2.2 充分条件、必要条件、充要条件 （教学课件）-2024-2025学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（苏教版2019必修第一册）

苏教版2019高一数学（必修一）第一章 集合 2.2 充分、必要、充要条件 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂小结 分层练习 错因分析 学习目标 1.结合具体实例,理解充分条件、必要条件、充要条件的意义. (数学抽象) 2.会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件. (数学运算) 3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明. (逻辑推理) 情景导入 著名童话《爱丽丝漫游奇境记》的作者, 英国牛津大学数学讲师卡罗尔曾提出如下趣题: 请判断:我是否可以看玛丽的信? 结论是什么呢? 如果已经知道以下信息: ①室内所有有日期的信都是用蓝纸写的; ②玛丽写的信都是以“亲爱的”开头的; ③除了查理以外没有人用黑墨水写信; ④我可以看到的信都没有收藏起来; ⑤只有一页信纸的信中,没有一封没注明日期; ⑥未作记号的信都是用黑墨水写的; ⑦用蓝纸写的信都收藏起来了; ⑧一页以上信纸的信中,没有一封是做记号的; ⑨以“亲爱的”开头的信,没有一封是查理写的. 学习了本节内容后,运用充分、必要条件的知识进行逻辑推理就容易判断结果了. 1.命题真假与推出关系 新知探究 一般地，当命题“若p，则q”为真命题时， 我们就说“由p可以推出q成立”， 记作“p>q”，读作“p推出q”； 如果命题“若p，则q”为假命题， 就说“由p不能推出q成立”， 记作“p⇏q”，读作“p不能推出q". 命题真假 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 文字表述 由p可以推出q成立 由p不能推出q成立 符号表示 _____ ______ 读法 p推出q p不能推出q 传递性 如果 p ⇒ q，q ⇒ s，那么 _______ p ⇒ q p ⇏ q p ⇒ s 概念归纳 例如： (1) x＝y ⇒ x2＝y2，但 x2＝y2 ⇏ x＝y； (2) x＞1 ⇒ x2＞1，但 x2＞1 ⇏ x＞1； 这里，“x＞1”表示“x是大于1的实数”； “S△ABC”表示“△ABC的面积”. (3) △ABC ≌ △A′B′C′ ⇒ S△ABC＝ S△A′B′C′， 但 S△ABC ＝ S△A′B′C′ ⇏ △ABC ≌ △A′B′C′. ● 如果“p＝q”，那么 p，q 之间有怎样的关系? 分析(1)(2)(3)，可以发现，“p ⇒ q”的含义是： 一旦 p 成立，q 一定也成立. 即 p 对 q 的成立是充分的. 也可以这样说：如果 q 不成立，那么p一定不成立. 即q对p的成立是必要的. ● 如果“p＝q”，那么 p，q 之间有怎样的关系? 2.充分条件、必要条件的定义 新知探究 如果“p ⇒ q”，那么称p是q的充分条件; 也称q是p的必要条件. 推出关系 p ⇒ q 条件关系 p是q的__________条件， q是p的__________条件. 充分 必要 课本例1 下列所给的各组 p，q中，p 是 q 的充分条件的有哪些? 解：因为p ⇒ q，所以 p 是 q 的充分条件. (1) p：x＝2，q：x2－x－2＝0； (2) p：四边形的对角线相等，q：四边形是正方形. 解：因为p ⇏ q，所以 p 不是 q 的充分条件. (3) p：同位角相等，q：两条直线平行； (4) p：四边形是平行四边形， q：四边形的对角线互相平分. 解：因为p ⇒ q，所以 p 是 q 的充分条件. 解：因为p ⇒ q，所以 p 是 q 的充分条件. 课本例1 下列所给的各组 p，q中，p 是 q 的充分条件的有哪些? 下列所给的各组 p，q 中，p 是 q 的必要条件的有哪些? (1) p：∣x∣＝1，q：x＝1； (2) p：两个直角三角形全等， q：两个直角三角形的斜边相等； 解：因为 q ⇒ p，所以 p 是 q 的必要条件. 解：因为 q ⇏ p，所以 p 不是 q 的必要条件. 课本例2 (3) p：同位角相等，q：两条直线平行； (4) p：四边形是平行四边形， q：四边形的对角线互相平分 解：因为 q ⇒ p，所以 p 是 q 的必要条件. 解：因为 q ⇒ p，所以 p 是 q 的必要条件. 下列所给的各组 p，q 中，p 是 q 的必要条件的有哪些? 课本例2 观察例1 (3) 和 例2 (3)、例1 (4) 和 例2 (4)， 可以发现，其中既有 p ⇒ q，也有q ⇒ p. 一般地， 如果p=q，且q→p，那么称p是q的充分且必要条件， 简称为p是q的充要条件，也称q的充要条件是p. 推出关系 p⇒q，且 q⇒p，记作_______称为“p与q等价”或“p等价于q”. 条件关系 p是q的充分且必要条件，简称p是q的充要条件 p⇔q 3.充要条件的定义 新知探究 充要条件的本质： p是q的充分必要条件，也常说成p成立当且仅当q成立. 充要条件的应用： 充要条件是数学中非常重要的概念， 应用充要条件可以从不同的角度来理解、刻画很多数学内容. 概念归纳 “⇒”和“⇔”都具有传递性，即 例：如果 p ⇒ q，q ⇒ s，那么 p ⇒ s； 如果 p ⇔ q，q ⇔ s，那么 p ⇔ s. 命题按条件和结论的充分性、必要性可分哪几类? 答： ① 充分必要条件(充要条件)，即 p⇒q且q⇒p. ② 充分不必要条件，即p⇒q且q⇏p. ③ 必要不充分条件，即p⇏q且q⇒p. ④ 既不充分又不必要条件，即p⇏q且q⇏p. 归纳总结 (1) p：两个三角形全等，q：两个三角形的对应角相等； 解：根据三角形全等的性质，得出两个三角形的对应角相等，所以 p ⇒ q. 反过来，由两个三角形的对应角相等，不能得出两个三角形全等. 指出下列命题中，p 是 q 的什么条件： 课本例3 例如，两个等腰直角三角形，它们对应的角相等，但对应边不相等，这两个三角形就不全等. 所以 q⇏p. 因此，p是q的充分条件，但p不是q的必要条件. (2) p：三角形的三边相等，q：三角形是等边三角形； 解：根据等边三角形的定义，可知三边相等的三角形是等边三角形， 所以 p ⇒ q. 反过来，根据等边三角形的定义，可知等边三角形的三边相等. 所以 q ⇒ p. 因此，p ⇔ q，即p是q的充要条件. 指出下列命题中，p 是 q 的什么条件： 课本例3 (3) p：a2 ＝ b2，q：a ＝ b； 解：a2－b2 ⇒ a2－b2＝0 ⇒ (a－b)(a＋b)＝0 ⇒ a－b＝0或 a＋b＝0 ⇒ a＝－b或a＝b， 所以 p⇏q. 反过来，a＝b ⇒ a－b＝0 ⇒ (a－b)(a＋b)＝0 ⇒ a2－b2＝0 ⇒ a2＝b2， 所以 q ⇔ p. 指出下列命题中，p 是 q 的什么条件： 课本例3 因此，q ⇒ p，但 p ⇏ q，即p是q的必要条件，但p不是q的充分条件. 还可以通过举反例来说明， 如 42＝(－ 4)2，但 4≠－4. 概念归纳 (4) p：x ＞ y，q：x2＞y2. 解：取 x＝1，y＝－2， 此时，x＞y，但 x2＜y2，所以 p⇏q. 反过来，取 x＝－2，y＝－1， 此时，x2＞y2，但 x＜y，所以q ⇏ p. 因此，p 不是q 的充分条件， q也不是p的必要条件. 4.性质定理、判定定理和数学定义 新知探究 判定定理是指对象只要具有某具体的特征， 就一定有该对象的所有特征. 例：判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”表明，只要四边形具有“对角线互相平分”这个特征，就一定具有“平行四边形”的所有特征1，2，3，4…. 这时，我们看到，判定定理具有“充分性”，“四边形对角线互相平分”是“四边形是平行四边形”的充分条件. 进一步，我们看到， “四边形对角线互相平分”是“四边形是平行四边形”的充要条件， 即“四边形对角线互相平分”与“四边形是平行四边形”等价， 这与平行四边形的定义“两组对边分别平行的四边形”也等价， 因此，“对角线互相平分的四边形”也可以作为“平行四边形”的定义. 同样地，下列三个命题： （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （3）两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 其中的任何一个命题都可以作为平行四边形的定义. 性质定理、判定定理和数学定义 (1) 性质定理是指某类对象具有的具体特征. 性质定理具有“_____________”. (2) 判定定理是指对象只要具有某具体的特征， 就一定有该对象的所有特征. 判定定理具有“_____________”. (3) 数学定义既具有必要性也具有充分性. 必要性 充分性 概念归纳 题型一　充分条件的判断 【例1】　指出下列哪些题中p是q的充分条件？ (1)在△ABC中，p：∠B>∠C，q：AC>AB. (2)对于实数x，y，p：x＋y≠15，q：x≠5或y≠10. (3)已知x，y∈R，p：x＝1，q：(x－1)(x－2)＝0. 解　(1)在△ABC中，由大角对大边知，∠B>∠C⇒AC>AB，所以p是q的充分条件. (2)对于实数x，y，因为x＝5且y＝10⇒x＋y＝15， 所以由x＋y≠15⇒x≠5或y≠10 故p是q的充分条件. (3)由x＝1⇒(x－1)(x－2)＝0， 故p是q的充分条件. 故(1)(2)(3)题中p是q的充分条件. 典例剖析 要判断p是不是q的充分条件，就是看p能否推出q，即判断“若p，则q”这一命题是否为真命题. 1.下列各题中，p是q的充分条件的是________(填序号). (1)p：(x－2)(x－3)＝0，q：x－2＝0； (2)p：两个三角形面积相等，q：两个三角形全等； (3)p：m<－2，q：方程x2－x－m＝0无实根. 解析　(1)∵(x－2)(x－3)＝0， ∴x＝2或x＝3，不能推出x－2＝0. ∴p不是q的充分条件. (2)∵两个三角形面积相等，不能推出两个三角形全等， ∴p不是q的充分条件. (3)∵m<－2，∴12＋4m<0， ∴方程x2－x－m＝0无实根， ∴p是q的充分条件. (3) 练一练 题型二　必要条件的判断 【例2】　判断下列各组p，q中，p是否为q的必要条件？ (1)p：ac＝bc，q：a＝b. (2)p：x＝y，q：x2＝y2. 解　(1)因为a＝b⇒ac＝bc，所以p是q的必要条件. (3)p：a＋5是无理数，q：a是无理数. (3)由a是无理数⇒a＋5是无理数，所以p是q的必要条件. 典例剖析 “若p，则q”为真，即p⇒q，则q是p的必要条件， 若q⇒p，则p是q的必要条件. 2.判断下列各组p，q中，p是否为q的必要条件？ (1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等； (2)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； 解　(1)∵两个三角形全等⇒两个三角形相似，即q⇒p. ∴p是q的必要条件. (2)四边形的对角线相等，这个四边形不一定是矩形， ∴p不是q的必要条件. 练一练 ∴p不是q的必要条件. (3)p：A⊆B，q：A∩B＝A； (4)p：a>b，q：ac>bc. 解　(3)∵A∩B＝A⇒A⊆B，即q⇒p， ∴p是q的必要条件. (4)∵c的正负不确定， 练一练 题型三　充分条件、必要条件的应用 【例3】　已知p：实数x满足3a<x<a，其中a<0； q：实数x满足－2≤x≤3.若p是q的充分条件，求实数a的取值范围. 解　p：3a<x<a，设集合A＝{x|3a<x<a}. q：－2≤x≤3，设集合B＝{x|－2≤x≤3}. 因为p⇒q，所以A⊆B， 典例剖析 充分条件与必要条件的应用技巧 (1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题. (2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解. 归纳总结 3.(1)若“x<m”是“x>2或x<1”的充分条件，求实数m的取值范围. (2)已知p：x<－3或x>1，q：x>a，且p是q的必要条件，求实数a的取值范围. 解　(1)由已知条件知{x|x<m}⊆{x|x>2或x<1}. ∴m≤1，即m的取值范围为(－∞，1]. (2)由已知条件得{x|x>a}⊆{x|x<－3或x>1}， ∴a≥1，即a的取值范围为[1，＋∞). 练一练 题型四　充要条件的判断 【例4】　指出下列各题中，p是q的什么条件： (1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除； (2)p：|x|>1，q：x2>1； ∴p是q的充分条件，但p不是q的必要条件. (2)∵p⇒q，q⇒p， ∴p是q的充要条件. 典例剖析 (3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形； (4)p：|ab|＝ab，q：ab>0. ∴p是q的必要条件，但p不是q的充分条件. (4)∵ab＝0时，|ab|＝ab， ∴|ab|＝ab不能推出ab＞0， ∴p是q的必要条件，但p不是q的充分条件. 典例剖析 判断p是q的什么条件， 关键是判断p⇒q及q⇒p这两个命题是否成立. 4.判断下列各题中p是q的什么条件. (1)p：ab>0，q：a，b中至少有一个不为零； (2)p：x>1，q：x≥0； (3)p：A∩B＝A，q：∁UB⊆∁UA. ∴p是q的充分条件，但p不是q的必要条件. ∴p是q的充分条件，但p不是q的必要条件. (3)∵A∩B＝A⇔A⊆B⇔∁UB⊆∁UA， ∴p是q的充要条件. 练一练 题型五　充分条件、必要条件的探求 B 典例剖析 (2)设a∈R，则a＞4的一个必要条件但不是充分条件是(　　) A.a＞1 B.a＜1 C.a＞5 D.a＜5 A 典例剖析 探求充分条件、必要条件的方法 (1)寻求q的充分条件p，即求使结论q成立的条件p，从集合的角度看，是找q对应集合的子集，得出子集对应的条件p； (2)寻求q的必要条件p，即求以q为条件可推出的结论p，从集合的角度看，是找能包含条件q对应的集合，得出集合对应的结论p. 归纳总结 5. (1)0＜x＜2的一个必要条件但不是充分条件是(　　) A.0＜x＜2 B.x≥－1 C.0＜x＜1 D.1＜x＜3 (2)函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________. 解析　(1)令0＜x＜2的一个必要条件但不是充分条件对应集合M， 则(0，2)M，故B符合. 练一练 B m＝－2 题型六　充要条件的证明 【例6】　已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0. 证明　先证必要性：∵a＋b＝1，即b＝1－a， ∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0.∴必要性成立. 再证充分性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，∴(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0，∴(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0. 设关于a的二次函数y＝a2－ab＋b2，其中Δ＝(－b)2－4b2＝－3b2<0，∴a2－ab＋b2≠0，∴a＋b－1＝0，即a＋b＝1，∴充分性成立. 综上所述，a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0. 典例剖析 一般地，证明“p成立的充要条件为q”时，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即q⇒p；证明必要性时则是以p为“已知条件”，q为该步中要证明的“结论”，即p⇒q. 归纳总结 6.求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0. 证明：先证必要性：∵方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1， ∴x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0，则a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0. 再证充分性：∵a＋b＋c＝0， ∴c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中，可得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0，故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1. 综上，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0. 练一练 题型七　充要条件的应用 【例7】　已知p：x∈[－2，10]，q：x∈[1－m，1＋m]，若p是q的必要条件但不是充分条件，求实数m的取值范围. 解　p：x∈[－2，10]，q：x∈[1－m，1＋m]. 因为p是q的必要条件，但不是充分条件， 所以[1－m，1＋m][－2，10]， 又1－m<1＋m，所以m>0， 所以实数m的取值范围为(0，3]. 典例剖析 应用充分条件、必要条件、充要条件求参数值(范围)的一般步骤. (1)根据条件转化为集合间的关系. (2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解. 归纳总结 7.已知p：x＜－2或x＞3，q：4x＋m＜0.若p是q的必要条件但不是充分条件， 求实数m的取值范围. 即m≥8，故m的取值范围为[8，＋∞). 练一练 1.下列所给的各组 p，q中，p是q的充分条件的有哪些? (1) p：三角形有一个内角是 60°， q：三角形是正三角形； 因为三角形有一个内角是60°⇏ 三角形是正三角形即 p⇏q. 所以 p 不是 q 的充分条件. 课本练习 (2) p：两个角相等，q：两个角是对顶角； 因为两个角相等，这两个角有可能是内错角或同位角，故两个角相等 ⇏ 两个角是对顶角，即 p ⇏ q ，所以 p 不是q 的充分条件； (3) p：四边形是平行四边形， q：四边形的对角线互相平分； 因为平行四边形的对角线互相平分故四边形是平行四边形 ⇒ 四边形的对角线互相平分，即 p⇒q， 所以 p是q的充分条件； (4) p：x ＞ 2，q：x ＞ 1. 因为 x＞2 ⇒ x＞1， 所以 p是q的充分条件； 所以p是q的充分条件的有(3) (4) 2. 下列所给的各组 p，q中，p是q的必要条件的有哪些? (1) p：两条直线平行，q：同位角相等； (2) p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形； 解：q⇒p，p是q的必要条件； 解：q⇒p，p是q的必要条件； (3) p：a ＝ b，q：∣a∣＝ ∣b∣ ； (4) p：x2 ＝ l，q：x ＝ 1. 解：q ⇏ p，p不是q的必要条件； 解：q⇒p，p是q的必要条件； 3. 从符号“⇒”“⇏”“⇔”中选择适当的一个填空： (1) x2＞1 _______ x＞1； (2) a，b 都是偶数 _______ a＋b是偶数； (3) x2＝1 ______ ∣x∣ ＝ 1； (4) n 是偶数 _______ n 是4 的倍数. ⇏ ⇒ ⇔ ⇏ 1. 下列所给的各组 p，q中，p是 q 的充分条件的有哪些? p是q的必要条件的有哪些? p是q的充要条件的有哪些? (1) p：两个三角形全等，q：两个三角形的面积相等； 解：由p：两个三角形全等能推出 q： 两个三角形的面积相等， 故p是q的充分条件； 由q：两个三角形的面积相等不能推出 p：两个三角形全等， 故p不是q的必要条件. 从而p不是q的充要条件； 习题1.2 感受·理解 (2) p：三角形是直角三角形，q：三角形的两个锐角互余； 解：由 p：三角形是直角三角形能推出q：三角形的两个锐角互余， 故p是q的充分条件； 由 q：三角形的两个锐角互余能推出 p：三角形是直角三角形， 故p是q的必要条件. 从而p是q的充要条件； (3) p：m≤1，q：关于的方程 x2＋2x＋m＝0有实数解； 解：∵关于x的方程 x2＋2x＋m＝0 有实数解， ∴Δ＝22－4m＞0，解得：m≤1， 故由 p：m＜1能推出 q：关于的方程 x2＋2x＋m＝0有实数解， 故p是q的充分条件； 由q：关于x的方程 x2＋2x＋m＝0有实数解能推出 p：m≤1， 故p是q的必要条件. 从而p是q的充要条件； (4) p：ab＝0，q：a＝0. 解：由 p：ab＝0 不能推出q：a＝0，故p不是q的充分条件； 由 q：a＝0能推出 p：ab＝0，故p是q的必要条件. 从而p不是q的充要条件. 综上知：p是q的充分条件的有(1)(2)(3)， p是q的必要条件的有(2)(3)(4)， p是q的充要条件有(2)(3). 2. 从符号“⇒”“⇏”“⇔”中选择适当的一个填空： (1) x∈A ______ x∈A∩B (2) x∉A∪B _____ x∈A∩B； (3) x∈∁U(A∪B) _____ x∈(∁UA ) ∩ (∁UB )； (4) x∈∁U(A∩B) ______ x∈(∁UA)∪(∁U B). ⇏ ⇒ ⇔ ⇔ 3. 下列所给的各组 p，q 中，p 是 q 的什么条件? (1) p：△ABC中，∠BAC＞∠ABC， q： △ABC 中，BC ＞ AC； 充要条件 思考·运用 (2) p：a2 ＜ 1，q：a ＜ 2； (3) p： ＜ 1，q：b ＜ a； 充分不必要条件 既不充分也不必要条件 (4) p：m ≤ 1， q：关于的方程 mx2＋2x＋1＝0有两个实数解. 必要不充分条件 4. 设 a，b，c ∈R，求证：关于x 的方程 ax2＋bx＋c＝0有一个根是 1 的充要条件为 a＋b＋c＝0. 证明：(1) 必要性，即“若 1是方程 ax2＋bx＋c＝0 的根，则 a＋b＋c＝0”. ∵ x＝1是方程的根，将 x＝1 代入方程，得 a·12＋b·1＋c＝0， 即 a＋b＋c＝0. (2) 充分性，即“若 a＋b＋c ＝ 0，则 x＝1是方程 ax2＋bx＋c＝0 的根”. 把 x＝1代入方程的左边，得a·12＋b.1＋c＝a＋b＋c. ∵ a＋b＋c＝0， ∴x＝1是方程的根. 综合(1)(2)知命题成立. 5. 设集合A＝ {x∣x满足条件p}，B＝{x∣x满足条件q}. (1) 如果 A⊆B，那么p是q的什么条件? (2) 如果 B⊆A，那么p是q的什么条件? (3) 如果 A＝B，那么p是q的什么条件? 试举例说明. 探究·拓展 解：（1）若A ⊆ B，则有 x∈A ⇒ x∈B， 即每个使 p 成立的元素也使q成立，即p ⇒ q， 所以 p 是 q 的充分条件. (3) 如果 A＝B，那么p是q的什么条件? 解：若A＝B，则 A⊆B 且 B⊆A，所以p是q的充要条件. (2) 如果 B⊆A，那么p是q的什么条件? 解：若 B⊆A，则有 x∈B ⇒ x ∈A， 即每个使 q 成立的元素也使p成立，即 q⇒p， 所以 p是 q 的必要条件. 如A ＝ {x∣x ＞0}，B ＝ {x∣x ＞1}，B⊆A， 则 x＞1是x＞0的充分条件，x＞0是x＞1的必要条件. 易错点1　条件判定不全面而致误 A 错因分析 解析： 错因分析 易错点2　不能正确区分命题的条件与结论而致误 错因分析 求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 错因分析 一、选择题 1.使x>3成立的一个充分条件是(　　) A.x>4 B.x>0 C.x>2 D.x<2 A 解析　只有x>4⇒x>3，其他选项均不可推出x>3. 2.若a∈R，则“a＞1”是“|a|＞1”的(　　) A.充分条件 B.必要条件 C.既不充分又不必要 D.无法判断 分层练习-基础 A 63 3.(多选题)下列选项中不是“x＞y”的一个充分条件的是(　　 ) A.|x|＞y B.x2＞y2 C.|x|＞|y| D.x＞|y| 解析　取x＝－2，y＝1， 适合选项A，B，C，但推不出“x＞y”； 由x＞|y|≥y知“x＞|y|”是“x＞y”的一个充分条件. ABC 分层练习-基础 ABD A.a<0<b B.b<a<0 C.b<0<a D.0<b<a 分层练习-基础 C 5.设p：－1≤x＜2，q：x＜a.若q是p的必要条件，则实数a的取值范围(　　) A.{a|a≤－1} B.{a|a≤－1或a≥2} C.{a|a≥2} D.{a|－1≤a＜2} 解析　由题意p⇒q，即{x|－1≤x＜2}⊆{x|x＜a}， ∴a≥2. 分层练习-基础 二、填空题 6.设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD， 则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的________条件(填“充分”或“必要”). 充分 解析　若“四边形ABCD为菱形”，则“对角线AC⊥BD”成立； 而若“对角线AC⊥BD”成立，则“四边形ABCD不一定为菱形”， 所以“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分条件. 分层练习-基础 必要 分层练习-基础 ② 8.下列说法不正确的是________(填序号). ①“x>5”是“x>4”的充分条件； ②“xy＝0”是“x＝0且y＝0”的充分条件； ③“－2<x<2”是“x<2”的充分条件. 解析　②中由xy＝0不能推出x＝0且y＝0，则②不正确；①③正确. 分层练习-基础 A 一、选择题 1.设p：实数x，y满足x>1且y>1，q：实数x，y满足x＋y>2，则p是q的(　　) A.充分条件但不是必要条件 B.