（复习篇）第二讲 实数-2024-2025学年人教版数学七升八年级暑假衔接知识讲练精编培优讲义

领跑新初二（旧知回顾） 2024-2025学年人教版数学七升八年级暑假衔接知识讲练精编培优讲义 第二讲 实数 知识点01：平方根 （1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根． 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． （2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方． 一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“﹣”． 正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零． 平方根和立方根的性质 1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 知识点02：算术平方根 （1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为． （2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数． （3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找． 知识点03：非负数的性质：算术平方根 （1）非负数的性质：算术平方根具有非负性． （2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题． 知识点04：立方根 （1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：． （2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根． （3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数． 注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根． 【规律方法】平方根和立方根的性质 1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 知识点05：计算器—数的开方 正数a的算术平方根a与被开方数a的变化规律是： 当被开方数a的小数点每向左或向右平移2位时，它的算术平方根的小数点也相应向左或向右平移1位，即a每扩大（或缩小）100倍，a相应扩大（或缩小）10倍． 知识点06：无理数 （1）、定义：无限不循环小数叫做无理数． 说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等． （2）、无理数与有理数的区别： 　①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数， 比如4＝4.0，＝0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如＝1.414213562． 　②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能． （3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数是无理数，因为π是无理数． 无理数常见的三种类型 （1）开不尽的方根，如等． （2）特定结构的无限不循环小数， 如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）． （3）含有π的绝大部分数，如2π． 注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数． 知识点07：实数 （1）实数的定义：有理数和无理数统称实数． （2）实数的分类： 实数： 或 实数： 知识点08：实数的性质 （1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． （2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． （3）实数a的绝对值可表示为|a|＝{a（a≥0）﹣a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|＝a（a≥0），则x＝±a． 实数的倒数 乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab＝1；反之，若ab＝1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数． 知识点09：实数与数轴 （1）实数与数轴上的点是一一对应关系． 任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数． （2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． （3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 知识点10：实数大小比较 实数大小比较 （1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小． （2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 知识点11：估算无理数的大小 估算无理数大小要用逼近法． 思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值． 知识点12：实数的运算 （1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方． （2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用． 【规律方法】实数运算的“三个关键” 1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等． 2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算． 3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度． 检测时间：120分钟 试题满分：100分 难度系数：0.40（较难） 一．选择题（本大题有9小题，每小题2分，共18分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.） 1．（2分）下列说法正确的是　　 A．负数没有方根 B．数轴上的每一个点都与一个有理数相对应 C．平方根和立方根都等于它本身的数是0和1 D．近似数0.0360有3个有效数字 2．（2分）在等数，，，，0中，无理数的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2分）如图，实数，，，在数轴上，则下列结论错　　 A． B． C． D． 4．（2分）实数在数轴上的对应点的位置如图，若实数满足，则的值不可能是　　 A． B．0 C．1 D．2 5．（2分）实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列选项正确的是　　 A． B． C． D． 6．（2分）估计的值在　　之间 A． B． C． D． 7．（2分）已知数，，的大小关系如图，下列说法：①；②；③；④；⑤若为数轴上任意一点，则的最小值为．其中正确结论的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 8．（2分）如图，，，，四点在数轴上，其中为原点，且，，若点所表示的数为，则点所表示的数正确的是　　 A． B． C． D． 9．（2分）若用表示任意正实数的整数部分，例如：，，，则式子 的值为　　 （式子中的“”，“ ”依次相间） A．22 B． C．23 D． 二、填空题（本大题共11小题，每题2分，共22分．不需写出解答过程，请将正确答案填写在横线上） 10．（2分）请写出一个大于2且小于3的无理数 　　． 11．（2分）已知，是的小数部分，则　　． 12．（2分）已知的算术平方根是6，的立方根是5，则的平方根为 　　． 13．（2分）已知实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则　　0（填“”，“ ”或“” ． 14．（2分）已知，则　　． 15．（2分）长方形纸片上有一数轴，剪下6个单位长度（从到的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图所示）．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是 　　． 16．（2分）对于实数，用符号表示不大于的最大整数，如，，现对72进行如下操作：第一次：，第二次：，第三次：，这样对72只需要进行三次操作后变为1，只需要进行三次操作后变为1的所有正整数中最大的是 　　． 17．（2分）如果一个正数的两个平方根为，，则　 　． 18．（2分）我们规定：用表示实数的整数部分，如，，在此规定下解决下列问题： 　　． 19．（2分）在数轴上，点（表示整数在原点的左侧，点（表示整数在原点的右侧，若，且，则　　． 20．（2分）设表示小于的最大整数，如，，则下列结论中正确的是　　．（填写所有正确结论的序号） ①；②的最小值是0；③的最小值是；④存在实数，使成立． 三、解答题（本大题共8小题，共60分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 21．（6分）计算： （1）； （2）． 22．（6分）阅读理解，并回答问题． 阅读材料 ，，即． 的整数部分为2，小数部分为． 阅读材料 对于任意实数和比较大小，有如下规律：若，则；若，则；若，则．我们把这种比较两个数大小的方法称为作差法． 例如：比较与的大小时，可以计算，得， ，．． （1）请表示出的整数部分和小数部分； （2）试判断与的大小，并说明理由． 23．（8分）下面是小明同学探索的近似值的过程：我们知道面积是2的正方形的边长是． ， 可设，其中，可画出如图示意图， ， 又， ， 较小，我们可以略去， 得方程， 解得，即． （1）的整数部分是 　　； （2）仿照上述方法，探究的近似值（精确到．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 24．（8分）学习了无理数后，老师教了同学们一种估算无理数的近似值的新方法． 例如：估算的近似值． ， 设，显然． ． ． ， ． ． ． 故的值在3.5与3.67之间． （1）请你依照上面的方法，估算的近似值在 　　与 　　之间； （2）对于任意一个大于1的无理数，若的整数部分为，小数部分为式表示的大致范围． 25．（8分）长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图1，灯射线自顺时针旋转至便立即回转，灯射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯转动的速度是秒，灯转动的速度是秒，且，满足．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即，且． （1）求，的值； （2）如图2，两灯同时转动，在灯射线到达之前，若射出的光束交于点，过作交于点，请写出在转动过程中与的数量关系并证明． （3）如图1，若灯射线先转动40秒，灯射线才开始转动，在灯射线到达之前，直接写出灯转动多少秒时两灯的光束互相平行． 26．（8分）阅读下面的材料： 如图①，若线段在数轴上，，点表示的数分别为，，则线段的长（点到点的距离）可表示为 请用上面材料中的知识解答下面的问题： 如图②，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动到达点，再向左移动到达点，然后向右移动到达点，用1个单位长度表示 （1）请你在数轴上表示出，，三点的位置，并直接写出线段的长度； （2）若数轴上有一点，且，则点表示的数是什么？ （3）若将点向右移动 ，请用代数式表示移动后的点表示的数？ （4）若点以每秒的速度向左移动至点，同时点，点分别以每秒和的速度向右移动至点，点，设移动时间为秒，试探索：的值是否会随着的变化而变化？请说明理由． 27．（8分）如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为8，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． （1）填空： ①、两点间的距离　 　，线段的中点表示的数为　 　； ②用含的代数式表示：秒后，点表示的数为　 　；点表示的数为　 　． （2）求当为何值时，； （3）当点运动到点的右侧时，的中点为，为的三等分点且靠近于点，求的值． 28．（8分）对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． （1）仿照以上方法计算：　　；　　． （2）若，写出满足题意的的整数值 　　． 如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1． （3）对100连续求根整数，　　次之后结果为1． （4）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是 　　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 领跑新初二（旧知回顾） 2024-2025学年人教版数学七升八年级暑假衔接知识讲练精编培优讲义 第二讲 实数 知识点01：平方根 （1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根． 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． （2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方． 一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“﹣”． 正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零． 平方根和立方根的性质 1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 知识点02：算术平方根 （1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为． （2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数． （3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找． 知识点03：非负数的性质：算术平方根 （1）非负数的性质：算术平方根具有非负性． （2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题． 知识点04：立方根 （1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：． （2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根． （3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数． 注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根． 【规律方法】平方根和立方根的性质 1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 知识点05：计算器—数的开方 正数a的算术平方根a与被开方数a的变化规律是： 当被开方数a的小数点每向左或向右平移2位时，它的算术平方根的小数点也相应向左或向右平移1位，即a每扩大（或缩小）100倍，a相应扩大（或缩小）10倍． 知识点06：无理数 （1）、定义：无限不循环小数叫做无理数． 说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等． （2）、无理数与有理数的区别： 　①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数， 比如4＝4.0，＝0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如＝1.414213562． 　②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能． （3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数是无理数，因为π是无理数． 无理数常见的三种类型 （1）开不尽的方根，如等． （2）特定结构的无限不循环小数， 如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）． （3）含有π的绝大部分数，如2π． 注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数． 知识点07：实数 （1）实数的定义：有理数和无理数统称实数． （2）实数的分类： 实数： 或 实数： 知识点08：实数的性质 （1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． （2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． （3）实数a的绝对值可表示为|a|＝{a（a≥0）﹣a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|＝a（a≥0），则x＝±a． 实数的倒数 乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab＝1；反之，若ab＝1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数． 知识点09：实数与数轴 （1）实数与数轴上的点是一一对应关系． 任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数． （2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． （3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 知识点10：实数大小比较 实数大小比较 （1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小． （2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 知识点11：估算无理数的大小 估算无理数大小要用逼近法． 思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值． 知识点12：实数的运算 （1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方． （2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用． 【规律方法】实数运算的“三个关键” 1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等． 2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算． 3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度． 检测时间：120分钟 试题满分：100分 难度系数：0.40（较难） 一．选择题（本大题有9小题，每小题2分，共18分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.） 1．（2分）下列说法正确的是　　 A．负数没有方根 B．数轴上的每一个点都与一个有理数相对应 C．平方根和立方根都等于它本身的数是0和1 D．近似数0.0360有3个有效数字 ．方根包括平方根、算术平方根和立方根，负数有立方根，故此选项说法错误．．数轴上的数与实数具有一一对应的性质，实数包括有理数和无理数，数轴上的点不仅可以表示有理数，还可以表示无理数，故此选项说法错误．．平方根和立方根等于它本身的数只有0．所以此说法错误．．近似数的有效数字是指从一个数的左边第一个非零数字起，到精确到的数位止，所有的数字．这些数字构成了该近似数的有效数字．例如，对于近似数3.3，有效数字的3和3，共有2个有效数字．需要注意的是，数字之间的0和末尾的0通常被认为是有效数字的一部分，除非它们位于非显著位置（即小数点右侧的第一个非零数字之后）．那么本选项0.0360，有效数字为3、6、0，故有3个有效数字，所以本选项说法正确．综上所述，本题答案为． 2．（2分）在等数，，，，0中，无理数的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 解：，，0是有理数； 是最终结果含有开方开不尽的数，是无理数； 最终结果含有的数，是无理数； 故选：． 3．（2分）如图，实数，，，在数轴上，则下列结论错　　 A． B． C． D． 解：由数轴可知，， ，，． 又， ． 、、正确，不符合题意， 错误，符合题意． 故选：． 4．（2分）实数在数轴上的对应点的位置如图，若实数满足，则的值不可能是　　 A． B．0 C．1 D．2 解：， ， 又， 不可能是2． 故选：． 5．（2分）实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列选项正确的是　　 A． B． C． D． 解：由数轴可知，， ，故选项错误； ， ， ，故选项错误； ，，，不是整数，且不确定， 的值不能确定为0，故选项错误； ，， ，故选项正确； 故选：． 6．（2分）估计的值在　　之间 A． B． C． D． 解：， ， ， 即． 故选：． 7．（2分）已知数，，的大小关系如图，下列说法：①；②；③；④；⑤若为数轴上任意一点，则的最小值为．其中正确结论的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 解：由题意，，，则 ①，故原结论正确； ②，故原结论错误； ③，故原结论错误； ④，故原结论错误； ⑤当时，的最小值为，故原结论正确． 故正确结论有2个． 故选：． 8．（2分）如图，，，，四点在数轴上，其中为原点，且，，若点所表示的数为，则点所表示的数正确的是　　 A． B． C． D． 解：由点、、在数轴上的位置，，若点所表示的数为， 点表示的数为， ， ， 故选：． 9．（2分）若用表示任意正实数的整数部分，例如：，，，则式子 的值为　　 （式子中的“”，“ ”依次相间） A．22 B． C．23 D． 解：，， 原式 从2到44，每个数不考虑符号都是奇数个， 原式 ， 故选：． 二、填空题（本大题共11小题，每题2分，共22分．不需写出解答过程，请将正确答案填写在横线上） 10．（2分）请写出一个大于2且小于3的无理数 　（答案不唯一）　． 解：， ， 写出一个大于2且小于3的无理数是， 故答案为：（答案不唯一）． 11．（2分）已知，是的小数部分，则　5　． 解：， ， 的整数部分是5，小数部分是， ， ， 故答案为：5． 12．（2分）已知的算术平方根是6，的立方根是5，则的平方根为 　　． 解：的算术平方根是6， ， 即， 的立方根是5， ， 解， 得， ， 的平方根为． 故答案为：． 13．（2分）已知实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则　　0（填“”，“ ”或“” ． 解：，， ． 故答案为：． 14．（2分）已知，则　　． 解：由题意得，，， 解得，， 所以，． 故答案为：． 15．（2分）长方形纸片上有一数轴，剪下6个单位长度（从到的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图所示）．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是 　或2或．　． 解：三条线段的长度之比为， 设三条线段的长分别是、、， 到5的距离是6， ， 解得， 三条线段的长分别为，，3， ①当时，折痕点表示的数是； ②当时，折痕点表示的数是； ③当时，折痕点表示的数是； 综上所述：折痕处对应的点表示的数可能或2或． 故答案为：或2或． 16．（2分）对于实数，用符号表示不大于的最大整数，如，，现对72进行如下操作：第一次：，第二次：，第三次：，这样对72只需要进行三次操作后变为1，只需要进行三次操作后变为1的所有正整数中最大的是 　255　． 解：现对256进行如下操作：第一次：，第二次：，第三次：，第四次：， 这样对256只需要进行四次操作后变为1， 现对255进行如下操作：第一次：，第二次：，第三次：， 这样对255只需要进行三次操作后变为1， 只需要进行三次操作后变为1的所有正整数中最大的是255， 故答案为：255． 17．（2分）如果一个正数的两个平方根为，，则　　． 解：依题意得，， 解得：． 18．（2分）我们规定：用表示实数的整数部分，如，，在此规定下解决下列问题： 　210　． 解： ． 故答案为：210． 19．（2分）在数轴上，点（表示整数在原点的左侧，点（表示整数在原点的右侧，若，且，则　671　． 解：如图，． ，且， ，① ，② 由①②，解得， ． 故答案为：671． 20．（2分）设表示小于的最大整数，如，，则下列结论中正确的是　③④　．（填写所有正确结论的序号） ①；②的最小值是0；③的最小值是；④存在实数，使成立． 解：①，故本选项错误； ②，所以的最小值是，取不到0，故本选项错误； ③，所以的最小值是，故本选项正确； ④存在实数，使成立．例如时，故本项正确． 故答案为：③④． 三、解答题（本大题共8小题，共60分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 21．（6分）计算： （1）； （2）． 解：（1） ； （2） ． 22．（6分）阅读理解，并回答问题． 阅读材料 ，，即． 的整数部分为2，小数部分为． 阅读材料 对于任意实数和比较大小，有如下规律：若，则；若，则；若，则．我们把这种比较两个数大小的方法称为作差法． 例如：比较与的大小时，可以计算，得， ，．． （1）请表示出的整数部分和小数部分； （2）试判断与的大小，并说明理由． 解：（1）， ， ， 的整数部分为4，小数部分为； （2）， 理由：， ， ， ． 23．（8分）下面是小明同学探索的近似值的过程：我们知道面积是2的正方形的边长是． ， 可设，其中，可画出如图示意图， ， 又， ， 较小，我们可以略去， 得方程， 解得，即． （1）的整数部分是 　8　； （2）仿照上述方法，探究的近似值（精确到．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 解：（1）， ， 的整数部分是8． 故答案为：8． （2）由（1）可知：的整数部分是8， 可设，其中，可画出如图示意图（正方形的边长为 正方形的边长为， ， 又， ， 较小，可以略去，得：， 解得：， ． 24．（8分）学习了无理数后，老师教了同学们一种估算无理数的近似值的新方法． 例如：估算的近似值． ， 设，显然． ． ． ， ． ． ． 故的值在3.5与3.67之间． （1）请你依照上面的方法，估算的近似值在 　6.5　与 　　之间； （2）对于任意一个大于1的无理数，若的整数部分为，小数部分为式表示的大致范围． 解：（1）， 设，显然． ． ． ， ． ． ． 因此的值在6.5与6.59之间． 故答案为6.5，6.59． （2）， 设，显然． ． ． ， ． ． 即的大致范围为． 25．（8分）长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图1，灯射线自顺时针旋转至便立即回转，灯射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯转动的速度是秒，灯转动的速度是秒，且，满足．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即，且． （1）求，的值； （2）如图2，两灯同时转动，在灯射线到达之前，若射出的光束交于点，过作交于点，请写出在转动过程中与的数量关系并证明． （3）如图1，若灯射线先转动40秒，灯射线才开始转动，在灯射线到达之前，直接写出灯转动多少秒时两灯的光束互相平行． 解：（1）、满足， ，且， ，； （2）与的数量关系是：． 证明如下：设灯射线转动时间为秒， ， ， ， ， ， ， ， 即； （3）设灯转动秒，两灯的光束互相平行， ①当时， ， 解得； ②当时， ， 解得； ③当时， ， 解得（不合题意）， 综上所述，当秒或80秒时，两灯的光束互相平行． 26．（8分）阅读下面的材料： 如图①，若线段在数轴上，，点表示的数分别为，，则线段的长（点到点的距离）可表示为 请用上面材料中的知识解答下面的问题： 如图②，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动到达点，再向左移动到达点，然后向右移动到达点，用1个单位长度表示 （1）请你在数轴上表示出，，三点的位置，并直接写出线段的长度； （2）若数轴上有一点，且，则点表示的数是什么？ （3）若将点向右移动 ，请用代数式表示移动后的点表示的数？ （4）若点以每秒的速度向左移动至点，同时点，点分别以每秒和的速度向右移动至点，点，设移动时间为秒，试探索：的值是否会随着的变化而变化？请说明理由． 解：（1）如图所示： ； （2）设表示的数为， ， ， 解得：或3， 点表示的数为或3； （3）将点向右移动 ，则移动后的点表示的数为； （4）的值不会随着的变化而变化，理由如下： 根据题意得：， ， ， 的值不会随着的变化而变化． 27．（8分）如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为8，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． （1）填空： ①、两点间的距离　10　，线段的中点表示的数为　 　； ②用含的代数式表示：秒后，点表示的数为　 　；点表示的数为　 　． （2）求当为何值时，； （3）当点运动到点的右侧时，的中点为，为的三等分点且靠近于点，求的值． 解：（1）①，， 故答案为：10，3； ②由题可得，点表示的数为，点表示的数为； 故答案为：，； （2）秒后，点表示的数，点表示的数为， ， 又， ， 解得：或3， 当或3时，； （3）的中点为，为的三等分点且靠近于点， ， ， ． 28．（8分）对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． （1）仿照以上方法计算：　2　；　　． （2）若，写出满足题意的的整数值 　　． 如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1． （3）对100连续求根整数，　　次之后结果为1． （4）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是 　　． 解：（1），，， ， ，， 故答案为：2，5； （2），，且， ，2，3， 故答案为：1，2，3； （3）第一次：， 第二次：， 第三次：， 故答案为：3； （4）最大的正整数是255， 理由是：，，， 对255只需进行3次操作后变为1， ，，，， 对256只需进行4次操作后变为1， 只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255； 故答案为：255 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$