2.6.1 应用一元二次方程　课件　2024—2025学年北师大版数学九年级上册

第二章 一元二次方程 2.6.1 应用一元二次方程 第一课时 温故知新 想一想： 配方法（直接开平方法）、公式法、因式分解法（十字相乘） 2. 列一元一次方程解应用题分几步呢？应注意哪些？ ①审题 ②设出未知数 ③找等量关系 ④列方程 ⑤解方程 ⑥作答 1. 通过前面的学习你知道解一元二次方程有哪些方法吗？ 例1 (1)如图，一个长为 10 m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端与地面的垂直距离为 8 m. 如果梯子的顶端下滑 1 m 时，梯子底端滑动的距离大于 1 m，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距离和它相等？ 典例精析 思考下面三个问题： （1）梯子底端与墙面的水平距离是多少？怎么求？ （2）此问题的已知量、未知量是什么？相等关系是什么？ 如何建立方程？ （3）方程的解是否都符合题意？ 典例精析 解：设梯子顶端下滑 x m 时，梯子底端滑动的距离和它相等. 根据勾股定理得，(8 - x)2 + (6 + x)2 = 102 6m 由勾股定理可得开始时梯子底端与墙面的水平距离为 6 m. x x 解得 x1 = 2，x2 = 0（不合题意，舍去） 整理得 x2 - 2x = 0 答：当梯子顶端下滑 2 m 时，梯子底端滑动的距离和它相等. ∴ x = 2 思考：怎样用一元二次方程解决实际问题？步骤是什么？ 列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应用题的步骤类似，即：审、设、列、解、验、答。 这里要特别注意，在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一般有两个，所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求。 归纳小结 (2) 如果梯子的长为 13 m，梯子顶端与地面的垂直距离为 12 m，那么梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离可能相等吗？如果相等，那么这个距离是多少？ 解：设梯子顶端下滑 x m时，梯子底端滑动的距离和它相等. 则 (12 - x)2 + (5 + x)2 = 132 解得 x1 = 7，x2 = 0（不合题意，舍去） 所以 x = 7. 答：当梯子顶端下滑 7 m 时，梯子底端滑动的距离和它相等. 13 m 12 m 归纳小结 1. 列一元二次方程解应用题的一般步骤： ①审：审清题意：已知量，未知量，已知量和未知量之间的关系 ②设：设未知数 ④列：根据等量关系列方程 ⑤解：解方程 ⑥验：检验是否是所列方程的根；是否符合题意； ⑦答：写出答案 ③找：找等量关系 例2 如图，某海军基地位于 A 处，在其正南方向 200 海里处有一重要目标 B，在 B 的正东方向 200 海里处有一重要目标 C，小岛 D 位于 AC 的中点，岛上有一补给码头，小岛 F 位于 BC 的中点.一艘军舰从 A 出发，经 B 到 C 匀速巡航，一艘补给船同时从 D 出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰. 北 东 A B C D F 典例精析 A B C D E F 已知军舰的速度是补给船的 2 倍，军舰在由 B 到 C 的途中与补给船相遇于 E 处，那么相遇时补给船航行了多少海里？ (结果精确到 0.1 海里) 解：连接DF ∵ AB⊥BC，AB = BC = 200 n mile ∴ DF⊥BC，DF = 100 n mile，BF = 100n mile ∵ AD=CD，BF=CF ∴ DF是△ABC的中位线. ∴ DF∥AB，且DF= AB 在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程 x2 = 1002 + (300 - 2x)2. 整理得 3x2 - 1200x+100000 = 0 , 解方程得 (不合题意，舍去) 解: 设相遇时补给船航行了 x n mile，那么 DE = x n mile , AB+BE = 2x n mile， EF = AB+BF - (AB + BE) = (300 - 2x)n mile. ∴ 相遇时补给船大约航行了118.4 n mile. A B C D E F 基础练习 1. 有这样一道阿拉伯古算题：有两笔钱，一多一少，其和等于 20，积等于 96，多的一笔被许诺赏给赛义德，那么赛义德得到多少钱？ 2. 如图，在 Rt△ACB 中，∠C = 90°，点 P、Q 同时由 A、B 两点出发分别沿 AC、BC 方向向点 C 匀速移动(到点 C 为止)，它们的速度都是 1 m/s. 经过几秒△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半？ 基础练习 基础练习 3. 已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为 7，乙的速度为 3. 乙一直向东走，甲先向南走 10 步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇. 那么相遇时，甲、乙各走了多远？ (只列方程，不计算) 4. 现要在一个长为 40 m，宽为 26 m 的矩形花园中修建等宽的小道，在剩余的地方种植花草. 如图，如果使种植花草的面积为 864 m2 ， 那么小道的宽应为 m. 基础练习 基础练习 5. 如图是一张长 12 cm、宽 10 cm 的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分(阴影部分)可制成底面积是 24 cm2的有盖的长方体铁盒. 求减去的正方形的边长. 6. 如图，A，B，C，D 为矩形的四个顶点，AB = 16cm，BC = 6cm，动点 P，Q 分别从点 A，C 同时出发，点 P 以 3 cm/s 的速度向点 B 移动，点 Q 以 2 cm/s 的速度向点 D 移动. 当点 P 运动到点 B 停止时，点 Q 也随之停止运动. 几秒后，点 P 和点 Q 的距离是 10 cm？ 基础练习 归纳总结 1. 列一元二次方程解应用题的一般步骤： ①审：审清题意：已知量，未知量，已知量和未知量之间的关系 ②设：设未知数 ④列：根据等量关系列方程 ⑤解：解方程 ⑥验：检验是否是所列方程的根；是否符合题意； ⑦答：写出答案 ③找：找等量关系 $$