精品解析：四川省眉山市东坡区两校2023-2024学年高一下学期期末联考数学试题

东坡区23级高一下学期两校期末联考 数学试卷 一．单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．） 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的加减法的几何意义，即可求得答案. 【详解】由题意可得, 故选：D 2. 平面向量，，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量共线列方程，从而求得. 【详解】由于，所以. 故选：A 3. ＝． A. － B. C. － D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：. 考点：诱导公式． 4. 已知复数（是虚数单位），则所对应的点所在象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】化简，由共轭复数的定义知，再由复数的几何意义知所对应的点为，在第一象限，即可得出答案. 【详解】，则， 所对应的点为，在第一象限. 故选：A. 5. 在中，若，则的形状是（      ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据正弦定理边化角得到，再结合三角函数恒等变换得到，即可得到答案. 【详解】因为， 所以， 所以. 因为，所以. 又因为，所以，为直角三角形. 故选：B 6. 关于函数的性质，下列叙述不正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 是偶函数 C. 的图像关于直线对称 D. 在每一个区间内单调递增 【答案】A 【解析】 【分析】由周期函数和奇偶性的定义，以及正切函数的对称轴和正切函数的单调性可逐项进项判定. 【详解】因为，所以A错；，所以函数是偶函数，B正确；由的图像可知，C、D均正确， 故选：A 【点睛】本题考查三角函数的性质，熟练掌握正切函数的奇偶性、单调性、对称轴和对称中心是解题的关键，属于中档题. 7. 已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到在方向上的投影的取值范围是，利用向量数量积的定义式，求得结果. 【详解】 的模为2，根据正六边形的特征， 可以得到在方向上的投影的取值范围是， 结合向量数量积的定义式， 可知等于的模与在方向上的投影的乘积， 所以的取值范围是， 故选：A. 【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简单题目. 8. 已知函数,()在区间上是增函数,且在区间上恰好取得一次最大值1,则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 解法一:(复合函数法)令,根据,得出. 再根据单调性得出,解得.又因为时,,函数在区间恰好取一次最大值1,可得,即可解得.解法二:(特殊值法)带入特殊值当, ,逐项排除即可. 【详解】解：解法一:(复合函数法) 令,, 则. 所以函数在区间上单调递增, 从而可得, 则,解得. 当时,, 所以函数在区间恰好取一次最大值1, 所以,解得. 综上所知. 故选:C 解法二:(特殊值法) 当时,令,, 则,则函数在区间上不单调, 所以不合题意,排除B、D. 当时,令,, 则,则函数在区间取不到最大值1, 所以不合题意,排除A. 故选:C 【点睛】本题考查利用正弦型函数的单调性和最值求参数的取值,属于基础题. 二、多选题：本大题共有3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若有3个正确选项，每选对一个得2分) 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若为单位向量，则 D. 是与非零向量共线的单位向量 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于选项AC，利用零向量和单位向量的定义即可判断出正误；对于选项B，利用向量的运算法则即可判断出正误；对于选项D，利用单位向量及共线向量的判断方法即可得到结果的正误. 【详解】选项A，因为，根据零向量的定义知，，故选项A正确； 选项B，根据向量加法的运算法则知，，故选项B正确； 选项C，为单位向量，则有，但与可以方向不同，根据向量相等的定义知，选项C错误； 选项D，因的模长为1，且与向量同向，故选项D正确. 故选：ABD 10. 在中，根据下列条件解三角形，其中恰有一解的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】BC 【解析】 【分析】根据三角形解的个数的判定条件直接计算可得. 【详解】A中，因为，有，所以该三角形无解，故A错误； B中，因为，为锐角，有， 所以该三角形有一解，故B正确； C中，因，为锐角，有， 所以该三角形有一解，故C正确； D中，因为，为锐角，有， 所以该三角形有两解，故D错误. 故选：BC. 11. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数在单调递减 D. 该图象向右平移个单位可得的图象 【答案】AD 【解析】 【分析】根据图象求出的解析式，然后根据正弦函数的知识判断ABC，根据图象的平移变换可判断D. 【详解】由图象可得的最大值为，即， ，即， 所以， 因为，所以， 所以，因为，所以， 所以， 对于A，因为，所以函数的图象关于点对称，故正确； 对于B，因为，所以错误； 对于C，当时，， 所以函数在上不单调，故错误； 对于D，该图象向右平移个单位可得的图象，故正确， 故选：AD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题纸上． 12. 将函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得图象的解析式为________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据函数图像的平移，即可求得函数解析式. 【详解】y＝cos的图象向左平移个单位长度， 得y＝cos＝cos(2x＋π)＝－cos 2x， 再向下平移3个单位长度得y＝－cos 2x－3的图象. 故答案为：. 【点睛】本题考查根据函数图像的平移求解析式，属基础题. 13. 设向量，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据数量积与向量夹角的关系，即可列式求解. 【详解】由题意可知，，且与不平行， 则，且，得，且， 故答案为： 14. 为加快推进“5G＋光网”双千兆城市建设，如图，在东北某地地面有四个5G基站A，B，C，D.已知C，D两个基站建在松花江的南岸，距离为km；基站，在江的北岸，测得，，，，则，两个基站的距离为_________ 【答案】 【解析】 【分析】分别根据边和角，利用正弦定理和余弦定理，即可求解. 【详解】，所以，, ， 中，， 中，, ，即，得， 中，. 故答案为： 四、解答题：15题13分，16/17题15分/题，18/19题17/题分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用向量共线的坐标形式可求参数的值或者利用共线向量定理可求参数的值； （2）利用向量垂直的坐标形式可求参数的值. 【小问1详解】 方法一：由题意得，，， ∵，∴， 解得. 方法二：由题意得，，不平行，设， 则，∴，解得. 【小问2详解】 由题意得，， ∵，∴， 解得 16. 已知函数． （1）求函数的最小正周期及单调递减区间； （2）求在区间上的最大值和最小值． 【答案】（1），， （2）最大值为2，最小值为. 【解析】 【分析】（1）将简函数为，再利用三角函数的图像与性质即可求出结果； （2）通过范围，求出的范围，再利用三角函数的图像与性质即可求出结果； 【小问1详解】 因为，所以函数的最小正周期为， 由 得到，. 所以函数的单调减区间为，． 【小问2详解】 因为，当时，， 根据函数的图像与性质知，， 所以的最大值为2，最小值为. 17. 已知. （1）求的值; （2）若，且，求角. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知化弦为切即可得解； （2）分别求出，，再根据结合两角差的正弦公式即可得解. 【小问1详解】 解：因为， 所以，解得； 【小问2详解】 解：因为，， 则， 解得， 又，所以， 又因，所以， 则， 所以. 18. 在①；②；③这三个条件中任选一个，解答下面两个问题． （1）求角A； （2）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，，若已知，，求的值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）若选①，首先转化，再利用正弦定理边角互化，结合余弦定理求角； 若选②，首先将边化为角，再结合三角函数恒等变形，化简后求角； 若选③，首先将边化为角，再利用两角差的余弦公式展开，结合辅助角公式，化简求角； （2）首先根据面积公式求，再结合余弦定理求，即可求解的值. 【小问1详解】 若选①：由已知得： 由正弦定理可得 ，可得， 由余弦定理可得， 因为， 所以． 若选②：因为 由正弦定理可得， 所以 因为 ， 所以， 所以， 因为， 所以 若选③：因为 ，由正弦定理得 因为 ，所以，故可得， 即, 所以，因为 ，所以； 【小问2详解】 由（1）可得，，所以， 由余弦定理得：， 所以，又因为，解得，． 19. 如图，一块铁皮的形状为半圆和长方形组成，长方形的边为半圆的直径，为半圆的圆心，，，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形，其底边. （1）设，求三角形铁皮的面积； （2）求剪下的铁皮三角形面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设交交于点由，利用锐角三角函数可求，，进而可求，，代入可求 （2）设，由，，结合锐角三角函数的定义可求，，代入三角形的面积公式展开利用换元法，令，转化为二次函数的最值求解. 【小问1详解】 解：设，则， 则，，故； 【小问2详解】 设，，， 则， ， 令，则， ，， 则，所以 ， 即三角形面积的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 东坡区23级高一下学期两校期末联考 数学试卷 一．单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．） 1. （ ） A. B. C. D. 2. 平面向量，，若，则等于（ ） A. B. C. D. 3. ＝． A. － B. C. － D. 4. 已知复数（是虚数单位），则所对应的点所在象限为（ ） A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 在中，若，则的形状是（      ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 6. 关于函数的性质，下列叙述不正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 是偶函数 C. 的图像关于直线对称 D. 在每一个区间内单调递增 7. 已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数,()在区间上是增函数,且在区间上恰好取得一次最大值1,则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共有3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若有3个正确选项，每选对一个得2分) 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若为单位向量，则 D. 是与非零向量共线的单位向量 10. 在中，根据下列条件解三角形，其中恰有一解的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 11. 已知函数部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数在单调递减 D. 该图象向右平移个单位可得的图象 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题纸上． 12. 将函数图象向左平移个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得图象的解析式为________. 13. 设向量，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围为________. 14. 为加快推进“5G＋光网”双千兆城市建设，如图，在东北某地地面有四个5G基站A，B，C，D.已知C，D两个基站建在松花江南岸，距离为km；基站，在江的北岸，测得，，，，则，两个基站的距离为_________ 四、解答题：15题13分，16/17题15分/题，18/19题17/题分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值. 16. 已知函数． （1）求函数最小正周期及单调递减区间； （2）求在区间上的最大值和最小值． 17. 已知. （1）求的值; （2）若，且，求角. 18. 在①；②；③这三个条件中任选一个，解答下面两个问题． （1）求角A； （2）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，，若已知，，求的值． 19. 如图，一块铁皮的形状为半圆和长方形组成，长方形的边为半圆的直径，为半圆的圆心，，，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形，其底边. （1）设，求三角形铁皮的面积； （2）求剪下的铁皮三角形面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$