精品解析：江苏省扬州市广陵区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

2023-2024学年度第二学期期末调研七年级数学试卷 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的．请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，幂的乘方，积的乘方，同底数幂相乘，熟练掌握其运算规则是解题的关键．根据合并同类项，幂的乘方，积的乘方，同底数幂相乘的运算规则逐一验证即可． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； 故选：B． 2. 已知多边形的每一个外角都是，则这个多边形的边数是（ ） A. 6 B. 8 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理，熟练掌握多边形的外角和是是解题的关键．多边形的外角和是，依此可以求出多边形的边数． 【详解】解：∵一个多边形的每一个外角都是， ∴这个多边形的边数是， 故选：A． 3. 已知三角形的两边长分别为和，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，解题的关键是掌握三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边．根据三角形的三边关系可得，再解不等式可得答案． 【详解】解：设三角形的第三边为，由题意可得： ， 即， 故选：C． 4. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先在数轴上表示不等式组的解集，再选出即可． 【详解】解：不等式组的解集在数轴上可表示为： ， 故选：D． 【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，能把不等式组的解集在数轴上表示出来是解此题的关键． 5. 下列命题是真命题的是（ ） A. 如果，那么 B. 三角形的外角等于两个内角的和 C. 相等的两个角是对顶角 D. 同角的补角相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理．利用平方的性质、三角形的外角的性质、对顶角的定义及平行线的性质分别判断即可． 【详解】解：A、如果，那么，故原命题错误，是假命题，不符合题意； B、三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，故原命题错误，不符合题意； C、相等的两个角不一定是对顶角，故原命题错误，不符合题意； D、同角的补角相等，正确，是真命题，符合题意． 故选：D． 6. 在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．设该店有客房x间，房客y人，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．设该店有客房x间，房客y人；每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房得出方程组即可． 【详解】解：设该店有客房x间，房客y人；根据题意得： ， 故选：A． 7. 如图，一把长方形直尺沿直线断开并错位，点 E，D，B，F 在同一条直线上． 若∠EDA=123°，则∠CBD 的度数是（　　） A. 47 B. 57 C. 67 D. 123 【答案】B 【解析】 【分析】先根据补角的定义得出∠ADF的度数，再由平行线的性质得出∠CBD即可． 【详解】解：∵∠EDA=123°， ∴∠ADF=180°-∠EDA=57°， ∵AD∥BC， ∴∠ADF＝∠CBD＝57°， 故选：B． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等． 8. 如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依序为3、4、5、7，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝的距离之最大值是（　　） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】若两螺丝的距离最大，则此时这个木框的形状为三角形，根据三角形任意两边之和大于第三边，进行求解即可． 【详解】解：①当、在一条直线上时，三边长为：、、， 此时最大距离为； ②， 、不可能在一条直线上； ③当、在一条直线上时，三边长为：、、， 此时最大距离为； ④， 、不可能在一条直线上； 综上所述：最大距离为． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形三边关系，理解三边关系是解题的关键． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分、共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 自然界中的数学不胜枚举，蜜蜂是“天才的数学家兼设计师”，蜜蜂蜂房是严格的六角柱状体，蜂房的巢壁厚0.000073米，是令人惊叹的神奇天然建筑物．数据0.000073用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：0.000073=7.3×10-5． 故答案为：7.3×10-5． 【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 10. 写出二元一次方程的一组正整数解：______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，采用“给一个，求一个”的方法进行枚举，利用枚举法进行求正整数解是解题的关键．由，可得出，再进行枚举即可． 【详解】解：∵， ∴， 当时，， ∴是方程的一组正整数解； 当时，， ∴是方程的一组正整数解； 当时，， ∴无正整数解； 综上，一组正整数解为：或， 故答案为：或． 11. 命题：“任意两个负数之和是负数”的逆命题是______命题．（填“真”或“假”）． 【答案】假 【解析】 【分析】写出原命题的逆命题后判断正误即可． 【详解】解：命题：“任意两个负数之和是负数”的逆命题是负数是两个负数之和，错误，为假命题， 故答案为：假． 【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大． 12. 已知是完全平方式，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． 利用完全平方公式得到，从而得到，从而求出值． 【详解】解：∵是完全平方式， ， ， ， 故答案为：． 13. 已知，则代数式的值为______． 【答案】-4 【解析】 【分析】先化简，再把代数式整体代入进行计算即可得解． 【详解】解：∵ ∴ =-4 故答案为：-4 【点睛】本题考查了因式分解的应用、代数式求值，整体思想的利用是解题的关键． 14. 将一副直角三角板如图放置，，．若边经过点，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了三角板的角度计算，三角形外角的性质，三角形内角和定理的应用；由三角形内角和定理可求解的度数，利用三角形外角的性质可求解的度数，进而可求解． 【详解】解：，， ， ，， ， ， ， 故答案为． 15. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，积的乘方的逆运算，根据同底数幂乘法的逆运算变形为，再利用积的乘方的逆运算即可解答． 【详解】解：， 故答案为：． 16. 如图，将沿折叠，点A落在点F处，已知，则______度． 【答案】50 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理、折叠的性质等知识点，灵活运用三角形的内角和是是解答本题的关键．根据折叠的性质可知，利用平角是求出与的和，然后利用三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：折叠的性质得：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ． 故答案为：． 17. 若是关于x的不等式的一个解，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的解．熟练掌握不等式的一个解的意义是解决问题的关键． 将代入不等式，解不等式即得． 【详解】∵是关于x的不等式的一个解， ∴， ∴． 故答案为：． 18. 如图，长方形中，，，，动点P从A点出发，以每秒的速度沿运动，最终到达点E．那么当点P运动的时间______秒时，的面积等于． 【答案】或4 【解析】 【分析】本题考查长方形的性质和三角形的面积公式的应用，分类讨论是解题的关键．分析题意可知有三种情况，即点在上，上及上；再根据分上述三种情况分别画出图形，利用三角形的面积公式进行计算解答即可． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，，， ①当点在上时，如图， ， ∵的面积等于5， ∴， 解得：； ②当在上时，如图， ， ∵的面积等于5， ∴， 解得：； ③当在上时，如图， ， ∵的面积等于5， ∴， 解得：，此时点不在上，不合题意，舍去； 综上可知，当或4时，的面积等于． 故答案为：或4． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）分别根据有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂的运算法则化简各数 ，再进行加减运算即可得到答案； （2）原式第一项进行同底数幂的乘法运算，第二项进行积的乘方运算，最后合并即可． 【详解】解：（1） = =； （2） =． 【点睛】此题主要考查了幂的运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键． 20. 因式分解： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解； （1）先提公因式，然后根据平方差公式因式分解，即可求解； （2）先提公因式，然后根据完全平方公式因式分解，即可求解． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 21. 解方程组或不等式组： （1） （2） 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）将①×3, ②×2变形后两式相加求出，代入①式即可求得y值即可； （2）先分别解两个不等式，再根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解：（1） 解：由①×3得，③ 由②×2得，④ ③+④得 将带入①得： 解得： 方程组的解为； （2） 解：解①得， 解②得， 不等式组的解集为． 【点睛】本题考查解二元一次方程组和解不等式组．（1）中熟练掌握解二元一次方程组的方法，并能灵活应用是解决此题的关键；（2）熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 22. 如图，每个小正方形的边长为1，在方格纸内将经过一次平移后得到，图中标出了点的对应点． （1）在给定方格纸中画出平移后的； （2）画出边上的中线； （3）画出边上的高线； （4）的面积为______． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 （4）8 【解析】 【分析】本题考查了平移作图，三角形的中线、高的定义，根据网格求三角形的面积； （1）根据图形平移的性质画出即可； （2）取线段的中点，连接即可； （3）过点作的延长线与点即可； （4）根据三角形的面积公式，即可得出结论． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求． 【小问2详解】 如图，就是所求的中线． 【小问3详解】 如图，即为边上的高． 【小问4详解】 ． 故答案为8． 23. 如图，，，证明：，完成推理过程． 证明：∵（已知）， ∴（______）． ∴______（两直线平行，内错角相等）． ∵（已知）， ∴（______）， 即． ∴______（内错角相等，两直线平行）， ∴（______）． 【答案】同旁内角互补，两直线平行；；等式性质；；两直线平行，内错角相等 【解析】 【分析】本题考查了平行线性的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．由，根据同旁内角互补，两直线平行，得到，根据两直线平行，内错角相等，得，结合已知，利用等式性质，得到，根据内错角相等，两直线平行，得，最后根据两直线平行，内错角相等，即可得． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）． ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵（已知）， ∴（等式性质）， 即． ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）． 24. 某商店有甲、乙两种商品，每件的进价分别为20元、30元．商店销售4件甲商品和3件乙商品，可获得利润50元；销售2件甲商品和6件乙商品，可获得利润70元． （1）求甲、乙两种商品的销售单价； （2）如果该商店计划购进甲、乙两种商品共100件，用于进货资金不超过2500元，但又要确保获利至少740元，请问可以购进多少件甲种商品？ 【答案】（1）甲种商品的销售单价为25元/件，乙种商品的销售单价为40元/件 （2）可购进甲种商品50件，51件或52件 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的实际应用问题，根据题意找到题中的相等关系和不等关系是解题的关键． （1）设甲种商品的销售单价为x元/件，乙种商品的销售单价为y元/件，根据商店销售4件甲商品和3件乙商品，可获得利润50元；销售2件甲商品和6件乙商品，可获得利润70元，列方程组即可得解； （2）设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件，根据进货资金不超过2500元，但又要确保获利至少740元，列一元一次不等式组即可得解； 【小问1详解】 解：设甲种商品的销售单价为x元/件，乙种商品的销售单价为y元/件． 则依题意得方程组：， 整理得， 解得 答：甲种商品的销售单价为25元/件，乙种商品的销售单价为40元/件． 【小问2详解】 解：设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件． 则依题意可得不等式组： 解得 答：可购进甲种商品50件，51件或52件． 25. 已知：如图，，，，， （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的判定与性质即可证得结论； （2）根据平行线的性质求解即可． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解答的关键． 26. 已知关于a、b的方程组． （1）若，求m的值； （2）已知a为负数，b为非正数，求m的取值范围； （3）在（2）的条件下，若m为整数，则当m为何值时，不等式的解集为． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式或解一元一次不等式组等知识点，利用同时除以一个负数不等号要改变方向，求出a的取值范围是解此题的关键． （1）两式相加即可求解； （2）将m当作常数，解二元一次方程组，用m表示a、b，根据a为负数，b为非正数可以列出不等式组，从而求出m的范围； （3）将不等式进行求解，要得到解集为，则必须使，可以求出m的范围，结合（2）中m的范围，即可求解． 【小问1详解】 解：两式相加得：， ， ， 解得：； 【小问2详解】 解：解方程组得： ∵a为负数，b为非正数 ∴， 解得：； 【小问3详解】 解： ∵要使不等式的解集为 必须 解得： ∵，m为整数 ∴ ∴当时，不等式的解集为． 27. 已知直线，点C，B分别在直线，上，点A在直线和之间． （1）如图1，若，则______； （2）如图2，求证：； （3）如图3，，点E在直线上，且，求证：； 【答案】（1） （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据，得到，解答即可． （2）延长交于点D，利用平行线的判定和性质，三角形外角性质解答即可． （3）延长交于点G，利用平行线的判定和性质，三角形外角性质解答即可． 本题考查了平行线的性质，三角形外角性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 解：延长交于点D， ∵， ∴， ∵， ∴． 【小问3详解】 延长交于点G ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵，且 ∴ ∴ ∵ ∴． 28. 阅读并解决问题：对于二次三项式，因不能直接运用完全平方公式，此时，我们可以先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变．这样的方法称为“配方法”．配方法在代数式求值，解方程，最值问题等方面都有着广泛的应用： 例1．用配方法因式分解：． 解：原式 ． 例2．若，利用配方法求M的最小值： 解：． ∵． ∴当时，M有最小值5． 请利用配方法解决下列问题： （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______； （2）利用“配方法”分解因式：； （3）若．求N的最小值； （4）已知整式与，请比较A、B的大小． 【答案】（1）25 （2） （3）当时，N有最小值是6 （4） 【解析】 【分析】本题主要考查配方法的运用，完全平方公式的应用，一个数或整数的平方具有非负性和因式分解法计算与运用，整式加减运算的应用，合理利用配方法是解决本题的关键． （1）添加的常数项为一次项系数10一半的平方，即可求出这个常数； （2）类比例题进行分解因式即可； （3）类比例题求的最小值即可； （4）先计算整式与的差，偶次方的非负性，即可求出答案． 【小问1详解】 解：， 常数项为25． 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ∵ ∴当时，N有最小值是6； 【小问4详解】 解： ∵ ∴ ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年度第二学期期末调研七年级数学试卷 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的．请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知多边形的每一个外角都是，则这个多边形的边数是（ ） A. 6 B. 8 C. D. 3. 已知三角形的两边长分别为和，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（ ） A. B. C. D. 4. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题是真命题的是（ ） A. 如果，那么 B. 三角形的外角等于两个内角的和 C. 相等的两个角是对顶角 D. 同角的补角相等 6. 在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．设该店有客房x间，房客y人，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一把长方形直尺沿直线断开并错位，点 E，D，B，F 在同一条直线上． 若∠EDA=123°，则∠CBD 的度数是（　　） A. 47 B. 57 C. 67 D. 123 8. 如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依序为3、4、5、7，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝的距离之最大值是（　　） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分、共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 自然界中的数学不胜枚举，蜜蜂是“天才的数学家兼设计师”，蜜蜂蜂房是严格的六角柱状体，蜂房的巢壁厚0.000073米，是令人惊叹的神奇天然建筑物．数据0.000073用科学记数法表示为______． 10. 写出二元一次方程的一组正整数解：______． 11. 命题：“任意两个负数之和是负数”的逆命题是______命题．（填“真”或“假”）． 12. 已知是完全平方式，则的值为________． 13. 已知，则代数式的值为______． 14. 将一副直角三角板如图放置，，．若边经过点，则_______． 15. 计算：______． 16. 如图，将沿折叠，点A落在点F处，已知，则______度． 17. 若是关于x的不等式的一个解，则a的取值范围是______． 18. 如图，长方形中，，，，动点P从A点出发，以每秒的速度沿运动，最终到达点E．那么当点P运动的时间______秒时，的面积等于． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1） （2） 20. 因式分解： （1） （2） 21. 解方程组或不等式组： （1） （2） 22. 如图，每个小正方形的边长为1，在方格纸内将经过一次平移后得到，图中标出了点的对应点． （1）在给定方格纸中画出平移后的； （2）画出边上的中线； （3）画出边上的高线； （4）的面积为______． 23. 如图，，，证明：，完成推理过程． 证明：∵（已知）， ∴（______）． ∴______（两直线平行，内错角相等）． ∵（已知）， ∴（______）， 即． ∴______（内错角相等，两直线平行）， ∴（______）． 24. 某商店有甲、乙两种商品，每件的进价分别为20元、30元．商店销售4件甲商品和3件乙商品，可获得利润50元；销售2件甲商品和6件乙商品，可获得利润70元． （1）求甲、乙两种商品的销售单价； （2）如果该商店计划购进甲、乙两种商品共100件，用于进货资金不超过2500元，但又要确保获利至少740元，请问可以购进多少件甲种商品？ 25. 已知：如图，，，，， （1）求证：； （2）求的度数． 26. 已知关于a、b的方程组． （1）若，求m的值； （2）已知a为负数，b为非正数，求m的取值范围； （3）在（2）的条件下，若m为整数，则当m为何值时，不等式的解集为． 27. 已知直线，点C，B分别在直线，上，点A在直线和之间． （1）如图1，若，则______； （2）如图2，求证：； （3）如图3，，点E在直线上，且，求证：； 28. 阅读并解决问题：对于二次三项式，因不能直接运用完全平方公式，此时，我们可以先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变．这样的方法称为“配方法”．配方法在代数式求值，解方程，最值问题等方面都有着广泛的应用： 例1．用配方法因式分解：． 解：原式 ． 例2．若，利用配方法求M的最小值： 解：． ∵． ∴当时，M有最小值5． 请利用配方法解决下列问题： （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______； （2）利用“配方法”分解因式：； （3）若．求N的最小值； （4）已知整式与，请比较A、B的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $