精品解析：山东省济南市槐荫区2023-2024学年八年级下学期数学期末试题

2023～2024学年度第二学期期末质量检测 八年级数学 本试题分试卷和答题卡两部分．第Ⅰ卷满分为40分；第Ⅱ卷满分为110分．本试题共8页，满分为150分．考试时间为120分钟． 答卷前，请考生务必将自己的姓名、准考证号、座号、考试科目涂写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号、座号填写在试卷规定的位置．考试结束后，将试卷、答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 注意事项： 第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答案写在试卷上无效． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 如图是《九章算术》中“堑堵”的立体图形，它的左视图为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，平移到的位置，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 平移距离为线段的长 3. 近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分，如图为槐荫区勾股数学公众号二维码，小莲将二维码打印在面积为20的正方形纸片上，为了估计黑色阴影部分的面积，她在纸片内随机掷点，经过大量试验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.75左右，则据此估计此二维码黑色阴影部分的面积为（ ） A. 15 B. 5 C. 0.75 D. 0.25 4. 如图，矩形的对角线相交于点．若，则（ ） A. B. C. D. 5. 某一时刻在阳光照射下，广场上的护栏及其影子如图1所示，将护栏拐角处在地面上的部分影子抽象成图2，已知，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 若是关于x的一元二次方程的一个解，则方程的另一个解是（　　） A. 2 B. ﹣1 C. 0 D. ﹣2 7. 如图，一根竹竿斜靠在竖直的墙上，P是的中点，在竹竿的顶端沿墙面下滑的过程中，长度的变化情况是（　　） A. 不断增大 B. 不断减小 C 先减小后增大 D. 不变 8. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为x天，则下列分式方程正确的是（） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，，，将菱形绕点O旋转任意角度得到菱形，则点的纵坐标的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 10. 如图，在正方形中，点、分别在、上，连接、、，．若，则一定等于（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 注意事项： 所有答案必须用0.5毫米的黑色签字笔（不得使用铅笔和圆珠笔）写在答题卡各题目指定区域内（超出方框无效），不能写在试卷上，不能使用涂改液、修正带等． 不按以上要求作答，答案无效． 二、填空题（本大题共6个小题．每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的横线上．） 11. 汽车雨刮器是扫除车窗玻璃上妨碍视线的雨雪和尘土的重要工具，若两个雨刮器的刷片长度相同，即，某时刻雨刮器位置如图所示，此时，则________（填“＞”“＜”“＝”）． 12. 分式方程的解为__________． 13. 若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是_________. 14. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为_______． 15. 定义：对角线垂直的四边形叫做“对垂四边形”．如图，在“对垂四边形”中，对角线与交于点O，．若点E、F、G、H分别是边、、、的中点，且四边形是“对垂四边形”，则四边形的面积是___________． 16. 如图，在边长为2的正方形中，是边上一点，将沿翻折，得到．若为等边三角形，则______． 三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 18. 解方程：． 19. 如图，平行四边形的对角线，相交于点，过点且与、分别交于点、．求证：． 20. 如图，校园内有一棵与地面垂直树，数学兴趣小组两次测量它在地面上的影子，第一次是阳光与地面成60°角时，第二次是阳光与地面成30角时，已知两次测量的影长相差8米，则树高AB为多少？___．（结果保留根号） 21. 如图，在平行四边形中，为线段的中点，连接，，延长，交于点，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求四边形的面积． 22. 人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．人工智能市场分为决策类人工智能、人工智能机器人、语音类人工智能、视觉类人工智能四大类型，将四个类型的图标依次制成，，，四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上． （1）随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为 ； （2）从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的三张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求抽到的两张卡片恰好是“决策类人工智能”和“视觉类人工智能”的概率． 23. 【教材呈现】如下是北师大版九年级上册数学课本第6页的部分内容． 