精品解析：江苏省淮安市2023-2024学年高一下学期期末调研测试数学试卷

【新结构】江苏省淮安市2023-2024 学年度第二学期 高一年级期末调研测试❖ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，，则复数（ ） A. i B. C. 2i D. 2. 已知某医院治疗一种疾病的治愈率为，下列说法正确的是（ ） A. 患此疾病的病人被治愈的可能性为 B. 医院接收10位患此疾病的病人，其中有一位病人被治愈 C. 如果前9位病人都没有治愈，第10位病人一定能被治愈 D. 医院接收10位患此疾病的病人，其中一定有能被治愈的 3 （ ） A. B. C. D. 4. 在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，若，，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 5. 已知某圆锥的侧面积为，母线长为，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 平行四边形中，若，则（ ） A. B. C. D. 1 7. 抛掷一枚质地均匀的硬币3次，每一次抛掷的结果要么正面向上要么反面向上，记“第一次硬币正面向上”为事件A，“三次试验恰有1次正面向上”为事件B，“三次试验恰有2次正面向上”为事件C，“三次试验全部正面向上或者全部反面向上”为事件 D，则下列说法正确的是（ ） A. A与B互斥 B. A与D相互独立 C. A与C相互独立 D. C与D对立 8. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的周长的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 某学校为了解学校学生视力健康状况，降低学生近视率，增强学生爱眼护眼意识，对三个年级的学生视力健康状况进行调研，已知高一、高二、高三的学生人数之比为4:3:3，现用分层抽样方法抽取一个容量为 n的样本，样本中高一年级学生人数为200人，则（ ） A. 该校三个年级总的学生数为5000人 B. 样本容量n为500 C. 该校高二年级总的学生数有1500人 D. 样本中高二年级学生数为150人 10. 如图，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，其中，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，若，则有序数对叫做向量在夹角为的坐标系xOy中的坐标，记为.已知，则（ ） A. B. C. 为等腰三角形 D. 11. 如图，在正四棱锥中，，， 为棱的中点，为内（含边界）的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 若为的中点，则平面 B. 若点在线段上运动，则的最小值为 C. 直线与平面所成角的正弦值为 D. ，，若四点共面，则点轨迹长度 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，且，则__________． 13. 已知一组数据的方差为3，则的方差为__________． 14. 欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将复数、指数函数与三角函数完美联系起来的一个公式，e是自然对数底数，i是虚数单位，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”．利用欧拉公式解决问题，__________；关于x的方程，的解为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知，，且，其中是第二象限角． （1）求的值； （2）若，求值． 16. 为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、爱国的热情，我校举办了“学党史、育文化”暨“喜迎党的生日”党史知识竞赛，并将2000名师生的竞赛成绩（满分100分）整理成如图所示的频率直方图． （1）求频率直方图中a的值以及师生竞赛成绩的中位数； （2）利用频率直方图的组中值求2000名师生的平均成绩； （3）从竞赛成绩在，的师生中，采用分层抽样的方法抽取6人，再从抽取的6人中随机抽取2人，求2人的成绩来自同一区间的概率． 17. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，，平面ABCD． （1）若M，N分别为棱BC和PD中点，求证：平面PAB； （2）若点A到平面PBD的距离为1，求PA的长． 18. 在某公园湖畔拟建造一个三角形的露营基地，如图所示，为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在区域中，点分别为边的中点，线段与交于点，且将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成露营区，线段修建成隔离防护栏，在中，角所对的边分别为，且． （1）求角的大小； （2）已知的面积为， ①若，求边长的值； ②求隔离护栏长的最小值． 19. 如图①，在等腰直角中，，，M，N是边AC，AB上动点，将沿MN折起到如图②的位置，连接 PB，PC，且平面平面ABC． （1）当M，N分别是边AC，AB的中点时，求异面直线PN与BC所成的角； （2）若点M与点C重合，设，三棱锥P-BMN的体积为，求的值；； （3）若四棱锥P-BCMN在同一个球面上，求该球表面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【新结构】江苏省淮安市2023-2024 学年度第二学期 高一年级期末调研测试❖ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，，则复数（ ） A. i B. C. 2i D. 【答案】B 【解析】 【分析】把代入，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】复数，， ． 故选：B． 2. 已知某医院治疗一种疾病的治愈率为，下列说法正确的是（ ） A. 患此疾病的病人被治愈的可能性为 B. 医院接收10位患此疾病的病人，其中有一位病人被治愈 C. 如果前9位病人都没有治愈，第10位病人一定能被治愈 D. 医院接收10位患此疾病的病人，其中一定有能被治愈的 【答案】A 【解析】 【分析】利用概率的意义直接求解． 【详解】某医院治疗一种疾病的治愈率为， 对于A，患此疾病的病人被治愈的可能性为，故A正确； 对于B，医院接收10位患此疾病的病人，每个人被治愈的可能性为， 不一定有一位病人被治愈，故B错误； 对于C，如果前9位病人都没有治愈，第10位病人不一定能被治愈，故C错误； 对于D，医院接收10位患此疾病的病人，不一定有能被治愈的，故 D错误． 故选：A. 3. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意结合两角和差的正切公式运算求解，注意的应用. 【详解】因为原式． 故选：D. 4. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由余弦定理求出，得，由正弦定理即可求解． 【详解】由题意，得， 又C为的内角，因为 则， 由正弦定理，得. 故选：B. 5. 已知某圆锥的侧面积为，母线长为，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出圆锥底面半径，高，由圆锥的体积公式即可求解． 【详解】设底面半径为，高为，母线长为，则， 则， 解得， 则， 则该圆锥的体积为. 故选：B. 6. 在平行四边形中，若，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算结合数量积的运算性质即可求解． 【详解】在平行四边形中，， 由题意得. 故选：C. 7. 抛掷一枚质地均匀的硬币3次，每一次抛掷的结果要么正面向上要么反面向上，记“第一次硬币正面向上”为事件A，“三次试验恰有1次正面向上”为事件B，“三次试验恰有2次正面向上”为事件C，“三次试验全部正面向上或者全部反面向上”为事件 D，则下列说法正确的是（ ） A. A与B互斥 B. A与D相互独立 C. A与C相互独立 D. C与D对立 【答案】B 【解析】 【分析】列出基本事件，由互斥事件、对立事件与独立事件的概念逐项判断即可． 【详解】抛掷一枚质地均匀的硬币3次，共有（正正正），（正正反），（正反正），（反正正），（正反反），（反反正），（反正反），（反反反）共8种结果， 事件A“第一次硬币正面向上”包含（正正正），（正正反），（正反正），（正反反）共4种结果， 事件B“三次试验恰有1次正面向上”包含（正反反），（反反正），（反正反），共3种结果， 事件C“三次试验恰有2次正面向上”包含（正正反），（正反正），（反正正），共3种结果， 事件D“三次试验全部正面向上或者全部反面向上”包含（正正正），（正反反），共2种结果， 对于A选项，事件A与事件B可能同时发生，即（正反反），不是互斥事件，错误； 对于B选项，，，，则A与D相互独立，正确； 对于C选项，，，则A与C不独立，错误； 对于D选项，C和D互斥但并事件不是全体事件，故它们不对立，错误． 故选:B. 8. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的周长的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：设的外接圆半径为R，根据正弦定理及已知可将题干等式化为，再结合两角和的正弦公式进行化简，结合可得，最后根据正弦定理以及三角恒等变换用B表示出的周长，根据三角函数的性质求解即可． 方法二：根据三角形三边关系排除即可． 【详解】方法一：设的外接圆半径为R， 则， 因为， 所以， 可得， 即， 可得， 因为，， 所以， 结合，可得， 又，所以， 可得， 则的周长为 ， 因为，所以， 则， 可得 故的周长的取值范围为 方法二：由，可知周长，排除ABD， 故选：C 【点睛】方法点睛：求解三角形周长和面积的取值范围问题一般需将表达式转化为边或者角的式子，再利用三角函数性质或基本不等式即可求得取值范围. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 某学校为了解学校学生视力健康状况，降低学生近视率，增强学生爱眼护眼意识，对三个年级的学生视力健康状况进行调研，已知高一、高二、高三的学生人数之比为4:3:3，现用分层抽样方法抽取一个容量为 n的样本，样本中高一年级学生人数为200人，则（ ） A. 该校三个年级总的学生数为5000人 B. 样本容量n为500 C. 该校高二年级总的学生数有1500人 D. 样本中高二年级学生数为150人 【答案】BD 【解析】 【分析】利用分层抽样性质确定抽样比即可求解. 【详解】设样本中高二、高三的学生人数分别为a，b， 则， 则，故D正确， 故样本容量，故B正确； 无法确定该校三个年级总的学生数和该校高二年级总的学生数，故AC错误； 故选：BD 10. 如图，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，其中，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，若，则有序数对叫做向量在夹角为的坐标系xOy中的坐标，记为.已知，则（ ） A. B. C. 为等腰三角形 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由已知可得，，根据向量的数量积运算与线性运算依次判断各选项即可． 【详解】由题可知，， ，， 对A：，故A正确； 对B：则，故B正确； 对C、D：， ， 可得，故D正确； ，显然不是等腰三角形，故C错误. 故选：ABD. 11. 如图，在正四棱锥中，，， 为棱的中点，为内（含边界）的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 若为的中点，则平面 B. 若点在线段上运动，则的最小值为 C. 直线与平面所成角正弦值为 D. ，，若四点共面，则点的轨迹长度 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用线面平行的判定定理判断；利用侧面展开图的最短路径判断；利用线面角定义判断；利用空间四点共面判断. 【详解】若F为AD的中点，因为E为棱AB的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面，故正确； 将平面沿翻折至与平面共面， 连接（为翻折后），即为最小值， 由对称性可知翻折后， ， 由等面积法得， 所以，故错误； 连接交于点，过作，垂足为， 因为底面，面，所以， ，所以平面，即为直线与平面所成角， ，，， 所以，所以正确； 因为，且四点共面， 所以设平面与交点为，则为中点， 所以点的轨迹为线段， 在中，，所以正确． 故选：. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，且，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由数量积的计算公式可得，解得x的值即可． 【详解】， 即，解得 故答案为： 13. 已知一组数据的方差为3，则的方差为__________． 【答案】12 【解析】 【分析】利用方差的性质求解． 【详解】数据的方差为3， ，，……的方差为：． 故答案为：12. 14. 欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将复数、指数函数与三角函数完美联系起来的一个公式，e是自然对数底数，i是虚数单位，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”．利用欧拉公式解决问题，__________；关于x的方程，的解为__________． 【答案】 ①. ； ②. 或或或或或或或或． 【解析】 【分析】将代入欧拉公式，可以求出，将2x看成一个整体，利用三角恒等变换可得，结合可以求出结果． 【详解】由题意，； 由， 得， 则 ， 即， 即， 即， 即， 解得或， 又，， 故或或或或或或或或， 故x的取值集合为 故答案为1，或或或或或或或或． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知，，且，其中是第二象限角． （1）求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量共线的坐标运算可得，再由同角三角函数关系求得，结合两角和的余弦公式即可求得； （2）由（1）可知，则可得，再结合两角和的正切公式即可求得． 【小问1详解】 已知，， 因为， 所以存在实数，使得， 所以， 解得，. 又因为是第二象限角, 所以， 所以 【小问2详解】 由（1）可知， 则． 因为， 所以， 即， 所以． 16. 为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、爱国的热情，我校举办了“学党史、育文化”暨“喜迎党的生日”党史知识竞赛，并将2000名师生的竞赛成绩（满分100分）整理成如图所示的频率直方图． （1）求频率直方图中a的值以及师生竞赛成绩的中位数； （2）利用频率直方图的组中值求2000名师生的平均成绩； （3）从竞赛成绩在，的师生中，采用分层抽样的方法抽取6人，再从抽取的6人中随机抽取2人，求2人的成绩来自同一区间的概率． 【答案】（1），； （2）80； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图性质可得a，根据中位数的定义计算即可； （2）根据平均数定义计算即可； （3）根据古典概型公式计算即可． 【小问1详解】 根据频率分布直方图性质，可得， 所以， 因为共五组，前四组的频率和且最后一组的频率， 设中位数为x，则 根据中位数的定义，可得， 所以； 小问2详解】 根据平均数定义，可得， 即2000名师生的平均成绩为80. 【小问3详解】 因为第四组与第五组的频率之比为2:1， 故按照分层抽样第四组抽取人数为4人，记为a，b，c，d；第五组抽取人数为2人，记为e，f， 从6人中选出2人，共有， 共有15种， 其中选出的2人来自同一组有7种， 则选出的2人中来自同一组的概率为． 17. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，，平面ABCD． （1）若M，N分别为棱BC和PD中点，求证：平面PAB； （2）若点A到平面PBD的距离为1，求PA的长． 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）取PA中点E，连接BE，NE，易得四边形BMNE是平行四边形，所以，由线面平行的判定即可得证； （2）由等体积法，计算可得PA的长． 【小问1详解】 取PA中点E，连接BE，NE，如下图所示： 因为点N是PD中点，所以，且 又因为底面ABCD为正方形且点M是BC中点， 所以， 所以四边形BMNE是平行四边形， 所以， 因为平面PAB，平面PAB， 所以平面PAB； 【小问2详解】 因为面ABCD且AB，面ABCD， 所以PA就是三棱锥P-ABD的底面ABD上的高，且，， 设点A到面PBD的距离为h，，则， 因为，所以，且正方形ABCD的对角线， 所以， 因为， 所以，即， 所以． 18. 在某公园湖畔拟建造一个三角形的露营基地，如图所示，为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在区域中，点分别为边的中点，线段与交于点，且将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成露营区，线段修建成隔离防护栏，在中，角所对的边分别为，且． （1）求角的大小； （2）已知的面积为， ①若，求边长的值； ②求隔离护栏长的最小值． 【答案】（1）； （2）①3，②. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理求出，即可求出角； （2）①利用余弦定理和面积公式即可求出； ②利用，即可求出最值． 【小问1详解】 ，由正弦定理可得， ，又， ，又， 得， 为三角形内角，. 【小问2详解】 ，， ① ， . ②过作，交于，则， （即P为AD的一个三等分点，靠近D点）， ， ， ，当且仅当取等号. ． 19. 如图①，在等腰直角中，，，M，N是边AC，AB上动点，将沿MN折起到如图②的位置，连接 PB，PC，且平面平面ABC． （1）当M，N分别是边AC，AB的中点时，求异面直线PN与BC所成的角； （2）若点M与点C重合，设，三棱锥P-BMN的体积为，求的值；； （3）若四棱锥P-BCMN在同一个球面上，求该球表面积的最小值． 【答案】（1）45°； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由题可得异面直线PN，BC所成角为或其补角，解三角形即可； （2）过P点作，根据面面垂直的性质可得平面BMN，由正弦定理求得MN，再根据棱锥体积公式得到关于的等式，结合换元法求解即可； （3）由题可得，取BM，PM的中点分别为，，过，分别作平面BCMN，平面PMN的垂线，，则，设平面，可推出O为四棱锥的外接球球心，四边形为矩形，设，结合勾股定理求得R与x的关系式，求得R的最小值，即可得到结果． 【小问1详解】 ，N分别为AC，AB的中点，， 异面直线PN，BC所成角为或其补角， ，，， 则异面直线PN与BC所成的角为45°． 【小问2详解】 过P点作，垂足为H， 则， 平面平面BMN，平面平面，平面PMN，， 平面BMN， 在中，，则， ， ， 令， 则， ，解得． 【小问3详解】 由题知B、C、M、N四点共圆，则，， 取BM，PM的中点分别为，，过，分别作平面BCMN，平面PMN的垂线，， 则，设平面， 可知为四边形BCNM的外接圆圆心，为的外接圆圆心， O为四棱锥P-BCMN的外接球球心， 因为平面BMN，平面BMN， 所以，同理可得， 又，平面，平面， 所以平面， 因为、平面， 所以，， 因平面平面BMN，平面平面，平面PMN， 所以平面BMN，则， 同理可得， 则四边形为矩形， 设， 则，，， ， 当时，， 该球表面积的最小值为． 【点睛】方法点睛：求四棱锥的外接球先找到外接球的球心再证明点是球心即可． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$