绝对值的几何意义2023-2024学年人教版七年级数学上册暑假复习讲义

绝对值的几何意义(一) 【原题呈现】 当|x+1|+|x-2|取最小值时,求x的取值范围. 【研题策略】 1.绝对值：数轴上表示数a 的点与原点之间的距离叫做数a 的绝对值. 2.去绝对值法则：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.去绝对值前，要先判断绝对值里式子的正负. 3.数轴上两点间的距离等于对应两数之差的绝对值.若数轴上点 A 表示数m，点 B 表示数n,则点A,B之间的距离为|m-n|. 思路 1.利用分类讨论.在求最小值时，若要化简式子中的绝对值，需要将x 进行分类讨论，即(1) x>2;(2) …1≤x≤2;(3)x<-1. 2.利用绝对值的几何意义，通过数轴直观、形象地表示出x 的位置，即：(1)x在-1的左边;(2)x在-1与2之间(包括-1和2);(3)x在2的右边. 出路 解法一 (1)当x>2时,|x+1|+|x-2|=x+1+x-2=2x-1>3. (2)当-1≤x≤2时,|x+1|+|x-2|=x+1+2-x=3. (3)当x<-1时,|x+1|+|x-2|=-x-1+2-x=1-2x>3. 综上所述,当-1≤x≤2时,|x+1|+|x-2|的最小值是3. 解法二 若—1所在的点为A，2所在的点为B，x 所在的点为C(图1). (1) 如图2所示,点C在点A的左边,即当x<-1时,| (2)如图3所示，点C在点A 与点B(包括点A，B)之间，即当 时, |x-2|=AC+BC=3. (3)如图4所示,点C在点B的右边,即当x>2时,| 综上所述,当一1≤x≤2时,|x+1|+|x-2|的最小值是3. 【举一反三】 1. 当|x+1|+|x+4|取最小值时,求x的取值范围. 2. 当|x—5|—|x—2|取最大值时,求x的取值范围. 3.利用数轴分析： (1)当x为何值时,|x-1|+|x-2|+|x-3|有最小值? 最小值是多少? (2)当x为何值时, |有最小值?最小值是多少? 绝对值的几何意义(二) 【原题呈现】 (1)数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是 ；数轴上表示1和-3的两点之间的距离是 . (2)数轴上表示x和-1的两点A 和B之间的距离是 ，如果|AB|=2，那么x为 . (3)当-3<x<2时,|x+3|+|x+2|= . (4)当代数式|x-2|+|x+1|取最小值时,x 的取值范围是 . (5) |x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-2010|的最小值是 . (6) 计算|x-1|+|x-3|+|x-5|+…+|x--101|的最小值. 【研题策略】 我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x 对应的点与原点的距离，即| ，也就是说，.x|表示在数轴上数x与数0对应的点之间的距离；点A，B 在数轴上分别表示实数a，b，A，B 两点之间的距离表示为|AB|，当两点中有一点在原点时，不妨设A 在原点，如图1所示,|AB|=|OB|=|b|=|a-b|. 当A，B 两点都不在原点时： ① 如图2所示，点 A，B 都在原点的右边时，| a=|a-b|; ② 如图 3 所示，点 A，B 都在原点的左边时， —b—(-a)=|a—b|; ③如图4所示,点A,B在原点的两边时,|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+(-b)=|a-bl. 综上所述,数轴上A,B两点之间的距离|AB|=|a-b|. 思路 1.两点之间的距离就是较大的数与较小的数的差，据此即可求解. 2.根据“来路”中讲解的方法，可直接写出结果. 3. 当-3<x<-2和-2≤x<2时,分别求出即可. 4.代数式|x-1|+|x+2|表示数轴上一点到1、-2对应两点的距离之和，根据两点之间线段最短，进而得出答案. 5. 利用y=|x- 1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-2010|是数轴上点x与1,2,3,…,2010对应点的距离之和，进而得出当1005≤x≤1006时，y有最小值. 6.此题可以用数形结合来解题：x 为数轴上的一点，| 101|表示点x到数轴上的101个点(即1，2，3，…，101对应的点)的距离之和，进而分析得出最小值为|51-1|+|51-2|+|51-3|--…+|51-101|. 解 (1)数轴上表示--2和-5的两点之间的距离是-2-(-5)=3; 数轴上表示 1和-3的两点之间的距离是1-(-3)=4. 故答案为3,4. (2)数轴上表示x和-1的两点之间的距离是|x+1|. 若|AB|=2,则|x+1|=2,故x=1或-3. 故答案为|x+1|,1或-3. (3)当-3<x<-2时,|x+3}+|x+2|=x+3-x-2=1; 当--2≤x<2时,|x+3|+|x+2|=x+3+x+2=2x+5. 故答案为1或2x+5. (4)如果|x+1|+|x-2|取最小值,那么表示x的点M在-1和2之间的线段上,所以-1≤x≤2. 故答案为-1≤x≤2. (5)由题意可得y=|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-2010|是数轴上点x与1,2,3,…,2 010对应点的距离之和. 当1 005≤x≤1006时,y 有最小值. y最小=(2010-1)+(2 009—2)+(2 008—3)+…+(1007—1 004)+(1 006—1005) =2009+2007+2005+…+3+1 =1 010 025. 故答案为 1 010 025. (6)在数轴上，要使点x到两定点的距离之和最小，则x在两点之间，最小值为以两定点为端点的线段长度(否则距离和大于该线段的长度). 当1≤x≤101时,|x-1|+|x-101|有最小值100; 当2≤x≤100时,|x—2|+|x—100|有最小值98; ……… 当x=51时,|x-51|有最小值0. 综上所述,当x=51时, 能够取到最小值. 最小值为|51—1|+|51—2|+|51—3|+…+|51—101| =50+49+48+…+2+1+0+1+2+…+49+50 =2 550. 举一反三】 1. 若a<b<c<d,则当x取何值时,| 取得最小值?最小值是多少? 2. (1) 求函数 |的最小值及对应自变量x 的取值范围. (2)求函数 的最小值及对应自变量x的取值范围. (3)求函数. 的最小值及对应自变量x 的取值范围. (4)求函数: |的最小值及对应自变量x的取值范围. 绝对值的几何意义(三) 【原题呈现】 当x满足什么条件时,|2x-3|+|4x-5|+|3x-2|+|x+1|+|2x+7|有最小值? 最小值是多少? 【研题策略】 1.绝对值的代数意义. 文字表述：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0. 符号表示： 2.绝对值的几何意义. 一般地，数轴上表示数a的点到原点的距离，叫做数a的绝对值，记作|a|. |a|的符号内涵是|a--0|，表示数轴上的点到原点的距离.|x-a|表示数轴上x 对应的点到a对应的点之间的距离. 思路 1.借助绝对值的非负性. 2.借助零点法去掉绝对值. 若 对于 (1)若n 为奇数,则当 时，原式有最小值； (2)若n为偶数,则当 时，原式有最小值. 3. 借助绝对值的几何意义,如|x+1|=|x-(-1)|,为数轴上一点x到-1的距离，当x=-1时取得最小值. 4.函数图象法. 解 |2x-3|+|4x-5|+|3x-2|+|x+1|+|2x+7| =|2x-3|+|4x-5|+|3x-2|+|x-(-1)|+|2x-(-7)| 分别令 ∴n=12. 当 时，不妨令x=1(特殊值化)，可知原式的最小值是14. [举一反三】 1.(1)当式子|x+2|取最小值时，相应的x的取值是 ，最小值是 . (2)当式子|x+2|+|x-4|取最小值时，相应的x 的取值范围是 ，最小值是 (3)当式子|x-1|+|x-3|+|x-7|取最小值时,相应的x的取值范围是 ,最小值是 . (4)当式子 |取最小值时，相应的x 的取值范围是 ，最小值是 . 2. 求|x+1|+|2x+4|+|3x-9|的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $$