1.3 二次根式-2024年初中学业水平考试数学总复习

初中学业水平考试总复习·数学》 1.3二次根式 学业要求 1.了解二次根式、最简二次根式、同类二次 3.能用二次根式的性质√a=|a|来化简 根式的概念 根式 2.掌握二次根式有意义的条件和基本性质 4.会用二次根式（根号下仅限于数）的加、 (a)2=a(a≥0). 减、乘、除运算法则进行简单的四则运算 考点示例 将x的取值范围分段进行讨论解答. 考点1二次根式的概念及性质 √x-2x+1+√x-√(x-1)+- 1.二次根式的有关概念 x-1+|x. 形如a(a≥0)的式子叫做二次根式.其中 当x≤0时，x一1<0，原式=1一x+( 符号“”叫做二次根号，二次根号下的数叫 x)=1-2x: 做被开方数 当0<x≤1时，x一1≤0，原式=1一x十x 注意：被开方数a只能是非负数.即要使 =1: 二次根式a有意义，则a≥0. 当x>1时，x-1>0,原式=x一1十x= 2.二次根式的性质 2.x-1. (1)a≥0(a≥0)：(2)(Wa)2=a(a≥0)： 考点2二次根式的运算 a(a>0) (3)a=a=0(a=0) 1.二次根式加减：先将二次根式化成最简 -a(a<0) 二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行 例1（衡阳中考）如果二次根式√a一1有 合并. 意义，那么实数a的取值范围是( 2.二次根式的乘、除法：√a·√b=√ab(a A.a>1 B.a≥1 C.a<1 D.a≤1 ≥0，b≥0，日=6(a≥0，b≥0. 解析：根据二次根式中的被开方数是非负 3.在二次根式的运算中，实数的运算性质 数可知a一1≥0，解得a≥1，故选B. 和法则同样适用.二次根式的混合运算顺序是： 例2（广西中考）已知x为实数时，化简 先算乘除，后算加减，有括号时，先算括号内的 x-2x+1+√x2 (或先去括号). 解析：根据√a2=|a,结合绝对值的性质， 例3（武汉中考）下列各式计算正确的是 12 收第一篇数与代数 () 该选项符合题意：D.12÷2=23÷2=√3，原 A.2+5=5 计算错误，该选项不符合题意，故选C B.43-33-1 C.2×3=6 例4（俸安中考）计第8·6-3/厚 D./12÷2=6 解析：先计算乘法，再合并.8·6一 解析：A.√2十√3≠5，原计算错误，该选 项不符合题意；B.43一33=3，原计算错 =8-8×23=45-25=23,故 33 误，该选项不符合题意：C.2×3=√6正确， 答案为23. 素养整合 例5（宜宾中考）《数学九章》是中国南宋 现有周长为18的三角形的三边长满足a:b:c 时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已 =4:3:2,则用以上给出的公式求得这个三角 知三角形三边长a,b、c,求面积的公式，其求法 形的面积为 是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘 解析：根据周长为18的三角形的三边长满 于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实 足a:b:c=4:3:2,求得a=8,b=6,c=4, 一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写 代入公式即可求解.故答案为3√15. 成公式，即为S= 2a2- 达标演练 一、选择题 3.(荆州中考)若x为实数，在“(5+1)☐x”的 1.(绥化中考)若式子√x+I十x在实数范围 “☐”中添上一种运算符号（在“十，一，×，÷” 内有意义，则x的取值范围是() 中选择)后，其运算的结果为有理数，则x不 A.x>-1 可能是( B.x≥-1 A.3+1 B.3-1 C.x≥-1且x≠0 D.x≤-1且x≠0 C.23 D.1-3 2.(荆门中考)下列等式中成立的是( 4.(安顺中考)估计(25+52)X,5的值应 A.(-3.x2y)3=-9.x"y3 B2=安-(2 在( A.4和5之间 B.5和6之间 C2÷(后+=2+6 C.6和7之间 D.7和8之间 5.(娄底中考)2、5、m是某三角形三边的长，则 D.(x+1)(x+2)x+1x+2 √（m一3)2+√(m-7)2等于() 13 一鱼初中学业水平考试总复习·数学》 A.2m-10 B.10-2m 三、解答题 C.10 D.4 6.(大连中考)下列计算正确的是() 1.(兰州中考)计算：5+，）×5。 A.-8=2 B.W(-3)=-3 C.25+3/5=55 D.(2+1)=3 二、填空题 7.(孝感中考)式子√a+2在实数范围内有意 义，则a的取值范围是 8.(武汉中考)计算√（一5）的结果是 9.(荆州中考)已知：a= ()厂+(-B)°，6= 15.(襄阳中考)先化简，再求值：(a+2b)2+ (3+2)(3-2),则a+b= (a+2b)(a-2b)+2a(b-a),其中a= 10.(朝阳中考)计算：√63÷√7一-4| 3-2,b=3+2. 11.(遂宁中考)实数a、b在数轴上的位置如图 所示，化简a+1-√/(b-1)+√(a-b) 。 12.(荆州中考)若3一√2的整数部分为a,小数 部分为b,则代数式(2+√2a)·b的值是 13.(达州中考)人们把2≈0.618这个数叫 做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的 “0.618法"就应用了黄金比.设a=5-1 2 6=5+1 1 2 2记s气1十a十1十65t大 2 100 100 1+6,5m=1十aw十1+bm,则S,十 S2十…十S1∞= 14 收第一篇数与代数 16.(山西模拟)小明在解决问题：已知a= 17.(张家界中考)阅读下面材料： 1 ,求2a2一8a十1的值.他是这样分析 将边长分别为a,a十D,a+2石，a十3√ 2+3 的正方形的面积分别记为S1,S:,Sa,S. 与解答的： 则S2-S1=(a+b)2-a 1 2-√3 2+52+32-3)=2-8, :a =[(a+b)+a]·[(a+b)-a] =(2a+b)·√6 ∴.a-2=-3, ∴.(a-2)2=3,a2-4a+4=3, =b+2a√万 ∴.a2-4a=-1, 例如：当a=1,b=3时，S:-S,=3+23 ∴.2a2-8a+1=2(a-4a)+1=2X 根据以上材料解答下列问题： (-1)+1=-1. (1)当a=1,b=3时，S8-S2=_ 请你根据小明的分析过程，解决以下问题： S,-S3= (1)化简， 1 1 1 (2)当a=1,b=3时，把边长为a十n√b的 十…十 2+ī3+24+3 正方形的面积记作S。+1,其中n是正整数， 1 从(1)中的计算结果，你能猜出Sm+1一S /50+/49 等于多少吗？并证明你的猜想： (2)比较6-5 7一√6：（填“>” (3)当a=1,b=3时，令t1=S2-S1,t2= 或“<”) Sa-S2,13=S1-S3,…,tm=Sw+1-Sm,且 (3)A题：若a=√2+1，则a2-2a十3= T=t1十t2十t十…十to,求T的值 B题：若a=3- ，则4a2-4√3a+7= 1521.解:,x-2x-1-0 '.x-2x-1. '3x-10x+5x+2027 -3x(-2x)-4(r-2)-3+2027 把a和b代入3a一 -3x×1-4×1-3x+202 13.a(a-3)? 解析:先提公因式a,再利 -3x-4-3x+2027 用完全平方公式进行因式分解即可, -2023 14.5解析:设正方形a、、c、d的边长分 22.(1)③3×4×100+25;(2)相等,证明 别为a、、c、d,所以“优美矩形”ABCD的周长 见解析;(3)a-5. 为2 6,所以4d+2c-26,因为a=2b,c-a+ 解析:(1)③仔细观察①②的提示,再用含 有相同规律的代数式表示即可; b,d-a+c,所以c-3,则b- 3,所以d一 (2)由a5}-(10a+5)②-100a*+100+ 5 3 26十)一 3,则c 25.再计算100a(a+1)+25,从而可得答案; (3)由a5{}与100a的差为2525,列方程 所以d-5. 整理可得a^{}一25,再利用平方根的含义解方 3 15.- 解析:直接利用完全平方程. 公式求解。 23.解:(1)由图可知S=(a十2)(a+1) 16.36 解析:先提公因式,再利用完全平 ={}+3a+2,S=(5a+1)x1=5a+1 方公式分解因式,最后整体代入求值即可. 当$=2时,S+$=4+6+2+10+1 11 17.73032 11 23; 解析:由题意可得 a: : (2)S>S. 12 2 1 理由:.S-S-a*+3a+2-5a-1= 13'= 8 2 a-2a+1-(a-1)*, 2 因此:一 3(n-1)+1 。 又:a>1, .(a-1>0. 18.(1)原式-(a*+9a*)-a{}-10a*-a^{} -10a. .S>S. 1.3 二次根式 (2)(2)原式-x-4y{-(3y-4y) -*-4y*-3y+4y& 1.C 解析:根据二次根式被开方数不能 -.-3y. 为负数,负整数指数寡的底数不等于0,计算求 19.原式-4r^+12xy+9y-4.r+y- 值,由题意得;x十1二0且x:0,..x-1且 x-0. 6xy-10y-6xy,当r-v2,- 6 ## -1时,原 2.D 解析:根据积的乘方和暴的乘方对 式-6××(01)-6/(# A进行判断;利用平方差公式对B进行判断; 利用分母有理化和二次根式的乘法法则对C 20.原式-2a(a*-6a+9) 进行判断;利用通分可对D进行判断. -2a(a-3). 3.C 解析:根据题意,添上一种运算符号 199 后逐一判断,(3+1)与23无论是相加,相 ③+...+50-49-50-1=5v2-1; 减,相乘,相除,结果都是无理数。 4.B 解析:原式-2+10,因为3 10 1.又·+<7十, <4,所以5<2+10<6 /7十6 5.D解析:2、5、是某三角形三边的长, 1-、7- 所以5-2 m 5+2,故3 n 7 . 6+57+6 6.C 解析:分别化简二次根式判断即可. :6. 7.-2 解析:根据被开方数大于等 (3)A题:.a-②+1..a-1-/②, 于0列式计算即可得解 .(a-1)-2. 8.5 解析:根据二次根式的性质解答。 ..a-2a+3-(-1)+2-2+2-4 9.2 解析:先计算出a,b的值,然后代入 ③十1 所求式子即可求得相应的值. ③-1 2 10.-1解析:原式- 63-7-4-3-4 _一1. .2a-1-3..(2a-1)-3. 11.2 解析:由数轴可得,-1<a<0,1< ..4a-4/③a+7-(2a-1)+6-3+6$ b<2,所以a+1>0,b-1>0,a-b0. -9. 12.2 解析:因为1</2<2,所以1<3- 17.解:S-S=(a+26)-(a十) 2<2,因为3一2的整数部分为a,小数部分 -a+4a、 +4b-a-2a -b$ 为b,所以a=1,b-3-/②-1-2-/② -2a6+3. 5-1 当-1,b-3时,S-S-9+2/3; 13.5050 解析:根据a= 2 .b一 S.-S-(a+3)-(a+26)-a* 5十1 一1然后利用分 +6a6+96-a-4a6-46 2 -2a6+5. 式的加减法则分别可求S.-1,S-2,So= 100....,利用规律求解即可 当-1,b-3时,S-S-15+2/3; 故答案为:9十2③;15+23; (2)S-S-6n-3+2v3; 证明:S一S. -(1+/③”)-1+(n-1)/③ 2-42. -[2+(2n-1)/③]x③ 15.解:原式-a^{?}十46}+4ab十a{-46{十 -3(2n-1)+2③ $ab-2a-6ab,':a-3-2,b-3+2, -6n-3+23; .原式-6ab-6×(3-②)(3+/②)= (3)当a=1,b-3时,T-7.+t。+t+ 6. 16.解:(1)原式=2-1+/3-②+4-: -S-S.+S-S+S.-S..+S-S 200 -S-s m-2n+1 m m -(1+503)-1 (m+1)(n-1) (n-1) n n-1 -7500+1003. n (m+1)(m-1) m+l 1.4分式 (2)解:原式=(a-2) a(a+2) 1.B 解析:根据分式的分母不能为0即 (a+2)(a-2) a-2 可得答案。 +3 2.A 解析:由题意得:x-1=0,且工 --2.a(a+2) 十3 a十2 -1-0,解得;x--1. a-2 3.B 解析:根据分式的乘除法的运算顺 -+3 [(m+2)(2-m) 序进行计算即可求解, 5) 14.解:原式一 4.C 解析:根据被开方数大于等于0,分 2-n 2(n-2) /4-n 母不为0以及零次幕的底数不为0,列式计算 2(n-2) #(2-m2- . 3-m 3-m 即可得解. 9-} 2(n-2) (m+3)(3-m) 5.D 解析:先将分式化简,再代入值求解 . 2-n 3-n 2-n 即可。 2(m-2) 6.D 解析:化简前几个数,得到a,以三 --2(m+3)--2m-6. 3-n 个数为一组,不断循环,且2021一3一673...... .2-m:0,3-m0...m子2.m字3, 2.所以a一a。,再代数求值即可 又.m为满足-1n 4的整数,.m= a十b 7.B ,0或m-1. 当m=0时,原式=-2n-6=-2×0-6$$$ 然后利用完全平方公式得出a-b-ab,a十 一-6. b一5ab,代入计算即可得出结果. 当m=1时,原式=-2n-6=-2x1-6$$ 8..字1 解析:根据分式有意义的条件可 一-8. 知x-1-0,x子1. 综上,当n三0时,式子的值为一6;当 9.m 解析:根据分式的加减运算法则即 一1时,式子的值为一8 可求出答案. #)- 1 15. 解: 解析:先通分,再加减。 -1 11.2 解析:直接把a的值代入计算即 可。 2 12. 解析:根据分式混合运算的顺 (x十1)(r-1) a十2 -1≠0,x≠0.,x去士1.r≠0. 序,依次计算即可。 当x=③时,原式= ③+1 7 7 m-3m+1+n ③-1 (n+1)(m-1) ③-1 , (③+1)③-1) n 2 201