精品解析：广东省广州市五校（省实、执信、广雅、二中、六中）2023-2024学年高一下学期期末联考数学试卷

2023学年下学期高一期末五校联考试卷 数学 命题学校；广东实验中学 命题人：高一备课组 本试卷分选择题和非选择题两部分，共5页，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1.开考前，考生务必用黑色字进的钢笔或签字笔格自己的校名、姓名、班级、考号等相关信息填写在答题卡指定区域内． 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上． 3.非选择题必须用黑色字迹的铜笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4.考生必须保持答题卡的整洁． 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式化简集合B，再利用交集的定义求解作答. 【详解】不等式化为：，解得，即，而， 所以. 故选：C 2. 若复数满足，则（ ） A. 2 B. 2023 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】先利用虚数单位的性质化简，从而解方程，结合复数的四则运算求得，再利用共轭复数的定义与模的运算公式即可得解. 【详解】因为， 所以，则，即，故， 则， 故，， 故选：D. 3. 已知，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数和余弦函数单调性，结合临界值进行判断即可. 【详解】，. 故选：B. 4. 已知m，n是两条不同的直线，，是两个不重合的平面，则下列命题正确的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系可判断每个选项的正误． 【详解】对于A：，，或与相交或与异面，故A错误； 对于B：由，，，可能，可能，还可能异面不垂直， 也可能相交不垂直，故B错误； 对于C：由，，则，又，则，故C正确； 对于D：，或，故D错误. 故选：C. 5. 函数（且）的大致图象是（ ） A. B. C D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可将函数化简为，从而可求解. 【详解】由题意，，化简得， 根据函数的图象和性质， 可得在内为增函数且为正值， 在内为增函数且为负值，在内为减函数且为负值，故C正确. 故选：C. 6. 已知一个古典概型的样本空间和事件A，B，满足，，，，则下列说法正确的是（ ） A. 事件A与事件B互斥 B. C. D. 事件A与事件B相互独立 【答案】D 【解析】 【分析】利用古典概型计算公式可得，利用概率的加法公式可得，再由互斥事件和对立事件定义可判断AB错误，由可知C错误，利用事件独立性定义可判断D正确. 【详解】易知，同理可得，； 由可得，即， 对于A，因为，所以事件A与事件B不互斥，可得A错误； 对于B，显然，即B错误； 对于C，由可得，即 所以，即C错误； 对于D，易知，满足独立性定义，即D正确. 故选：D 7. 已知函数，则图象有如下性质（ ） A. 关于点中心对称 B. 关于直线轴对称 C. 关于点中心对称 D. 关于点中心对称 【答案】C 【解析】 【分析】根据判断出C正确，AD错误；根据得到B错误. 【详解】ACD选项， ， 故， 故关于点中心对称，C正确，AD错误； B选项，， 故不关于直线轴对称，B错误. 故选：C 8. 已知平面向量，，，且，.已知向量与所成的角为60°，且对任意实数恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对任意实数恒成立，两边平方，转化为二次函数的恒成立问题，用判别式来解，算出，借助，得到，的最小值转化为的最小值，最后用绝对值的三角不等式来解即可 【详解】根据题意，， ，两边平方，整理得到， 对任意实数恒成立，则，解得，则. 由于，如上图，，则 ，则的最小值为． 当且仅当终点在同一直线上时取等号. 故选：B． 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 衡阳市第八中学为了解学生数学史知识的积累情况，随机抽取150名同学参加数学史知识测试，测试题共5道，每答对一题得20分，答错得0分.得分不少于60分记为及格，不少于80分记为优秀，测试成绩百分比如图所示，则（ ） A. 该次数学史知识测试及格率超过90% B. 该次数学史知识测试得满分的同学有15名 C. 该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数 D. 若八中共有3000名学生，则数学史知识测试成绩能得优秀的同学大约有1800名 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用扇形图的数据得到及格率判断A；求出满分所占百分比，进而求出满分学生人数判断B；求出中位数和平均数，比较大小判断C；求出抽取的学生成绩优秀率，再估算出数学史知识测试成绩能得优秀的同学人数判断D. 【详解】由图知，及格率为，A正确； 该测试满分同学的百分比为，则有名，B错误； 由图知，中位数为80分，平均数为分，C正确； 由题意，3000名学生成绩能得优秀的同学有，D正确. 故选：ACD 10. 如图，已知三棱柱，平面，，，，分别是，的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 直线与直线的夹角为 D. 若，则平面与平面的夹角为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据线面平行判定定理求证，即可判断A；根据线面垂直关系先证明平面，从而得，由结合线面垂直的判定定理，即可判断B；由，，可得是等腰直角三角形，从而可得直线与直线的夹角，即可判断C；连接，先证明平面，由线面垂直关系确定平面与平面的夹角，结合三角形边角可求得夹角大小，即可判断D. 【详解】因为分别是，的中点，所以， 又平面，平面，所以平面，故A正确； 因为平面，所以平面， 又平面，所以， 因为，平面，所以平面， 又平面，所以， 因为，平面，则平面，故B正确； 由于为中点，且，，因此是等腰直角三角形. 是的中点，则，故直线与直线的夹角为，故C错误； 连接， 由于，平面， 所以平面， 又平面，则，因此平面与平面的夹角为， 由于，因此，则，因此，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数，集合，集合，若，则实数a的取值可以是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据两集合相等可以确定，则B集合中不等式可转化为 ，然后利用判别式法解不等式组即可求得答案. 【详解】由题意知： ， 由知： 即 , 由可知： 且为 此时须满足 ，解得 ， 故实数a的取值范围是 ，因此a的取值可以是3,4,5， 故选：BCD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 从1，2，3，4，5中任取3个不同数字，这3个数字之和是偶数的概率为_______. 【答案】## 【解析】 【分析】先计算从这个数中任意选个的情况总数，再计算当个数之和为偶数的情况数，然后利用古典概型的概率计算方法求解即可. 【详解】总共个数字，选个，总共种选法，个数之和是偶数， 则为两个奇数一个偶数，共有种选法, 故从这个数中选个不同的数且和为偶数的概率为. 故答案为：. 13. 记的内角，，的对边分别为，，，已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得，同除，再由余弦定理、正弦定理将边化角得到，再由两角和的正弦公式及同角三角函数的基本关系计算可得. 【详解】因为，所以，所以， 即，由正弦定理可得， 所以，所以， 所以， 即， 因为，所以，所以. 故答案为： 14. 函数的图象类似于汉字“囧”字，被称为“囧函数”，并把其与y轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”，以“囧点”为圆心，凡是与“囧函数”有公共点的圆，皆称之为“囧圆”，则当时，函数的“囧点”坐标为______________；此时函数的所有“囧圆”中，面积的最小值为_____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空：直接求出与y轴的交点即可求解；第二空：画出函数图象，考虑轴及轴右侧的图象，轴下方的函数图象显然过点时面积最小，轴上方的图象，设出公共点，表示出半径的平方，借助二次函数求出最小值，再比较得出半径最小值即可求解. 【详解】第一空：由题意知：，，，故与y轴的交点为，则“囧点”坐标为； 第二空：画出函数图象如图所示： 设，，圆心为，要使“囧圆”面积最小，只需要考虑轴及轴右侧的图象， 当圆过点时，其半径为2，是和轴下方的函数图象有公共点的所有“囧圆”中半径的最小值； 当圆和轴上方且轴右侧的函数图象有公共点时，设，则点到圆心的距离的平方为， 令，则， 当即时，最小为3，，显然在所有“囧圆”中，该圆半径最小，故面积的最小值为. 故答案为：；. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数. （1）求的最小正周期和单调递增区间； （2）设函数，若的最大值为，其中，求的值. 【答案】（1）最小正周期，单调递增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）由二倍角公式计算可得，可求得最小正周期和单调递增区间； （2）整理可得，由辅助角公式可得，结合可得. 【小问1详解】 易知， 所以的最小正周期为， 令，可得， 因此的单调递增区间为 【小问2详解】 易知 ， 其中， 当取最大值为时需满足， 可得，即， 由可得， 易知，解得， 又，可得. 16. 为普及天文知识，某校开展了“天文知识竞赛”活动，共有1000名学生参加此次竞赛活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取了80名，统计他们的成绩，其中成绩不低于80分的学生被评为“航天达人”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）估计参加这次竞赛的学生成续的第75百分位数； （2）若在抽取的80名学生中，利用分层随机抽样的方法从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人，再从6人中选择2人作为学生代表，求被选中的2人均为航天达人的概率； （3）已知组的方差为12，组的方差为8，试估计参加此次竞赛的学生不低于80分的成绩方差（结果保留整数）； 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据百分位数计算规则计算可得； （2）先按照分层抽样求出各层人数，再利用列举法结合古典概型即可得解. （3）利用分层抽样的方差公式计算可求方差. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，成绩在内的频率为， 成绩在内的频率为， 成绩在内的频率为， 成绩在内的频率为， 成绩在内的频率为， 所以成绩在分以下的学生所占的比例为， 成绩在分以下的学生所占的比例为， 所以成绩的第分位数一定在内，即， 因此估计参加这次竞赛的学生成绩的百分位数为； 【小问2详解】 因为，，， 所以从成绩在，，内的学生中分别抽取了人，人，人， 其中有人为航天达人，设为，有人不是航天达人，设为， 则从人中选择人作为学生代表， 有， 共种， 其中人均为航天达人为共种， 所以被选中的人均为航天达人的概率为． 【小问3详解】 内的频率为，内的频率为， 内的平均数为，内的平均数为， 内的平均数为， 又组的方差为12，组的方差为8， 所以这次竞赛的学生不低于80分的成绩方差为. 17. 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D在边上，且直线平分. （1）求证：； （2）若，. ①求面积S的最大值； ②若和的内切圆半径分别是r和R，求的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2）① 3，② 【解析】 【分析】（1）设边上的高为，则表示出和，两式子相比可证得结论； （2）①设，由余弦定理结合三角形的面积公式可得，化简换元后可利用基本不等式求出其最大值；②利用等面积法可得，则，而，代入化简可求得结果. 【小问1详解】 证明：设边上的高为，则 ，， 因为直线平分，所以， 所以， 所以； 【小问2详解】 ①设， 因为，，所以由（1）可知， 在中，由余弦定理得， 所以，所以， 所以 ， 令，则， 当且仅当，即时取等号， 所以S最大值为3； ②在中，因为，， 所以， 所以， 所以， 在中，由余弦定理得， 所以， 因为，， 所以， 所以， ， 因为，且，所以， 所以，则， 所以， 所以， 所以， 所以，即. 【点睛】关键点点睛：此题考查余弦定理，考查三角形面积公式的应用，考查向量的数量积运算，考查基本不等式的应用，第（2）问解题的关键是利用三角形中等面积法表示出，利用向量的运算表示出，考查计算能力，属于难题. 18. 如图1，在矩形中，已知，，E为的中点，将沿向上翻折，得到四棱锥（图2）. （1）若，求异面直线与的夹角； （2）求证：； （3）在翻折过程中，当二面角为时，求四棱锥的体积. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，可证，则为异面直线与的夹角，计算可求 （2）在矩形中，可证明，则在翻折过程中，从而可证明平面，从而可证明结论. （3）过作，垂足为，过作，垂足为，连接.可证明是二面角的平面角，设，可得，进而求得，可求体积. 【小问1详解】 取的中点，连接， 又为的中点，所以，， 四边形是平行四边形，所以， 所以为异面直线与的夹角， 又，，， 所以，所以等腰直角三角形， 从而可得， 又，，所以， 所以为等腰直角三角形，所以， 所以异面直线与夹角； 【小问2详解】 如图1，连接交于. 因为，且为的中点，， 在矩形中，因为，所以， 所以，所以， 所以， 即，即. 由题意可知，平面， 所以平面，因为平面，所以. 【小问3详解】 如图2，过作，垂足为，过作，垂足为，连接. 因为平面，平面，所以. 又因为，平面，所以平面. 因为平面.所以. 又因为，平面， 所以平面.因为平面，所以. 所以是二面角的平面角. 所以，所以，由勾股定理可得， 设，由，可得，可得， 由（1）可得，从而可得，所以， 所以，解得， 所以四棱锥的体积. 19. 对于数列，，…，，定义变换，将数列变换成数列，，…，，，记，，．对于数列，，…，与，，…，，定义．若数列，，…，满足，则称数列为数列． （1）若，写出，并求； （2）对于任意给定的正整数，是否存在数列，使得若存在，写出一个数列，若不存在，说明理由： （3）若数列满足，求数列A的个数． 【答案】（1）；； （2）不存在适合题意的数列； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用变换的定义即； （2）利用数列的定义，记中有个，有个，则，进而即得； （3）由题可得，进而可得，然后结合条件即得. 【小问1详解】 由， 可得， ， ∴； 【小问2详解】 ∵， 由数列A为数列，所以， 对于数列，，…，中相邻的两项， 令，若，则，若，则， 记中有个，有个，则， 因为与的奇偶性相同，而与的奇偶性不同， 故不存在适合题意的数列； 【小问3详解】 首先证明， 对于数列，，…，，有，，…，，， ，，…，，，，，…，，， ，，…，，，，，…，，， ∵， ， ∴， 故， 其次，由数列为数列可知，， 解得， 这说明数列中任意相邻两项不同的情况有2次， 若数列中的个数为个，此时数列有个， 所以数列的个数为个. 【点睛】数学中的新定义题目解题策略：①仔细阅读，理解新定义的内涵；②根据新定义，对对应知识进行再迁移. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023学年下学期高一期末五校联考试卷 数学 命题学校；广东实验中学 命题人：高一备课组 本试卷分选择题和非选择题两部分，共5页，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1.开考前，考生务必用黑色字进的钢笔或签字笔格自己的校名、姓名、班级、考号等相关信息填写在答题卡指定区域内． 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上． 3.非选择题必须用黑色字迹的铜笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4.考生必须保持答题卡的整洁． 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则（ ） A 2 B. 2023 C. D. 1 3. 已知，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 已知m，n是两条不同的直线，，是两个不重合的平面，则下列命题正确的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ， 5. 函数（且）的大致图象是（ ） A. B. C. D. 6. 已知一个古典概型的样本空间和事件A，B，满足，，，，则下列说法正确的是（ ） A. 事件A与事件B互斥 B. C. D. 事件A与事件B相互独立 7. 已知函数，则图象有如下性质（ ） A. 关于点中心对称 B. 关于直线轴对称 C. 关于点中心对称 D. 关于点中心对称 8. 已知平面向量，，，且，.已知向量与所成的角为60°，且对任意实数恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 衡阳市第八中学为了解学生数学史知识的积累情况，随机抽取150名同学参加数学史知识测试，测试题共5道，每答对一题得20分，答错得0分.得分不少于60分记为及格，不少于80分记为优秀，测试成绩百分比如图所示，则（ ） A. 该次数学史知识测试及格率超过90% B. 该次数学史知识测试得满分的同学有15名 C. 该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数 D. 若八中共有3000名学生，则数学史知识测试成绩能得优秀的同学大约有1800名 10. 如图，已知三棱柱，平面，，，，分别是，的中点，则下列说法正确的是（ ） A 平面 B. 平面 C. 直线与直线的夹角为 D. 若，则平面与平面的夹角为 11. 已知函数，集合，集合，若，则实数a的取值可以是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 从1，2，3，4，5中任取3个不同数字，这3个数字之和是偶数的概率为_______. 13. 记内角，，的对边分别为，，，已知，则______． 14. 函数的图象类似于汉字“囧”字，被称为“囧函数”，并把其与y轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”，以“囧点”为圆心，凡是与“囧函数”有公共点的圆，皆称之为“囧圆”，则当时，函数的“囧点”坐标为______________；此时函数的所有“囧圆”中，面积的最小值为_____________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数. （1）求的最小正周期和单调递增区间； （2）设函数，若的最大值为，其中，求的值. 16. 为普及天文知识，某校开展了“天文知识竞赛”活动，共有1000名学生参加此次竞赛活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取了80名，统计他们的成绩，其中成绩不低于80分的学生被评为“航天达人”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）估计参加这次竞赛的学生成续的第75百分位数； （2）若在抽取80名学生中，利用分层随机抽样的方法从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人，再从6人中选择2人作为学生代表，求被选中的2人均为航天达人的概率； （3）已知组的方差为12，组的方差为8，试估计参加此次竞赛的学生不低于80分的成绩方差（结果保留整数）； 17. 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D在边上，且直线平分. （1）求证：； （2）若，. ①求面积S的最大值； ②若和内切圆半径分别是r和R，求的取值范围. 18. 如图1，在矩形中，已知，，E为的中点，将沿向上翻折，得到四棱锥（图2）. （1）若，求异面直线与的夹角； （2）求证：； （3）在翻折过程中，当二面角为时，求四棱锥的体积. 19. 对于数列，，…，，定义变换，将数列变换成数列，，…，，，记，，．对于数列，，…，与，，…，，定义．若数列，，…，满足，则称数列为数列． （1）若，写出，并求； （2）对于任意给定的正整数，是否存在数列，使得若存在，写出一个数列，若不存在，说明理由： （3）若数列满足，求数列A的个数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $