第二讲、相反数和绝对值-2023-2024学年人教版数学七年级上册

第二讲、相反数和绝对值 1、 相反数 1、下面数轴上的点A、B、C、D分别表示什么数？ 观察A点与B点、C点与D点所表示的数各有什么相同点和不同点？ 它们在数轴上的位置有什么关系？ 2、相反数的意义： 如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。 特别规定：0的相反数是0。 几何意义：在数轴上，表示互为相反数（0除外）的两个点，位于原点的两侧，并且到原点的距离相等。 即：互为相反数的两个数在数轴上的对应点关于原点对称。 【友情提示】 （1）相反数总是成对出现的，只能两个数互为相反数，对一个数而言是谈不上互为相反数的。例如：说－2是相反数是错误的； （2）“只有符号不同的两个数”中的“只有”指的是除符号不同外，其他完全相同，并不是符号不同的两个数就是互为相反数。例如：－3与2符号不同，但它们不是互为相反数； （3）当a>0时，－a<0；当a=0时，－a=0；当a<0时，－a>0。以上说明a不一定是正数，－a也不一定是负数； （4）多重符号的化简方法：一个数前面是“＋”号，可以把“＋”号去掉；一个正数前面有偶数个“－”号，可以把“－”号都去掉；一个正数前面有奇数个“－”号，则化简符号后只有一个“－”号； （5）要表示一个数的相反数，只要在这个数的前面添一个“－”号。 【例1】下列说法正确的是( ) A.－3是相反数 B.－与＋是相反数 C.－的相反数是 D.－0.5的相反数是 【例2】a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如下图所示： 把a，－a，b，－b按照从小到大的顺序排列(   ) A.－b＜－a＜a＜b    B.－a＜－b＜a＜b C.－b＜a＜－a＜b    D.－b＜b＜－a＜a 【例3】如图所示，数轴的单位长度为1，请回答下列问题： （1） 如果点A、B表示的数是互为相反数，那么点C、D、E分别表示哪个数？ （2）如果点D、B表示的数是互为相反数，那么点A、C、E分别表示哪个数？ 【例4】若m+n=0，n+p=0，且m-q=0，则（ ） A.p与q相等 B.m与p互为相反数 C.m与n相等 D.n与q相等 【同步练习】 1、化简下列各数：（1） （2）－[＋(－ 2)] （3）－{－[＋(－7)]} 2、 若一个数的相反数是最大的负整数，那么这个数是 。 的相反数是 ；的相反数是 ； 是的相反数。 3、如图，数轴上的A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c，其中AB=BC，如果|a|＞|c|＞|b|,那么该数轴的原O点的位置应该在（ ） A、点A的左边 B、点A与点B之间 C、点B与点C之间 D、点C的右边 4、若a－5与a＋1互为相反数，则a是多少呢？ 5、数轴上A点表示+7，B、C两点所表示的数是相反数，且C点与A点的距离为2，求B点和C点各对应什么数？ 6、电子跳蚤停在数轴的原点O处，它先向右跳1个单位长度到达处，再向左跳2个单位长度到达处，称为1次跳跃；再从处向右跳3个单位长度到达处，再向左跳4个单位长度到达处，称为2次跳跃。问： （1）、、、所表示的数是多少？ （2）按这样的规律跳下去，试求第50次跳跃后，点、表示的数； （3） 求第2017次跳跃后，点、所表示的数。 2、 绝对值 1、 绝对值的概念 【问题引入】小明家在学校西边3km处，小丽家在学校东边2km处， 假如他们步行速度相同，谁先到学校？为 什么？ 【建立数轴】如图，建立数轴恰当表示他们的位置，小明家的位置表示什么数？小丽家的位置表示什么数？他们到学校的距离分别是多少？ 几何意义：我们把一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。 （1）表示-3的点与原点的距离是 ，所以-3的绝对值是 ； （2）表示2的点与原点的距离是 ，所以2的绝对值是 ； （3）表示0的点与原点的距离是 ，所以0的绝对值是 。 绝对值的记法：一个数a的绝对值记作|a|，如－5的绝对值是5，记作|－5|＝5。 2、 绝对值的求法 【例5】求下列各数的绝对值： 3， -7， +4， -2.5， 0， 。 3、 绝对值的性质 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0；互为相反数的两个数的绝对值相等。 【例6】下列说法正确的是（ ） A．绝对值等于本身的数是0 B．如果，那么 C．如果，那么 D．一个数的绝对值一定是正数 【同步练习】 1． 填空：绝对值最小的有理数是 ；互为相反数的绝对值关系是______________。数轴上到原点距离等于4的点有_____个，绝对值等于4的数是___________。绝对值小于4.5的整数是 ，绝对值不大于3的整数是 。绝对值大于1而不大于5的整数有 。 2．一个数的绝对值大于它的本身，则这个数是（ ） A．正数 B．正数和零 C．负数和零 D．负数 3．下列说法中，错误的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则不存在 D．若，则不存在 4．若|a+4|与|2b-4|互为相反数，则|a+b|= 。 5．已知：|a|=5，|b|=2，且a<b；则a= ，b= 。 6．若a、b为有理数，有下说法：①若|a|=|b|，则a=b； ②若|a|=|b|，则a=-b； ③若|a|=b，则a=b； ④若a=-b，则|a|=|b|。其中正确的个数是 （填序号） 4、绝对值的运算和应用 【例7】计算： （1） （2） （3） （4） 【例8】三数在数轴上的位置如图，化简 【同步练习】 1． 如果，那么 。 2．已知，求的值。 3．已知，且，求的值。 【课外作业】 1．在数轴上，下面说法中不正确的是(   ) A．两个正数，小的离原点近 B．两个有理数，大数对应的点在右边 C．两个负数，较大的数对应的点离原点近 D．两个有理数，大的离原点较远 2．下列说法中错误的是（ ） A．互为相反数的两个数的符号为一正一负 B．任何一个有理数都有相反数 C．一个数的前面添上“”号，就成为原数的相反数 D．0的相反数是它本身 3．填空： （1） ； （2） ； （3） ； （4） 。 4．计算： （1） （2） （3） 5．点A 在数轴上，若将A点向左移动4个单位长度，再向右移动2个单位长度，此时A点所表示的数是原来的数的相反数，请问原来A点表示的数是什么？ 6．某商场搞活动，门口人山人海，一列队伍排到了商场门口外几百米处。为维护秩序，民警小王从商场门口出法，沿队伍前后走动。若规定远离商场门口方向为正方向，商场门口为原点，小王行走的距离为（单位：米）：，则这天小王行走的总路程是多少米？ 7．当时，化简 8． 若、、为非零有理数，则由构成的数可能等于 。 9．已知数轴上两点A、B对应的数分别为-2、4，P为数轴上一个动点，P点对应的数为x。 （1）若P点到A、B两点的距离相等，求x的值； （2）是否存在一点P，使P点到A、B两点距离之和为8？若存在求出x的值，若不存在请说明理由； （3）是否存在一点P，使P点到A、B两点距离之和为6？若存在求出x的值，若不存在请说明理由； （4）是否存在一点P，使P点到A、B两点距离之和为4？若存在求出x的值，若不存在请说明理由； （5）P点到A、B两点距离之和最小值是 ，此时x的取值范围是 。 （6）若数轴上A、B、C点对应的数分别为-2、1、4，则点P到点A、B、C距离之和的最小值是 ， 此时P点对应的数x的值能确定吗？ （7）若数轴上A、B、C、D点对应的数分别为-2、0、3、4，则点P到点A、B、C、D距离之和的最小值是 ，此时P点对应的数x的值能确定吗？ （8）已知数轴上两点A、B对应的数分别为-2、4，P为数轴上某一点，P点对应的数为x，则点P到原点的距离可以表示为 ；点P到点A的距离可以表示为 ；点P到点B的距离可以表示为 ；P点到A、B两点距离之和可以表示为 ； 数轴上两点A、B分别表示m、n，则A、B两点间距离可用公式“AB= ”表示； （9） |x+2|的最小值是 ；|x-4|的最小值是 ；|x+2|+|x-4|的最小值是 ； （10）求|x-1|+|x+2|+|x-2|+|x-3|+|x-5|的最小值；求|x|+|x+2|+|x-3|+|x-5|的最小值。 学科网（北京）股份有限公司 $$