专题05二次函数压轴题（精选好题53道）【好题汇编】-5年（2020-2024）中考1年模拟数学分类汇编（福建专用）

专题05二次函数压轴题（精选好题53道） 一、单选题 1．（2024·福建·中考真题）已知二次函数的图象经过，两点，则下列判断正确的是（    ） A．可以找到一个实数，使得 B．无论实数取什么值，都有 C．可以找到一个实数，使得 D．无论实数取什么值，都有 2．（2021·福建·中考真题）二次函数的图象过四个点，下列说法一定正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（2020·福建·中考真题）已知，是抛物线上的点，下列命题正确的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 二、填空题 4．（2023·福建·中考真题）已知抛物线经过两点，若分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则的取值范围是 ． 5．（2022·福建·中考真题）已知抛物线与x轴交于A，B两点，抛物线与x轴交于C，D两点，其中n＞0，若AD＝2BC，则n的值为 ． 三、解答题 6．（2024·福建·中考真题）如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，其中． (1)求二次函数的表达式； (2)若是二次函数图象上的一点，且点在第二象限，线段交轴于点的面积是的面积的2倍，求点的坐标． 7．（2023·福建·中考真题）已知抛物线交轴于两点，为抛物线的顶点，为抛物线上不与重合的相异两点，记中点为，直线的交点为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若，且，求证：三点共线； (3)小明研究发现：无论在抛物线上如何运动，只要三点共线，中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由． 8．（2022·福建·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方． (1)求抛物线的解析式； (2)若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标； (3)如图，OP交AB于点C，交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为，，．判断是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 9．（2021·福建·中考真题）已知抛物线与x轴只有一个公共点． （1）若抛物线过点，求的最小值； （2）已知点中恰有两点在抛物线上． ①求抛物线的解析式； ②设直线l：与抛物线交于M，N两点，点A在直线上，且，过点A且与x轴垂直的直线分别交抛物线和直线l于点B，C．求证：与的面积相等． 10．（2020·福建·中考真题）已知直线交轴于点，交轴于点，二次函数的图象过两点，交轴于另一点，，且对于该二次函数图象上的任意两点，，当时，总有． （1）求二次函数的表达式； （2）若直线，求证：当时，； （3）为线段上不与端点重合的点，直线过点且交直线于点，求与面积之和的最小值． 一、单选题 1．（2024·福建莆田·一模）已知点，在抛物线上，当且时，都有，则m的取值范围为（　　） A． B． C． D． 2．（2024·福建福州·二模）已知点、，是二次函数图象上的两个点，若当时，随的增大而减小，则 m的值可能是（      ） A． B． C．1 D．2 3．（2024·陕西渭南·三模）已知在平面直角坐标系中．抛物线（a，k为常数，且）与y轴交点的纵坐标大于2，将抛物线向左平移1个单位长度得到抛物线，若点、均在抛物线上，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·福建厦门·三模）已知点，，在二次函数的图象上，且有，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·福建·三模）已知，设函数．直线的图象与函数的图象分别交于点下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．（2024·福建福州·模拟预测）已知抛物线过点，两点，若，时，y的最大值为，则t的值是（    ） A． B．0 C．1 D．4 7．（2024·福建福州·三模）已知点，为抛物线上的两点，且，则的值可能为（    ） A．5 B．1 C． D． 8．（2024·福建福州·模拟预测）已知二次函数，其中，点，是二次函数图像上两点，若，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 9．（2024·福建三明·三模）已知点，，，都在二次函数（，，为常数，且）的图象上，若，则的取值范围是（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 10．（2024·福建莆田·一模）坐标平面上有两个二次函数的图像，其顶点、皆在轴上，且有一水平线与两图像相交于、、、四点，各点位置如图所示，若，，，则的长度是（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 11．（2024·福建厦门·模拟预测）抛物线 过四个点，若，四个数中有且只有一个大于零，则a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 12．（2024·福建厦门·模拟预测）某小组同学为了研究太阳照射下物体影长的变化规律，某日在学校操场上竖立一根直杆，经研究发现，当日该直杆的影长与时间的关系近似于二次函数，并在，，这三个时刻，测得该直杆的影长分别约为，，．根据该小组研究结果，下列关于当日该直杆影长的判断正确的是（    ） A．前，直杆的影子逐渐变长 B．后，直杆的影子逐渐变长 C．在到之间，还有某个时刻直杆的影长也为 D．在到之间，会有某个时刻直杆的影长达到当日最短 13．（2024·福建宁德·一模）一组正整数：1，2，3，4，…，100，依次将原数中的每个数平方后，再除以50，得到一组新的数，下列说法正确的是（   ） A．原数与对应新数的差不可能是0 B．原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大 C．当原数为20时，原数与对应新数的差的值是16 D．当原数为25时，原数与对应新数的差最大 14．（2023·四川泸州·二模）已知点，在抛物线上，当且时，都有，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 15．（2024·福建漳州·一模）已知抛物线（m为常数，）与x轴交于点A，B（点A在点B左边），与y轴交于点C，连接，抛物线的对称轴与交于点Q，与x轴交于点E，连接，（O为原点），下列结论中错误的是（　　） A． B．抛物线的对称轴是直线 C．若，则 D．若与相似，则m的值为 16．（2024·河北邯郸·模拟预测）已知，二次函数是常数，且的图象经过，三个点中的两个点，平移该函数的图象，使其顶点始终在直线上，则平移后所得抛物线与轴交点的纵坐标（    ） A．有最大值为1 B．有最大值为 C．有最小值为1 D．有最小值为 二、填空题 17．（2024·福建厦门·模拟预测）对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当时，，则称这个函数为“闭函数”．例如：均是“闭函数”．已知二次函数是“闭函数”，且其图象经过点和，则a的取值范围是 ． 18．（2024·福建厦门·二模）已知抛物线的顶点为点，与轴分别交于点，（点在点左侧），抛物线与抛物线关于轴对称，顶点为点，若四边形为正方形，则的值为 ． 19．（2024·浙江杭州·一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与y轴交于点A，点是该函数图象上任意一点，且不与点A重合，直线经过A，B两点．若时，总有，则m的取值范围为 ． 20．（2024·福建厦门·二模）抛物线经过，两点，若，当时，都有，则b的取值范围是 ． 21．（2024·福建福州·三模）在平面直角坐标系中，点，是抛物线上任意两点．若对于，，总有，求的取值范围是 ． 22．（2024·福建厦门·二模）已知二次函数，都在二次函数的图象上，若，则的取值范围是 ． 23．（2024·福建泉州·模拟预测）已知抛物线经过三点，若，则的取值范围是 ． 24．（2024·福建·模拟预测）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形中，点，点，则互异二次函数与正方形有交点时m的最大值和最小值的差为    25．（2024·福建莆田·一模）已知二次函数为常数， , 点，是该函数图象上一点，当时，，求的取值范围 . 26．（2024·福建福州·模拟预测）二次函数图象上一点，当时，存在，则m的取值范围为 ． 三、解答题 27．（2024·福建莆田·一模）抛物线与轴交于两点，与轴交于点．已知点． (1)求的坐标； (2)若对任意的实数，且当取其范围中的最小值时，代数式的值都不大于． 求出抛物线的解析式； 点是抛物线上的任意一点（不与点重合），过点做轴于点，在轴上，以，为邻边作矩形，当在矩形内的抛物线所对应的函数值随增大而减小时，直接写出的取值范围． 28．（2024·福建莆田·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，与轴交于点，点是抛物线位于第三象限上的点，连接，． (1)若，，求，，三点的坐标； (2)在（1）的条件下，若存在点，使得，求点的坐标； (3)连接，设交于点，的面积为，的面积为，若的最大值是，求的最大值． 29．（2024·广西南宁·一模）某班开展课外锻炼，有7位同学组队参加跳长绳运动，他们的身高数据如下： 队员 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 身高 1.70 1.70 1.73 1.60 1.68 1.80 1.60 为增加甩绳的稳定度，确定两位身高较高且相近的甲、乙队员甩绳，其余队员跳绳；所有队员站成一排，跳绳队员按照中间高、两端低的方式排列，同时7名队员每两人间的距离至少为才能保证安全；如图1，两位甩绳队员通过多次实践发现，当两人的水平距离，手离地面的高度，绳子最高点距离地面时，效果最佳； 如图2，当绳子甩动到最高点时的形状近似看成一条抛物线，若以所在直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式； (2)最高的队员位于中点，其余跳绳队员对称安排在其两侧． ①当跳绳队员之间正好保持的距离时，长绳能否高过所有跳绳队员的头顶? ②在保证安全的情况下，求最左边的跳绳队员与离他最近的甩绳队员之间距离的取值范围． 30．（2024·福建三明·三模）在平面直角坐标系中，抛物线交y轴于点A，点P，B在抛物线上，已知轴，且为等腰直角三角形，设的中点为F，点P的纵坐标为t． (1)求抛物线的函数表达式； (2)是否存在常数m，使得恒成立？若存在求出m的值，若不存在请说明理由； (3)已知，设，求的最大值，并求当取最大值时点的坐标． 31．（2024·福建·三模）已知抛物线过点．若该抛物线上任意不同两点，都满足：当时，；当时，．过点的直线与该抛物线交于两点，过点分别作轴于点轴于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求证：三点共线： (3)分别用表示的面积，对于下列三个等式①．②，③中，实数有且只有一个为定值．请直接写出这个实数及其定值，不必说明理由． 32．（2024·福建泉州·模拟预测）已知抛物线与轴交于两点，为抛物线上不与重合的相异两点，设直线的交点为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若四点构成的四边形是轴对称图形，且，求四边形的面积； (3)若直线的交点在直线上，则直线必过定点，直接写出该定点的坐标． 33．（2024·福建泉州·模拟预测）已知抛物线过，与轴交于点A，B(点A在点左边)，与轴交于点，且对于该二次函数图象上的任意不同两点都满足∶当时，；当时，． (1)求抛物线的解析式； (2)若点是抛物线对称轴上一点，且，求点的坐标； (3)若是抛物线上一点，且在直线的下方，连接交于点，过点作交于点．记的面积分别为，，判断是否存在最大值？若存在，求出最大值及点的坐标；若不存在，请说明理由． 34．（2024·福建漳州·二模）在平面直角坐标系中，点在抛物线：上． (1)求抛物线的对称轴； (2)若， ①不管d取任何实数，抛物线上的三个点，，中至少有两个点在x轴的上方，求a的取值范围； ②平移抛物线得到抛物线，过点P，且其顶点为O，过点作直线（不与直线重合）交抛物线于M，N两点（点M在点N左侧），直线与直线交于点H．求证：点H在一条定直线上． 35．（2024·福建福州·模拟预测）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点． (1)求该二次函数的解析式以及图象顶点的坐标； (2)一次函数的图象经过点A，点在一次函数的图象上，点在二次函数的图象上，若，求m的取值范围． 36．（2024·福建莆田·一模）已知抛物线过点和； (1)求抛物线的解析式； (2)点A，B为抛物线上两点(点A在B的右侧） ①若直线的解析式为，求证：； ②若A、B位于不同象限，直线交轴正半轴于点C，过点B作的垂线交抛物线于点，点的横坐标为点m，当直线（不与y轴平行）与抛物线有唯一公共点，求m的最小值． 37．（2024·福建福州·模拟预测）已知抛物线的顶点为P，与y轴交于点A． (1)若抛物线的对称轴为直线，点A坐标为 ①点P在x轴上，求该抛物线的解析式； ②若，当a取任意不大于1的正实数时，总满足，求n的最大值； (2)抛物线与直线交于点B，过点P作轴于点D，平移抛物线使其经过A，D，得到的新抛物线与x轴的另一个交点为C，若抛物线a，b，c满足，探究四边形的形状，并说明理由． 38．（2024·福建厦门·二模）如图，已知二次函数的图象与轴交于和两点，与轴交于，对称轴为直线，连接，在线段上有一动点，过点作轴的平行线交二次函数的图象于点，交轴于点， (1)求抛物线的函数解析式： (2)请你从以下三个选项中，任选一个为条件，另一个作结论，组成一个真命题，并证明． ①的横坐标为；②与相似；③ (3)若动点横坐标记为，的面积记为，的面积记为，且，写出与的函数关系，并判断是否有最大值，若有请求出；若没有请说明理由． 39．（2024·福建福州·模拟预测）“天圆地方”观最早起源于中国古人对宇宙天地的最初认识，后来发展成为中国传统文化的重要思想，在我国古代应用广泛．例如，世界文化遗产“天坛”（如图1），秦统一货币“秦半两”（如图2）“天圆地方”的宇宙图式具有一种极具意味的形式美和意境美，这种观念成为现代各种设计活动的灵感来源．为了同学们更深入地了解“天圆地方”的数学之美，老师设计了如下学习项目活动单： 学习项目主题：景区圆形水池开发方案设计 初步感知： （1）已知半径为，求其内接正方形的边长． 设计活动一： （2）某风景区有一片直径为10米的圆形水池如图3所示（即），某喷泉设计公司给出如下方案：在池内沿中轴线设计两个正方形喷泉阵（即正方形和正方形），剩余区域进行自然水景生态美化由于景区开发资金有限，喷泉阵又造价较高，为了节约成本，请求出两个正方形喷泉阵面积之和的最小值以及此时的长． 设计活动二： （3）某演艺公司也对（2）中的圆形水池提出开发方案：为了增强景区的娱乐性和交互性，可以建造一个水上演艺舞台（如图4），池内沿中轴线设计两个无缝连接的前置矩形舞台和后置矩形舞台，于点B，于点G，，，为了确保夜间演出的舞台效果，需要给舞台和处全部安装灯带为做出预算，请求出灯带的最大值和最小值． 40．（2024·福建厦门·二模）顶点为D的抛物线过和 (1)求抛物线的函数表达式； (2)直线交抛物线于点A和B（A在B的左边），交y轴于C；直线交x轴于点P， ①若的面积是面积的2倍，求k的值； ②连接，过点B作，交y轴于Q，用等式表示和的数量关系，并证明． 41．（2024·福建福州·模拟预测）已知二次函数． (1)当时， ①若该函数图像的对称轴为直线，且过点，求该函数的表达式； ②若方程有两个相等的实数根，求证：； (2)若，已知点，点，当二次函数的图像与线段有交点时，直接写出a的取值范围． 42．（2024·福建厦门·三模）定义：若，满足，且(为常数)，则称点为“轮换点”， (1)若是“轮换点”，求的值； (2)若抛物线上存在“轮换点”，求的取值范围： (3)若双曲线()上存在“轮换点”，请判断点是否在该双曲线上，并说明理由． 43．（2024·福建福州·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点．，交轴于点． (1)求抛物线的解析式： (2)若点都在该抛物线上，且总有，求的取值范围． (3)将原抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，新抛物线与轴的正半轴交于点，请问在新抛物线上是否存在一点，使得，若存在，则直接写出点的坐标；若不存在，则说明理由． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05二次函数压轴题（精选好题53道） 一、单选题 1．（2024·福建·中考真题）已知二次函数的图象经过，两点，则下列判断正确的是（    ） A．可以找到一个实数，使得 B．无论实数取什么值，都有 C．可以找到一个实数，使得 D．无论实数取什么值，都有 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据题意得到二次函数开口向上，且对称轴为，顶点坐标为，再分情况讨论，当时，当时，， 的大小情况，即可解题． 【详解】解：二次函数解析式为， 二次函数开口向上，且对称轴为，顶点坐标为， 当时，， 当时，， ， 当时，， ， 故A、B错误，不符合题意； 当时，， 由二次函数对称性可知，， 当时，，由二次函数对称性可知，，不一定大于， 故C正确符合题意；D错误，不符合题意； 故选：C． 2．（2021·福建·中考真题）二次函数的图象过四个点，下列说法一定正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】求出抛物线的对称轴，根据抛物线的开口方向和增减性，根据横坐标的值，可判断出各点纵坐标值的大小关系，从而可以求解． 【详解】解：二次函数的对称轴为： ，且开口向上， 距离对称轴越近，函数值越小， ， A，若，则不一定成立，故选项错误，不符合题意； B,若，则不一定成立，故选项错误，不符合题意； C，若，所以，则一定成立，故选项正确，符合题意； D，若，则不一定成立，故选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质及不等式，解题的关键是：根据二次函数的对称轴及开口方向，确定各点纵坐标值的大小关系，再进行分论讨论判断即可． 3．（2020·福建·中考真题）已知，是抛物线上的点，下列命题正确的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】分别讨论a>0和a<0的情况，画出图象根据图象的增减性分析x与y的关系． 【详解】根据题意画出大致图象：    当a>0时，x=1为对称轴，|x-1|表示为x到1的距离， 由图象可知抛物线上任意两点到x=1的距离相同时，对应的y值也相同， 当抛物线上的点到x=1的距离越大时，对应的y值也越大，由此可知A、C正确．    当a<0时， x=1为对称轴，|x-1|表示为x到1的距离， 由图象可知抛物线上任意两点到x=1的距离相同时，对应的y值也相同， 当抛物线上的点到x=1的距离越大时，对应的y值也越小，由此可知B、C正确． 综上所述只有C正确． 故选C． 【点睛】本题考查二次函数图象的性质，关键在于画出图象，结合图象增减性分类讨论． 二、填空题 4．（2023·福建·中考真题）已知抛物线经过两点，若分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，可得抛物线对称轴为直线，开口向上，根据已知条件得出点在对称轴的右侧，且，进而得出不等式，解不等式即可求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，开口向上， ∵分别位于抛物线对称轴的两侧， 假设点在对称轴的右侧，则，解得， ∴ ∴点在点的右侧，与假设矛盾，则点在对称轴的右侧， ∴ 解得： 又∵， ∴ ∴ 解得： ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 5．（2022·福建·中考真题）已知抛物线与x轴交于A，B两点，抛物线与x轴交于C，D两点，其中n＞0，若AD＝2BC，则n的值为 ． 【答案】8 【分析】先求出抛物线与x轴的交点，抛物线与x轴的交点，然后根据，得出，列出关于n的方程，解方程即可。 【详解】解： 把y=0代入得：， 解得：，， 把y=0代入得：， 解得：，， ∵， ∴， ∴， 即， ， 令，则， 解得：，， 当时，，解得：， ∵， ∴不符合题意舍去； 当时，，解得：， ∵， ∴符合题意； 综上分析可知，n的值为8． 【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，根据题意用n表示出，列出关于n的方程是解题的关键． 三、解答题 6．（2024·福建·中考真题）如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，其中． (1)求二次函数的表达式； (2)若是二次函数图象上的一点，且点在第二象限，线段交轴于点的面积是的面积的2倍，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数表达式、二次函数的图象与性质、二元一次方程组、一元二次方程、三角形面积等基础知识，考查运算能力、推理能力、几何直观等. （1）根据待定系数法求解即可； （2）设，因为点在第二象限，所以．依题意，得，即可得出，求出，由，求出，即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：将代入， 得， 解得， 所以，二次函数的表达式为． （2）设，因为点在第二象限，所以． 依题意，得，即，所以． 由已知，得， 所以． 由， 解得（舍去）， 所以点坐标为． 7．（2023·福建·中考真题）已知抛物线交轴于两点，为抛物线的顶点，为抛物线上不与重合的相异两点，记中点为，直线的交点为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若，且，求证：三点共线； (3)小明研究发现：无论在抛物线上如何运动，只要三点共线，中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)的面积为定值，其面积为2 【分析】（1）将代入，即可解得； （2），中点为，且，可求出过两点所在直线的一次函数表达式，为抛物线上的一点，所以，此点在，可证得三点共线； （3）设与分别关于直线对称，则关于直线对称，且与的面积不相等，所以的面积不为定值；如图，当分别运动到点的位置，且保持三点共线．此时与的交点到直线的距离小于到直线的距离，所以的面积小于的面积，故的面积不为定值；故的面积为定值，由（2）求出，此时的面积为2． 【详解】（1）解：因为抛物线经过点， 所以 解得 所以抛物线的函数表达式为； （2）解：      设直线对应的函数表达式为， 因为为中点，所以． 又因为，所以，解得， 所以直线对应的函数表达式为． 因为点在抛物线上，所以． 解得，或． 又因为，所以． 所以． 因为，即满足直线对应的函数表达式，所以点在直线上，即三点共线； （3）解：的面积为定值，其面积为2． 理由如下：（考生不必写出下列理由） 如图1，当分别运动到点的位置时，与分别关于直线对称，此时仍有三点共线．设与的交点为，则关于直线对称，即轴．此时，与不平行，且不平分线段，故，到直线的距离不相等，即在此情形下与的面积不相等，所以的面积不为定值．      如图2，当分别运动到点的位置，且保持三点共线．此时与的交点到直线的距离小于到直线的距离，所以的面积小于的面积，故的面积不为定值． 又因为中存在面积为定值的三角形，故的面积为定值． 在（2）的条件下，直线对应的函数表达式为，直线对应的函数表达式为，求得，此时的面积为2． 【点睛】本题考查一次函数和二次函数的图象与性质、二元一次方程组、一元二次方程、三角形面积等基础知识，如何利用数形结合求得点的坐标、函数的表达式等是解题的关键． 8．（2022·福建·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方． (1)求抛物线的解析式； (2)若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标； (3)如图，OP交AB于点C，交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为，，．判断是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或（3，4） (3)存在， 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）待定系数法求得直线AB的解析式为，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，PM交AB于点N．过点B作BE⊥PM，垂足为E．可得，设，则．由，解方程求得的值，进而即可求解； （3）由已知条件可得，进而可得，过点分别作轴的垂线，垂足分别，交于点，过作的平行线，交于点，可得，设，，则，根据可得，根据，根据二次函数的性质即可求的最大值． 【详解】（1）解：（1）将A（4，0），B（1，4）代入， 得， 解得． 所以抛物线的解析式为． （2）设直线AB的解析式为， 将A（4，0），B（1，4）代入， 得， 解得． 所以直线AB的解析式为． 过点P作PM⊥x轴，垂足为M，PM交AB于点N． 过点B作BE⊥PM，垂足为E． 所以 ． 因为A（4，0），B（1，4），所以． 因为△OAB的面积是△PAB面积的2倍， 所以，． 设，则． 所以， 即， 解得，． 所以点P的坐标为或（3，4）． （3） 记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为，，．则 如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别，交于点，过作的平行线，交于点 ， ， 设 直线AB的解析式为． 设，则 整理得 时，取得最大值，最大值为 【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，面积问题，相似三角形的性质与判定，第三问中转化为线段的比是解题的关键． 9．（2021·福建·中考真题）已知抛物线与x轴只有一个公共点． （1）若抛物线过点，求的最小值； （2）已知点中恰有两点在抛物线上． ①求抛物线的解析式； ②设直线l：与抛物线交于M，N两点，点A在直线上，且，过点A且与x轴垂直的直线分别交抛物线和直线l于点B，C．求证：与的面积相等． 【答案】（1）-1；（2）①；②见解析 【分析】（1）先求得c=1，根据抛物线与x轴只有一个公共点，转化为判别式△=0，从而构造二次函数求解即可； （2）①根据抛物线与x轴只有一个公共点，得抛物线上的点只能落在x轴的同侧，据此判断即可；②证明AB=BC即可 【详解】解：因为抛物线与x轴只有一个公共点， 以方程有两个相等的实数根， 所以，即． （1）因为抛物线过点，所以， 所以，即． 所以， 当时，取到最小值． （2）①因为抛物线与x轴只有一个公共点， 所以抛物线上的点只能落在x轴的同侧． 又点中恰有两点在抛物线的图象上， 所以只能是在抛物线的图象上， 由对称性可得抛物线的对称轴为，所以， 即，因为，所以． 又点在抛物线的图象上，所以， 故抛物线的解析式为． ②由题意设，则． 记直线为m，分别过M，N作，垂足分别为E，F， 即， 因为，所以． 又，所以，所以． 所以，所以，即． 所以， 即．① 把代入，得， 解得， 所以．② 将②代入①，得， 即，解得，即． 所以过点A且与x轴垂直的直线为， 将代入，得，即， 将代入，得， 即， 所以，因此， 所以与的面积相等． 【点睛】本小题考查一次函数和二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、三角形面积等基础知识，突出运算能力、推理能力、空间观念与几何直观、创新意识，灵活运用函数与方程思想、数形结合思想及化归与转化思想求解是解题的关键． 10．（2020·福建·中考真题）已知直线交轴于点，交轴于点，二次函数的图象过两点，交轴于另一点，，且对于该二次函数图象上的任意两点，，当时，总有． （1）求二次函数的表达式； （2）若直线，求证：当时，； （3）为线段上不与端点重合的点，直线过点且交直线于点，求与面积之和的最小值． 【答案】（1）；（2）详见解析；（3）的最小值为． 【分析】（1）先根据坐标轴上点的坐标特征由一次函数的表达式求出A，B两点的坐标，再根据BC=4，得出点C的坐标，最后利用待定系数法可求二次函数的表达式； （2）利用反证法证明即可； （3）先求出q的值，利用，得出，设，然后用含t的式子表示出的面积，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1）对于， 当时，，所以； 当时，，，所以， 又因为，所以或， 若抛物线过，则当时，随的增大而减少，不符合题意，舍去． 若抛物线过，则当时，必有随的增大而增大，符合题意． 故可设二次函数的表达式为， 依题意，二次函数的图象过，两点， 所以，解得 所求二次函数的表达式为． （2）当时，直线与直线不重合， 假设和不平行，则和必相交，设交点为， 由得， 解得，与已知矛盾，所以与不相交， 所以． （3）如图， 因为直线过，所以， 又因为直线，所以，即， 所以，， 所以，所以， 设，则， ， 所以， 所以 所以当时，的最小值为． 【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的图象与性质、相似三角形的性质与判定、三角形面积等基础知识，注意函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想及分类与整合思想的运用． 一、单选题 1．（2024·福建莆田·一模）已知点，在抛物线上，当且时，都有，则m的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质．根据题意和二次函数的性质，可以求得m的取值范围本题得以解决． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵当且时，都有， ∴且时，都有， ∴且，解得； ∴m的取值范围为， 故选：D． 2．（2024·福建福州·二模）已知点、，是二次函数图象上的两个点，若当时，随的增大而减小，则 m的值可能是（      ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，得到该二次函数图象的对称轴为直线或在其右侧是解决本题的关键． 首先根据点、是该二次函数图象上的两点且纵坐标相等，可得对称轴为直线，再根据开口向上，时，随的增大而减小，可得，据此即可求解． 【详解】解：∵点、，是二次函数图象上的两个点， ∴对称轴为直线，开口向上， ∵当时，随的增大而减小， ∴该二次函数图象的对称轴为直线或在其右侧， ∴ 解得：， 只有2符合题意， 故选：D． 3．（2024·陕西渭南·三模）已知在平面直角坐标系中．抛物线（a，k为常数，且）与y轴交点的纵坐标大于2，将抛物线向左平移1个单位长度得到抛物线，若点、均在抛物线上，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数图象的平移问题，先求出抛物线与y轴交点的坐标为，进而得到，再求出抛物线的对称轴为直线，再由开口向上，离对称轴越远函数值越大即可得到答案． 【详解】解：在中，当时，， ∴抛物线与y轴交点的坐标为， ∵抛物线（a，k为常数，且）与y轴交点的纵坐标大于2， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴将抛物线向左平移1个单位长度得到抛物线，则抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线中，离对称轴越远函数值越大， ∵， ∴， ∴ 根据现有条件无法判断， 故选：B． 4．（2024·福建厦门·三模）已知点，，在二次函数的图象上，且有，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质；先求得抛物线开口向上，对称轴为直线，然后判断三点到对称轴的距离的大小，即可得到结论． 【详解】解：∵二次函数 ∴抛物线开口向上，对称轴为直线 ∵点，，在二次函数的图象上，且有，， ∴在对称轴的左侧，在对称轴的右侧，且 ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：C． 5．（2024·福建·三模）已知，设函数．直线的图象与函数的图象分别交于点下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次函数的图象和性质，按照题意，画出满足题意的图象，根据直线与二次函数图象的交点进行判断即可． 【详解】解：，， 如图所示， A．由图象可知，当时，，故选项错误，不符合题意； B．由图象可知，当时，不一定成立，故选项错误，不符合题意； C．由图象可知，当时，不一定成立，故选项错误，不符合题意； D．由图象可知，当时，，故选项正确，符合题意； 故选D 6．（2024·福建福州·模拟预测）已知抛物线过点，两点，若，时，y的最大值为，则t的值是（    ） A． B．0 C．1 D．4 【答案】C 【分析】根据抛物线过点，两点，可以求得该抛物线的对称轴，然后再根据，时，y的最大值为即可求得的值． 【详解】解：∵抛物线过点，两点， ， 解得：， ∴抛物线即为， 它的开口向下，对称轴是直线， 当时，有最大值， 若，则， ∵当时，y的最大值为， ∴， 即， 解得：， ∵， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 7．（2024·福建福州·三模）已知点，为抛物线上的两点，且，则的值可能为（    ） A．5 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象和性质等知识点，由抛物线的函数解析式，得出抛物线的对称轴，再根据，得出抛物线的增减性，最后对点M的位置进行分类讨论即可解决问题，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】由题意可得，该抛物线的对称轴为直线， 点在对称轴右侧，点的位置不确定，需分类讨论： ①当点在对称轴右侧（或在顶点）时，， ∵，，且在对称轴右侧随的增大而增大， ， ； ②当点在对称轴左侧时，，由对称性可知抛物线过点， ∵，，且在对称轴左侧随的增大而减小， ， ， 综上可得，的取值范围为， 的值可能为1， 故选：B． 8．（2024·福建福州·模拟预测）已知二次函数，其中，点，是二次函数图像上两点，若，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是二次函数的图像与性质，由图像性质可得，再结合因式分解可得答案． 【详解】解：∵点，是二次函数图像上两点， ∴，， ∴ ， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故选A 9．（2024·福建三明·三模）已知点，，，都在二次函数（，，为常数，且）的图象上，若，则的取值范围是（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，由题意得，，，，再根据，求出，然后分和两种情况讨论即可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】∵二次函数过点，，，， ∴，，，， ∴，即有， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∴，解得：， 当时，， ∴，解得：， 综上可知：的取值范围是或， 故选：． 10．（2024·福建莆田·一模）坐标平面上有两个二次函数的图像，其顶点、皆在轴上，且有一水平线与两图像相交于、、、四点，各点位置如图所示，若，，，则的长度是（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，线段长度的相关计算，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由，，的长度以及根据二次函数的对称性可以知道，和，和，和横坐标的差，从而推出和的横坐标之差，得到的长度． 【详解】由、、、四点在同一水平线，可以知道四点纵坐标相同 ，，， ， 又 ． 故选：B． 11．（2024·福建厦门·模拟预测）抛物线 过四个点，若，四个数中有且只有一个大于零，则a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 依据题意，可得抛物线的对称轴是直线，又当时，，从而，且当时，，故，然后分和两种情形讨论，结合四个数中有且只有一个大于零，即可判断得解． 【详解】解：由题意得，抛物线的对称轴是直线． 又当时， ∴，且当时，． ∴． ①若，则当时，y随x的增大而增大． ∵， ∴． ∵四个数中有且只有一个大于零， 又， ∴ ∴． ∴ ②若， 则当时，y随x的增大而减小． ∵ ∴． ∴四个数中没有一个大于0，不合题意． 故选：D． 12．（2024·福建厦门·模拟预测）某小组同学为了研究太阳照射下物体影长的变化规律，某日在学校操场上竖立一根直杆，经研究发现，当日该直杆的影长与时间的关系近似于二次函数，并在，，这三个时刻，测得该直杆的影长分别约为，，．根据该小组研究结果，下列关于当日该直杆影长的判断正确的是（    ） A．前，直杆的影子逐渐变长 B．后，直杆的影子逐渐变长 C．在到之间，还有某个时刻直杆的影长也为 D．在到之间，会有某个时刻直杆的影长达到当日最短 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，由题意可知，从到，直杆的影长先变短，再变长，再结合数据可推导，对称轴在到之间．理解并掌握二次函数的对称性是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可知，从到，直杆的影长先变短，再变长， 由二次函数的性质可知，其对称轴在到之间， 若对称轴在到之间时，与对称的时候直杆的影长为，且这个时间在之前，与题意矛盾，故不符题意； ∴对称轴在到之间， ∴前，直杆的影子逐渐变短，后，直杆的影子逐渐变长，故A、B错误， 在到之间，还有某个时刻直杆的影长也为，故C正确， 在到之间，会有某个时刻直杆的影长达到当日最短，故D错误， 故选：C． 13．（2024·福建宁德·一模）一组正整数：1，2，3，4，…，100，依次将原数中的每个数平方后，再除以50，得到一组新的数，下列说法正确的是（   ） A．原数与对应新数的差不可能是0 B．原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大 C．当原数为20时，原数与对应新数的差的值是16 D．当原数为25时，原数与对应新数的差最大 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质，根据题意，设原数为n（，n为正整数），则对应新数为，设原数与对应新数的差为y，则，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：根据题意，设原数为n（，n为正整数），则对应新数为，设原数与对应新数的差为y， 则， A、当时，由得，，即当时，原数与对应新数的差是0，故此选项说法错误，不符合题意； B、当时，y随n的增大而减小，当时，y随n的增大而减小，故此选项说法错误，不符合题意； C、当时，，故此选项说法错误，不符合题意； D、当时，y取得最大值，故此选项说法正确，符合题意； 故选：D． 14．（2023·四川泸州·二模）已知点，在抛物线上，当且时，都有，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】方法一：根据题意和题目中的抛物线，可以求得抛物线的对称轴，然后分类讨论即可得到的取值范围． 方法二：根据且时，都有，可以得到，然后利用分类讨论的方法，即可得到的取值范围． 本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 【详解】解：方法一：抛物线， 该抛物线的对称轴为直线， 当且时，都有， 当时， ， 解得； 当时， ， 此时无解； 由上可得，的取值范围为， 故选：A． 方法二：由可得， ， 整理，得：， 且， 当时，则， 即， 解得， ； 当时，则，此时无解； 由上可得，， 故选：A． 15．（2024·福建漳州·一模）已知抛物线（m为常数，）与x轴交于点A，B（点A在点B左边），与y轴交于点C，连接，抛物线的对称轴与交于点Q，与x轴交于点E，连接，（O为原点），下列结论中错误的是（　　） A． B．抛物线的对称轴是直线 C．若，则 D．若与相似，则m的值为 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，坐标与图形，相似三角形的性质． 对于抛物线，令，得到，，得到点A，B的坐标，从而判断选项A；根据抛物线的对称性及点A，B的坐标，可得抛物线的对称轴，从而判断选项B；对于抛物线，令，得到点C坐标，采用待定系数法求出直线的解析式，进而求得点Q的坐标，根据两点间的距离公式求出，的长，由求出m的值，判断选项C；由与相似得到或，分别求解得到m的值，判断选项D． 【详解】对于抛物线，令，则， 解得：，， ∵，且点A在点B左边， ∴，， ∴，， ∴．A选项正确． ∵抛物线与x轴交于点，， ∴对称轴为．B选项正确． 把代入中，得， ∴， 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴线的解析式为， ∴把代入，得， ∴ ∵， ∴， 当时，， 解得：．故C选项错误； ∵抛物线的对称轴与x轴交于点E， ∴， ∵，， ∴，，，． ∵与相似， ∴或， 当时，， 解得：或（不合题意，舍去）； 当时，，该方程无解． 故若与相似，则m的值为．D选项正确． 故选：C 16．（2024·河北邯郸·模拟预测）已知，二次函数是常数，且的图象经过，三个点中的两个点，平移该函数的图象，使其顶点始终在直线上，则平移后所得抛物线与轴交点的纵坐标（    ） A．有最大值为1 B．有最大值为 C．有最小值为1 D．有最小值为 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，一次函数的图象和性质，待定系数法的应用； 首先判断出抛物线经过点A、C，利用待定系数法求出抛物线解析式，根据题意设出平移后的抛物线解析式，令，得到纵坐标与平移距离之间的函数关系式，进而可得答案． 【详解】解：∵在直线上， ∴点A或点B是抛物线的顶点， ∵点B、C的横坐标相同， ∴抛物线不会同时经过B、C两点， ∴该抛物线经过点A、C， 把，代入得： ， 解得：， ∴二次函数解析式为， ∵其顶点始终在直线上， ∴抛物线向左、向下平移的距离相同， 设平移后的抛物线为， 令，则， ∵， ∴平移后所得抛物线与轴交点的纵坐标有最大值为， 故选：B． 二、填空题 17．（2024·福建厦门·模拟预测）对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当时，，则称这个函数为“闭函数”．例如：均是“闭函数”．已知二次函数是“闭函数”，且其图象经过点和，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象及性质，依据题意结合函数增减性及最值思考是解决本题的关键．根据题意把和代入得，继而得到对称轴为，再根据题意分情况讨论即可得到本题答案． 【详解】解：把和代入得， 解得：， ∴， ∴抛物线对称轴为直线， ∵， ∴， ①若，即， 在范围内，随的增大而减小， 则当时，取最大值，最大值为； 当时，取最小值，最小值为； 即此时在范围内，，满足“闭函数”的定义， ②若，即， 在内，随的增大而增大，在内，随的增大而减小， 则时的函数值大于时的函数值，即此时在范围内，，不满足“闭函数”的定义， 故答案为：． 18．（2024·福建厦门·二模）已知抛物线的顶点为点，与轴分别交于点，（点在点左侧），抛物线与抛物线关于轴对称，顶点为点，若四边形为正方形，则的值为 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查抛物线与轴的交点，二次函数图象与几何变换，正方形的性质，关键是解方程求出，，，坐标． 根据抛物线：求出顶点的坐标，再令，解方程求出，坐标，得出，再根据抛物线与抛物线关于轴对称，求出顶点的坐标，然后根据正方形得到列出关于的方程，解方程求出的值． 【详解】解：抛物线的顶点为点， ， 抛物线与轴分别交于点，（点在点左侧）， ，抛物线开口向上， 当时，， 整理得：， 解得， 点在点左侧， ，， ， 抛物线与抛物线关于轴对称，顶点为， ， ， ∵四边形是正方形， ∴， 则， ， 经检验，是方程的解，也符合题意， 故答案为：． 19．（2024·浙江杭州·一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与y轴交于点A，点是该函数图象上任意一点，且不与点A重合，直线经过A，B两点．若时，总有，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，直线与抛物线的交点坐标的求法，以及解不等式，根据题意确定出，得出直线的解析式为，再联立抛物线解析式，化简得，最后利用对于时，总有，即可求出答案． 【详解】解：二次函数的图象与y轴交于点A， ， 直线经过点A， ， ， 点是该函数图象上任意一点，且不与点A重合， ， 整理得， 即，， 时，总有， 时，总有， ， 即， 解得， 故答案为：． 20．（2024·福建厦门·二模）抛物线经过，两点，若，当时，都有，则b的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是二次函数的性质，由条件可得，即，再结合，进一步解答即可． 【详解】解：∵抛物线经过，两点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，则， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 21．（2024·福建福州·三模）在平面直角坐标系中，点，是抛物线上任意两点．若对于，，总有，求的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 22．（2024·福建厦门·二模）已知二次函数，都在二次函数的图象上，若，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，依据题意，由抛物线过，从而对称轴是直线，故，即，又抛物线开口向下，可得抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，再结合当时，，且，可得，即，再分类讨论即可得解． 【详解】解：由题意，抛物线过， 对称轴是直线． ，即． 又抛物线开口向下， 抛物线上的点离对称轴越近函数值越大． 又当时，，且， ． ． ①时，， ． ②时，， ． 综上，或． 故答案为：或． 23．（2024·福建泉州·模拟预测）已知抛物线经过三点，若，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】由抛物线，可知抛物线开口向上，与轴的交点为，由抛物线经过，，三点，得出对称轴为直线，然后根据点的坐标特征得出或，解不等式（组即可．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：抛物线， 抛物线开口向上，与轴的交点为， 抛物线经过，，三点， 对称轴为直线， ， 或， 解得或． 故的取值范围是或． 故答案为：或． 24．（2024·福建·模拟预测）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形中，点，点，则互异二次函数与正方形有交点时m的最大值和最小值的差为    【答案】 【分析】本题为二次函数综合题，主要考查了二次函数图象与性质等知识点，画出图象，从图象上可以看出，当函数从左向右运动时，当跟正方形有交点时，先经过点A，再逐渐经过点O，点B，点C，最后再经过点B，且在运动的过程中，两次经过点A，两次经过点O，点B和点C，只需算出当函数经过点A及点B时m的值，即可求出m的最大值及最小值，解答关键是研究动点到达临界点时图形的变化，从而得到临界值． 【详解】如图，    由题意得，互异二次函数的顶点在直线上运动， ∵在正方形中，点，点， ∴， 从图象上可以看出，当函数从左向右运动时，当跟正方形有交点时，先经过点A，再逐渐经过点O，点B，点C，最后再经过点B，且在运动的过程中，两次经过点A，两次经过点O，点B和点C， ∴只需算出当函数经过点A及点B时m的值，即可求出m的最大值及最小值，当互异二次函数经过点时，，或； 当互异二次函数经过点时， ，或m=； ∴互异二次函数与正方形有交点时m的最大值和最小值分别是，—1， ∴最大值与最小值的差为， 故答案为：． 25．（2024·福建莆田·一模）已知二次函数为常数， , 点，是该函数图象上一点，当时，，求的取值范围 . 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．数形结合是解题的关键． 由题意知，对称轴为直线，抛物线与轴的交点为，关于直线的对称点坐标为，任何结合图象可得，求解作答即可． 【详解】∵二次函数，， ∴图象开口向上，对称轴为直线，抛物线与轴的交点为， ∴关于直线的对称点坐标为， 如图， ∵点是该函数图象上一点，当时，， ∴， 解得，， 故答案为：． 26．（2024·福建福州·模拟预测）二次函数图象上一点，当时，存在，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据题意分情况讨论是解题关键，根据题意求得，根据题意分两种情况讨论分别求得时的函数值，根据二次函数性质可求解． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，，当时，， 则， 解得：； ， 当时，， 故当时，，当时，，此情形不存在； 当时，，当时，， 则， 解得：，此不等式组无解； 综上所述，， 故答案为：． 三、解答题 27．（2024·福建莆田·一模）抛物线与轴交于两点，与轴交于点．已知点． (1)求的坐标； (2)若对任意的实数，且当取其范围中的最小值时，代数式的值都不大于． 求出抛物线的解析式； 点是抛物线上的任意一点（不与点重合），过点做轴于点，在轴上，以，为邻边作矩形，当在矩形内的抛物线所对应的函数值随增大而减小时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)点； (2)抛物线的解析式为；或． 【分析】（）由得抛物线的对称轴为，再利用即可求解； （）由过，得，则设的值都不大于，，则，求出，因此对任意的实数都成立时取其范围中的最小值，故抛物线的解析式为； 由当点在上方时且在轴左侧时和当点在下方时且在轴右侧时两种情况讨论即可； 本题考查了二次函数的图象及性质和与特殊四边形的关系，熟练掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的对称轴为， ∴，即， 解得：， ∴点； （2）∵过， ∴， ∴， ∴， ∴， 则， ∵代数式的值都不大于， ∴， ∵，即， ∴， ∴对任意的实数都成立时，， ∴取其范围中的最小值， ∴抛物线的解析式为； ∵抛物线的解析式为， ∴，，， 如图，当点在上方时且在轴左侧时， ∴解得：， 如图，当点在下方时且在轴右侧时， ∴，解得：， 综上可知：或． 28．（2024·福建莆田·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，与轴交于点，点是抛物线位于第三象限上的点，连接，． (1)若，，求，，三点的坐标； (2)在（1）的条件下，若存在点，使得，求点的坐标； (3)连接，设交于点，的面积为，的面积为，若的最大值是，求的最大值． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）根据题意可知，抛物线方程为，解方程，即可求得答案； （2）延长，交轴于点．可知，可得的坐标为，进而可求得直线的方程； （3）和是同高的两个三角形，故其面积比等于：，而：：，进而根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）根据题意可知，抛物线方程为， 解方程，得 ，． 可得点的坐标为，点的坐标为 将代入抛物线，得， 则点的坐标为． （2）延长，交轴于点．    根据题意可知，可得， ． ∴ ∴的坐标为． 设直线的方程为，因为直线经过点，，则 解得 所以，直线的方程为． 根据题意，得 解得 所以，点的坐标为． （3）设点的坐标为，过点作交于点，      对于， 令， 解得或，令，则， 故点、、的坐标分别为、、； 同理可得，直线的表达式为， 则点的坐标为， 则， 而， 和是同高的两个三角形， 故其面积比等于：， ， ， 则：：， ， ，故有最大值为， 即， 解得：， 当时，有最大值为． 即的最大值为． 【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴交点问题，一次函数与抛物线交点问题，相似三角形的性质与判定，二次函数的性质，数形结合是解题的关键． 29．（2024·广西南宁·一模）某班开展课外锻炼，有7位同学组队参加跳长绳运动，他们的身高数据如下： 队员 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 身高 1.70 1.70 1.73 1.60 1.68 1.80 1.60 为增加甩绳的稳定度，确定两位身高较高且相近的甲、乙队员甩绳，其余队员跳绳；所有队员站成一排，跳绳队员按照中间高、两端低的方式排列，同时7名队员每两人间的距离至少为才能保证安全；如图1，两位甩绳队员通过多次实践发现，当两人的水平距离，手离地面的高度，绳子最高点距离地面时，效果最佳； 如图2，当绳子甩动到最高点时的形状近似看成一条抛物线，若以所在直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式； (2)最高的队员位于中点，其余跳绳队员对称安排在其两侧． ①当跳绳队员之间正好保持的距离时，长绳能否高过所有跳绳队员的头顶? ②在保证安全的情况下，求最左边的跳绳队员与离他最近的甩绳队员之间距离的取值范围． 【答案】(1) (2)①能；② 【分析】本题是二次函数综合，考查的是二次函数的实际应用，读懂题意，把二次函数同实际生活结合起来，建立坐标系求出函数解析式是解本题的关键． （1）由已知可得，在抛物线上，抛物线顶点坐标为，设抛物线解析式为，再利用待定系数法求解即可； （2）①求出当时，当时的函数值，再和队员身高比较即可；②求出时，或，即可得出答案． 【详解】（1）解：由已知可得，在抛物线上，抛物线顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 将代入解析式得，， 解得， ∴拋物线的函数表达式为； （2）解：①∵， ∴5名同学，以直线为对称轴，分布在对称轴两侧，对称轴左侧的2名队员所在位置横坐标分布是，，对称轴右侧的2名队员所在位置横坐标分布是，， 当时，， 当时，， 长绳能高过所有跳绳队员的头顶； ②当时，， 解得或， 最左边的跳绳队员与离他最近的甩绳队员之间距离的最小值为， 两人的水平距离，名队员每两人间的距离至少为才能保证安全， 最左边的跳绳队员与离他最近的用绳队员之间距离的最大值为， 最左边的跳绳队员与离他最近的甩绳队员之间距离的取值范围为． 30．（2024·福建三明·三模）在平面直角坐标系中，抛物线交y轴于点A，点P，B在抛物线上，已知轴，且为等腰直角三角形，设的中点为F，点P的纵坐标为t． (1)求抛物线的函数表达式； (2)是否存在常数m，使得恒成立？若存在求出m的值，若不存在请说明理由； (3)已知，设，求的最大值，并求当取最大值时点的坐标． 【答案】(1) (2)存在， (3)最大值为，此时 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，等腰直角三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据等腰直角三角形的性质，求出A，B的坐标，利用待定系数法即可解决问题； （2）求出点坐标，设，表示出，利用点在抛物线上将消去即可得出结论； （3）先将转化为，由图可知当、、三点依次共线时最大，此时最大值为，求出即可得最大值，利用直线与抛物线交点即可求出点坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交于点A， ∴， ∵为等腰直角三角形，轴， ∴， ∴或 把代入，得到； 把代入，得到（与矛盾，舍）， ∴抛物线的解析式为：； （2）存在，理由如下： ∵为中点， ∴， ∴， 设， 则， ∵点在抛物线上， ∴， 即， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：存在，使得恒成立； （3）由（2）知，，即， ∴， 由图可知，当、、三点依次共线时最大， 此时最大值为， ∵，， ∴， ∴最大值为， 设直线解析式为， 代入，， 得， 解得， 所以直线解析式为， 联立抛物线解析式得：， 解得， ∵在的延长线上，故， ∴， 此时， 综上，最大值为，此时． 31．（2024·福建·三模）已知抛物线过点．若该抛物线上任意不同两点，都满足：当时，；当时，．过点的直线与该抛物线交于两点，过点分别作轴于点轴于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求证：三点共线： (3)分别用表示的面积，对于下列三个等式①．②，③中，实数有且只有一个为定值．请直接写出这个实数及其定值，不必说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)为定值， 【分析】（1）根据题意可知抛物线的对称轴是y轴，然后利用待定系数法求函数解析式即可； （2）解一次函数和二次函数联立的方程组求出点A和B的坐标，然后表示出和，然后得到，即可得到三点共线； （3）根据垂直得到，推导出，然后得到，再根据同底等高三角形的面积比等于底的比得到，，即可得到，即可得到结论． 【详解】（1）解：∵当时，；当时，， ∴抛物线的对称轴为y轴， ∴， 把代入得， ∴抛物线的解析式为； （2）证明：设过点P的直线解析式为， 把代入得， ∴， 解方程组得，， 不妨设A点坐标为，B点坐标为， 点的坐标为， ∴， ， ∴， ∴， ∴三点共线； （3）解：②为定值， ∵轴，轴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，且． 【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，二次函数和一次函数的交点问题，正切的计算，相似三角形的判定和性质，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 32．（2024·福建泉州·模拟预测）已知抛物线与轴交于两点，为抛物线上不与重合的相异两点，设直线的交点为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若四点构成的四边形是轴对称图形，且，求四边形的面积； (3)若直线的交点在直线上，则直线必过定点，直接写出该定点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)直线过定点 【分析】（1）用待定系数法求抛物线的函数表达式即可． （2）由图形的轴对称，可知四点构成的四边形是等腰梯形．再根据，即可求出点D的坐标，再利用梯形的面积公式计算即可． （3）设，设直线解析式为可得出，设设直线解析式为，可得出，设设直线解析式为，可得出，由直线的交点在直线上可得出，整理可得出 ，进而求出b值为0．即可得出直线过定点． 【详解】（1）解：两点在抛物线上 ∴， 解得 抛物线的函数表达式为． （2）如图，由图形的轴对称，可知四点构成的四边形是等腰梯形． 又，且 ∴ 设点，则点 ，则 ，则点 （3）直线过定点． 如图，设， 设直线解析式为． 依题意，得 则有 设直线解析式为． 在直线上 ， 即 又， 设直线解析式为 在直线上 即 又， 直线的交点在直线上 ， 即 ， 整理得 故， 解得 直线解析式为 故直线过定点． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，一次函数解析式，二次函数综合面积问题，以及一次函数与二次函数交点等问题，掌握二次函数的性质和一次函数的性质是解题的关键． 33．（2024·福建泉州·模拟预测）已知抛物线过，与轴交于点A，B(点A在点左边)，与轴交于点，且对于该二次函数图象上的任意不同两点都满足∶当时，；当时，． (1)求抛物线的解析式； (2)若点是抛物线对称轴上一点，且，求点的坐标； (3)若是抛物线上一点，且在直线的下方，连接交于点，过点作交于点．记的面积分别为，，判断是否存在最大值？若存在，求出最大值及点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 (3)存在，最大值为， 【分析】（1）由当时，；当时，，知抛物线的对称轴为直线，得①，又抛物线过，有②，由①②解得，故抛物线的解析式为； （2）求出，，，设，根据可得，解得或，从而点的坐标为或； （3）过作轴交与，过作轴交延长线于，设，求得直线解析式为，知，故，求出，得，因轴，所以，，由，可得，，再根据二次函数性质可得答案． 【详解】（1）解： 当时，；当时，， 在中，当时，随增大而减小，当时，随的增大而增大， 抛物线的对称轴为直线， ①， 抛物线过， ②， 由①②解得， 抛物线的解析式为； （2）解：在中，令得， 解得或， ，， 在中，令得， ， 设， ， ， ， 解得或， ∴点的坐标为或 （3）解：存在最大值，理由如下： 过作轴交与，过作轴交延长线于，如图： 设， 由，得直线解析式为， ， ， 在中，令得， ， ， 轴， ， ， ， ， ， ， 当时，的最大值为， ∵点在下方，即， ∴， 当时，取最大值； 的最大值为，此时的坐标为． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，勾股定理逆定理的应用，三角形面积等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． 34．（2024·福建漳州·二模）在平面直角坐标系中，点在抛物线：上． (1)求抛物线的对称轴； (2)若， ①不管d取任何实数，抛物线上的三个点，，中至少有两个点在x轴的上方，求a的取值范围； ②平移抛物线得到抛物线，过点P，且其顶点为O，过点作直线（不与直线重合）交抛物线于M，N两点（点M在点N左侧），直线与直线交于点H．求证：点H在一条定直线上． 【答案】(1)对称轴为直线 (2)①a的取值范围是；②见解析 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合， （1）把代入解析式得到，再根据对称轴计算公式求解即可； （2）①先求出抛物线解析式为，当抛物线 与x轴没有交点或只有一个交点时，符合题意，则，可得；当抛物线与x轴有两个不同交点时，，设两个交点的横坐标为，由抛物线开口向上，则，，这三个点最多只有一个点在x轴下方，则，据此求解即可；②先利用待定系数法求出；设，直线的解析式为，求出直线的解析式为．进而得到．同理， 直线的解析式为，直线的解析式为．联立，解得可得，进而可得点H在定直线上． 【详解】（1）解：∵点在抛物线：上， ∴， ∴， ∴抛物线得对称轴为直线 （2）解： ①当时， 抛物线解析式为， ∵无论d取任何实数，三个点中至少有两个点在x轴的上方， ∴当抛物线 与x轴没有交点或只有一个交点时，符合题意． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 当抛物线与x轴有两个不同交点时，． 设两个交点的横坐标为， ∴当时，，，中至少有两个点在x轴的上方， ∴ ∴， ∵， ∴， 解得 综上所述，a的取值范围是； ②由题可知抛物线 ， ∵经过， ∴， ∴， ∴； 设，直线的解析式为． ∴， 解得 ∴直线的解析式为． ∵直线M经过点 ， ∴． 同理， 直线的解析式为，直线的解析式为． ∵直线与相交于点 H， ∴． 联立，解得 ∵，               ∴点H在定直线上． 35．（2024·福建福州·模拟预测）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点． (1)求该二次函数的解析式以及图象顶点的坐标； (2)一次函数的图象经过点A，点在一次函数的图象上，点在二次函数的图象上，若，求m的取值范围． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2)为任意实数． 【分析】本题主要考查了二次函数和一次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数和一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）把点代入，即可求解； （2）先求出一次函数的解析式为，再根据题意列出不等式，即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点． ∴，解得：， ∴该二次函数的解析式为， ∵， ∴图象顶点的坐标为； （2）解：∵一次函数的图象经过点A， ∴， ∴一次函数的解析式为， ∵， ∴点在一次函数的图象上，点在二次函数的图象上． ∴，， ∵， ∴，即， ∵， ∴恒成立， ∴为任意实数． 36．（2024·福建莆田·一模）已知抛物线过点和； (1)求抛物线的解析式； (2)点A，B为抛物线上两点(点A在B的右侧） ①若直线的解析式为，求证：； ②若A、B位于不同象限，直线交轴正半轴于点C，过点B作的垂线交抛物线于点，点的横坐标为点m，当直线（不与y轴平行）与抛物线有唯一公共点，求m的最小值． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】（1）将，代入得，，可求，进而可得； （2）①联立得，，可求或，则，由，，，可得，即是直角三角形，，进而可得；②如图，过作轴，作于，作于，由题意知，，设，，则，，， ，证明，则，即，整理得，，待定系数法求直线的解析式为，令，则，即，设直线的解析式为，联立得，即，由直线与抛物线有唯一公共点，可得，可求，则直线的解析式为，令，则，，可得，由题意知，点A在第一象限，点B 在第二象限，，将代入得，，即，由 ，，可求m的最小值． 【详解】（1）解：将，代入得，， 解得，， ∴； （2）①证明：联立得，， 解得，或， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴； ②解：如图，过作轴，作于，作于， ∴，， 由题意知，，设，，则，，， ， ∵， ∴， ∴， ∴，即，整理得，， 设直线的解析式为， 将，，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 令，则，即， 设直线的解析式为， 联立得，即， ∵直线与抛物线有唯一公共点， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴， 解得，， 由题意知，点A在第一象限，点B 在第二象限，， 将代入得，，即， ∴， ∵， ∴， ∴m的最小值是． 【点睛】本题考查了二次函数解析式，勾股定理，勾股定理的逆定理，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，一次函数解析式，完全平方公式，一次函数与二次函数综合等知识．熟练掌握二次函数解析式，勾股定理，勾股定理的逆定理，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，一次函数解析式，完全平方公式，一次函数与二次函数综合是解题的关键． 37．（2024·福建福州·模拟预测）已知抛物线的顶点为P，与y轴交于点A． (1)若抛物线的对称轴为直线，点A坐标为 ①点P在x轴上，求该抛物线的解析式； ②若，当a取任意不大于1的正实数时，总满足，求n的最大值； (2)抛物线与直线交于点B，过点P作轴于点D，平移抛物线使其经过A，D，得到的新抛物线与x轴的另一个交点为C，若抛物线a，b，c满足，探究四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)；n的最大值为． (2)四边形是矩形，理由见解析． 【分析】本题着重考查了待定系数法求二次函数的性质、函数的平移变换、探究矩形的构成情况知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）抛物线与y轴交于点，得，再利用顶点坐标公式即可求解； a为任意不大于1的正实数，得，根据，当a取任意不大于1的正实数时，总满足，即可求解； （2）根据平移的性质求出新抛物线为，再求出直线的解析式为，得到点B的坐标为，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交于点， ∴， ∵抛物线的顶点为P，对称轴为直线，且点在x轴上， ∴点， 又∵抛物线的顶点为， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， a为任意不大于1的正实数， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴当时，， ∴， 当，， ∴， 又当，， ∴， 解得：，（舍去） ∴，当a取任意不大于1的正实数时，总满足， ∴n的最大值为：． （2）解：如图： 抛物线 令则 ∴点坐标． ∴点P的坐标为 轴于D， ∴点D的坐标为 ， ∵新抛物线由抛物线所得， ∴设抛物线的解析式为， 又∵新抛物线经过点 ， ， 又 ， ，即 ∴新抛物线为：， 令则 ， ∵点D的横坐标为， ∴点C的坐标为， 设直线的解析式为， ∵点P的坐标为 ， ∵点B是抛物线与直线的交点， ， ， ∵点P的横坐标为 ∴点B的横坐标为， 把代入 得， ∴点B的坐标为， (或 A)， ∴四边形是平行四边形， 又 ∴四边形是矩形． 38．（2024·福建厦门·二模）如图，已知二次函数的图象与轴交于和两点，与轴交于，对称轴为直线，连接，在线段上有一动点，过点作轴的平行线交二次函数的图象于点，交轴于点， (1)求抛物线的函数解析式： (2)请你从以下三个选项中，任选一个为条件，另一个作结论，组成一个真命题，并证明． ①的横坐标为；②与相似；③ (3)若动点横坐标记为，的面积记为，的面积记为，且，写出与的函数关系，并判断是否有最大值，若有请求出；若没有请说明理由． 【答案】(1) (2)条件：的横坐标为，结论：与相似，证明见解析 (3)与的函数关系为，当时，有最大值，最大值为 【分析】（1）由已知对称轴可得，再将点，代入，即可求出二次函数的解析式； （2）条件：的横坐标为，结论：与相似．根据点的横坐标为，确定，得出轴，即可得证； （3）确定直线的解析式为，设点横坐标记为，得，，，继而得到，得到，，进一步可得，根据二次函数的性质可得结论． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 将点，代入， ∴， 解得：， ∴抛物线的函数解析式为； （2）条件：的横坐标为，结论：与相似． 证明：∵过点作轴的平行线交二次函数的图像于点，交轴于点，且点的横坐标为， ∴点的横坐标为， ∵点在抛物线上； ∴当时，得：， ∴， ∵， ∴轴， ∴，， ∴， 即与相似； （3）设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点横坐标记为， ∵过点作轴的平行线交二次函数的图像于点，交轴于点， ∴，，， ∴， 设，分别为点，的横坐标， ∴的面积：，的面积：， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴与的函数关系为，当时，有最大值，最大值为， 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法确定函数解析式，二次函数的图像与性质，相似三角形的判定，三角形的面积等知识点．掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 39．（2024·福建福州·模拟预测）“天圆地方”观最早起源于中国古人对宇宙天地的最初认识，后来发展成为中国传统文化的重要思想，在我国古代应用广泛．例如，世界文化遗产“天坛”（如图1），秦统一货币“秦半两”（如图2）“天圆地方”的宇宙图式具有一种极具意味的形式美和意境美，这种观念成为现代各种设计活动的灵感来源．为了同学们更深入地了解“天圆地方”的数学之美，老师设计了如下学习项目活动单： 学习项目主题：景区圆形水池开发方案设计 初步感知： （1）已知半径为，求其内接正方形的边长． 设计活动一： （2）某风景区有一片直径为10米的圆形水池如图3所示（即），某喷泉设计公司给出如下方案：在池内沿中轴线设计两个正方形喷泉阵（即正方形和正方形），剩余区域进行自然水景生态美化由于景区开发资金有限，喷泉阵又造价较高，为了节约成本，请求出两个正方形喷泉阵面积之和的最小值以及此时的长． 设计活动二： （3）某演艺公司也对（2）中的圆形水池提出开发方案：为了增强景区的娱乐性和交互性，可以建造一个水上演艺舞台（如图4），池内沿中轴线设计两个无缝连接的前置矩形舞台和后置矩形舞台，于点B，于点G，，，为了确保夜间演出的舞台效果，需要给舞台和处全部安装灯带为做出预算，请求出灯带的最大值和最小值． 【答案】（1）；（2）两个正方形的面积和的最小值为25平方米，此时米；（3）的最大值为 米，的最小值为米． 【分析】（1）求出正方形的边长，可得结论； （2）如图3中，设米，则米，设两个正方形的面积和为y平方米，构建二次函数，利用二次函数的性质求解； （3）如图4中，连接，．设米．米．证明A，C，共线，因为米，米，推出米，因为米，推出当的值最大时，的值最大，当的值最小时，的值最小，求出的最大值，最小值，可得结论． 【详解】解：如图，连接． ∵四边形是的内接正方形， ∴是直径， ∵半径为即， ∴， （2）如图3中， 设米，则米， 设两个正方形的面积和为y平方米， 则， ∵， ∴时，y有最大值，最小值为25． ∴两个正方形的面积和的最小值为25平方米，此时米； （3）如图4中，连接，．设米．米． ∵是直径，，， ∴，， ∵，， ∴，， ∵， ∴四边形是正方形， 同法可证四边形，四边形，四边形都是正方形， ∴， ∴A，C，共线， ∴米，米， ∴米， ∵米， ∴当的值最大时，的值最大，当的值最小时，的值最小， ∵是直径时，的值最大，此时 ， ∴， ∴的最大值为 米． 当点E落在上时，的值最小，连接，，， 此时， 在中，米．， ∴，， 设，则， 解得（负根已经舍去）， ∴， ∴的最小值为米． 【点睛】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，正方形的判定和性质，勾股定理，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会利用参数，构建二次函数解决最值问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题． 40．（2024·福建厦门·二模）顶点为D的抛物线过和 (1)求抛物线的函数表达式； (2)直线交抛物线于点A和B（A在B的左边），交y轴于C；直线交x轴于点P， ①若的面积是面积的2倍，求k的值； ②连接，过点B作，交y轴于Q，用等式表示和的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)①；②，证明见解析 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①根据题意得，证明，求得，推出，据此求解即可； ②联立求得，由，求得，得到，求得，证明，求得，即可证明． 【详解】（1）解：∵抛物线过， ∴， ∴， 又∵抛物线过， ∴，， ∴； （2）解：①由题得，， ∴， ∴， 作轴于M， ， ∵的面积是面积的2倍， ∴， ∵，， ∴， ∴即， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ； ②由得，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴轴， ∴， 作轴于N， ∵，， ∴， ∴． ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是二次函数的综合问题，考查了利用待定系数法求抛物线的解析式、相似三角形的判定和性质，解直角三角形，解题的关键是求出函数的解析式． 41．（2024·福建福州·模拟预测）已知二次函数． (1)当时， ①若该函数图像的对称轴为直线，且过点，求该函数的表达式； ②若方程有两个相等的实数根，求证：； (2)若，已知点，点，当二次函数的图像与线段有交点时，直接写出a的取值范围． 【答案】(1)① ②见解析 (2)或 【分析】（1）①根据对称轴求得，再把代入得，，即可求解； ②根据一元二次方程的根与判别式的关系可得，再利用配方法可得，根据平方的非负性可得，即可求解； （2）由题意可得，从而求得抛物线的顶点为，抛物线与x轴的交点为、，当抛物线过点或时，根据二次函数的图象与性质求解即可． 【详解】（1）解：①∵，对称轴为直线， ∴， ∴， 把点代入得，， ∴该函数的表达式为； ②∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∴， ∴抛物线的顶点为， 把代入得，， 解得或， ∴抛物线与x轴的交点为、， 当抛物线过点时，， 解得， 如图，根据越大，抛物线的开口越小，当时，二次函数的图像与线段有交点， 当抛物线过点时，， 解得， 如图，当时，二次函数的图像与线段有交点， 综上所述，当或时，二次函数的图像与线段有交点． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的关系、一元二次方程的根与判别式的关系，运用数形结合思想是解题的关键． 42．（2024·福建厦门·三模）定义：若，满足，且(为常数)，则称点为“轮换点”， (1)若是“轮换点”，求的值； (2)若抛物线上存在“轮换点”，求的取值范围： (3)若双曲线()上存在“轮换点”，请判断点是否在该双曲线上，并说明理由． 【答案】(1)的值为 (2)的取值范围是 (3)点不在该双曲线上，理由见解析 【分析】本题考查二次函数综合应用，新定义，一元二次方程与函数的关系，反比例函数等知识； （1）由， ，，可得，故，求出的值为； （2）“轮换点”满足，即，由抛物线上存在“轮换点”，可得有实数解，故，可解得的取值范围是； （3）根据双曲线 上存在轮换点，可得在有解，故，而且“轮换点”需满足，可得，从而判断不在该双曲线上． 【详解】（1）解：，， ， ， ， 当，时，， ， 的值为； （2）由（1）可知，“轮换点”满足，即， 抛物线上存在“轮换点”， 有实数解，即有实数解， ，即， 解得； 的取值范围是； （3）点不在该双曲线上，理由如下： 双曲线 上存在“轮换点”， 在有解， 整理得， 且“轮换点”需满足， ， ∵所在双曲线解析式为， 点不在该双曲线上． 43．（2024·福建福州·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点．，交轴于点． (1)求抛物线的解析式： (2)若点都在该抛物线上，且总有，求的取值范围． (3)将原抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，新抛物线与轴的正半轴交于点，请问在新抛物线上是否存在一点，使得，若存在，则直接写出点的坐标；若不存在，则说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）分两种情况：①当点在对称轴上或右边时，②当点在对称轴左边时，分别进行解答即可； （3）分点在轴下方和点在轴上方两种情况分别进行解答即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 抛物线的解析式为：； （2）抛物线开口向上，且点都在该抛物线上，且总有， 点始终位于对称轴的左边，点始终位于对称轴的右侧． ①当点在对称轴上或右边时，． ∴ ②当点在对称轴左边时， 综上所述：； （3）存在点，点的坐标为或．使得， 理由如下： 抛物线沿射线方向平移个单位长度，， ， ， 抛物线向左右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度可得到新抛物线， ， ， 如图，当点在轴下方时，延长交于点，过点作轴，垂足为， ， ， ， 设，则， ， ， ，即， 整理得：， 解得：或（与点重合，舍去）， ； 如图，当点在轴上方时，过点作轴，垂足为， 同理得， ， 设，则， ， 即， 整理得： 解得：或（与点重合，舍去）， ； 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法确定二次函数，解直角三角形的应用，平移，勾股定理，一元二次方程等知识点．熟练掌握二次函数的图像及性质，锐角三角函数的定义是解题的关键． ( 85 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$