必要条件但不是充分条件 C.充要条件 D.无法判断 解析　当x>1且y>1时，x＋y>2，所以充分性成立； 令x＝－1，y＝4，则x＋y>2，但x<1，所以必要性不成立， 故选A. 分层练习-基础 70 2.已知p：－2＜x＜2，q：－1＜x＜2，则p是q的(　　) A.充分条件但不是必要条件 B.必要条件但不是充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要 解析　p：－2＜x＜2，q：－1＜x＜2. ∵(－1，2)(－2，2)， ∴p是q的必要条件但不是充分条件. B 分层练习-基础 3.王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关，黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，“攻破楼兰”是“返回家乡”的(　　) A.必要条件但不是充分条件 B.充分条件但不是必要条件 C.充要条件 D.无法判断 解析　“攻破楼兰”不一定“返回家乡”，但“返回家乡”一定有“攻破楼兰”. A 分层练习-基础 C 解析　选项中只有x∈{－1，3，5} 分层练习-基础 5.(多选题)－1＜x＜3的一个必要条件但不是充分条件可以是(　　) A.－2<x<4 B.－1<x<5 C.0<x<2 D.0<x<4 AB 解析　由于－1<x<3⇒－2<x<4，而反之不成立， －1<x<3⇒－1<x<5，反之不成立，故A，B是－1<x<3的必要条件但不充分条件. 分层练习-基础 二、填空题 6.设x∈R，则0<x<5是|x－1|<1的________________________条件； |x－1|<1是0<x<5的______________________条件. 解析　由|x－1|<1，解得0<x<2， 因为(0，2)(0，5)， 故0＜x＜5是|x－1|＜1的必要条件但不是充分条件， |x－1|＜1是0＜x＜5的充分条件但不是必要条件. 必要条件但不是充分 充分条件但不是必要 分层练习-基础 7.已知p：A＝{x|－1≤x≤5}，q：B＝{x|－m<x<2m－1}，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是_____________. (3，＋∞) 解析　由p⇒q，∴A⊆B， 分层练习-基础 8.关于x的方程m2x2－(m＋1)x＋2＝0的所有实数根的和为2的充要条件是________. 解析　当m2＝0，即m＝0时，此时方程为x＝2，适合； 当m2≠0，即m≠0时， m＝0 解之m∈∅.综上：m＝0. 分层练习-基础 三、解答题 9.下列各题中，p是否为q的充分条件？ (1)p：四边形是平行四边形，q：四边形的对边分别相等； (2)p：x为无理数，q：x2为无理数. 解　(1)p⇒q，所以p是q的充分条件. 分层练习-巩固 10.下列各题中，p是q的什么条件？ (1)p：a＋b＝0，q：a2＋b2＝0； (2)p：四边形是正方形，q：四边形的四条边相等； 分层练习-巩固 a2＋b2＝0⇒a＋b＝0. ∴p是q的必要条件，但不是充分条件. (2)∵四边形是正方形⇒四边形的四条边相等， ∴p是q的充分条件，但不是必要条件. ∴p是q的充分条件，也是必要条件. 分层练习-巩固 11.已知集合A＝{x∈R|－1<x<3}，B＝{x∈R|－1<x<m＋1}，若x∈B成立的一个充分条件是x∈A，则实数m的取值范围是(　　) A.[2，＋∞) B.(－∞，2] C.(2，＋∞) D.(－2，2) A 解析　因为x∈B成立的一个充分条件是x∈A，所以A⊆B， 所以3≤m＋1，即m≥2. 分层练习-巩固 81 12.(多选题)下列选项中能成为x>y的充分条件的有(　　 ) ACD 解析　A.由xt2>yt2可知t2>0，所以x>y，故xt2>yt2⇒x>y； B.当t>0时，x>y，当t<0时，x<y，故xt>yt⇒x>y； C.由x3＞y3⇒x＞y； 分层练习-巩固 解　若方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不等的实根， 分层练习-巩固 从而方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不等实根. 分层练习-巩固 14.设集合A＝{x|－1≤x≤2}，集合B＝{x|2m＜x＜1}. (1)若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求实数m的取值范围； 解　若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，则B⊆A. ∵A＝{x|－1≤x≤2}， 分层练习-巩固 (2)若B∩(∁RA)中只有一个整数，求实数m的取值范围. 解　∵A＝{x|－1≤x≤2}， ∴∁RA＝{x|x＜－1或x＞2}. 分层练习-巩固 三、解答题 9.指出下列各题中p是q的什么条件. (1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0； 故p是q的必要条件但不是充分条件. (3)p：a>b，q：a＋c>b＋c. 解　(1)x－3＝0⇒(x－2)(x－3)＝0， 故p是q的充分条件但不是必要条件. (3)a>b⇒a＋c>b＋c，且a＋c>b＋c⇒a>b，故p是q的充要条件. 分层练习-巩固 10.求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0. 证明　①充分性：如果b＝0，那么y＝kx， x＝0时y＝0，函数图象过原点. ②必要性：因为y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点， 所以x＝0时y＝0，得0＝k·0＋b，b＝0. 综上，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0. 分层练习-巩固 11.“二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象开口向上”的一个必要条件但不是充分条件的是(　　) C 分层练习-巩固 89 12.设A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5，a∈R}，B＝[3，22].则A⊆(A∩B)的 充要条件为________. 解析　由题意A⊆(A∩B)⇔A⊆B，B＝{x|3≤x≤22}. 若A＝∅，则2a＋1>3a－5，解得a<6； a≤9 解得6≤a≤9. 综上可知，A⊆(A∩B)的充要条件为a≤9. 分层练习-巩固 14.求方程ax2＋2x＋1＝0只有负实根的充要条件. 当a≠0时，原方程为一元二次方程， 又ax2＋2x＋1＝0只有负实根， 综上，方程只有负根的充要条件是0≤a≤1. 分层练习-巩固 如图所示的电路图中,“闭合开关A”是“灯泡B亮”的什么条件? 分层练习-拓展 点评：实际问题中的充要条件要从实际含义去理解其是否成立,从而确定充要条件,主要考查逻辑推理的核心素养. 解 如题图1,闭合开关A或者闭合开关C都可能使灯泡B亮. 反之,若要灯泡B亮,不一定非要闭合开关A. 因此“闭合开关A”是“灯泡B亮”的充分不必要条件. 如题图2,闭合开关A而不闭合开关C,灯泡B不亮. 反之,若要灯泡B亮,则开关A必须闭合,说明“闭合开关A”是“灯泡B亮”的必要不充分条件. 如题图3,闭合开关A可使灯泡B亮,而灯泡B亮,开关A一定是闭合的,因此“闭合开关A”是“灯泡B亮”的充要条件. 如题图4,闭合开关A但不闭合开关C,灯泡B不亮. 反之,灯泡B亮也可不必闭合开关A,只要闭合开关C即可,说明“闭合开关A”是“灯泡B亮”的既不充分又不必要条件. 分层练习-拓展 课堂小结 1.理解3个概念 (1)充分条件；(2)必要条件. (3)充要条件 2.掌握2种方法——充分条件、必要条件的判断方法 (1)定义法：直接利用定义进行判断. (2)等价法：“p⇔q”表示p等价于q，等价命题可以进行转换，当我们要证明p成立时，就可以去证明q成立. (3)利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p和结论q相应的集合分别为A和B，那么若A⊆B，则p是q的充分条件；若A⊇B，则p是q的必要条件；若A＝B，则p是q的充要条件. 3.注意2个易错点 (1)充分条件、必要条件不唯一. (2)求参数范围时，要注意能否取到端点值. 课堂小结 课堂小结 充分条件与必要条件 分类 应用 充分条件 必要条件 充要条件 既不充分也不必要条件 充分与必要条件的判断 充要条件的证明 (2)由x2＝y2⇒ x＝y，所以p不是q的必要条件. 即q⇒p. ∴不能由ac＞bc推出a>b，即q⇒p， 所以a的取值范围是. 所以⇒－≤a<0. 解　(1)∵p⇒q，但q⇒p， 解　 (3)∵p⇒q，q⇒p， 即p⇒q，但q⇒p， 解　(1)∵p⇒q，q⇒ p， (2)∵x＞1⇒x≥0，但x≥0⇒x＞1， B项：－＜x＜0⇒－＜x＜3，但－＜x＜3⇒－＜x＜0，符合题意； C项：－1＜x＜6⇒－eq \f(1,2)＜x＜3，不充分； D项：－3＜x＜⇒－＜x＜3，不充分. 【例5】　(1)下列各项中是－＜x＜3的一个充分条件，但不是必要条件的是(　　) A.－＜x＜3 B.－＜x＜0 C.－1＜x＜6 D.－3＜x＜ 解析　A项：－eq \f(1,2)＜x＜3成立的充要条件； 解析　a＞4⇒a＞1，但a＞1⇒a＞4，故A符合. (2)由题意－＝1，∴m＝－2. 故有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m≥－2，,1＋m<10))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m>－2，,1＋m≤10，))解得m≤3. 解　设A＝{x|x＜－2或x＞3}，B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＜－\f(m,4))). 由题意BA，∴－≤－2， 甲：“实数a，b，c满足2b＝a＋c”，乙：“实数a，b，c满足eq \f(a,b)＋eq \f(c,b)＝2”，则甲是乙的(　　) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 当a＝b＝c＝0时，实数a，b，c满足2b＝a＋c，但此时eq \f(a,b)＋eq \f(c,b)＝2不成立； 反过来由eq \f(a,b)＋eq \f(c,b)＝2得a＋c＝2b，实数a，b，c满足2b＝a＋c. 综上所述，“实数a，b，c满足2b＝a＋c”是“实数a，b，c满足eq \f(a,b)＋eq \f(c,b)＝2”的必要不充分条件， 故选A. 充分性：∵ac<0，∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac>0， ∴方程一定有两个不等实根，分别设为x1，x2， 则x1x2＝eq \f(c,a)<0， ∴方程的两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根． 必要性：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根， 分别设为x1，x2，则由根与系数的关系，得 x1x2＝eq \f(c,a)<0，即ac<0. 综上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 解析　a＞1⇒|a|＞1，但|a|＞1⇒ a＞1. 解析　A中，当a<0<b时，<0<； B中，当b<a<0时，<<0； C中，当b<0<a时，<0<； 4.(多选题)下列式子中，能使eq \f(1,a)<eq \f(1,b)成立的充分条件有(　　 ) D中，当0<b<a时，0<eq \f(1,a)<eq \f(1,b)，故能使eq \f(1,a)<eq \f(1,b)成立的充分条件有ABD. 但由|a|>|b|不可以推出>. 解析　由eq \r(a)>eq \r(b)可得a>b≥0，可以推出|a|>|b|， 7.已知a，b都是实数，那么“|a|>|b|”是“eq \r(a)>eq \r(b)”的________条件 (填“充分”或“必要”). 4.使“x∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≥3或x≤－\f(1,2)))”成立的一个充分条件但不是必要条件的是(　　) A.x≥0 B.x<0或x>2 C.x∈{－1，3，5} D.x≤－eq \f(1,2)或x≥3 是使“x∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≥3或x≤－\f(1,2)))”成立的一个充分但不必要条件. 即∴m>3. 须 (2)当x＝eq \r(2)时，x2＝2，2是有理数，p⇒ q，所以p不是q的充分条件. (3)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝. (3)∵x＝1或x＝2⇒x－1＝， x－1＝⇒x＝1或x＝2， 四边形的四条边相等⇒四边形是正方形. 解　(1)∵a＋b＝0⇒a2＋b2＝0， D.由0<<⇒x>y.故选ACD. A.xt2>yt2 B.xt>yt C.x3>y3 D.0<< 但由0＜m＜eq \f(1,3)⇒0＜m＜eq \f(1,4)，若0<m<eq \f(1,4)， 则eq \f(2,m)>0，eq \f(3,m)>0，－3<－12m<0，从而4－12m＞0， 13.试说明0<m<eq \f(1,4)是方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不等实根的什么条件. 则∴0<m<. 13.试说明0<m<eq \f(1,4)是方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不等实根的什么条件. 即Δ>0，且>0，>0， 因此0<m<eq \f(1,4)是方程mx2－2x＋3＝0 有两个同号且不等实根的充分条件， 但不是必要条件. 此时－1≤2m＜1⇒－≤m＜； ②当m≥时，B＝∅，有B⊆A成立. 综上所述，所求m的取值范围是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m|m≥－\f(1,2))). ∴①当m＜时，B＝{x|2m＜x＜1}， ②当m≥时，不符合题意. 综上知，m的取值范围是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m|－\f(3,2)≤m＜－1)). 若(∁RA)∩B中只有一个整数，则－3≤2m＜－2，得－eq \f(3,2)≤m＜－1； ①当m＜时，B＝{x|2m＜x＜1}， 但(x－2)(x－3)＝0⇒ x－3＝0， (2)x＝2或x＝－2⇒ 的值为0. 但的值为0⇒x＝2或x＝－2， (2)p：x＝2或－2，q：的值为0； A.a>0 B.a>1 C.a≥－ D.a≠2 故a≥－eq \f(1,2)是二次函数图象开口向上的必要条件.但不是充分条件. 解析　由二次函数图象开口向上得a>0，因为a>0⇒a≥－eq \f(1,2)，而a≥－eq \f(1,2)⇒a>0， 若A≠∅，则由A⊆B，可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＋1≥3，,3a－5≤22，,3a－5≥2a＋1，)) 解　当a＝0时，原方程为一元一次方程2x＋1＝0，有一个负实根x＝－eq \f(1,2). 所以有即0＜a≤1. $$