精品解析：甘肃省庆阳市华池县第一中学2023-2024学年高二下学期7月期末数学试题

甘肃省华池县第一中学2023—2024学年度第二学期期末考试高二数学 2024．6 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3．本试卷命题范围：高考范围． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 若集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{y|y＝x2，x∈R}，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由指数函数的值域化简集合，由二次函数的值域化简集合，对选项中的集合关系逐一判断即可. 【详解】集合， ，，故选A. 【点睛】集合的基本运算的关注点： （1）看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提； （2）有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决； （3）注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和图． 2. （　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用复数的代数运算求解. 【详解】， ， 故选：A 3. 已知非零向量满足，且，则与的夹角为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由得出向量的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角． 【详解】因为，所以=0，所以， 所以=，所以与的夹角为， 故选B． 【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为． 4. 已知随机变量，则（ ） 附：若随机变量，则． A. 0.0456 B. 0.1359 C. 0.2718 D. 0.3174 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性结合已知条件直接求解即可. 【详解】因为，所以 所以 . 故选：B 5. 中国空间站（China Space Station）的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.2022年10月31日15：37分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“T”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕.2023年，中国空间站将正式进入运营阶段.假设空间站要安排甲、乙等6名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多三人，则不同的安排方法有（ ） A. 450种 B. 72种 C. 90种 D. 360种 【答案】A 【解析】 【分析】利用分组和分配的求法求得名航天员的安排方案，再利用分类加法计数原理即可求得. 【详解】由题知，6名航天员安排三舱， 三舱中每个舱至少一人至多三人， 可分两种情况考虑： 第一种：分人数为的三组，共有种； 第二种：分人数为的三组，共有种； 所以不同的安排方法共有种. 故选：A. 6. 将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二倍角公式化简，即可由平移得的表达式，即可根据余弦函数的对称性求解. 【详解】， 则， 因为满足，所以函数的图象关于直线对称， 所以，所以，因为，所以的最小值为． 故选：D 7. 若是离散型随机变量，，又已知，则的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先得到随机变量的值只能为，根据期望和方差得到方程组，求出方程的解，得到答案. 【详解】，故随机变量的值只能为， ，解得或， 所以. 故选：B 8. 已知定义数列为数列的“差数列”，若的“差数列”的第项为，则数列的前2024项和（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据定义翻译出，然后用累加法求出，再用等比数列求和公式求解即可. 【详解】据题意，得，所以， 所以， 所以．又，所以，所以， 所以 故选：D． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设某大学的女生体重（单位：）与身高（单位：）具有线性相关关系，根据一组样本数据（、、、），用最小二乘法建立的回归方程为，则下列结论中正确的是（ ） A. 与具有正的线性相关关系 B. 回归直线过样本点的中心 C. 若该大学某女生身高增加，则其体重约增加 D. 若该大学某女生身高为，则可断定其体重必为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据线性回归方程的意义及性质逐一判断即可得出答案. 【详解】A选项，则，与 具有正的线性相关关系，故A对； B选项，回归直线过样本点的中心，故B对； C选项，该大学某女生身高增加，预测其体重约增加，故C对； D选项，该大学某女生身高为，预测其体重约为，故D错. 故选：ABC． 10. 已知圆，下列说法正确的是（ ） A. 的取值范围是 B. 若，则该圆圆心为，半径为4 C. 若，过的直线与圆相交所得弦长为，则该直线方程为 D. 若，，，直线恒过圆的圆心，则恒成立 【答案】AD 【解析】 【分析】对A，将圆的一般式化为标准式，结合求范围；对B，将代入标准式即可求出圆心和半径；对C，设出直线方程，由圆心到直线距离求出，但需考虑斜率不存在情况；对D，将圆心代入直线方程，再结合基本不等式即可求解. 【详解】将化为标准式可得，由圆的定义可知，，故A对； 当时，圆的标准方程为，则圆心为 ，半径为2，故B错误； 设过的直线方程为：，当时，圆心为 ，半径为2，则，即，解得，直线方程为：，但当直线斜率不存在时，即，圆心到直线距离也为1，故这样的直线方程有两条，C错误； 因为直线恒过圆的圆心，即， 则，当且仅当时取等号，故D正确. 故选：AD 11. 如图1，点为正方形边上异于点的动点，将沿翻折，得到如图2所示的四棱锥，且平面平面，点为线段上异于点的动点，则在四棱锥中，下列说法正确的有 A. 直线与直线必不在同一平面上 B. 存在点使得直线平面 C. 存在点使得直线与平面平行 D. 存在点使得直线与直线垂直 【答案】AC 【解析】 【分析】分别判断各个选项是否正确，对于A，证明两直线异面考虑用反证法；对于B,C,D只要能找到某个位置成立，则命题正确，否则利用反证法进行证明. 