专题08 三角形与全等三角形【好题汇编】-5年（2020-2024）中考1年模拟数学分类汇编（河北专用）

专题08 三角形与全等三角形 1．（2024·河北·中考真题）观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（    ） A．角平分线 B．高线 C．中位线 D．中线 2．（2023·河北·中考真题）四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，对角线的长为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2022·河北·中考真题）平面内，将长分别为1，5，1，1，d的线段，顺次首尾相接组成凸五边形（如图），则d可能是（    ） A．1 B．2 C．7 D．8 4．（2022·河北·中考真题）如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕l，则l是△ABC的（    ） A．中线 B．中位线 C．高线 D．角平分线 5．（2021·河北·中考真题）定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 已知：如图，是的外角． 求证：． 下列说法正确的是（    ） A．证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整 B．证法1用严谨的推理证明了该定理 C．证法2用特殊到一般法证明了该定理 D．证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理 6．（2020·河北·中考真题）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（    ） A．1，4，5 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，2，4 7．（2023·河北·中考真题）在和中，．已知，则（    ） A． B． C．或 D．或 8．（2022·河北·中考真题）题目：“如图，∠B＝45°，BC＝2，在射线BM上取一点A，设AC＝d，若对于d的一个数值，只能作出唯一一个△ABC，求d的取值范围．”对于其答案，甲答：，乙答：d＝1.6，丙答：，则正确的是（    ） A．只有甲答的对 B．甲、丙答案合在一起才完整 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 9．（2021·河北·中考真题）下图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应 （填“增加”或“减少”） 度． 10．（2022·河北·中考真题）如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点E，则 （1）AB与CD是否垂直？ （填“是”或“否”）； （2）AE＝ ． 11．（2024·河北邢台·模拟预测）如图，图中三角形有一个是等腰三角形，则x的值是（    ） A．5 B．8 C．9 D．16 12．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图，一根直的铁丝，欲将其弯折成一个三角形，在同一平面内操作如下： ①量出； ②在点右侧取一点，使点满足； ③将向右翻折，向左翻折． 若要使，两点能在点处重合，则的长度可能是（    ） A． B． C． D． 13．（2024·河北唐山·三模）对于题目：如图1，在钝角中，，，边上的中线，求的面积．李明想到了如图2和图3所示的两种作辅助线的方法． 则下列说法正确的是（   ） A．只有方法一可行 B．只有方法二可行 C．方法一、二都可行 D．方法一、二都不可行 14．（2024·河北邯郸·二模）嘉嘉和琪琪两位同学一同攀岩，攀岩面都是由相同的圆组成的五环，且攀岩面上的所有圆大小都相同，攀爬点都是某个圆的八等分点．嘉嘉和琪琪的攀岩路径分别如图1，图2所示，若他们同时出发且攀岩速度相同，并都到达了最高点，则下列说法正确的是（    ） A．嘉嘉先完成 B．琪琪先完成 C．嘉嘉、琪琪同时完成 D．无法判断 15．（2024·河北邢台·三模）五条线段的长度分别为3，4，m，n，14（m，n均为整数，且），已知任意相邻的三条线段为边长均能构成三角形，则n的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．11 16．（2024·河北廊坊·三模）数学课上，同学们用纸片进行折纸操作．按照下列各图所示的折叠过程，线段是中线的是（    ） A． B． C． D． 17．（2023·河北石家庄·模拟预测）嘉淇剪一个锐角做折纸游戏，折叠方法如图所示，折痕与交于点，连接，则线段分别是的（    ）    A．高，中线，角平分线 B．高，角平分线，中线 C．中线，高，角平分线 D．高，角平分线，垂直平分线 18．（2024·河北邯郸·三模）观察发现：在三角形中，大角对大边，小角对小边． 猜想证明： 如图1，在中，． 求证： ． 证明：将沿直线①折叠，使点B与点C重合，如图2． ∴， ∴（②）． 在中，（③）， ∴（④）， ∴． 列说法不正确的是 （       ） A．①处的垂直平分 B．②表示等角对等边 C．③表示三角形的两边之和大于第三边 D．④表示等式的基本性质 19．（2024·河北秦皇岛·一模）在中，只用无刻度直尺和圆规比较与的大小．除了“叠合法”外，嘉琪又想出两种方法： 方法一：作的高和角平分线，若点在线段上，则说明． 方法二：作边中垂线，若与边相交（不包括点），则说明 下列说法正确的是（    ） A．方法一可行，方法二不可行 B．方法二可行，方法一不可行 C．两种方法都可行 D．两种方法都不可行 20．（2024·河北唐山·三模）四边形的边长如图所示，，，为边上一动点（不与，两点重合），连接，将沿直线折叠，点的对应点为点，则点与点之间的距离不可能是（   ） A． B． C． D． 21．（2024·河北邯郸·三模）如图，将含角的直角三角板按如图所示摆放，直角顶点在直线m上，其中一个锐角顶点在直线n上．若，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 22．（2024·河北邯郸·三模）如图，将绕点B顺时针旋转得到，使点D落在边上．设，，则正确的是（    ）． A． B． C． D．无法比较与的大小 23．（2024·河北石家庄·三模）如图，锐角中，，要作的高线，下列说法正确的是（    ） 甲的作法： 乙的作法： 丙的作法 A．只有甲对 B．只有乙和丙对 C．只有甲和丙对 D．甲，乙，丙都对 24．（2024·河北保定·二模）如图，在中，，嘉嘉和淇淇通过尺规作图的方法找到的外心，作法如下： 嘉嘉： 作的垂直平分线，交于点O，点O即为的外心 淇淇： 作和的平分线，两条角平分线交于点O，点O即为的外心 对于两人的作图方法，下列说法正确的是（    ） A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确 C．两人都正确 D．两人都错误 25．（2024·河北张家口·三模）如图，有甲、乙两种作图方式，能够根据圆规作图的痕迹，再利用直尺成功得到一个等腰三角形的是（    ）    A．只有甲可以 B．只有乙可以 C．甲、乙都不可以 D．甲、乙都可以 26．（2024·河北邯郸·三模）如图，在中，利用尺规作得的平分线与边的垂直平分线交于点P，有如下结论：①若，则点P到点A，B的距离相等；②若，则点P到的距离相等．其中正确的结论（    ）． A．只有① B．①②都对 C．只有② D．①②都不对 27．（2024·河北邯郸·三模）如图，对于的已知条件，老师按照下面步骤作图： （1）以A圆心，长为半径画弧； （2）以C为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点D； （3）连接，与交于点E，连接． 小张等几个同学得出以下结论，其中正确的是（   ） ①；②四边形是中心对称图形；③是的中垂线；④平分． A．①② B．②③ C．①③ D．③④ 28．（2024·河北石家庄·二模）如图1，用尺规作图的方法“过直线外一点作直线的平行线”，现有如图2中的甲、乙两种方法，下列说法正确的是（    ） A．甲错乙对 B．甲对乙错 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错 29．（2024·河北邯郸·二模）如图，在平面直角坐标系中，点，分别以点O，A为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点B，然后按如图所示的尺规作图得到边上的点M．若以点M为旋转中心，将绕点M逆时针旋转，则点A的对应点的横坐标是（    ） A． B． C． D． 30．（2024·河北唐山·二模）如图，在等边中，，，，则（     ）    A．1 B．2 C． D． 31．（2024·河北邯郸·三模）如图，在中，，点D为边的中点，顶点B，C分别对应刻度尺上的刻度和，则的长为 （      ） A． B． C． D． 32．（2024·河北石家庄·二模）如图，，，与交于点C，点D是的中点，．若，，则的长是（    ）    A． B．3 C． D． 33．（2024·河北唐山·三模）如图，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形、、的面积依次为、、，则正方形的面积为（    ） A． B． C． D． 34．（2024·河北保定·二模）如图，等边的顶点A，B在数轴上，表示的数分别为和，将沿着数轴正半轴滚动，且每次滚动后，的边都落在数轴上，则下列说法错误的是（    ） A．滚动一次后，点C落在数轴上表示“1”的点处 B．的顶点不可能和数轴上表示“16”的点重合 C．滚动五次后，与数轴重合的两个顶点表示的数分别为“7”和“9” D．在滚动过程中，顶点A可与数轴上表示“101”的点重合 35．（2024·河北石家庄·三模）已知等边三角形，边长为2，点P在边上，点P关于边的对称点为M，N，线段的长范围为（    ） A． B． C． D． 36．（2024·河北邯郸·二模）在中，，，点D在直线AB上，，则的度数是（    ） A． B．或 C．或 D． 37．（2024·河北石家庄·一模）对于题目：“在中，，分别以A，B为圆心，以长为半径的两条弧相交于点P，求的度数”．嘉嘉求解的结果是，淇淇说：“嘉嘉的解答正确但不全面，还有另一个不同的值．”则下列判断中，正确的是（    ） A．淇淇说得对，的另一个值是 B．淇淇说的不对，只能等于 C．嘉嘉求的结果不对，应等于． D．两人都不对，应有3个不同的值 38．（2024·河北沧州·三模）如图，在中，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，．分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，交于内一点．连结并延长，交于点．连结，． 强强得出的结论是：当时，； 晴晴得出的结论是：当时，； 琪琪得出的结论是：当时，． 根据这三个人的结论，判断下面说法正确的是（    ） A．只有强强和琪琪得出的结论都对 B．只有强强和晴晴得出的结论都对 C．只有晴晴和琪琪得出的结论都对 D．这三个人得出的结论都对 39．（2024·河北唐山·二模）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，的顶点均在格点上，将向右平移1个单位长得到． （1）的面积为 ； （2）阴影部分的面积为 ． 40．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图，在中，，D、E分别为，上一点，将，分别沿、折叠，点A、B恰好重合于点处．则 °．若，，则 41．（2024·河北唐山·模拟预测）如图，中，是上一点，过作交于点，是上一点，连接．若． (1)求证：． (2)若，平分，求的度数． 42．（2024·河北沧州·三模）如图，分别以，，，为边长作正方形，已知且满足，． （1）若，，则图阴影部分的面积是 ； （2）若图阴影部分的面积为，图四边形的面积为，则图阴影部分的面积是 ． 43．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图，是实验室中的一种摆动装置，在地面上，支架是底边为的等腰直角三角形，摆动臂可绕点旋转，摆动臂可绕点旋转，，， (1)如图，若摆动臂顺时针旋转，点的位置由外的点转到内的点处，求证； (2)在图中，在旋转过程中， ①当，，三点在同一直线上时，求的长． ②当，，三点为同一直角三角形的顶点时，直接写出的长__________． 44．（2024·河北唐山·二模）等边的边长为2，为内一点，连接，，延长到点，使． (1)如图1，延长到点，使，连接，． ①求证：； ②若，求的度数； (2)如图2，连接，若，，则__________． 45．（2024·河北唐山·模拟预测）如图①，在等腰直角三角形中，，作平分交于点，点为射线上一点，以点为旋转中心将线段逆时针旋转90°得到线段，连接交射线于点，连接、． 填空： （1）①线段、的数量关系为 　　． ②线段、的位置关系为 　　． 推广： （2）如图②，在等腰三角形中，顶角，作平分交于点，点为外部射线上一点，以点为旋转中心将线段逆时针旋转度得到线段，连接、、．请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由． 应用： （3）如图③，在等边三角形中，．作平分交于点，点为射线上一点，以点为旋转中心将线段逆时针旋转得到线段，连接交射线于点，当时，请直接写出的长． 试卷第46页，共47页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 三角形与全等三角形 1．（2024·河北·中考真题）观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（    ） A．角平分线 B．高线 C．中位线 D．中线 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的高的定义，作线段的垂线，根据作图痕迹可得，从而可得答案． 【详解】解：由作图可得：， ∴线段一定是的高线； 故选B 2．（2023·河北·中考真题）四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，对角线的长为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】利用三角形三边关系求得，再利用等腰三角形的定义即可求解． 【详解】解：在中，， ∴，即， 当时，为等腰三角形，但不合题意，舍去； 若时，为等腰三角形， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形三边关系以及等腰三角形的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 3．（2022·河北·中考真题）平面内，将长分别为1，5，1，1，d的线段，顺次首尾相接组成凸五边形（如图），则d可能是（    ） A．1 B．2 C．7 D．8 【答案】C 【分析】如图（见解析），设这个凸五边形为，连接，并设，先在和中，根据三角形的三边关系定理可得，，从而可得，，再在中，根据三角形的三边关系定理可得，从而可得，由此即可得出答案． 【详解】解：如图，设这个凸五边形为，连接，并设， 在中，，即， 在中，，即， 所以，， 在中，， 所以， 观察四个选项可知，只有选项C符合， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理，通过作辅助线，构造三个三角形是解题关键． 4．（2022·河北·中考真题）如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕l，则l是△ABC的（    ） A．中线 B．中位线 C．高线 D．角平分线 【答案】D 【分析】根据折叠的性质可得，作出选择即可． 【详解】解：如图， ∵由折叠的性质可知， ∴AD是的角平分线， 故选：D． 【点睛】本题考查折叠的性质和角平分线的定义，理解角平分线的定义是解答本题的关键． 5．（2021·河北·中考真题）定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 已知：如图，是的外角． 求证：． 下列说法正确的是（    ） A．证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整 B．证法1用严谨的推理证明了该定理 C．证法2用特殊到一般法证明了该定理 D．证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理 【答案】B 【分析】根据三角形的内角和定理与平角的定义可判断A与B，利用理论与实践相结合可判断C与D． 【详解】解：A. 证法1给出的证明过程是完整正确的，不需要分情况讨论，故A不符合题意； B. 证法1给出的证明过程是完整正确的，不需要分情况讨论，故选项B符合题意； C. 证法2用量角器度量两个内角和外角，只能验证该定理的正确性，用特殊到一般法证明了该定理缺少理论证明过程，故选项C不符合题意； D. 证法2只要测量够一百个三角形进行验证，验证的正确性更高，就能证明该定理还需用理论证明，故选项D不符合题意． 故选择： 【点睛】本题考查三角形外角的证明问题，命题的正确性需要严密推理证明，三角形外角分三种情形，锐角、直角、和钝角，证明中应分类才严谨． 6．（2020·河北·中考真题）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（    ） A．1，4，5 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，2，4 【答案】B 【分析】根据勾股定理，，则小的两个正方形的面积等于大正方形的面积，再分别进行判断，即可得到面积最大的三角形． 【详解】解：根据题意，设三个正方形的边长分别为a、b、c， 由勾股定理，得， A、∵1+4=5，则两直角边分别为：1和2，则面积为：； B、∵2+3=5，则两直角边分别为：和，则面积为：； C、∵3+4≠5，则不符合题意； D、∵2+2=4，则两直角边分别为：和，则面积为：； ∵， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理的应用，以及三角形的面积公式，解题的关键是熟练掌握勾股定理，以及正方形的性质进行解题． 7．（2023·河北·中考真题）在和中，．已知，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】过A作于点D，过作于点，求得，分两种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质即可求解． 【详解】解：过A作于点D，过作于点， ∵， ∴， 当在点D的两侧，在点的两侧时，如图，    ∵，， ∴， ∴； 当在点D的两侧，在点的同侧时，如图，    ∵，， ∴， ∴，即； 综上，的值为或． 故选：C． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键． 8．（2022·河北·中考真题）题目：“如图，∠B＝45°，BC＝2，在射线BM上取一点A，设AC＝d，若对于d的一个数值，只能作出唯一一个△ABC，求d的取值范围．”对于其答案，甲答：，乙答：d＝1.6，丙答：，则正确的是（    ） A．只有甲答的对 B．甲、丙答案合在一起才完整 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 【答案】B 【分析】过点C作于，在上取，发现若有两个三角形，两三角形的AC边关于对称，分情况分析即可 【详解】过点C作于，在上取 ∵∠B＝45°，BC＝2， ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴ 若对于d的一个数值，只能作出唯一一个△ABC 通过观察得知： 点A在点时，只能作出唯一一个△ABC（点A在对称轴上），此时，即丙的答案； 点A在射线上时，只能作出唯一一个△ABC（关于对称的AC不存在），此时，即甲的答案， 点A在线段（不包括点和点）上时，有两个△ABC（二者的AC边关于对称）； 故选：B 【点睛】本题考查三角形的存在性质，勾股定理，解题关键是发现若有两个三角形，两三角形的AC边关于对称 9．