如图1，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧分别相交于点、，依次连接、、、，四边形看上去是菱形． 图1 你是怎么做的？你认为小刚的做法正确吗？与同伴交流． 定理 四边相等的四边形是菱形． 请你完成这个定理的证明． （1）结合教材图1，完成这个定理证明： （2）应用上述定理解决实际问题 周末，小辰和妈妈买回来一盏简单而精致的吊灯，其截面如图2所示，四边形是一个菱形内框架，四边形是其外部框架，且点、、、在同一直线上，． ①求证：四边形外框是菱形； ②若外框的周长为，，，直接写出的长． 图2 24. 某花市销售一批花，平均每天可售出20盆，每盆盈利45元．为了扩大销售、增加盈利，尽快减少库存，决定采取适当降价措施．经调查发现，如果每盆花每降价1元，平均每天可多售出4盆．请根据题意，完成下列问题： （1）①若每盆花降价5元，则每盆花盈利 元，每天可售出 盆； ②若每盆花降价x元，则每盆花盈利 元，每天可售出 盆；（用含x代数式表示） （2）若花市平均每天盈利2400元，每盆花应降价多少元？ 25. 阅读与思考：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项．使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如，求代数式的最小值： 可知当时，有最小值，最小值是． 再例如，求代数式的最大值： ． 可知当时，有最大值．最大值是． 【直接应用】 （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______； （2）求当取何值时，代数式有最大或最小值？这个最大或最小值是多少？ 【知识迁移】 （3）如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形的生物园，生物园的一面靠墙（墙足够长），设垂直于墙的一边长为米，请用配方法求围成的生物园的最大面积． 26. 在等腰中，，以底角顶点作等腰，使，连接，分别以、为邻边作，连接． （1）如图1，当点在边上（不与点、重合），且点在外部时，判断中，与的数量关系为______，位置关系为______； （2）如图2，将图1中绕点逆时针旋转，当点落在线段上时，连接．求证：； （3）如图3，将绕点继续逆时针旋转，当为菱形，且在的下方时，若，，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023～2024学年度第二学期期末质量检测 八年级数学 本试题分试卷和答题卡两部分．第Ⅰ卷满分为40分；第Ⅱ卷满分为110分．本试题共8页，满分为150分．考试时间为120分钟． 答卷前，请考生务必将自己的姓名、准考证号、座号、考试科目涂写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号、座号填写在试卷规定的位置．考试结束后，将试卷、答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 注意事项： 第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答案写在试卷上无效． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 如图是《九章算术》中“堑堵”的立体图形，它的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据左视图的意义和画法可以得出答案． 【详解】解：∵该几何体为放倒的三棱柱， ∴根据左视图的画法，从左往右看，看到的是一个直角在左边的直角三角形， 故选：A． 【点睛】本题考查简单几何体的三视图，熟练掌握简单几何体的三视图是解答本题的关键．从正面、上面和左面三个不同的方向看一个物体，并描绘出所看到的三个图形，即几何体的三视图． 2. 如图，平移到的位置，则下列说法错误的是（ ） A B. C. D. 平移距离为线段的长 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平移的性质，平移前后图形的大小和形状不发生改变，对应线段相等且互相平行，对应点之间的连线互相平行，根据平移的性质逐项进行判断即可． 【详解】解：由平移的性质可知，，故选项A不符合题意； 由平移的性质可知，，故选项B不符合题意； 由平移的性质可知，，故选项C不符合题意； 由平移的性质可知，平移距离为线段的长，故选项D符合题意； 故选：D． 3. 近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分，如图为槐荫区勾股数学公众号二维码，小莲将二维码打印在面积为20的正方形纸片上，为了估计黑色阴影部分的面积，她在纸片内随机掷点，经过大量试验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.75左右，则据此估计此二维码黑色阴影部分的面积为（ ） A. 15 B. 5 C. 0.75 D. 0.25 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，用总面积乘以落入黑色部分的频率稳定值即可． 【详解】解：经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.75左右， 据此可以估计黑色部分的面积为． 故选：A． 4. 如图，矩形的对角线相交于点．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形性质得出，推出则有等边三角形，即，然后解直角三角形解答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了等边三角形性质和判定、矩形的性质、正切的定义等知识点，求出是解答本题的关键． 5. 某一时刻在阳光照射下，广场上的护栏及其影子如图1所示，将护栏拐角处在地面上的部分影子抽象成图2，已知，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行投影，熟练掌握平行投影的性质是解题的关键．根据平行线的性质及角的和差即可求得． 【详解】解：∵某一时刻在阳光照射下，，且，， ∴，， ∴． 故选：B． 6. 若是关于x的一元二次方程的一个解，则方程的另一个解是（　　） A. 2 B. ﹣1 C. 0 D. ﹣2 【答案】B 【解析】 【分析】由一元二次方程根与系数的关系可得，然后将代入求解． 【详解】设方程的两个根为 由一元二次方程根与系数的关系可得， ∵为方程的解， ∴， 解得． ∴方程的另一个解是． 故选：B． 【点睛】本题考查解一元二次方程，根与系数的关系，解题关键是利用一元二次方程的根与系数的关系求解． 7. 如图，一根竹竿斜靠在竖直的墙上，P是的中点，在竹竿的顶端沿墙面下滑的过程中，长度的变化情况是（　　） A. 不断增大 B. 不断减小 C. 先减小后增大 D. 不变 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线和两点之间的距离，根据直角三角形斜边上的中线性质得出答案即可．能熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解此题的关键． 【详解】解：，为的中点， ， 即的长在竹竿滑动过程中始终保持不变， 故选：D． 8. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为x天，则下列分式方程正确的是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设规定时间为x天，则慢马送达所需时间为天，快马送达所需时间为天．慢马速度为里/天，快马速度为里/天．根据快马速度是慢马速度的倍，即可列出方程． 【详解】解：∵慢马所需时间比规定时间多1天，即天， ∴慢马速度为里/天； ∵快马所需时间比规定时间少2天，即天， ∴快马速度为里/天； 又∵快马速度是慢马速度的倍， ∴， 故选：A． 9. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，，，将菱形绕点O旋转任意角度得到菱形，则点的纵坐标的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】连接，过点C作轴于E，由直角三角形的性质可求， ，由勾股定理可求的长，据此进一步分析即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点C作轴于E， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当点在y轴上时，点的纵坐标有最小值为 故选：C 【点睛】本题主要考查了菱形的性质与勾股定理的综合运用，熟练掌握相关性质是解题关键. 10. 如图，在正方形中，点、分别在、上，连接、、，．若，则一定等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，涉及旋转的性质，添加合适的辅助线是解题的关键．根据正方形的性质可得，，将绕点顺时针旋转，得，易证，根据全等三角形的性质可得，进一步根据求解即可． 【详解】解：在正方形中，，， 将绕点顺时针旋转，得，、、三点共线，如图所示： 则，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 注意事项： 所有答案必须用0.5毫米的黑色签字笔（不得使用铅笔和圆珠笔）写在答题卡各题目指定区域内（超出方框无效），不能写在试卷上，不能使用涂改液、修正带等． 不按以上要求作答，答案无效． 二、填空题（本大题共6个小题．每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的横线上．） 11. 汽车雨刮器是扫除车窗玻璃上妨碍视线的雨雪和尘土的重要工具，若两个雨刮器的刷片长度相同，即，某时刻雨刮器位置如图所示，此时，则________（填“＞”“＜”“＝”）． 【答案】＝ 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，先根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得：四边形是平行四边形，然后利用平行四边形的性质即可解答，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 【详解】∵，， ∴四边形平行四边形， ∴， 故答案为：＝． 12. 分式方程的解为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程．熟练掌握解分式方程是解题的关键． 先去分母，将分式方程化成整式方程，求整式方程的解，最后进行检验即可． 【详解】解：， ， ， 解得，， 经检验，是原分式方程的解， 故答案为：3． 13. 若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是_________. 【答案】8 【解析】 【分析】根据多边形外角和是360度，正多边形的各个内角相等，各个外角也相等，直接用可求得边数． 【详解】解：多边形外角和是360度，正多边形的一个外角是， 即该正多边形的边数是8， 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了多边形外角和以及多边形的边数，解题的关键是掌握正多边形的各个内角相等，各个外角也相等． 14. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 所以，， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是明确当根的判别式大于0时，一元二次方程有两个不相等的实数根． 15. 定义：对角线垂直的四边形叫做“对垂四边形”．如图，在“对垂四边形”中，对角线与交于点O，．若点E、F、G、H分别是边、、、的中点，且四边形是“对垂四边形”，则四边形的面积是___________． 【答案】2 【解析】 【分析】连接，，交于点M，根据三角形中位线定理得到，，，可得四边形是平行四边形，再根据“对垂四边形”的性质得到垂直线段，从而逐步证明四边形是正方形，最后计算面积即可． 【详解】解：连接，，交于点M， ∵在四边形中，点E、F、G、H分别是边、、、的中点， ∴，，， ∴，同理：， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是“对垂四边形”， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵四边形是“对垂四边形”， ∴， ∴四边形是正方形， ∴四边形的面积为． 【点睛】本题考查了中点四边形，三角形中位线定理，特殊四边形的判定，解题的关键是利用“对垂四边形”，解题的关键是掌握特殊四边形的判定方法． 16. 如图，在边长为2的正方形中，是边上一点，将沿翻折，得到．若为等边三角形，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方形与折叠问题，等边三角形的性质，勾股定理等知识． 过点作，交于，则四边形是矩形，根据等边三角形、正方形与折叠的性质可得，，，，得，，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：在正方形中，，， 由折叠可知，，，， ∴， 过点作，交于，则四边形是矩形， ∵为等边三角形， ∴，则， ∴，，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， 在中，，即：， 解得：， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，根据同分母的分式的加减，进行计算，再约分即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 18. 解方程：． 【答案】 ， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，直接利用公式法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，． 19. 如图，平行四边形的对角线，相交于点，过点且与、分别交于点、．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质以及三角形的全等证明，根据平行四边形的性质，证明，即可得到．掌握平行四边形的性质得到全等三角形是解题的关键． 【详解】证明：四边形为平行四边形， ，， ， 在和中 ， ． 20. 如图，校园内有一棵与地面垂直的树，数学兴趣小组两次测量它在地面上的影子，第一次是阳光与地面成60°角时，第二次是阳光与地面成30角时，已知两次测量的影长相差8米，则树高AB为多少？___．（结果保留根号） 【答案】米 【解析】 【分析】设，利用正切的定义以及特殊角的正切值，表示出和，然后求解即可． 【详解】解：设米 在中，，则 在中，，则 ，即，解得 即米 故答案为米 【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，涉及正切的定义，解题的关键是掌握正切三角函数的定义以及特殊角的正切值． 21. 如图，在平行四边形中，为线段的中点，连接，，延长，交于点，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）证明，见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质，得，根据平行线的性质，得，；再根据为线段的中点，全等三角形的判定，则，根据矩形的判定，即可； （2）过点作于点，根据勾股定理，求出的长，再根据四边形的面积等于，即可． 【小问1详解】 ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵为线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形． 【小问2详解】 过点作于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积等于， ∵，， ∵点是对角线的中心， ∴， ∴， ∴四边形的面积为：． 【点睛】本题考查矩形，平行四边形，全等三角形的知识，解题的关键是矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质． 22. 人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．人工智能市场分为决策类人工智能、人工智能机器人、语音类人工智能、视觉类人工智能四大类型，将四个类型的图标依次制成，，，四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上． （1）随机抽取一张，抽到决策类人工智能卡片的概率为 ； （2）从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的三张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求抽到的两张卡片恰好是“决策类人工智能”和“视觉类人工智能”的概率． 【答案】（1） （2）见解析， 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法，概率公式求概率． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）根据题意列表得出所有等可能结果，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵共有4张卡片， ∴从中随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意列表如下： 共有种等可能的结果数，其中抽到的两张卡片恰好是“决策类人工智能”和“视觉类人工智能”的结果数为2， 所以求抽到的两张卡片恰好是“决策类人工智能”和“视觉类人工智能”的概率． 23. 【教材呈现】如下是北师大版九年级上册数学课本第6页的部分内容． 如图1，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧分别相交于点、，依次连接、、、，四边形看上去是菱形． 图1 你是怎么做的？你认为小刚的做法正确吗？与同伴交流． 定理 四边相等的四边形是菱形． 