重庆市重庆市沙坪坝区重庆市第八中学校2023-2024学年高二下学期7月期末数学试题

重庆八中2023—2024学年度（下）期末考试高二年级 数学试题 命题：胡文琦严傲 审核：苑繁宝 打印：严傲 校对：曹华荣 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项 中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上， 1.已知集合S={x|4<≤1}，T={x|-1<x<3引，则S∩T= A.0,1,2 B.{x|-1<x≤1 C.{x|-4<x<3 D.{x|-1<x<4 2.函数y=√3+1的图象在点(0,1+√)处的切线的倾斜角为 A B. 6 4 3 D 3.设随机变量X、B4,, 则D(4X+1)= A.3 B.4 C.12 D.13 4如图所示，太极图是由黑白两个鱼纹组成的图形图案，充分体现了相互转化、对称 统一的形式美、和谐美.定义：能够将圆O的周长和面积同时等分成两部分的函数称 为圆O的一个“太极函数”，则下列说法错误的是 A对于任意一个圆，其“太极函数”有无数个 B.函数f(x)=tanx可以是某个圆的“太极函数” C.函数f(x)=x3可以是某个圆的“太极函数” D.y=f(x)是“太极函数”的充要条件为“y=f(x)的图象是中心对称图形” 5.过点P(-1,1)的直线1与圆C:x2+y2+4x-2=0交于A,B两点，则AB的最小值为 A.25 B.√6 C.4 D.2 6.已知甲同学从学校的4个科技类社团，3个艺术类社团，2个体育类社团中选择报 名参加，若甲报名了两个社团，则在仅有一个是科技类社团的条件下，另一个是体育 类社团的概率 A号 B 3 D. 5 4 2 7.已知a=3 =6c=1og8,则 A.c<a<b B.a<c<b C.a<b<c D.b<c<a 8若对任意的x,x2∈[-1,0)，x<5, e-空<a恒成立，则a的最小值为 一52 A.- e B.-' C、2 D.-2 e e2 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项 中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，选对但不全的得部分分.有选错的得0分. 第1页共4页 小红P号95329州597 9.函数f(x)=ar2+4x+1与g(x)=x“在同一直角坐标系中的图象可能为 10某科技企业为了对一种新研制的专利产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的 价格进行试销，得到如下数据： 单价x(元) 40 50 60 70 80 90 销量y（件》 50 44 43 m 35 28 由表中数据，求得线性回归方程为9=-0.4x+66,则下列说法正确的是 A.产品的销量与单价成负相关 B.为了获得最大的销售额（销售额=单价×销量），单价应定为70元或80元 C.m=40 D.若在这些样本点中任取一点，则它在线性回归直线左下方的概率为} 1.已知各项均不为0的数列{a,}的前n项和为S,且4=1.3，=，0+1，对于任意 n∈N,2·2≥Sn成立，则下列说法正确的是 A.a2=3 B.数列{an}的通项公式为an=4n-1 C.S =n2 9 D.实数2的取值范围为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知g(x)=x3f(x),f(x),g(x)的导函数分别为f'(x),8'(x),且f)=f"I)=2, 则g'0)=■ 13.已知a,b均为实数且a>0,b>0,a+b=3,则】+的最小值为 a+l b 14如图，为我国数学家赵爽验证勾股定理的示意图，用五种颜色（其中一种为 黄色)对图中四个区域A,B,C,E进行染色，每个区域只能用一种染色.若必须使 B D 用黄色，则四个区域中有且只有一组相邻区域同色的染色方法有 种：若 不使用黄色，则四个区域中所有相邻区域都不同色的染色方法有 种 第2页共4页 小红书号96329别59 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)设数列{an}是各项均为正实数的等比数列，且43-a2=4,4=2. (1)求数列{a}的通项公式： (2)令bn=an+log2an,求数列{bn}的前n项和Sn· 16.(15分)已知函数f(x)=x+1,g(x)=x-1. (1)若a∈R,求不等式af(x)+g(x)<0的解集： (2)若b∈R，对x1,2],3x∈[4,5]，使得f(x)+f(x)=g(x)+b+8成立， 求b的取值范围. 17.(15分)已知函数f(x)=xe. (1)若关于x的方程f(x)=k有且只有一个实数根，求实数k的取值范围： (2)若关于x的不等式f(x)+f1-x>a对x∈[5,2)恒成立，求实数a的取值范围. 市 第3页共4页 小红用号96029别597 18.(17分)学校举行数学知识竞赛，分为个人赛和团体赛 个人赛规则：每位参赛选手只有一次挑战机会.电脑同时给出2道判断题A,A(判断 对错)和4道连线题（由电脑随机打乱给出的四个数学定理B,B,B,B,和与其相关的 数学家b,b2,b,b,要求参赛者将它们连线配对，配对正确一对数学定理和与其相关 的数学家记为答对一道连线题)，要求参赛者全都作答，若有4道或4道以上答对，则 该选手挑战成功. 团体赛规则：以班级为单位，每班参赛人数不少于20人，且参赛人数为偶数，参赛 方式有如下两种可自主选择其中之一参赛： 方式一：将班级选派的2个人平均分成组，每组2人，电脑随机分配给同组两个人 一道相同试题，两人同时独立答题，若这两人中至少有一人回答正确，则该小组闯关 成功.若这个小组都闯关成功，则该班级挑战成功. 方式二：将班级选派的2n个人平均分成2组，每组n人，电脑随机分配给同组n个人 一道相同试题，各人同时独立答题，若这个人都回答正确，则该小组闯关成功.若这 两个小组至少有一个小组闯关成功则该班级挑战成功： (1)在个人赛中若一名参赛选手全部随机作答，求这名选手恰好答对一道判断题并 且配对正确两道连线题的概率， (2)甲同学参加个人赛，他能够答对判断题A并且配对正确B与b,其余题目只能 随机作答，求甲同学挑战成功的概率 (3)在团体赛中，假设某班每位参赛同学对给出的试题回答正确的概率均为常数 (O<p<),为使本班团队挑战成功的可能性更大，应选择哪种参赛方式？说明理由. 19.（17分)已知箱圆C:号+芳=a>6>0)经过点H1-引，离心率：-分 (1)求椭圆C的标准方程： (2)设过点P(4,3)倾斜角为135的直线1与x轴，y轴分别交于点M,N,点R为椭 圆C上任意一点，求三角形RMN面积的最小值. (3)如图，过点P(4,3)作两条直线AB,CD分别与椭圆C相交于点A,B,C,D,设直 线AD和BC相交于点Q.证明点Q在定直线上. Fa 第4页共4 店 小红形号5y9159W 重庆八中2023一2024学年度（下）期末考试高二年级 数学试题 单项选择题， 题号 1 2 3 4 5 6 7 P 答案 B C C D C B D 1.【详解】集合S={x-4<x≤1，T=(x1-1<x<3},则S∩T={x-1<x≤1.故选： B. 2.【详解】根据题意，函数y=√5+l,y=√5e,当x=0时，y=√5，所以函数 y=V5e+1在点(0,1+√)处的切线斜率为匹.故选：C. 3.【详解】由题意得DX)=4×2x-3,故D4X+D=16DX)=12. 故选：C 444 4.【详解】任意一个圆O是关于圆心的中心对称图形，其“太极函数”有 无数个，故A正确：函数f(x)=tanx,f(x)=x3是奇函数，其图象关于原 点对称，将圆的圆心放在坐标原点上，则f()=tanx,f(x)=x是该圆的 “太极函数”，故B,C正确：函数y=f(x)的图象是中心对称图形，则 -x) y=f()是“太极函数”，但函数y=f(x)是“太极函数”时，图象不一 定是中心对称图形，如图，故D错误.故选：D. 5【详解】将圆C:x2+y2+4x-2=0化为(x+2)2+y2=6,圆心C(-2,0),半径r=√6， 因为(-1+2)'+1P<6,所以点P(-1,)在圆C内，记圆心C到直线 1的距离为d,则AB=2W6-d, 由图可知，当d=CP,即CP⊥1时，AB取得最小值，因为 CP=V(-1+2}2+12=√， 所以AB的最小值为26-2=4.故选：C. 6.【详解】根据题意，设事件A为“所报的两个社团中仅有一个是 科技类”，事件B为“所报两个社团中有一个是体育类”， 则PA=C·C=5 ,P(AB) CC=2,则PB1)= P(AB)2 故选：B P(A)5 7.【详解】b=log36与。比大小， 先比较6与3的大小，再比较62与3的大小.：6>33：b>a 红图 水红聘号68191597 c=1og,8与2比大小 先比较8与5的大小，再比较82与5的大小，82<53，c<a.即c<a<b,选A. 8.【详解因为5<5，所以5-5<0，则-e贮<a可化为c-Xe>a(K-), X1-X2 整理得e+>c+,因为5>0，所以二+>+8，令f)-+， xx x2 x2 xx 则函数f()在[-1.0)上递减，则f()=-)-“≤0在[-1,0)上恒成立，所以 2 e'(x-l)≤a在[-l,0)上恒成立，令g(x)=e(x-l),则g'(x)=e(x-l)+e=xe<0在 10)上恒成立，则8（四=(x-)在[-1.o)上递减，所以g()5g(-)=-名，故只 需满足：a≥-2.故选：D. 二、选择题： 题号 9 10 11 答案 ABC ACD ACD 9.【详解】对于A,二次函数开口向上，所以a>0,此时g(x)=x在(0，+o)为增函 数，符合： 对于B,二次函数开口向下，所以a<0,此时存在g(x)=x“与图中符合： 对于C,二次函数开口向上，所以a>0,此时g(x)=x在(0，+o)为增函数，符合： 对于D,二次函数开口向上，所以a>0,此时g(x)=x”在(0，+o)为增函数，不符合. 故选：ABC 10.【详解】：由线性回归方程)=-0.4x+66中的回归系数-0.4<0， 可知产品的销量与单价成负相关，故A正确： 由=-0.4x+66，得ā=40+65×0.4=66， 则 销售额 z=x(-0.4x+66)=0.4(x-82.5)2+2722.5, 为了获得最大的销售额，单价应定为82.5元，故B错误： 由 表中 数 据 得 40+50+60+70+80+90=65 6 万=50+44+43+m+35+28_200+m 6 6 可得样本点的中心的坐标为(65,200+四)，则该回归直线过点(65， 6 0+m),代入 6 =0.4x+66,得m=40 小红 从组书号96829别59 故C正确： 将x=40,50,60,70,80,90分别代入线性回归方程=0.4x+66, 得到的预测值分别为50,46,42,38,34,30， 由44<46,28<30，故(50,44)和(90,28)在线性回归直线的左下方，满足条件的样 本点只有2个，故所求概率为P=2=,故D正确。故选：ACD. 63 1.【详解】当n=1时，由a=1及3=44，+ 4 ，解得a=3,故A正确 因为数列{a}的前n项和为S,且a=1,S。=aa1+, 4 -,即4Sn=an4n1+1,当n≥2时， 可得4Sn-1=an-10n+1, 两式相减得4an=an(an1-an1),因为an≠0，故an1-an-1=4,所以a,a3,…,a2m-l,… 及a,a…,4…均为公差为4的等差数列：当n=1时，由a=1及了=a0+,解 4 得a2=3,所以a2m1=1+4(n-1)=2(21-1)-1,an=3+4(n-1)=2(2n)-1, 所以数列{an}的通项公式为an=2n-1.故B错误 由B知a=2n-1,可得S.=2-2n+)+1=m,故C正确： 4 因为对于任意m∈N,2之S,成立，所以1≥号恒成立， 设6=分，则6-么=a+心+2+目 2+12" 2+1 n=l,2时，bn1-bn>0,b。<bn1,n≥3，n∈N时，bl-bn<0,bn>bl 所以4<么<么>6>么>，放他)=乌智所以2之 9 即实数入的取值范围为 8,o 故选：ACD. 三、填空题： 题号 12 13 14 答案 8 1 144:84 12.【详解】由函数g(x)=xf(x),可得g'(x)=3x2f(x)+x3f"(x), 令x=1,可得g')=3f)+f'0)=8.故答案为：8. 13.【详解】因为a+b=3,所以(a+)+b=4, 所以1+1=111小 ，+(a+)+b创 a+1b4a+1b1 西 小红书号9651291597 当且仅当名-若，即a=b=2 所以1+的最小值为1.故答案为：1 a+l b 14.【详解】根据题意，要求四个区域A,B,C,E中有且只有一组相邻区域同色， 而同色的相邻区域共有4种，不妨假设为A,B同色， ①若A,B同时染黄色，则另外两个区域共有A种染色方法，因此这种情况共有 A=12种染色方法： ②若A,B同时染的不是黄色，则它们的染色有4种，另外两个区域一个必须染黄色， 所以这两个区域共有3×2=6，因此这种情况共有4×6=24种染色方法 综上可知有且只有一组相邻区域同色的染色方法的种数为4×(12+24)=144种： 根据题意，因为不用黄色，则只有四种颜色可选， 分3种情况讨论： ①、若一共使用了四种颜色，则共有A=24种染色方法： ②、若只使用了三种颜色，则必有一种颜色使用了两次，且染在相对的区域，所以一 共有C×C×2×A=48种染色方法： ③、若只使用了两种颜色，则两种颜色都使用了两次，且各自染在一组相对区域，所 以共有C×2=12种染色方法.综上可知所有相邻区域都不同色的染色方法的种数 为84种. 故答案为：144：84. 四、解答题： 15.【详解】 (1)设等比数列(a}的公比为9，ag2-a,9-4=0,q4-q-2=0, (q+10(g-2)=0,9=2或9=-1,4n>0,9=2,4n=2”.- --6分 ( 2 ) b.=2”+log22"=2"+n Sn=2+1+22+2+…+2"+n=(2+22+…+2")+(1+2+…+m, 3.=20-22++,S.=2-2+0+ -13分 1-2 2 2 16.【详解】 (1)令F(x)=af(x)+8(x)=x2+ax+a-1=(x+1)(x+a-l)=0,解得x=-1或1-a, ①当a<2时，-1<1-a,不等式的解集为{x1<x<1-a,②当a=2时，-1=1-a, 不等式的解集为☑，③当a>2时，-1>1-a,不等式的解集为{x1-a<x<-}.综 上所述：a<2时，不等式的解集为{x1<x<1-a:a=2时，不等式的解集为⑦： a>2时，不等式的解集为{x-a<x<-}--5分 (2)由时(x)+f(x)=8(x)+b+8, 小红书号96329155 代入整理得x=x2-bx+6,令G(x)=x2-bx+6=(x- +6- 4 ①当2<1，即b<2时，对任意x山.21，G)e7-b,10-2bc4,51. b≤2， 所以7-b≥4，此时不等式组无解. 10-2b≤5. 410-2c4,5. ②当1<名≤多即2<3时，对任意x2,G)16- 2<b3, 所以6-≥4，解得2≤25. b2 4 10-2b×5, ③当3<名<2，即3<b<4时，对任意∈山，2]，G)∈6-27-b创c4.5]. 3<b<4, 所以6名今 ≥4，此时不等式组无解. 4 7-b5. @当多2，即≥4时，对任意xeL,2斗，Gx)e0-2b,7-创≤4 b≥4， 所以7-b≤5，此时不等式组无解. 10-2b>4 综上，实数b的取值范围是弓，22. 15分 17.【详解】(1)f(x)的定义域为R,f"(x)=1+x)e,又：e>0,当x<-1时， f'(x)<0,则f(x)单调递减：当x>-1时，f(x)>0,则f(x)单调递增，即f(x)的 单调减区间为(-o,-),单调增区间为(-1，+∞)：又f(0)=0,x<0时f(x)<0, fe)=-,故e{m: --6分 (2)设g()=f(x)+f1-x), g)=f-f0-=0+e-2-xe,gr(y)=(2+e-(x-3ec2, g(>0,g单调递增，g2[付)-0，g6在xe2] 上单调递增，。 g(w)m=g=E,a<E,即实数a的取值范围为(-o,V向. 15分 18.【详解】(1)记事件S为恰好答对一道判断题并且配对正确两道连线题， 红药 小红书号6312列59 P-是 三 ---4分 (2)记事件A:甲同学挑战成功，则事件A包含以下几种情况： ①事件B=“共答对四道”，即答对余下的判断题，答错两道连线题，则 1C×1-3 P(B)=x- 2A12 ②事件C=“共答对五道”，即答错余下的判断题，答对余下的三道连线题，则 111 PC)=2×A2 ③事件D=“共答对六道”，即答对余下的四道问题，P(D)= 111 2A12 所以PA)=PB)+PC+P(D)= --10分 (3)设选择方式一、二的班级团队挑战成功的概率分别为P，B· 当选择方式一时，因为两人都回答错误的概率为1-)，则两人中至少有一人回答 正确的概率为1-1-p)2,所以B=1-(1-p)'°=p(2-p)”, 当选择方式二时，因为一个小组闯关成功的概率为”，则一个小组闯关不成功的概 率为1-p”, 所 以 P=1-(1-p")2=p"(2-p") 所 以 P-P=p"(2-p)"-p"(2-p")=p[(2-p)”+p-2] 构造f(m)=(2-p)”+p”-2,则fn+1)-fm)=(2-p)m+pm-(2-p)”-p” =(2-p)1-p)+p"(p-1)=1-p(2-p)”-p],因为0<p<1，则1-p>0, 2-p>1,可得(2-p)>1,p”<1,所以fn+)-fm)>0,即f(n+)>f(m),所 以f(n)单调递增， 又因为f(2)=(2-p)2+p2-2=2p2-4p+2=2(p-1)2>0,且n>10,所以fm)>0, 从而R-P>0,，即P>B,所以为使本班挑战成功的可能性更大，应选择方式一参 赛. -17分 1设【详解】由愿意，点AL-多在椭图导+若=1上得，可得宁+品1①， 又由e=2所似-@， 由①②联立且c2=a2-b2,可得c2=1,a2=4,b2=3, 、故椭圆C的标准方程为￡+1. ----4分 (2)()易知：y=-x+7,MN=72,设'：y=-x+c,联立'与C有 7x2-8cx+4c2-12=0,△=64c2-28(4c2-12)=0,解得c=√万（舍负），1到r的 小 小红平号96S129159万