（2021·河北·中考真题）下图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应 （填“增加”或“减少”） 度． 【答案】 减少 10 【分析】先通过作辅助线利用三角形外角的性质得到∠EDF与∠D、∠E、∠DCE之间的关系，进行计算即可判断． 【详解】解：∵∠A+∠B=50°+60°=110°， ∴∠ACB=180°-110°=70°， ∴∠DCE=70°， 如图，连接CF并延长， ∴∠DFM=∠D+∠DCF=20°+∠DCF， ∠EFM=∠E+∠ECF=30°+∠ECF， ∴∠EFD=∠DFM+∠EFM=20°+∠DCF+30°+∠ECF=50°+∠DCE=50°+70°=120°， 要使∠EFD=110°，则∠EFD减少了10°， 若只调整∠D的大小， 由∠EFD=∠DFM+∠EFM=∠D+∠DCF+∠E+∠ECF=∠D+∠E+∠ECD=∠D+30°+70°=∠ D+100°， 因此应将∠D减少10度； 故答案为：①减少；②10． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质，同时涉及到了三角形的内角和与对顶角相等的知识；解决本题的关键是理解题意，读懂图形，找出图形中各角之间的关系以及牢记公式建立等式求出所需的角，本题蕴含了数形结合的思想方法． 10．（2022·河北·中考真题）如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点E，则 （1）AB与CD是否垂直？ （填“是”或“否”）； （2）AE＝ ． 【答案】 是 / 【分析】（1）证明△ACG≌△CFD，推出∠CAG=∠FCD，证明∠CEA=90°，即可得到结论； （2）利用勾股定理求得AB的长，证明△AEC∽△BED，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】解：（1）如图：AC=CF=2，CG=DF=1，∠ACG=∠CFD=90°，   ∴△ACG≌△CFD， ∴∠CAG=∠FCD， ∵∠ACE+∠FCD=90°， ∴∠ACE+∠CAG=90°， ∴∠CEA=90°， ∴AB与CD是垂直的， 故答案为：是； （2）AB=2， ∵AC∥BD， ∴△AEC∽△BED， ∴，即， ∴， ∴AE=AB=． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 11．（2024·河北邢台·模拟预测）如图，图中三角形有一个是等腰三角形，则x的值是（    ） A．5 B．8 C．9 D．16 【答案】D 【分析】本题考查三角形边的性质，抓住两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的规律即可求解． 根据三角形的性质，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边分别确定x的取值范围，再取交集，再由等腰三角形定义即可求解． 【详解】解：∵上面三角形的三边长分别为9，8，x， ∴， 即， ∵下面三角形的三边长分别为5，16，x， ∴， 即， ∴， ∵图中三角形有一个是等腰三角形， ∴x只能取16， 故选：D． 12．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图，一根直的铁丝，欲将其弯折成一个三角形，在同一平面内操作如下： ①量出； ②在点右侧取一点，使点满足； ③将向右翻折，向左翻折． 若要使，两点能在点处重合，则的长度可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形的三边关系，熟练掌握三边关系是解题的关键．根据三角形的三边关系列出不等式即可得到答案． 【详解】解：设， ， ， 将向右翻折，向左翻折， ， 符合三角形三边关系， ， 即， 解得， 解得， 故选D． 13．（2024·河北唐山·三模）对于题目：如图1，在钝角中，，，边上的中线，求的面积．李明想到了如图2和图3所示的两种作辅助线的方法． 则下列说法正确的是（   ） A．只有方法一可行 B．只有方法二可行 C．方法一、二都可行 D．方法一、二都不可行 【答案】C 【分析】图2中，证明，则，，，证明四边形是平行四边形，则，由，可知是直角三角形，，则；可判断方法一可行；图3中，由题意知，是的中位线，则，由，可知是直角三角形，，则；可判断方法二可行． 【详解】解：图2中，∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴；方法一可行； 图3中，由题意知，是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴；方法二可行； 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理的逆定理，中位线等知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理的逆定理，中位线是解题的关键． 14．（2024·河北邯郸·二模）嘉嘉和琪琪两位同学一同攀岩，攀岩面都是由相同的圆组成的五环，且攀岩面上的所有圆大小都相同，攀爬点都是某个圆的八等分点．嘉嘉和琪琪的攀岩路径分别如图1，图2所示，若他们同时出发且攀岩速度相同，并都到达了最高点，则下列说法正确的是（    ） A．嘉嘉先完成 B．琪琪先完成 C．嘉嘉、琪琪同时完成 D．无法判断 【答案】B 【分析】题目主要考查三角形三边关系及圆的基本性质，理解题意，根据题意得出，，然后再利用三角形三边关系即可求解． 【详解】解：如图所示标注字母， ∵攀爬点都是某个圆的八等分点． ∴由图得，， ∴比较与的大小即可， 在中，， ∴嘉嘉的攀岩路程大于琪琪的攀岩路程， ∵他们同时出发且攀岩速度相同， ∴琪琪先完成， 故选：B． 15．（2024·河北邢台·三模）五条线段的长度分别为3，4，m，n，14（m，n均为整数，且），已知任意相邻的三条线段为边长均能构成三角形，则n的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．11 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边的关系，熟练掌握任意两边之和大于第三边是解题的关键． 根据三角形三边关系求解即可． 【详解】解：由题意，，则m的值为5或6． 若，，n最大取8，而5，8，14不能构成三角形； 若，，n的值为7或8或9，只有6，9，14能构成三角形， 所以． 故选：C． 16．（2024·河北廊坊·三模）数学课上，同学们用纸片进行折纸操作．按照下列各图所示的折叠过程，线段是中线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查图形折叠的性质，三角形中线的定义， 根据作图分别分析选项可得，选项不可得是的中线；选项可得；选项可得是的中点；选项可得，由此可判断为正确答案． 牢固掌握三角形中线的定义，掌握图形折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：、沿折叠，点落在边上的点处，则是的中点， 不是的中线，故选项不符合题意； 、沿折叠，点落在边上的点处， ，不能得到，故选项不符合题意； 、沿折叠使点与点重合， ， 是的中点， 是的中线，故选项符合题意； 、沿折叠，点落在三角形外的点处， ，不能得到， 选项不符合题意； 故选：． 17．（2023·河北石家庄·模拟预测）嘉淇剪一个锐角做折纸游戏，折叠方法如图所示，折痕与交于点，连接，则线段分别是的（    ）    A．高，中线，角平分线 B．高，角平分线，中线 C．中线，高，角平分线 D．高，角平分线，垂直平分线 【答案】B 【分析】根据三角形的高线、角平分线及中线的定义依次判断即可． 【详解】解：由图可得，图①中，线段是的高线， 图②中，线段是的角平分线， 图③中，线段是的中线， 故选：B． 【点睛】题目主要考查三角形的高线、角平分线及中线的定义，理解题意是解题关键． 18．（2024·河北邯郸·三模）观察发现：在三角形中，大角对大边，小角对小边． 猜想证明： 如图1，在中，． 求证： ． 证明：将沿直线①折叠，使点B与点C重合，如图2． ∴， ∴（②）． 在中，（③）， ∴（④）， ∴． 列说法不正确的是 （       ） A．①处的垂直平分 B．②表示等角对等边 C．③表示三角形的两边之和大于第三边 D．④表示等式的基本性质 【答案】D 【分析】根据轴对称的性质可判断①，根据等腰三角形的性质可判断②，根据三角形的三边关系可判断③，根据等量代换可判断④，从而可得答案． 【详解】证明：将沿直线①折叠，使点B与点C重合，如图2． ∴， ∴（②）． 在中，（③）， ∴（④）， ∴． ①处的垂直平分；②表示等角对等边；③表示三角形的两边之和大于第三边；都正确，不符合题意； ④表示等量代换，故④不正确，符合题意； 故选D 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的定义，等腰三角形的性质，三角形的三边关系的应用，等量代换，掌握基础知识是解本题的关键． 19．（2024·河北秦皇岛·一模）在中，只用无刻度直尺和圆规比较与的大小．除了“叠合法”外，嘉琪又想出两种方法： 方法一：作的高和角平分线，若点在线段上，则说明． 方法二：作边中垂线，若与边相交（不包括点），则说明 下列说法正确的是（    ） A．方法一可行，方法二不可行 B．方法二可行，方法一不可行 C．两种方法都可行 D．两种方法都不可行 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义、垂线的定义、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，分别画出图形，结合角平分线的定义、垂线的定义、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理进行判断即可得出答案． 【详解】解：方法一：如图所示， 平分， ， ， ， ，， ，， ，， ； 方法二：如图所示， 垂直平分， ， ， ， ； 综上所述，两种方法都可行， 故选：C． 20．（2024·河北唐山·三模）四边形的边长如图所示，，，为边上一动点（不与，两点重合），连接，将沿直线折叠，点的对应点为点，则点与点之间的距离不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠以及三角形三边的关系，运用折叠的性质是解这道题的关键． 点沿运动时，当折叠落在时，此时有最小值，再利用三角形三边关系得到，即可得到取值范围，从而对选项进行判断． 【详解】如图所示，连接， 根据折叠的性质，我们可以得到， ， ， 根据三角形三边关系， 可以得到， 当折叠落在时， 此时为最小值， 故取值范围为： 故选：D 21．（2024·河北邯郸·三模）如图，将含角的直角三角板按如图所示摆放，直角顶点在直线m上，其中一个锐角顶点在直线n上．若，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形外角的性质、平行线的性质，根据三角形外角的性质求得，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图，∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 22．（2024·河北邯郸·三模）如图，将绕点B顺时针旋转得到，使点D落在边上．设，，则正确的是（    ）． A． B． C． D．无法比较与的大小 【答案】A 【分析】本题考查旋转的性质，三角形外角的性质．熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 先由旋转的性质得，再由三角形外角性质即可求解． 【详解】解：由旋转可得：， ∴， ∵， ∵， ∴，即． 故选：A． 23．（2024·河北石家庄·三模）如图，锐角中，，要作的高线，下列说法正确的是（    ） 甲的作法： 乙的作法： 丙的作法 A．只有甲对 B．只有乙和丙对 C．只有甲和丙对 D．甲，乙，丙都对 【答案】D 【分析】本题考查了尺规作图以及圆周角定理，三角形内角和性质，平角概念，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据垂直平分线得出，结合等边对等角即可判断甲；根据圆周角定理得出，结合平角概念进行列式计算，即可判断乙；作一个角等于已知角，结合，即可判断丙；即可作答． 【详解】解：∵甲的作法是做的垂直平分线 ∴ ∵ ∴ 则甲对； ∵乙的作法：作的垂直平分线，且以为直径作圆 ∴ ∴ 则乙对； 丙的作法是作 ∴ 则丙对； 故选：D． 24．（2024·河北保定·二模）如图，在中，，嘉嘉和淇淇通过尺规作图的方法找到的外心，作法如下： 嘉嘉： 作的垂直平分线，交于点O，点O即为的外心 淇淇： 作和的平分线，两条角平分线交于点O，点O即为的外心 对于两人的作图方法，下列说法正确的是（    ） A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确 C．两人都正确 D．两人都错误 【答案】A 【分析】本题考查作图一复杂作图，三角形的外心，线段的垂直平分线的性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，根据直角三角形的外心是斜边的中点，由此即可判断． 【详解】解：三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，直角三角形的外心是斜边的中点． 嘉嘉正确，淇淇错误． 故选：A． 25．（2024·河北张家口·三模）如图，有甲、乙两种作图方式，能够根据圆规作图的痕迹，再利用直尺成功得到一个等腰三角形的是（    ）    A．只有甲可以 B．只有乙可以 C．甲、乙都不可以 D．甲、乙都可以 【答案】D 【分析】本题考查尺规作图，根据垂直平分线的性质、角平分线的性质证明即可． 【详解】如图    甲：由作图可得：是的垂直平分线， ∴ ∴是等腰三角形； 乙：由作图可得：是的角平分线 ∴ ∵ ∴是等腰三角形； 故选：D． 26．（2024·河北邯郸·三模）如图，在中，利用尺规作得的平分线与边的垂直平分线交于点P，有如下结论：①若，则点P到点A，B的距离相等；②若，则点P到的距离相等．其中正确的结论（    ）． A．只有① B．①②都对 C．只有② D．①②都不对 【答案】B 【分析】本题主要考查角平分线的性质，垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，根据它们的性质分别证明即可得出答案． 【详解】解：①当时，如图， ∵是的平分线， ∴ ∴是线段的垂直平分线， ∵点是上的一点， ∴，故①正确， ②当时，过点作垂足分别为如图， ∵是的垂直平分线， ∴ 连接，则, ∴与重合， ∴是的平分线， ∴故②正确， 综上，正确的结论是①和②， 故选：B． 27．（2024·河北邯郸·三模）如图，对于的已知条件，老师按照下面步骤作图： （1）以A圆心，长为半径画弧； （2）以C为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点D； （3）连接，与交于点E，连接． 小张等几个同学得出以下结论，其中正确的是（   ） ①；②四边形是中心对称图形；③是的中垂线；④平分． A．①② B．②③ C．①③ D．③④ 【答案】C 【分析】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定与性质． 利用作法可判断垂直平分，则可对②③进行判断；利用“”可对①进行判断；通过说明可对④进行判断． 【详解】解：由作法得， 则垂直平分，点与点关于点对称， 而点与点不关于对称，所以②错误，③正确； 利用为公共边， 所以，所以①正确； 由于与不平行， 则， 而， 则，所以④错误． 故选：B． 28．（2024·河北石家庄·二模）如图1，用尺规作图的方法“过直线外一点作直线的平行线”，现有如图2中的甲、乙两种方法，下列说法正确的是（    ） A．甲错乙对 B．甲对乙错 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错 【答案】C 【分析】利用基本作图，平行线的判定定理，等腰三角形的性质；利用同位角相等，两直线平行可判断甲学作法正确；利用等腰三角形的性质和角平分线的定义可判断乙同学的作法正确． 【详解】解：利用平行线的判定方法可判断甲同学的作图正确． 根据作图可得，则 利用等腰三角形的性质和角平分线的定义可判断乙同学的作图正确； ∵ ∴， ∵是角平分线， ∴ 又∵ ∴ ∴ 故选：C． 29．（2024·河北邯郸·二模）如图，在平面直角坐标系中，点，分别以点O，A为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点B，然后按如图所示的尺规作图得到边上的点M．若以点M为旋转中心，将绕点M逆时针旋转，则点A的对应点的横坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过作轴于点E，连接，根据作图可知是等边三角形，过点M的直线垂直平分线段，即垂直平分线段，可得，根据旋转可知点A的对应点在所在的直线上，再结合等边三角形的性质、旋转的性质即可作答． 【详解】过作轴于点E，如图，连接， 根据作图可知是等边三角形，过点M的直线垂直平分线段， 即垂直平分线段， ∴， ∴根据旋转可知点A的对应点在所在的直线上， ∵， ∴， ∴在等边中，，， ∴， ∴在中，， ∵垂直平分线段，， ∴在等边中，， ∴， ∴根据旋转可得：， ∴， ∴， ∴点A的对应点的横坐标是， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了垂直平分线的尺规作图，旋转的性质，等边三角形的性质以及坐标与图形等知识， 30．（2024·河北唐山·二模）如图，在等边中，，，，则（     ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，30度角的直角三角形的性质，熟练知识点是解题的关键． 根据等边三角形的性质得出，，进而利用平行线的性质和含角的直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：三角形是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 31．（2024·河北邯郸·三模）如图，在中，，点D为边的中点，顶点B，C分别对应刻度尺上的刻度和，则的长为 （      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握该知识点是解题的关键．由题意可得的长度，再根据是直角三角形的中线即可解答． 【详解】由题意可知，， 又，且点D为边的中点， ． 故选：A． 32．（2024·河北石家庄·二模）如图，，，与交于点C，点D是的中点，．若，，则的长是（    ）    A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据直角三角形的性质得到，根据三角形外角的性质得到，求得，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：， ， 点D是的中点，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：C． 33．（2024·河北唐山·三模）如图，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形、、的面积依次为、、，则正方形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形和勾股定理，解题关键是勾股定理的正确应用．由所有阴影部分的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，根据勾股定理得，由正方形、、的面积依次为、、，得，求得正方形的面积为． 【详解】解：由题意可得， 由正方形、、的面积依次为、、， 得， 求得正方形的面积为． 故正确 故答案为： 34．（2024·河北保定·二模）如图，等边的顶点A，B在数轴上，表示的数分别为和，将沿着数轴正半轴滚动，且每次滚动后，的边都落在数轴上，则下列说法错误的是（    ） A．滚动一次后，点C落在数轴上表示“1”的点处 B．的顶点不可能和数轴上表示“16”的点重合 C．滚动五次后，与数轴重合的两个顶点表示的数分别为“7”和“9” D．在滚动过程中，顶点A可与数轴上表示“101”的点重合 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的性质，数轴两点的距离，图形规律的探究，根据顶点A，B在数轴上，表示的数分别为和，即可得到等边三角形的性质，进而得到每滚动一次，所在数轴上两点的距离都为2，即的顶点和数轴上表示“（n为正整数）”的点重合，据此逐一判断即可． 【详解】解：等边的顶点A，B在数轴上，表示的数分别为和， 即， ， 每次滚动后，的边都落在数轴上， 每滚动一次，所在数轴上两点的距离都为2， 的顶点和数轴上表示“（n为正整数）”的点重合， A、，滚动一次后，点C落在数轴上表示“1”的点处，故正确，不符合题意； B、，解得：， n不为正整数， 的顶点不可能和数轴上表示“16”的点重合，故正确，不符合题意； C、， 滚动五次后，与数轴重合的两个顶点表示的数分别为“7”和“9”，故正确，不符合题意； D、在滚动过程中，每滚动三次，同一个顶点会落在数轴上， 点在滚动过程中，表示的数为， ， 解得，n不为正整数， 在滚动过程中，顶点A不可与数轴上表示“101”的点重合，故错误，符合题意； 故选：D． 35．（2024·河北石家庄·三模）已知等边三角形，边长为2，点P在边上，点P关于边的对称点为M，N，线段的长范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了 解直角三角形的相关计算，等边三角形的性质，轴对称的性质等知识点，利用辅助线构造特殊直角三角形是解题的关键．连接交于，连接交于，过点作于点，设，则，，，根据等边三角形的性质结合轴对称的性质可得出、的长度，进而得出、的长度，利用勾股定理得出的表达式，最后根据二次函数的性质求取值即可； 【详解】如图2，连接交于，连接交于，过点作于点， 设， 是等边三角形，， ∴， ，则，，， 点关于直线、的对称点分别为、， ，， 又，， ∴ ，， 则， ， 当时，有最小值为3，当或2，有最大值为， 故选：C； 36．（2024·河北邯郸·二模）在中，，，点D在直线AB上，，则的度数是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内和与外角和的性质等知识点，分两种情况，当D在的延长线上，由等腰三角形的性质，三角形外角的性质求出，即可得到；当D在延长线上，由等腰三角形的性质求出，即可得到，于是即可得到的度数，熟练掌握其性质，分两种情况讨论是解决此题的关键． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴，， 如图，当D在的延长线上， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 当D在延长线上， ∵，， ∴， ∴， ∴的度数是或． 故选：B． 37．（2024·河北石家庄·一模）对于题目：“在中，，分别以A，B为圆心，以长为半径的两条弧相交于点P，求的度数”．嘉嘉求解的结果是，淇淇说：“嘉嘉的解答正确但不全面，还有另一个不同的值．”则下列判断中，正确的是（    ） A．淇淇说得对，的另一个值是 B．淇淇说的不对，只能等于 C．嘉嘉求的结果不对，应等于． D．两人都不对，应有3个不同的值 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理、等边三角形的判定和性质等，画出图形，注意分情况讨论是解题的关键．根据题意画出图形，分点在上方和下方，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：中，， ， ∴； 如图，当点在上方时： 由作图可知：， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点在下方时： 同理：， ； ∴淇淇说得对，的另一个值是， 故选A． 38．（2024·河北沧州·三模）如图，在中，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，．分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，交于内一点．连结并延长，交于点．连结，． 强强得出的结论是：当时，； 晴晴得出的结论是：当时，； 琪琪得出的结论是：当时，． 根据这三个人的结论，判断下面说法正确的是（    ） A．只有强强和琪琪得出的结论都对 B．只有强强和晴晴得出的结论都对 C．只有晴晴和琪琪得出的结论都对 D．这三个人得出的结论都对 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线作图，角平分线性质，全等三角形判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键．根据题意可知是三角形的角平分线，再结合选项所给的条件逐项判断即可． 【详解】解：由作图过程可知，平分， ， ，， ， 故强强得出的结论是正确的，符合题意； ， ， ， ， 故晴晴得出的结论是正确的，符合题意； 而当时，得不到． 故琪琪得出的结论是错误的，不符合题意； 综上所述，只有强强和晴晴得出的结论都对． 故选：B． 39．（2024·河北唐山·二模）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，的顶点均在格点上，将向右平移1个单位长得到． （1）的面积为 ； （2）阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查借助网格求面积，平移的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握平移的性质，是解题的关键： （1）借助网格求面积即可； （2）设与的交点为，与的交点为，根据平移的性质，推出，进行求解即可． 【详解】解：（1）的面积为：； 故答案为：； （2）设与的交点为，与的交点为， 根据格点可得，四边形是矩形，对角线交于点，，的顶点均在格点上， ∴点G和点H是两个相邻格点的中点 ∴，， 由平移的性质可知，， ∴， ， ， ， 即阴影部分的面积为． 故答案为：． 40．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图，在中，，D、E分别为，上一点，将，分别沿、折叠，点A、B恰好重合于点处．则 °．若，，则 【答案】 /90度 【分析】本题考查了翻折的性质，勾股定理，解题的关键是：熟练掌握翻折的性质与勾股定理解三角形．根据翻折的性质得到，，由，即可得到，由折叠的性质可得：，，设，在中，根据勾股定理即可求出， 【详解】解：由折叠的性质可得，，， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：，， 设，则， 在中，， 即：， 解得：， ∴， 故答案为：；． 41．（2024·河北唐山·模拟预测）如图，中，是上一点，过作交于点，是上一点，连接．若． (1)求证：． (2)若，平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，三角形内角和定理，解题的关键是掌握题中各角之间的位置关系和数量关系． （1）根据两直线平行，同位角相等得出，推得，最后根据同位角相等，两直线平行即可证明； （2）根据两直线平行，内错角相等得出，再根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线得出，根据三角形内角和是即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 在中，， ∴． 故的度数为． 42．（2024·河北沧州·三模）如图，分别以，，，为边长作正方形，已知且满足，． （1）若，，则图阴影部分的面积是 ； （2）若图阴影部分的面积为，图四边形的面积为，则图阴影部分的面积是 ． 【答案】 ； ． 【分析】（）根据正方形的面积公式进行计算即可求解； （）由题意得：，图中是梯形，求出面积，根据，得出，从而有，再根据阴影部分面积为即可求解； 本题考查了整式运算的实际应用，完全平方公式的应用和勾股定理，正确理解完全平方公式的应用是解题的关键． 【详解】（）阴影部分的面积是， 故答案为：； （）由题意得：，图中是梯形， ∵，，高为， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 两式相加得：， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理可知：阴影部分面积为， 故答案为：． 43．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图，是实验室中的一种摆动装置，在地面上，支架是底边为的等腰直角三角形，摆动臂可绕点旋转，摆动臂可绕点旋转，，， (1)如图，若摆动臂顺时针旋转，点的位置由外的点转到内的点处，求证； (2)在图中，在旋转过程中， ①当，，三点在同一直线上时，求的长． ②当，，三点为同一直角三角形的顶点时，直接写出的长__________． 【答案】(1)证明见解析． (2)①或； ②或． 【分析】（1）结合旋转性质和等腰直角三角形性质即可利用“边角边”证明全等，从而根据全等三角形性质证明； （2）①分两种情况求解：当为上的点；当为上的点； ②由可得，不可能为斜边，故可分两种情况利用勾股定理求解：、是直角边；是直角边，是斜边． 【详解】（1）解：根据旋转性质可得：，， 是等腰直角三角形， ，， ， 即， 在和中， ， ， ． （2）解：①当，，三点在同一直线上时，有两种可能： 点为上的点，此时； 点为上的点，此时． 故当，，三点在同一直线上时，或． ②，， 即， 当，，三点为同一直角三角形的顶点时，也有两种可能： 、是直角边，此时； 是直角边，是斜边，此时． 故当，，三点为同一直角三角形的顶点时，或． 【点睛】本题考查的知识点是旋转的性质、等腰直角三角形性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定． 44．（2024·河北唐山·二模）等边的边长为2，为内一点，连接，，延长到点，使． (1)如图1，延长到点，使，连接，． ①求证：； ②若，求的度数； (2)如图2，连接，若，，则__________． 【答案】(1)①见解析；②； (2) 【分析】（1）①证明全等得，再根据平行线的判定可得出结论； ②延长交的延长线于，根据等边三角形性质得，，进而可求出，再由①，得，由此得，据此可得的度数； （2）延长到是，连接，，先求出，，由勾股定理得，根据得，再根据，得，然后由勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）①证明：在和中， ， ， ， ∴； ②解：延长交的延长线于，如图1所示： 为等边三角形， ，， 又， ， ， ， ， 由①可知：， ， ，即， 又， ， ； （2）解：延长到是，连接，，如图2所示： 由（1）②可知：， 为等边三角形，且边长为2， ，， ，， 在中，由勾股定理得：， 由（1）①可知：， ， 又，， ， 在中，由勾股定理得：． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的判定和性质，理解等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 45．（2024·河北唐山·模拟预测）如图①，在等腰直角三角形中，，作平分交于点，点为射线上一点，以点为旋转中心将线段逆时针旋转90°得到线段，连接交射线于点，连接、． 填空： （1）①线段、的数量关系为 　　． ②线段、的位置关系为 　　． 推广： （2）如图②，在等腰三角形中，顶角，作平分交于点，点为外部射线上一点，以点为旋转中心将线段逆时针旋转度得到线段，连接、、．请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由． 应用： （3）如图③，在等边三角形中，．作平分交于点，点为射线上一点，以点为旋转中心将线段逆时针旋转得到线段，连接交射线于点，当时，请直接写出的长． 【答案】（1）①；②；（2）成立，见解析；（3）2或6 【分析】（1）根据平分，和旋转的性质，可以证明，可证垂直平分线是，即可解决问题； （2）结论不变．如图②中，只要证明，即可解决问题； （3）分点D在线段上，点D在线段的延长线上时，两种情形讨论，分别求解即可． 【详解】解：（1）如图①中， ∵平分， ∴， ∵由旋转可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分线是， ∴． 故答案为：，； （2）结论：（1）中的结论仍然成立． 理由：如图②中， ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分线是， ∴； （3）①如图， 当点D在线段上时， ∵在等边三角形中，．作平分交于点， ∴，， ， 由旋转可知，， 是等边三角形， ， ， ∴； ∴垂直平分线是， ， ， ， ， ， ， 在中，，即， （负值舍去）， ； ②如图， 当点D在线段的延长线上时， 同理可得：是等边三角形，垂直平分线是，即， ， ， ， ， ， 在中，，即， （负值舍去）， ； 综上，的长度为2或6． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，解题的关键是正确寻找全等三角形及证明等边三角形解决问题． 试卷第46页，共47页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！47 学科网（北京）股份有限公司 $$