【详解】A.假设直线BE与直线CF 在同一平面上，所以E在平面BCF上，又E在线段BC上，平面BCF=C，所以E与C重合，与E异于C矛盾，所以直线BE与直线CF 必不在同一平面上； B.若存在点使得直线平面DCE， 平面,所以,又,所以△ABE中有两个直角，与三角形内角和为矛盾，所以不存在点使得直线平面DCE； C. 作交AD于点，作交BD于点， 因为平面，平面，平面，平面，，所以平面∥平面，因为平面，所以直线与平面平行，所以C正确； D.过B作于O，因为平面平面AECD,平面平面=AE, 所以平面AECD.过D作于H，因为平面平面AECD,平面平面=AE,所以平面BAE，所以.若存在点使得直线与直线垂直， 平面AECD,平面AECD,,所以平面AECD, 所以E与O重合，与三角形ABE是以B为直角的三角形矛盾，所以不存在点使得直线与直线垂直.故选A、C. 【点睛】本题考查空间想象能力，逻辑推理能力，空间直线、平面之间的位置关系，反证法的运用，属于难题, 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在展开式中，的系数为______．（结果是数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式定理通项公式可解. 【详解】 展开式的通项为， 令，则，所以项的系数为． 故答案为：. 13. 已知函数的单调递减区间是，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出，由题设易知是的解集，利用根与系数关系求m、n，进而求的值. 【详解】由题设，，由单调递减区间是， ∴的解集为，则是的解集， ∴，可得，故. 故答案为： 14. 在中，角的对边分别为，若，则角的最大值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用正弦定理将角化边，再结合余弦定理得到，最后由余弦定理及基本不等式求出的最小值，即可求出的最大值. 【详解】因为， 由正弦定理得，即， 又由余弦定理得， ，， ， 当且仅当时等号成立，又，的最大值为． 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤． 15. 在中，角的对边分别为．已知． （1）求； （2）若的面积为，求． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由内角和定理结合诱导公式得出； （2）由面积公式得出，再由余弦定理求出，进而得出． 【小问1详解】 ， ． 【小问2详解】 由（1）得， 由面积公式，可得，① 根据余弦定理得， 则，② 两式联立可得或． 16. 某市教育局进行新学年教师招聘工作，初试为笔试，考核内容为教育理论综合知识和专业知识，笔试成绩满分100分，60分及格，将笔试成绩分为“及格”与“不及格”两类，按照应届毕业生与往届毕业生两类统计如下： 不及格 及格 应届毕业生 50 100 往届毕业生 75 125 （1）是否有以上的把握认为笔试成绩与毕业时间有关？ （2）在笔试成绩中，根据毕业时间进行分层抽样，各层中按成绩由高到低的顺序共选取90人进入复试，且这90人中“双一流大学”毕业生有4人，优秀班主任有5人，若从这9人中随机抽取2人被某市重点中学录用，记这2人中“双一流大学”毕业生的人数为，求的分布列及数学期望． 附：． 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）没有的把握认为笔试成绩与毕业时间有关 （2）的分布列为： 0 1 2 ．【解析】 【分析】（1）根据给定表中数据，计算再与临界值表比对即可； （2）随机变量的可能取值为：，计算随机变量每个可能取值的概率，并写出分布列及期望即可. 【小问1详解】 完善列联表如下所示： 不及格 及格 合计 应届毕业生 50 100 150 往届毕业生 75 125 200 合计 125 225 350 零假设为笔试成绩与毕业时间无关. 依据列联表中数据，经计算得到： ， 所以，根据小概率的独立性检验， 没有的把握认为笔试成绩与毕业时间有关． 【小问2详解】 依题意，的所有可能取值为， 故的分布列为： 0 1 2 所以． 17. 如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠ABC＝90°，PA＝2，AC＝2． （1）求证：平面平面； （2）若二面角P﹣BC﹣A的大小为45°，过点A作AN⊥PC于N，求直线AN与平面PBC所成角的大小． 【答案】（1）证明：因为PA⊥底面，平面， 所以， 因为∠ABC＝90°，所以， 因为, 所以平面， 因为平面， 所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据线线垂直得平面，再由面面垂直的判定定理可证得结论， （2）由题意求出的长，过点作于，连接，则为直线与平面所成的角，然后在中可求得结果 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知平面，平面， 所以， 因为， 所以为二面角的平面角， 所以， 因为， 所以， 过点作于，则平面，且为的中点，连接， 则为直线与平面所成的角， 在中，, 在中，，则， 在中，， 因为， 所以， 所以直线AN与平面PBC所成角的大小为 【点睛】 18. 已知双曲线的离心率为，为右支上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为，且. （1）求双曲线的方程； （2）若双曲线的左顶点为，过的直线与双曲线交于，两点，直线，与轴分别交于，两点，设，的斜率分别为，，求的值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）先由离心率为，得到，再由，结合双曲线的渐近线，求得，联立方程组求得的值，即可求解； （2）设直线，联立方程组得到，，得出直线的方程求得，，利用斜率公式，准确化简，即可求解. 【小问1详解】 解：因为双曲线的离心率为，所以，可得， 设，则，即， 又双曲线的渐近线方程为， 所以， 又由于，则，故双曲线方程为. 【小问2详解】 解：设直线，其中，，， 联立方程组，整理得， 由于，且， 所以，. 因为直线的方程为， 所以的坐标为，同理可得的坐标为， 因为，， 所以 ， 即为定值. 【点睛】解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略： 1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量）；②利用条件找到过定点的曲线之间的关系，得到关于与的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标； 2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 19. 已知函数，． （1）求函数的单调区间和极值； （2）若函数有2个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1）函数的单调增区间为和，函数的单调减区间为，函数的极大值为，函数的极小值为； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用导数的性质，结合极值的定义进行求解即可； （2）根据导数的性质，结合构造新函数法、函数零点的定义，利用分类讨论思想进行求解即可. 【小问1详解】 由题意，函数可得， 当，时，； 当，时，； 当时，， 所以函数的单调增区间为和， 函数的单调减区间为， 函数的极大值为，函数的极小值为； 【小问2详解】 函数的定义域为， 则， 令，则， 所以，函数在上为增函数，且． ①当时，即当时，对任意的恒成立， 所以函数为上的增函数，则函数在上至多只有一个零点，不合乎题意； ②当时，即当时，则存在使得， 当时，，此时，则函数在上单调递减， 当时，，此时，则函数在上单调递增， 由于函数有两个零点， 当时，；当时，． 可得 ， 可得，解得． 【点睛】关键点睛：构造新函数，利用导数的性质、分类讨论思想进行求解是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 甘肃省华池县第一中学2023—2024学年度第二学期期末考试高二数学 2024．6 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3．本试卷命题范围：高考范围． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 若集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{y|y＝x2，x∈R}，则 A. B. C. D. 2. （　　） A. B. C. D. 3. 已知非零向量满足，且，则与的夹角为 A. B. C. D. 4. 已知随机变量，则（ ） 附：若随机变量，则． A. 0.0456 B. 0.1359 C. 0.2718 D. 0.3174 5. 中国空间站（China Space Station）的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.2022年10月31日15：37分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“T”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕.2023年，中国空间站将正式进入运营阶段.假设空间站要安排甲、乙等6名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多三人，则不同的安排方法有（ ） A. 450种 B. 72种 C. 90种 D. 360种 6. 将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 若是离散型随机变量，，又已知，则的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 8. 已知定义数列为数列的“差数列”，若的“差数列”的第项为，则数列的前2024项和（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设某大学的女生体重（单位：）与身高（单位：）具有线性相关关系，根据一组样本数据（、、、），用最小二乘法建立的回归方程为，则下列结论中正确的是（ ） A. 与具有正的线性相关关系 B. 回归直线过样本点的中心 C. 若该大学某女生身高增加，则其体重约增加 D. 若该大学某女生身高为，则可断定其体重必为 10. 已知圆，下列说法正确的是（ ） A. 的取值范围是 B. 若，则该圆圆心为，半径为4 C. 若，过的直线与圆相交所得弦长为，则该直线方程为 D. 若，，，直线恒过圆的圆心，则恒成立 11. 如图1，点为正方形边上异于点的动点，将沿翻折，得到如图2所示的四棱锥，且平面平面，点为线段上异于点的动点，则在四棱锥中，下列说法正确的有 A. 直线与直线必不在同一平面上 B. 存在点使得直线平面 C. 存在点使得直线与平面平行 D. 存在点使得直线与直线垂直 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在展开式中，的系数为______．（结果是数字作答） 13. 已知函数的单调递减区间是，则的值为______. 14. 在中，角的对边分别为，若，则角的最大值为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤． 15. 在中，角的对边分别为．已知． （1）求； （2）若的面积为，求． 16. 某市教育局进行新学年教师招聘工作，初试为笔试，考核内容为教育理论综合知识和专业知识，笔试成绩满分100分，60分及格，将笔试成绩分为“及格”与“不及格”两类，按照应届毕业生与往届毕业生两类统计如下： 不及格 及格 应届毕业生 50 100 往届毕业生 75 125 （1）是否有以上的把握认为笔试成绩与毕业时间有关？ （2）在笔试成绩中，根据毕业时间进行分层抽样，各层中按成绩由高到低的顺序共选取90人进入复试，且这90人中“双一流大学”毕业生有4人，优秀班主任有5人，若从这9人中随机抽取2人被某市重点中学录用，记这2人中“双一流大学”毕业生的人数为，求的分布列及数学期望． 附：． 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 17. 如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠ABC＝90°，PA＝2，AC＝2． （1）求证：平面平面； （2）若二面角P﹣BC﹣A的大小为45°，过点A作AN⊥PC于N，求直线AN与平面PBC所成角的大小． 18. 已知双曲线的离心率为，为右支上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为，且. （1）求双曲线的方程； （2）若双曲线的左顶点为，过的直线与双曲线交于，两点，直线，与轴分别交于，两点，设，的斜率分别为，，求的值. 19. 已知函数，． （1）求函数的单调区间和极值； （2）若函数有2个零点，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $