专题04一次函数与反比例函数(精选好题51道）-【好题汇编】5年（2020-2024）中考1年模拟数学分类汇编（福建专用）

专题04一次函数与反比例函数（精选51题） 一、单选题 1．（2023·福建·中考真题）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上，则实数的值为（　　）    A． B． C． D．3 2．（2021·福建·中考真题）如图，一次函数的图像过点，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（2024·福建·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与交于两点，且点都在第一象限．若，则点的坐标为 ． 4．（2022·福建·中考真题）已知反比例函数的图象分别位于第二、第四象限，则实数k的值可以是 ．（只需写出一个符合条件的实数） 5．（2021·福建·中考真题）若反比例函数的图象过点，则k的值等于 ． 6．（2020·福建·中考真题）设是反比例函数图象上的任意四点，现有以下结论： ①四边形可以是平行四边形； ②四边形可以是菱形； ③四边形不可能是矩形； ④四边形不可能是正方形． 其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 三、解答题 7．（2022·福建·中考真题）在学校开展“劳动创造美好生活”主题活动中，八年级（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护．同学们约定每人养护一盆绿植，计划购买绿萝和吊兰两种绿植共46盆，且绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍．已知绿萝每盆9元，吊兰每盆6元． (1)采购组计划将经费390元全部用于购买绿萝和吊兰，可购买绿萝和吊兰各多少盆？ (2)请帮规划组找出最省钱的购买方案，并求出购买两种绿植总费用的最小值． 8．（2021·福建·中考真题）某公司经营某种农产品，零售一箱该农产品的利润是70元，批发一箱该农产品的利润是40元． （1）已知该公司某月卖出100箱这种农产品共获利润4600元，问：该公司当月零售、批发这种农产品的箱数分别是多少？ （2）经营性质规定，该公司零售的数量不能多于总数量的30%．现该公司要经营1000箱这种农产品，问：应如何规划零售和批发的数量，才能使总利润最大？最大总利润是多少？ 9．（2020·福建·中考真题）某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和是100吨，且甲特产的销售量都不超过20吨． （1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？ （2）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润． 一、单选题 1．（2024·福建三明·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点E，点A在线段上，过点A作x轴的平行线，交直线于点B，分别过点A，B作x轴的垂线，当四边形为正方形时，点B的坐标为（　　） A． B． C． D． 2．（2024·福建厦门·二模）西周数学家商高总结了用“矩”（如图）测量物高的方法：把矩的两边放置成如图的位置，从矩的一端（人眼）望点，使视线通过点，记人站立的位置为点，量出长，即可算得物高．令，若，则关于的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·福建莆田·一模）如图，在矩形中，点是坐标原点，点A在反比例的图象上，点在反比例函数，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·福建泉州·模拟预测）如图，已知一次函数与反比例函数的图象相交于点，则关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·福建厦门·二模）为反比例函数的图象上两点，若，且则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·福建厦门·二模）如图，将一块等腰直角三角板放在平面直角坐标系中，点，直角顶点，点在第二象限．将沿轴正方向平移后得到，点的对应点恰好落在双曲线上，则平移的距离等于（    ）    A．4 B．6 C．8 D．10 7．（2024·福建福州·模拟预测）小亮新买了一盏亮度可调节的台灯，他发现调节的原理是：当电压为时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗．台灯的电流是电阻的反比例函数,其图像如图所示．下列说法正确的是（    ） A．电流随电阻的增大而增大 B．电流与电阻的关系式为 C．当电阻为时，电流为 D．当电阻时，电流的范围为 8．（2024·福建厦门·二模）如图，反比例函数与正比例函数交于点A、点B，已知点，过点A作轴，垂足为的垂直平分线交x轴于点D，若的周长为6，则反比例函数解析式为（   ） A． B． C． D． 9．（2024·福建福州·二模）在平面直角坐标系中，反比例函数和反比例函数的图象如图所示，一条垂直于x轴的直线分别交这两个反比例函数的图象于A，B两点，则的面积是（   ） A． B． C． D． 10．（2024·黑龙江牡丹江·一模）如图，矩形的边轴，对角线的交点O为坐标原点，，垂足是G．若反比例函数的图象经过点A，且，则k的值为（   ） A． B． C． D． 11．（2024·湖南株洲·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点与点，过点C作y轴的平行线交直线于点D，连接，则的长为（　　） A．3 B．6 C．8 D．10 12．（2024·福建泉州·一模）在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，点在函数的图象上，线段与轴交于点．若，的面积为5，则k的值为（    ） A． B． C． D．6 13．（2024·福建福州·一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点B的坐标是，D是的中点，、交于点E，函数的图象过点B．E．且经过平移后可得到一个反比例函数的图象，则该反比例函数的解析式为（　　） A． B． C． D． 14．（2023九年级·全国·专题练习）如图，反比例函数图象经过正方形的顶点A，边与y轴交于点D，若正方形的面积为12，，则k的值为（   ） A．3 B． C． D． 15．（2023·湖南张家界·中考真题）如图，矩形的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在上，且，反比例函数的图象经过点D及矩形的对称中心M，连接．若的面积为3，则k的值为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 16．（2023·福建泉州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于A、两点，直线，.过点C作x轴的垂线于点D.若点在直线上，且，则的值为（    ）.      A．或 B．3或 C．2或6 D．或 二、填空题 17．（18-19八年级下·湖南长沙·期中）如图，、、，动点从点出发，沿轴以每秒2个单位长的速度向右移动，且过点的直线也随之平移，设移动时间为秒，若直线与线段有公共点，则的取值范围为 ． 18．（2024·福建南平·一模）如图，矩形中，，，的平分线交于点，为线段上一动点，点为的中点，则线段长的最大值是 ． 19．（2024·福建莆田·一模）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了“杠杆原理”：杠杆平衡时，阻力阻力臂动力动力臂．当用撬棍撬动一块石头时，发现阻力和阻力臂分别为和，关于动力和动力臂：随的增大而减小；关于的函数图象位于第一、第三象限；当为时，抙动石头至少需要的力；当抙动石头需要的力，至少为；上面四种说法正确的是 ．（只填序号） 20．（2024·福建泉州·模拟预测）如图，矩形的顶点A，B分别在轴，轴上，，将矩形绕点顺时针旋转，若点正好落在反比例函数的图象上，则 ． 21．（2024·河北邯郸·二模）如图，已知点，，点是线段上的整点（不与重合，且横、纵坐标都是整数），若双曲线（）经过点，写出一个符合条件的的值： ． 22．（2024·福建厦门·三模）已知正方形的面积为4，它的两个顶点，是反比例函数(，)图象上两点，正方形的边轴．若点的坐标是，则的值为 ． 23．（2024·福建福州·模拟预测）在直角坐标系中，点A是反比例函数的图象在第一象限上的点，点A关于直线的对称点B在x轴上，且，以为边作菱形，若点D也在反比例函数第一象限的图象上，则点C的坐标是 ． 24．（2024·福建福州·三模）如图，矩形的三个顶点，，分别在反比例函数的图象上，过点，矩形的边与轴交于点，且，若点的横坐标为1，则 ． 25．（2024·福建泉州·三模）如图，点为轴上一点，点C在函数的图象上，轴切于点．若、、三点恰好在同一直线上，的面积为，则的值为 ． 26．（2024·福建厦门·模拟预测）如图，矩形的顶点A和对称中心在反比例函数上，若矩形的面积为16，则k的值为 ．    27．（2024·福建福州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点绕点顺时针旋转后的对应点落在反比例函数的图象上，则 ． 28．（2024·福建南平·二模）如图，点A，D在反比例函数的图象上，垂直y轴，垂足为C，，垂足为B．若四边形的面积为8，，则k的值为 ． 29．（2024·福建厦门·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知的顶点，顶点C，D在双曲线的同一支上，直线交轴于点，直线交轴于点．若，则的值是 ． 30．（2024·福建厦门·模拟预测）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限内点A，与x轴负半轴交于点B，过点A作轴于点C，D为的中点，线段交y轴于点E，连接．若的面积是6，则k的值是 ． 三、解答题 31．（2024·福建泉州·模拟预测）某文具店准备购进型号的文具一共100件，两种文具的进价和售价情况如下表：     价格型号 进价（元/件） 售价（元/件） 型 10 12 型 15 23 (1)问该文具店应如何进货，使得进货款恰好是1340元？ (2)若购进这两种文具全部售完后，获得利润不超过进货款总数的，求该文具店可获利润的最大值．（注：利润=售价-进价） 32．（2024·福建泉州·模拟预测）已知抛物线与轴交于两点，为抛物线上不与重合的相异两点，设直线的交点为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若四点构成的四边形是轴对称图形，且，求四边形的面积； (3)若直线的交点在直线上，则直线必过定点，直接写出该定点的坐标． 33．（2024·福建厦门·三模）近年来，我国民用无人机市场呈现出蓬勃发展的态势，市场前景广阔．某科技公司跟风设计了一款成本为20元/件的儿童款“迷你无人机”，并投放网上某平台进行试销．经过调查，得到如下数据：(x、y均为整数) 销售单价x(元/件) 25 30 40 45 55 每周销售量y(件) 450 400 300 250 150 (1)把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x的函数关系，并求出函数表达式； (2)当销售单价定为多少元时，该公司试销此儿童款“迷你无人机”每周获得的利润最大？最大利润是多少？(利润=销售总价-成本总价) 34．（2024·福建泉州·三模）沸点测定是一种常用的物理实验方法，用于测定液体的沸点，小聪想用刻度不超过的温度计测算出这种食用油沸点的温度．在老师的指导下，他在锅中倒入一些这种食用油均匀加热，并每隔测量一次锅中油温，得到的数据记录如下： 时间 0 10 20 30 40 油温 10 30 50 70 90 (1)小聪在直角坐标系中描出了表中数据对应的点，经老师介绍，在这种食用油达到沸点前，锅中油温y（单位：）与加热的时间t（单位：s）符合初中学习过的某种函数关系．试求出y关于t的函数解析式； (2)当加热时，油沸腾了，请推算沸点的温度． 35．（2024·福建泉州·模拟预测）茶为国饮，茶文化是中国传统文化的重要组成部分，这也带动了茶艺、茶具、茶服等相关文化的延伸及产业的发展，在“春季茶叶节”期间，某茶具店老板购进了A、B两种不同的茶具．若购进A种茶具1套和B种茶具2套，需要250元：若购进A种茶具3套和B种茶具4套则需要600元．且已知销售一套A种茶具，可获利30元，销售一套B种茶具可获利20元． (1)A，B两种茶具每套进价分别为多少元？ (2)由于茶具畅销，老板决定再次购进A、B两种茶具共80套，茶具工厂对两种类型的茶具进行了价格调整，A种茶具的进价比第一次购进时提高了，B种茶具的进价按第一次购进时进价的八折；如果茶具店老板此次用于购进A、B两种茶具的总费用不超过6240元，则如何进货可使再次购进的茶具获得最大的利润？最大的利润是多少？ 36．（2024·福建南平·二模）北方某市对城市居民该冬季的采暖收费标准如下表：（以户为单位） 阶梯 采暖用气 销售价格 第一阶梯 （含1500）的部分 2.67元 第二阶梯 （含2500）的部分 3.15元 第三阶梯 以上的部分 根据表中所给的数据回答以下问题： (1)某户用气量为，求此户需缴纳的燃气费用： (2)设某户这个冬季用气量为，缴纳燃气费用为元，求与的函数表达式： (3)已知某户该冬季缴纳燃气费用为8970元，求该户用多少立方米的燃气？ 37．（2024·福建厦门·模拟预测）心理学研究发现，一般情况下，在一节分钟的数学课中，学生的注意力随上课时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持在较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．通过实验分析可知，学生的注意力指标数随时间（分钟）的变化规律如图所示，点的坐标为，点的坐标为，为反比例函数图象的一部分． (1)求所在的反比例函数的解析式； (2)吴老师计划在课堂上讲解一道代数推理题，准备安排分钟讲解，为了达到最佳的教学效果，要求学生的注意力指标数不低于，请问吴老师的安排是否合理？并说明理由． 38．（2024·福建漳州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中放置一块角的三角板，，A，B两点分别落在x轴和y轴上，直线的解析式为，右侧有一条直线l到的距离为． (1)用尺规作出直线（保留作图痕迹，不写作法）． (2)若直线l与边交于点D，双曲线经过点D，求出k的值． 39．（2024·福建福州·模拟预测）为推进青少年近视的防控工作，教育部等十五部门发布了《儿童青少年近视防控光明行动工作方案（2021—2025年）》．方案中明确强调了校园视力筛查的重要性．视力筛查使用的视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表等． 【素材1】国际通用的视力表以5米为检测距离．如图1，任选视力表中7个视力值，测得对应行的“E”形图边长，在平面直角坐标系中描点． 【素材2】图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角．视力值与分辨视角（分）的对应关系近似满足 【素材3】如图3，当确定时，在处用边长为的Ⅰ号“E”测得的视力与在处用边长为的Ⅱ号“E”测得的视力相同． 【探究活动】 (1)当检测距离为5米时， ①猜想与满足______函数关系（填：一次或二次或反比例）； ②直接写出与的函数关系式为______； ③求视力值1.2所对应行的“E”形图边长． (2)当时，属于正常视力，根据函数增减性求出对应的分辨视角的范围． (3)在某次视力检测中，小何同学发现视力值1.2所对应行的“E”形图边长为，设置的检测距离为3.5米．请问，设置的检测距离与该视力表是否匹配？若匹配，请说明理由；若不匹配，小何同学该如何调整自己的位置？ 40．（2024·福建厦门·二模）某电子科技公司2023年耗资1600万元研发一款移动电源，在2024年1月上市进行销售，销售部门通过试营销、市场调研绘制了该款移动电源年销售量y（单位：万件）随销售价格x（单位：元/件）变化的大致图象（图象由部分双曲线与线段组成），如图所示． (1)求双曲线的函数解析式： (2)已知该移动电源的制造成本为40元/件，请判断2024年该公司是否有可能收回研发成本，并说明理由． 41．（2024·福建厦门·模拟预测）心理学研究发现，一般情况下，在一节40分钟的数学课中，学生的注意力随上课时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持在较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．通过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如图所示，点B的坐标为，点C的坐标为，为反比例函数图象的一部分． (1)求所在的反比例函数的解析式； (2)吴老师计划在课堂上讲解一道代数推理题，准备安排23分钟讲解，为了达到最佳的教学效果，要求学生的注意力指标数不低于38，请问吴老师的安排是否合理？并说明理由． 42．（2024·福建福州·一模）阅读材料，用配方法求最值． 已知,为非负实数，，，当且仅当“”时，等号成立.示例：当时，求的最小值； 解：，当，即时，的最小值为5． (1)若，求最小值； (2)如图，已知为双曲线上任意一点，过点作轴，轴且，，求四边形的面积的最小值，并求此时的坐标． ( 16 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04一次函数与反比例函数（精选51题） 一、单选题 1．（2023·福建·中考真题）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上，则实数的值为（　　）    A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】如图所示，点在上，证明，根据的几何意义即可求解． 【详解】解：如图所示，连接正方形的对角线，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，点在上，    ∵，， ∴． ∴． ∴． ∵点在第二象限， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，反比例函数的的几何意义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 2．（2021·福建·中考真题）如图，一次函数的图像过点，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先平移该一次函数图像，得到一次函数的图像，再由图像即可以判断出 的解集． 【详解】解：如图所示，将直线向右平移1个单位得到 ，该图像经过原点， 由图像可知，在y轴右侧，直线位于x轴上方，即y>0， 因此，当x>0时，， 故选：C． 【点睛】本题综合考查了函数图像的平移和利用一次函数图像求对应一元一次不等式的解集等，解决本题的关键是牢记一次函数的图像与一元一次不等式之间的关系，能从图像中得到对应部分的解集，本题蕴含了数形结合的思想方法等． 二、填空题 3．（2024·福建·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与交于两点，且点都在第一象限．若，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质以及勾股定理，完全平方公式的应用，先根据得出，设，则，结合完全平方公式的变形与应用得出，结合，则，即可作答． 【详解】解：如图：连接 ∵反比例函数的图象与交于两点，且 ∴ 设，则 ∵ ∴ 则 ∵点在第一象限 ∴ 把代入得 ∴ 经检验：都是原方程的解 ∵ ∴ 故答案为： 4．（2022·福建·中考真题）已知反比例函数的图象分别位于第二、第四象限，则实数k的值可以是 ．（只需写出一个符合条件的实数） 【答案】-5（答案不唯一） 【分析】根据反比例函数的图象分别位于第二、四象限可知k＜0，进而问题可求解． 【详解】解：由反比例函数的图象分别位于第二、第四象限可知k＜0， ∴实数k的值可以是-5； 故答案为-5（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数的图象是解题的关键． 5．（2021·福建·中考真题）若反比例函数的图象过点，则k的值等于 ． 【答案】1 【分析】结合题意，将点代入到，通过计算即可得到答案． 【详解】∵反比例函数的图象过点 ∴，即 故答案为：1． 【点睛】本题考查了反比例函数的知识；解题的关键是熟练掌握反比例函数图像的性质，从而完成求解． 6．（2020·福建·中考真题）设是反比例函数图象上的任意四点，现有以下结论： ①四边形可以是平行四边形； ②四边形可以是菱形； ③四边形不可能是矩形； ④四边形不可能是正方形． 其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①④ 【分析】利用反比例函数的对称性，画好图形，结合平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定可以得到结论，特别是对②的判断可以利用反证法． 【详解】解：如图， 反比例函数的图象关于原点成中心对称， 四边形是平行四边形，故①正确， 如图，若四边形是菱形， 则 显然：＜ 所以四边形不可能是菱形，故②错误， 如图， 反比例函数的图象关于直线成轴对称， 当垂直于对称轴时， 四边形是矩形，故③错误， 四边形不可能是菱形， 四边形不可能是正方形，故④正确， 故答案为：①④． 【点睛】本题考查的是平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定，反比例函数的对称性，掌握以上知识是解题的关键． 三、解答题 7．（2022·福建·中考真题）在学校开展“劳动创造美好生活”主题活动中，八年级（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护．同学们约定每人养护一盆绿植，计划购买绿萝和吊兰两种绿植共46盆，且绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍．已知绿萝每盆9元，吊兰每盆6元． (1)采购组计划将经费390元全部用于购买绿萝和吊兰，可购买绿萝和吊兰各多少盆？ (2)请帮规划组找出最省钱的购买方案，并求出购买两种绿植总费用的最小值． 【答案】(1)可购买绿萝38盆，吊兰8盆 (2)购买吊兰的15盆，绿萝31盆，总花费最少，最少为369元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的性质，不等式的应用： （1）设可购买绿萝x盆，吊兰y盆，由题意：计划购买绿萝和吊兰两种绿植共46盆．采购组计划将预算经费390元全部用于购买绿萝和吊兰，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购买吊兰的数量为m盆，则购买绿萝的数量为盆，由绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍，得，求得m的取值范围，设购买两种绿植共花费w元，由题意得：，根据一次函数的增减性即可求得最省钱方案． 【详解】（1）解：设可购买绿萝x盆，吊兰y盆，依题意得： ， 解得：， 答：可购买绿萝38盆，吊兰8盆； （2）解：设购买吊兰的数量为m盆，则购买绿萝的数量为盆， ∵绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍， ∴， 解得：， 设购买两种绿植共花费w元， 由题意得：， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w取最小值，即花费最少， （元）， 此时购买吊兰15盆，绿萝（盆）， 答：购买吊兰的15盆，绿萝31盆，总花费最少，最少为369元． 8．（2021·福建·中考真题）某公司经营某种农产品，零售一箱该农产品的利润是70元，批发一箱该农产品的利润是40元． （1）已知该公司某月卖出100箱这种农产品共获利润4600元，问：该公司当月零售、批发这种农产品的箱数分别是多少？ （2）经营性质规定，该公司零售的数量不能多于总数量的30%．现该公司要经营1000箱这种农产品，问：应如何规划零售和批发的数量，才能使总利润最大？最大总利润是多少？ 【答案】（1）该公司当月零售农产品20箱，批发农产品80箱；（2）该公司应零售农产品300箱、批发农产品700箱才能使总利润最大，最大总利润是49000元 【分析】（1）设该公司当月零售农产品x箱，批发农产品y箱，利用卖出100箱这种农产品共获利润4600元列方程组，然后解方程组即可； （2）设该公司零售农产品m箱，获得总利润w元，利用利润的意义得到，再根据该公司零售的数量不能多于总数量的30%可确定m的范围，然后根据一次函数的性质解决问题． 【详解】解：（1）设该公司当月零售农产品x箱，批发农产品y箱． 依题意，得 解得 所以该公司当月零售农产品20箱，批发农产品80箱． （2）设该公司零售农产品m箱，获得总利润w元．则批发农产品的数量为箱， ∵该公司零售的数量不能多于总数量的30% ∴ 依题意，得． 因为，所以w随着m的增大而增大， 所以时，取得最大值49000元， 此时． 所以该公司应零售农产品300箱、批发农产品700箱才能使总利润最大，最大总利润是49000元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用：建立一次函数模型，利用一次函数的性质和自变量的取值范围解决最值问题；也考查了二元一次方程组． 9．（2020·福建·中考真题）某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和是100吨，且甲特产的销售量都不超过20吨． （1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？ （2）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润． 【答案】（1）甲特产15吨，乙特产85吨；（2）26万元． 【分析】（1）设这个月该公司销售甲特产吨，则销售乙特产吨，根据题意列方程解答； （2）设一个月销售甲特产吨，则销售乙特产吨，且，根据题意列函数关系式，再根据函数的性质解答. 【详解】解：（1）设这个月该公司销售甲特产吨，则销售乙特产吨， 依题意，得， 解得，则， 经检验符合题意， 所以，这个月该公司销售甲特产15吨，乙特产85吨； （2）设一个月销售甲特产吨，则销售乙特产吨，且， 公司获得的总利润， 因为，所以随着的增大而增大， 又因为， 所以当时，公司获得的总利润的最大值为26万元， 故该公司一个月销售这两种特产能获得的最大总利润为26万元. 【点睛】此题考查一元一次方程的实际应用、一次函数的性质等基础知识，考查运算能力、应用意识，考查函数与方程思想，正确理解题意，根据问题列方程或是函数关系式解答问题. 一、单选题 1．（2024·福建三明·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点E，点A在线段上，过点A作x轴的平行线，交直线于点B，分别过点A，B作x轴的垂线，当四边形为正方形时，点B的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是正方形的性质，一次函数的性质，先设，再求解，再结合正方形的性质可得答案． 【详解】解：∵A在直线上， ∴设， ∵轴， ∴， 解得：， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， 解得：， ∴，， ∴， 故选B 2．（2024·福建厦门·二模）西周数学家商高总结了用“矩”（如图）测量物高的方法：把矩的两边放置成如图的位置，从矩的一端（人眼）望点，使视线通过点，记人站立的位置为点，量出长，即可算得物高．令，若，则关于的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的应用、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据题意和图形，可以得到，然后根据相似三角形的性质，可以得到与的函数关系式． 【详解】解：由图2可得，， ， ， ， ， ， 即， ， 化简，得， 故选：B． 3．（2024·福建莆田·一模）如图，在矩形中，点是坐标原点，点A在反比例的图象上，点在反比例函数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查矩形的性质、锐角三角函数、勾股定理、相似三角形的判定和性质、反比例函数k的几何意义等知识点，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键． 过A、B作轴于E，轴于F，利用三角函数、勾股定理解可得，结合矩形的性质可得，再证，推出，根据反比例函数k的几何意义可得即可求解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图：过A、B作轴于E，轴于F， ∵且， ∴， ∴， ∴，,解得：， ∵反比例函数在第二象限， ∴， ∴． 故答选C． 4．（2024·福建泉州·模拟预测）如图，已知一次函数与反比例函数的图象相交于点，则关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据待定系数法，可得函数解析式，根据解方程，可得答案．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用待定系数法得出，的值是解题关键． 【详解】解：一次函数与反比例函数的图象相交于点， ，， 解得， 关于的方程为， ， 解得，， 故选：D． 5．（2024·福建厦门·二模）为反比例函数的图象上两点，若，且则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据，得到，进而得到，即可得出结果． 【详解】解：∵为反比例函数的图象上两点， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵的符号不定，无法确定的大小关系； 故选C． 6．（2024·福建厦门·二模）如图，将一块等腰直角三角板放在平面直角坐标系中，点，直角顶点，点在第二象限．将沿轴正方向平移后得到，点的对应点恰好落在双曲线上，则平移的距离等于（    ）    A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形、三角形全等的判定与性质、反比例函数的性质、平移的性质，由题意得，，作轴于，证明得出，设将沿轴正方向平移个单位后得到，得出，，结合反比例函数的性质求出的值即可得解． 【详解】解：∵点，， ∴，， 如图：作轴于，    则， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设将沿轴正方向平移个单位后得到， ∴，， ∵点的对应点恰好落在双曲线上， ∴， 解得：， ∴平移的距离为， 故选：B． 7．（2024·福建福州·模拟预测）小亮新买了一盏亮度可调节的台灯，他发现调节的原理是：当电压为时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗．台灯的电流是电阻的反比例函数,其图像如图所示．下列说法正确的是（    ） A．电流随电阻的增大而增大 B．电流与电阻的关系式为 C．当电阻为时，电流为 D．当电阻时，电流的范围为 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的应用，直接利用反比例函数图象得出函数解析式，进而利用反比例函数的性质分析得出答案． 【详解】解：A、由图象知，电流随电阻的增大而减小，故此选项不符合题意； B、设反比例函数解析式为：，把代入得，则故此选项不符合题意； C、把代入得，，故此选项不合题意； D、当电阻时，电流I的范围为，故此选项符合题意， 故选：D． 8．（2024·福建厦门·二模）如图，反比例函数与正比例函数交于点A、点B，已知点，过点A作轴，垂足为的垂直平分线交x轴于点D，若的周长为6，则反比例函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，线段的垂直平分线的性质，先证明，可得，再求解，再进一步解答即可． 【详解】解：∵的垂直平分线交x轴于点D， ∴， ∵的周长为6， ∴， ∴， ∵反比例函数与正比例函数交于点A、点B，点， ∴， ∴， ∴，而轴， ∴， ∴， ∴； 故选A． 9．（2024·福建福州·二模）在平面直角坐标系中，反比例函数和反比例函数的图象如图所示，一条垂直于x轴的直线分别交这两个反比例函数的图象于A，B两点，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查反比例函数比例系数k的几何意义，根据题意得，从而可得结论 【详解】解：如图， ， ∵ ∴， ∴的面积， 故选：B 10．（2024·黑龙江牡丹江·一模）如图，矩形的边轴，对角线的交点O为坐标原点，，垂足是G．若反比例函数的图象经过点A，且，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合题．由已知求得，设点A的坐标为，求得，，利用矩形面积公式列式计算即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵矩形， ∴， ∵反比例函数的图象经过点A，设点A的坐标为， ∵矩形的边轴， ∴点B的坐标为，点C的坐标为， ∴，， ∴， 解得， 故选：C． 11．（2024·湖南株洲·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点与点，过点C作y轴的平行线交直线于点D，连接，则的长为（　　） A．3 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的对称性，利用待定系数法求得反比例函数的解析式即可求得点的坐标，进一步求得直线的解析式，利用反比例函数的中心对称性求得的坐标，即可求得点的坐标，从而求得的长度．求得直线的解析式以及点的坐标是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象交于点与点， ∴， ∴，， ∴， 把、的坐标代入得，解得， ∴直线为， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 故选：B． 12．（2024·福建泉州·一模）在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，点在函数的图象上，线段与轴交于点．若，的面积为5，则k的值为（    ） A． B． C． D．6 【答案】A 【分析】 本题考查的是反比例函数系数的几何意义．连接，作轴于，轴于，则，利用反比例函数的几何意义求出三角形面积与三角形面积，由，的面积为5，求得，利用求得，再列出方程即可求解． 【详解】 解：连接，作轴于，轴于，则， ， ， ， ，， ， 的面积为5， ， 点在函数的图象上，点在函数的图象上， ，， 的面积为5， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 13．（2024·福建福州·一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点B的坐标是，D是的中点，、交于点E，函数的图象过点B．E．且经过平移后可得到一个反比例函数的图象，则该反比例函数的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据四边形是矩形，点B的坐标是，D是的中点，得到,，设直线的解析式为、的解析式为，，，得到直线的解析式为，的解析式为，联立，确定，根据函数的图象过点B．E．且经过平移后可得到一个反比例函数的图象，故反比例函数一定过点E关于x轴的对称点，继而确定解析式为，本题考查了反比例函数的解析式的确定，熟练掌握解析式的确定是解题的关键. 【详解】∵四边形是矩形，点B的坐标是，D是的中点， ∴,， 设直线的解析式为、的解析式为， ∴，， 解得，， ∴直线的解析式为，的解析式为， 联立， 解得， ∴， ∵函数的图象过点B．E． ∴， 解得， ∴， ∴， 故函数向左平移3个单位，再向下平移4个单位，可得反比例函数， 故选D. 14．（2023九年级·全国·专题练习）如图，反比例函数图象经过正方形的顶点A，边与y轴交于点D，若正方形的面积为12，，则k的值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】过点A作轴于点E，过点A作轴于点G，过点B作于点G，过点C作轴于点F，过点B作轴于点M，过点C作轴于点N，，根据已知条件分别证明，，四边形，四边形和四边形为矩形，即可得出，，，根据已知条件可以证明，得出，设点A的坐标为：，即可得出，得出，根据勾股定理，结合正方形的面积，列出，最后将代入求出k的值即可． 【详解】解：过点A作轴于点E，过点A作轴于点G，过点B作于点G，过点C作轴于点F，过点B作轴于点M，过点C作轴于点N，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴，， ∵轴，轴， ∴， ，， ∴， ∴， ∴， ∵，轴， ∴， ，， ∴， ∴， ， ∵轴，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， 同理可得：四边形和四边形为矩形， ，，， 设点A的坐标为：， ，， ， ，即， ∵正方形的面积为12， ， 在中，由勾股定理得，即， 把代入得：， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，矩形的判定和性质，勾股定理，反比例函数与几何综合，相似三角形的性质与判定等等，设出点A的坐标，找出m与k的两个关系式，是解题的关键． 15．（2023·湖南张家界·中考真题）如图，矩形的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在上，且，反比例函数的图象经过点D及矩形的对称中心M，连接．若的面积为3，则k的值为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】设点的坐标为，根据矩形对称中心的性质得出延长恰好经过点B，，确定，然后结合图形及反比例函数的意义，得出，代入求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 设点的坐标为， ∵矩形的对称中心M， ∴延长恰好经过点B，，    ∵点D在上，且， ∴， ∴， ∴ ∵在反比例函数的图象上， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 16．（2023·福建泉州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于A、两点，直线，.过点C作x轴的垂线于点D.若点在直线上，且，则的值为（    ）.      A．或 B．3或 C．2或6 D．或 【答案】D 【分析】作的外接圆交直线于，连接，，则满足条件，求出点P的坐标，求出结论． 【详解】解：如图，作的外接圆交直线于，连接，，则满足条件，    把代入得：， ∵，， ∴垂直平分， 由双曲线对称性可知直线的解析式为，点， 即 . ∴. ∵轴， ∴. ，，， ∴， ∴, ∴是的中点， 点坐标为：， ∴，， ∴， ∴， ∴，此时 根据对称性可得P关于点C的对称点 ∴， 故选D． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数交点，三角形的外接圆，勾股定理的逆定理，解题的关键是利用辅助圆构造相等的角解决问题． 二、填空题 17．（18-19八年级下·湖南长沙·期中）如图，、、，动点从点出发，沿轴以每秒2个单位长的速度向右移动，且过点的直线也随之平移，设移动时间为秒，若直线与线段有公共点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一次函数图象与几何变换，两条直线相交和平行问题，属于动线型问题，掌握一次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式是解决问题的关键． 分别求出直线经过点、点时的值，即可得到的取值范围． 【详解】解：由题意得：，则， 当直线过点时，， 解得：， ， 解得． 当直线过点时， ， 解得：， ， 解得． 故若与线段有公共点，的取值范围是：， 故答案为：． 18．（2024·福建南平·一模）如图，矩形中，，，的平分线交于点，为线段上一动点，点为的中点，则线段长的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，二次函数的性质，两点距离公式等知识．建立平面直角坐标系，求出的解析式，设点，可求点坐标，由两点距离公式和二次函数性质可求的最大值． 【详解】解：以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，   ，， 点，点，点， 为的角平分线， ， ， ， 点， 设直线的解析式为， 将点，代入上式，得： ，解得： 直线解析式为， 设点， 为的中点， 点， ， ， 当时，的长有最大值，最大值为， 故答案为：． 19．（2024·福建莆田·一模）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了“杠杆原理”：杠杆平衡时，阻力阻力臂动力动力臂．当用撬棍撬动一块石头时，发现阻力和阻力臂分别为和，关于动力和动力臂：随的增大而减小；关于的函数图象位于第一、第三象限；当为时，抙动石头至少需要的力；当抙动石头需要的力，至少为；上面四种说法正确的是 ．（只填序号） 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，反比例函数的图象与性质，由题意知，，则，根据反比例函数的图象与性质，反比例函数的实际应用对各说法进行判断即可，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【详解】解：由题意知，则，， ∵， ∴随的增大而减小， 故正确，符合题意； 由题意知，关于的函数图象位于第一象限， 故错误，不符合题意； 当时，， 故正确，符合题意； 当时，， 故正确，符合题意； 故答案为：． 20．（2024·福建泉州·模拟预测）如图，矩形的顶点A，B分别在轴，轴上，，将矩形绕点顺时针旋转，若点正好落在反比例函数的图象上，则 ．    【答案】30 【分析】作轴，垂足为，可证明，得到，代入数据求出，，据此得到点坐标，再根据旋转性质得到旋转后的点坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到值即可．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征及旋转性质，熟练掌握旋转性质是关键． 【详解】解：如图，作轴，垂足为，   ， ，， ∴， ，即， ，， ， ， 根据性质性质，三角形绕点顺时针旋转后，点落在第一象限，且坐标为， 点在反比例函数图象上， ． 故答案为：30． 21．（2024·河北邯郸·二模）如图，已知点，，点是线段上的整点（不与重合，且横、纵坐标都是整数），若双曲线（）经过点，写出一个符合条件的的值： ． 【答案】或或（任选一个即可）． 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，由，可得轴，得到点的纵坐标为，再根据横坐标，横坐标为整数，求出点的坐标，即可求解，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴轴， ∵点在线段上， ∴点的纵坐标为，且横坐标， ∵点的横坐标为整数， ∴或或， ∴点的坐标为或或， ∴的值为，，， 故答案为：或或（任选一个即可）． 22．（2024·福建厦门·三模）已知正方形的面积为4，它的两个顶点，是反比例函数(，)图象上两点，正方形的边轴．若点的坐标是，则的值为 ． 【答案】2或 【分析】本题考查了双曲线上点的坐标的特点．如图，正方形的面积为，根据的坐标，分两种情况，求出的坐标或．，两点是反比例函数 ，图象上两点，列出等式或求出的值． 【详解】解：如图，当D点在上方时，   正方形的面积为， ， 点的坐标是， 点的坐标是． ， ， ； 如图，当B点在上方时， 正方形的面积为， ， 点的坐标是， 点的坐标是． ， ， 故答案为：或． 23．（2024·福建福州·模拟预测）在直角坐标系中，点A是反比例函数的图象在第一象限上的点，点A关于直线的对称点B在x轴上，且，以为边作菱形，若点D也在反比例函数第一象限的图象上，则点C的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数与菱形的综合，求得反比例函数的解析式成为解题的关键． 如图： ，设，则的中点坐标为，然后根据题意可得、，进而得到，即,；设，根据列方程求得或，和，然后分情况解答即可． 【详解】解：如图： ，设，则的中点坐标为， ∵点A关于直线的对称点B在x轴上， ∴① ∵， ∴② ①②联立可得：， ∴反比例函数的解析式为,, ∵菱形， ∴, 设，则，解得：或，和 当时，与点A重合，不符题意舍弃； 当时，，的中点坐标为, 设点C的坐标为， 则有，解得：， ∴点C的坐标为； 当或时，点D不在第一象限，不符合题意． 故答案为：． 24．（2024·福建福州·三模）如图，矩形的三个顶点，，分别在反比例函数的图象上，过点，矩形的边与轴交于点，且，若点的横坐标为1，则 ． 【答案】/ 【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，设点坐标为，则、、均可用表示，易知，通过线段等量关系可求用表示的点坐标，进而求得点坐标，根据、都在反比例函数图象上，得到两点的横纵坐标之积都为，列方程即可求得的值． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点， 设点坐标为， 由对称性质有， ，，， ， ， ，即， ， ， ，，， ， ，，， ， ， ，，，， ， 、都在反比例函数图象上， ， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题是反比例函数与几何的综合题，主要考查了反比例函数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，解直角三角形的计算，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，解题关键是掌握反比例函数图象上的点的横纵坐标之积是定值，即． 25．（2024·福建泉州·三模）如图，点为轴上一点，点C在函数的图象上，轴切于点．若、、三点恰好在同一直线上，的面积为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数点的坐标特征，切线的性质，三角形面积等知识点，构造三角形面积的等式是解题的关键． 根据点在反比例函数上设，表达出三角形的底和高，再利用三角形的面积公式建立等式求解即可． 【详解】解：∵点在函数的图象上， ∴设， ∵轴切于点， ∴轴， ∴，，则点到的距离为， ∵为的直径， ∴， ∴， 解得：； 故答案为：． 26．（2024·福建厦门·模拟预测）如图，矩形的顶点A和对称中心在反比例函数上，若矩形的面积为16，则k的值为 ．    【答案】 【分析】此题主要考查了反比例函数图象上的点，矩形的性质，理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的解析式，熟练掌握矩形的性质是解决问题的关键． 连接交反比例函数的图象于点，依题意得点为矩形的对称中心，则点为的中点，设，，，则点，，根据矩形的性质得点，则点，进而得，整理得，然后根据矩形的面积为16得，由此得，进而可得的值． 【详解】解：解：连接交反比例函数的图象于点，如图所示：   矩形的顶点和对称中心在反比例函数的图象上， 点为矩形的对称中心， 点为的中点， 设，，， 则点，， 四边形为矩形， ，，轴， 点， 点为的中点， 点的坐标为， 点，均在反比例函数的图象上， ， 整理得：， 矩形的面积为16， ， ， ， ． 故答案为：． 27．（2024·福建福州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点绕点顺时针旋转后的对应点落在反比例函数的图象上，则 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，全等三角形的性质与判定，求反比例函数解析式，设点的对应点为点A，分别过点A和点C作x轴的垂线，垂足分别为B、D，证明得到，则，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：如图所示，设点的对应点为点A，分别过点A和点C作x轴的垂线，垂足分别为B、D， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 把代入中得：， ∴， 故答案为：4．    28．（2024·福建南平·二模）如图，点A，D在反比例函数的图象上，垂直y轴，垂足为C，，垂足为B．若四边形的面积为8，，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键． 设点，可得，，从而得到，再得出轴， 可得点，从而得到，然后根据，即可求解． 【详解】解：设点， 轴， ，， ， ， ， ，轴， 轴， 点， ， ，四边形的面积为8， ， 解得：． 故答案为：． 29．（2024·福建厦门·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知的顶点，顶点C，D在双曲线的同一支上，直线交轴于点，直线交轴于点．若，则的值是 ． 【答案】4或12 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，平行四边形的性质与判定，勾股定理，设，根据平行四边形对角线中点坐标相同推出，再把代入反比例函数解析式中求出，则，据此求出直线解析式得到，，进而证明，得到四边形是平行四边形，再根据，推出，再分点C和点D在第一象限和第三象限两种情况利用两点中点坐标公式求出点C的坐标即可得到答案． 【详解】解：设， ∵四边形是平行四边形， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∴， 同理可得直线解析式为， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 如图所示，当点C和点D在第三象限时， ∵， ∴，即点E是的中点， ∴， ∴； 如图所示，当C、D在第一象限时，同理可得，如图所示，取中点T，则，即点B为中点， ∴， ∴， ∴； 综上所述，k的值为4或12， 故答案为：4或12． 30．（2024·福建厦门·模拟预测）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限内点A，与x轴负半轴交于点B，过点A作轴于点C，D为的中点，线段交y轴于点E，连接．若的面积是6，则k的值是 ． 【答案】12 【分析】本题考查了三角形中线的性质、反比例函数比例系数k的几何意义、矩形的判定等知识，添加辅助线，利用三角形中线平分三角形面积的性质是本题的关键． 过点A作轴于点F，连接，根据点D是的中点，的面积=的面积，的面积的面积，从而其差相等，即的面积的面积，由于的面积=矩形面积的一半，再由反比例函数中k的几何意义即可求得k的值． 【详解】过点A作轴于点F，连接，如图 ∵轴，， ∴四边形是矩形， ∵点D是的中点， ∴、分别是、的边上的中线， ∴， ， ∴， 即， ∵，， ∴ ， ∴根据反比例函数解析式中k的几何意义知，， ∵反比例函数的图象在第一象限， ∴， 故答案为：12． 三、解答题 31．（2024·福建泉州·模拟预测）某文具店准备购进型号的文具一共100件，两种文具的进价和售价情况如下表：     价格型号 进价（元/件） 售价（元/件） 型 10 12 型 15 23 (1)问该文具店应如何进货，使得进货款恰好是1340元？ (2)若购进这两种文具全部售完后，获得利润不超过进货款总数的，求该文具店可获利润的最大值．（注：利润=售价-进价） 【答案】(1)购进型号文具32件，购进型号文具68件 (2)当文具店购进A型号文具50件时，所获利润最大，最大值为500元 【分析】本题考查了一次函数的应用以及不等式的应用，二元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设购进型号文具件，购进型号文具件，再列出方程组计算，即可作答． （2）先根据题意列式得出，因为获得利润不超过进货款总数的，所以，则，结合一次函数的性质进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：设购进型号文具件，购进型号文具件， 依题意，得 解得 答：应购进型号文具32件，购进型号文具68件． （2）解：若购进型号文具件，则购进型号文具件， 由题意，得：所获利润， ∵ ∴解得， 由题意，得 随着的增大而减小 则当时， 当文具店购进A型号文具50件时，所获利润最大，最大值为500元． 32．（2024·福建泉州·模拟预测）已知抛物线与轴交于两点，为抛物线上不与重合的相异两点，设直线的交点为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若四点构成的四边形是轴对称图形，且，求四边形的面积； (3)若直线的交点在直线上，则直线必过定点，直接写出该定点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)直线过定点 【分析】（1）用待定系数法求抛物线的函数表达式即可． （2）由图形的轴对称，可知四点构成的四边形是等腰梯形．再根据，即可求出点D的坐标，再利用梯形的面积公式计算即可． （3）设，设直线解析式为可得出，设设直线解析式为，可得出，设设直线解析式为，可得出，由直线的交点在直线上可得出，整理可得出 ，进而求出b值为0．即可得出直线过定点． 【详解】（1）解：两点在抛物线上 ∴， 解得 抛物线的函数表达式为． （2）如图，由图形的轴对称，可知四点构成的四边形是等腰梯形． 又，且 ∴ 设点，则点 ，则 ，则点 （3）直线过定点． 如图，设， 设直线解析式为． 依题意，得 则有 设直线解析式为． 在直线上 ， 即 又， 设直线解析式为 在直线上 即 又， 直线的交点在直线上 ， 即 ， 整理得 故， 解得 直线解析式为 故直线过定点． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，一次函数解析式，二次函数综合面积问题，以及一次函数与二次函数交点等问题，掌握二次函数的性质和一次函数的性质是解题的关键． 33．（2024·福建厦门·三模）近年来，我国民用无人机市场呈现出蓬勃发展的态势，市场前景广阔．某科技公司跟风设计了一款成本为20元/件的儿童款“迷你无人机”，并投放网上某平台进行试销．经过调查，得到如下数据：(x、y均为整数) 销售单价x(元/件) 25 30 40 45 55 每周销售量y(件) 450 400 300 250 150 (1)把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x的函数关系，并求出函数表达式； (2)当销售单价定为多少元时，该公司试销此儿童款“迷你无人机”每周获得的利润最大？最大利润是多少？(利润=销售总价-成本总价) 【答案】(1)见解析，y与x成一次函数关系， (2)当定价为45元/件时，可获得最大利润，且最大利润为6250元 【分析】本题考查一次函数，二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． （1）根据表格描出各点，可知y是x的一次函数，由待定系数法可得函数表达式为； （2）设每周获得的利润为w元，可得：，根据二次函数性质可得答案． 【详解】（1）解：描点连线画图象如下： 由图可知：x、y对应值的点在一条直线上， ∴y与x成一次函数关系， 设解析式为， 把代入得， 解得：， ∴； （2）解：设该公司销售无人机每周获得w元利润， 依题意得，x为整数)， ∵， ∴当元/件时，可获得最大利润，且最大利润为6250元． 34．（2024·福建泉州·三模）沸点测定是一种常用的物理实验方法，用于测定液体的沸点，小聪想用刻度不超过的温度计测算出这种食用油沸点的温度．在老师的指导下，他在锅中倒入一些这种食用油均匀加热，并每隔测量一次锅中油温，得到的数据记录如下： 时间 0 10 20 30 40 油温 10 30 50 70 90 (1)小聪在直角坐标系中描出了表中数据对应的点，经老师介绍，在这种食用油达到沸点前，锅中油温y（单位：）与加热的时间t（单位：s）符合初中学习过的某种函数关系．试求出y关于t的函数解析式； (2)当加热时，油沸腾了，请推算沸点的温度． 【答案】(1)y关于t的函数解析式为：； (2)该油的沸点温度是． 【分析】本题考查函数的表示方法以及求函数值；能够通过表格确定自变量与因变量的变化关系是解题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）把代入函数关系式，求出函数值即可． 【详解】（1）解：根据表格中两个变量对应值变化的规律可知，时间每增加，油的温度就升高，油温y与加热的时间t可能是一次函数关系， 设锅中油温y与加热的时间t的函数关系式为， 将点，代入得，   ， 解得，， y关于t的函数解析式为：； （2）解：当时，， 答：该油的沸点温度是． 35．（2024·福建泉州·模拟预测）茶为国饮，茶文化是中国传统文化的重要组成部分，这也带动了茶艺、茶具、茶服等相关文化的延伸及产业的发展，在“春季茶叶节”期间，某茶具店老板购进了A、B两种不同的茶具．若购进A种茶具1套和B种茶具2套，需要250元：若购进A种茶具3套和B种茶具4套则需要600元．且已知销售一套A种茶具，可获利30元，销售一套B种茶具可获利20元． (1)A，B两种茶具每套进价分别为多少元？ (2)由于茶具畅销，老板决定再次购进A、B两种茶具共80套，茶具工厂对两种类型的茶具进行了价格调整，A种茶具的进价比第一次购进时提高了，B种茶具的进价按第一次购进时进价的八折；如果茶具店老板此次用于购进A、B两种茶具的总费用不超过6240元，则如何进货可使再次购进的茶具获得最大的利润？最大的利润是多少？ 【答案】(1)A、B两种茶具每套进价分别为100元和75元 (2)采购A种茶具30个，B种茶具50个可获得最大利润为1900元 【分析】本题考查一次了函数的应用，掌握二元一次方程组和一元一次不等式的解法和一次函数的增减性是解题的关键． （1）设A种茶具每套进价a元，B种茶具每套进价b元，根据题意列方程组并求解即可； （2）计算再次购进A、B两种茶具时，A种茶具和B种茶具每套的价格，根据“A种茶具每套进价×购进A种茶具的套数+B种茶具每套进价×购进B种茶具的套数”列关于x的一元一次不等式并求解，设获得的利润为W元，根据“获得的利润＝每套A种茶具的利润×购进A种茶具的套数+每套B种茶具的利润×购进B种茶具的套数”写出W关于x的关系式，根据该关系式的增减性和x的取值范围，确定当x为何值时W的值最大，求出其最大值此时的值即可． 【详解】（1）解：（1）设A种茶具每套进价a元，B种茶具每套进价b元． 根据题意，得 解得， ∴A种茶具每套进价100元，B种茶具每套进价75元． （2）解：再次购进A、B两种茶具时，A种茶具每套进价为（元），B种茶具每套进价为（元）． 设购进A种茶具x套，则购进B种茶具套． 根据题意，得， 解得； 设获得的利润为W元，则， ∵， ∴W随x的增大而增大， ∵， ∴当时，W的值最大，，此时购进B种茶具（套）， 购进A种茶具30套、B种茶具50套获得最大的利润，最大的利润是1900元． 36．（2024·福建南平·二模）北方某市对城市居民该冬季的采暖收费标准如下表：（以户为单位） 阶梯 采暖用气 销售价格 第一阶梯 （含1500）的部分 2.67元 第二阶梯 （含2500）的部分 3.15元 第三阶梯 以上的部分 根据表中所给的数据回答以下问题： (1)某户用气量为，求此户需缴纳的燃气费用： (2)设某户这个冬季用气量为，缴纳燃气费用为元，求与的函数表达式： (3)已知某户该冬季缴纳燃气费用为8970元，求该户用多少立方米的燃气？ 【答案】(1)元 (2) (3)3000立方米 【分析】本题考查一次函数的应用，关键是写出函数解析式． （1）用1000乘以第一阶梯的电价即可； （2）根据题意按第一、二阶梯电价写出函数解析式即可； （3）先根据用户缴纳的燃气费用为8970元，判断用户的燃气量的范围，再计算出燃气量即可． 【详解】（1）解：元． 答：此户需缴纳的燃气费用为2670元， （2）解： 当时 当时 ， 所以与的函数解析式为 ， （3）解：当时， ， ∵ ∴当时 当时 解得 答：该用户用了3000立方米的燃气． 37．（2024·福建厦门·模拟预测）心理学研究发现，一般情况下，在一节分钟的数学课中，学生的注意力随上课时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持在较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．通过实验分析可知，学生的注意力指标数随时间（分钟）的变化规律如图所示，点的坐标为，点的坐标为，为反比例函数图象的一部分． (1)求所在的反比例函数的解析式； (2)吴老师计划在课堂上讲解一道代数推理题，准备安排分钟讲解，为了达到最佳的教学效果，要求学生的注意力指标数不低于，请问吴老师的安排是否合理？并说明理由． 【答案】(1) (2)安排不合理，理由见解析 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，熟练掌握反比例函数的性质与其图象的性质是解题的关键． （1）设所在反比例函数的解析式为，将代入即可； （2）求出段的直线解析式，先求出指标数为时段和段的时间，再求出指标数不低于的时间长即可． 【详解】（1）解：（1）由题意，设所在反比例函数的解析式为， ∵点的坐标为， ∴， ∴； （2）老师安排不合理，理由： 由题意，设， ∵，， ∴， ∴， ∴， 令， 解得：， 令， ∴， ∵， ∴老师安排不合理． 38．（2024·福建漳州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中放置一块角的三角板，，A，B两点分别落在x轴和y轴上，直线的解析式为，右侧有一条直线l到的距离为． (1)用尺规作出直线（保留作图痕迹，不写作法）． (2)若直线l与边交于点D，双曲线经过点D，求出k的值． 【答案】(1)画图见解析 (2) 【分析】（1）根据题意作出线段的垂直平分线即可； （2）利用一线三直角证明继而可求出点坐标，再根据中点坐标公式求出点坐标，即可求出双曲线中的值． 【详解】（1）解：作线段的垂直平分线即可，如图示：    理由如下： 由题意可知，是等腰直角三角形， ， 在直线中，当时，；当时，， ，， 由垂直平分线的性质可得：，且到的距离为； （2）解：如图，作轴，垂足为，    在和中， ， ， ，， ， 根据（2）作图可知，直线， 点为线段的中点， ， ， 点在双曲线图象上， ． 【点睛】本题考查了反比例函数综合应用，涉及线段垂直平分线的作图、勾股定理、全等三角形的判定和性质以及求反比例函数的解析式等知识；熟练的作图是解本题的关键． 39．（2024·福建福州·模拟预测）为推进青少年近视的防控工作，教育部等十五部门发布了《儿童青少年近视防控光明行动工作方案（2021—2025年）》．方案中明确强调了校园视力筛查的重要性．视力筛查使用的视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表等． 【素材1】国际通用的视力表以5米为检测距离．如图1，任选视力表中7个视力值，测得对应行的“E”形图边长，在平面直角坐标系中描点． 【素材2】图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角．视力值与分辨视角（分）的对应关系近似满足 【素材3】如图3，当确定时，在处用边长为的Ⅰ号“E”测得的视力与在处用边长为的Ⅱ号“E”测得的视力相同． 【探究活动】 (1)当检测距离为5米时， ①猜想与满足______函数关系（填：一次或二次或反比例）； ②直接写出与的函数关系式为______； ③求视力值1.2所对应行的“E”形图边长． (2)当时，属于正常视力，根据函数增减性求出对应的分辨视角的范围． (3)在某次视力检测中，小何同学发现视力值1.2所对应行的“E”形图边长为，设置的检测距离为3.5米．请问，设置的检测距离与该视力表是否匹配？若匹配，请说明理由；若不匹配，小何同学该如何调整自己的位置？ 【答案】(1)①反比例；② ；③ (2) (3)不匹配，检测距离应调整为 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质，数形结合是解题的关键． （1）①根据图象上的点猜测为反比例函数关系，②求出比例系数，再验证即可，③代入函数解析式，即可得到答案； （2）根据的增减性进行解答即可； （3）根据题意解得检测距离应为，即可得到答案． 【详解】（1）解：由图象中点的坐标规律得到n与b成反比例关系， 设，将其中的点代入，得到， ∴， 将其余点一一代入，都符合关系式， 故答案为：①反比例；② ； ③将代入得：； 答：检测距离为5米时，视力值1.2所对应行的“E”形图边长为； （2）， 在自变量的取值范围内，随着的增大而减小， 当时，， 又； （3）由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的， 由相似三角形性质得， 由（1）知， 解得检测距离应为 答：不匹配，检测距离应调整为．（或者小何同学应当向视力表方向前进） 40．（2024·福建厦门·二模）某电子科技公司2023年耗资1600万元研发一款移动电源，在2024年1月上市进行销售，销售部门通过试营销、市场调研绘制了该款移动电源年销售量y（单位：万件）随销售价格x（单位：元/件）变化的大致图象（图象由部分双曲线与线段组成），如图所示． (1)求双曲线的函数解析式： (2)已知该移动电源的制造成本为40元/件，请判断2024年该公司是否有可能收回研发成本，并说明理由． 【答案】(1) (2)2024年该公司不可能收回研发成本． 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的实际应用，二次函数的实际应用，理解题意，建立正确的函数关系式是解本题的关键． （1）设双曲线的解析式为，代入点即可解答； （2）求解当时，线段为，再分两种情况求解销售利润的最大值，再进行比较即可得到结论． 【详解】（1）解：设双曲线的解析式为， 由图可知：反比例函数图象经过点， 可得， ∴； （2）当时，， ∴， 当时，设线段为， ∴， 解得：， ∴线段为， 设销售利润为万元，则 当时， ， 当时，最大利润为（万元）， 当时， ， 对称轴为直线， ∴当时，最大利润为（万元）， ∵， ∴2024年该公司不可能收回研发成本． 41．（2024·福建厦门·模拟预测）心理学研究发现，一般情况下，在一节40分钟的数学课中，学生的注意力随上课时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持在较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．通过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如图所示，点B的坐标为，点C的坐标为，为反比例函数图象的一部分． (1)求所在的反比例函数的解析式； (2)吴老师计划在课堂上讲解一道代数推理题，准备安排23分钟讲解，为了达到最佳的教学效果，要求学生的注意力指标数不低于38，请问吴老师的安排是否合理？并说明理由． 【答案】(1) (2)老师安排不合理，理由见详解 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值． （1）分别从图象中找到其经过的点，利用待定系数法求得函数的解析式即可； （2）分别求出注意力指数为38时的两个时间，再将两时间之差与23比较，大于23则能讲完，否则不能． 【详解】（1）解：由题意，设所在反比例函数的解析式为， 点的坐标为， ． ． （2）解：老师安排不合理． 理由：由题意，设， ，， ， ， ， 令， ， ． 令， ， ， 老师安排不合理． 42．（2024·福建福州·一模）阅读材料，用配方法求最值． 已知,为非负实数，，，当且仅当“”时，等号成立.示例：当时，求的最小值； 解：，当，即时，的最小值为5． (1)若，求最小值； (2)如图，已知为双曲线上任意一点，过点作轴，轴且，，求四边形的面积的最小值，并求此时的坐标． 【答案】(1)； (2)27，． 【分析】本题考查了阅读学习，正确理解所展示的解法是解题的关键． (1)根据阅读材料提供的解题方法，按照例题求解即可． (2)设，则,表示出四边形的面积，运用解题方法求解即可． 【详解】（1）解： , 当时，有最小值，此时， 故答案为：． （2）设，则, 四边形的面积, , , 当时，有最小值12，此时 四边形的面积的最小值为，此时. ( 64 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$