析：根据题意列出二元一次方程 答：A种饰品每件的进价为10元，则B种组，从而解决问题. 饰品每件的进价为9元： 6.B解析：设可以购买x支康乃馨，y支 600-x≥390， (2)①由题意得 百合，根据总价=单价×数量，即可得出关于 600-x≤4x, :xy的二元一次方程，结合x、y均为正整数 解得120≤x≤210， 即可得出小明有4种购买方案 ∴.购进A种饰品件数x的取值范围为： 7.B 120≤x≤210，且x为整数： x+3y=-1,① 8.1解析：解方程组 ②设采购A种饰品x件时的总利润为e: 2x+y=3,② 元， ①+②×2，得5.x+5y=5,故x+y=1. 当120≤x≤150时，e=15×600-10.x 9.m≤一2 9(600-x)=-x+3600. 3 -1<0, 2 10. .e随x的增大而诚小， b=- 2 .当x=120时，有最大值是一120+ 11.44-16√6 解析：设小矩形的长为a, 3600=3480, 当150<x≤210时，e=15×600-[10× 宽为b,依题意得 150+10×60%(x-150)]-9(600-x)=3x a=b+23, a=43-22, 解得 则图 +3000, a=2b+22. b=25-22. 3>0, ③中，阴影部分的面积为(a一3b)2=(4√3 心随x的增大而增大， 2√2-63+6√2)2=44-166 ·当x=210时，w有最大值是3×210+ 12.4解析：设2m的钢管b根，根据题 3000=3630. 意得a十2b=9,由a、b均为整数， ,3630>3480. a=1,ja=3,a=5,a=7, 得 .e的最大值是3630，此时600一x=600: b=4,b=3,b=2,b=1. -210=390. x=2, 13.(1) 即当采购A种饰品210件，B种饰品390： y=1 —204