请你完成这个定理的证明． （1）结合教材图1，完成这个定理证明： （2）应用上述定理解决实际问题 周末，小辰和妈妈买回来一盏简单而精致的吊灯，其截面如图2所示，四边形是一个菱形内框架，四边形是其外部框架，且点、、、在同一直线上，． ①求证：四边形外框是菱形； ②若外框的周长为，，，直接写出的长． 图2 【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】题目主要考查平行四边形、菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）由作图步骤可知，再由平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，利用菱形的判定即可证明； （2）①根据菱形的性质得出，，．再由全等三角形的判定和性质得出，即可证明； ②连接，交于点，根据勾股定理及菱形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：由作图步骤可知， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）①证明：∵四边形是菱形， ∴，，． ∵， ∴， ∴， ∵点、、、在同一直线上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； ②． 解：连接，交于点， ∵四边形是菱形，外框的周长为， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 24. 某花市销售一批花，平均每天可售出20盆，每盆盈利45元．为了扩大销售、增加盈利，尽快减少库存，决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每盆花每降价1元，平均每天可多售出4盆．请根据题意，完成下列问题： （1）①若每盆花降价5元，则每盆花盈利 元，每天可售出 盆； ②若每盆花降价x元，则每盆花盈利 元，每天可售出 盆；（用含x的代数式表示） （2）若花市平均每天盈利2400元，每盆花应降价多少元？ 【答案】（1）①40，40；② （2）25元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）①根据各数量之间的关系，列式计算；②根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出每盆的利润及日销售量；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）①利用销售每盆商品的利润原利润降低的价格、每天的销售量原销售量降低的价格，即可求出结论； ②若每盆降价元，则每盆盈利元，每天可售出盆； （2）利用总利润销售每盆的利润日销售量，即可得出关于的一元一次方程，解之取其较大值即可得出结论． 【小问1详解】 （元， （盆， 故答案为：40；40； 若每盆降价元，则每盆盈利元，每天可售出盆． 故答案为：；； 【小问2详解】 设每盆花应降价x元，根据题意得： 解得： ∴当时，；当时，； 由于要尽快减少库存，需要增加销售量，所以不合题意舍去． ∴． 答：每盆花应降价25元． 25. 阅读与思考：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项．使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如，求代数式的最小值： 可知当时，有最小值，最小值是． 再例如，求代数式的最大值： ． 可知当时，有最大值．最大值是． 【直接应用】 （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______； （2）求当取何值时，代数式有最大或最小值？这个最大或最小值是多少？ 知识迁移】 （3）如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形的生物园，生物园的一面靠墙（墙足够长），设垂直于墙的一边长为米，请用配方法求围成的生物园的最大面积． 【答案】（1）9；（2）当时，代数式有最小值，最小值为；（3）． 【解析】 【分析】本题主要考查配方法的实际应用能力，根据题意列出关系式是基础，配方是关键． （1）依据题意，由配方法的意义得，是完全平方式，进而判断可以得解； （2）依据题意，由，再由平方数是非负数进而可以判断得解； （3）依据题意，设垂直于墙的一边长为米，则另一边长为米，然后再表示出四边形的面积，结合x的取值范围进而可得围成的植 物园的最大面积． 【详解】解：（1）由题意得，是完全平方式． 故答案为：9； （2） 当时，代数式有最小值，最小值为． （3）设垂直于墙的一边长为米，则另一边长为米， 根据题意得： 当时，有最大值，最大值是50． 围成植物园的最大面积是． 26. 在等腰中，，以为底角顶点作等腰，使，连接，分别以、为邻边作，连接． （1）如图1，当点在边上（不与点、重合），且点在外部时，判断中，与的数量关系为______，位置关系为______； （2）如图2，将图1中绕点逆时针旋转，当点落在线段上时，连接．求证：； （3）如图3，将绕点继续逆时针旋转，当为菱形，且在的下方时，若，，求线段的长． 【答案】（1）； （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的性质、菱形的性质以及勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，寻找全等条件是难点． （1）首先推导出，结合，即可得解； （2）连接交于K，先证明，再证明是等腰直角三角形即可得出结论； （3）设交于H，当时，四边形是菱形，可证垂直平分，先求得，再求出即可得出长度． 【小问1详解】 解：；．理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形； 【小问2详解】 证明：如图2，连接，设交于， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； 【小问3详解】 解：当四边形是菱形时，得． 设交于， ∵，， ∴垂直平分， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $