专题02 数轴上的九类动态模型-2024-2025学年七年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（苏科版2024）

专题02 数轴上的九类动态模型 数轴中的动态问题属于七年级上册必考压轴题型，主要以数轴为载体，体现分类讨论和数形结合等思想，考查学生的分析与综合能力。解题时，一般遵循“点、线、式”三步策略。即：先根据题意中动点的出发位置，移动方向和速度，用含t的式子表示动点，然后根据题中要求提炼出线段，用动点的含t表达式表示线段，最后根据线段间的等量关系，列出式子，然后求解（要检验解是否符合动点的运动时间范围）。 模型1.动态规律（左右跳跃）模型 2 模型2.单（多）动点匀速模型 5 模型3.单（多）动点变速模型 9 模型4.动点往返运动模型 13 模型5.动态中点与n等分点模型 17 模型6.动态定值（无参型）模型 21 模型7.动态定值（含参型）模型 24 模型8.数轴折叠（翻折）模型 27 模型9.数轴上的线段移动模型 31 35 【知识储备】 ①若A、B两点在数轴上对应的数字是 a、b，则AB两点间的距离；AB的中点对应的数字是：。 ②数轴动点问题主要步骤： 1）画图——在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度； 2）写点——写出所有点表示的数：常用含t的代数式表示，向右运动用“+”表示，向左运动用“-”表示； 3）表示距离——右—左，若无法判定两点的左右需加绝对值； 4）列式求解——根据条件列方程或代数式，求值。 注意：要注意动点是否会来回往返运动，速度是否改变等。 ③分类讨论的思想： （1）数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，注意多种情况的分类讨论。 （2）对于两个动点P、Q，若点P、Q的左右位置关系不明确或有多种情况，可用p、q两数差的绝对值表示PQ 两点距离，从而避免复杂分类讨论。 模型1.动态规律（左右跳跃）模型 模型（1）：“1左1右”的等差数列式跳跃，两个一组根据规律计算即可； 模型（2）：“2左2右”的等差数列式跳跃，四个一组根据规律计算即可。 例1．（2023·江苏·泰州七年级阶段练习）在如图的数轴上，一动点Q从原点O出发，沿数轴以每秒钟4个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度，又向右移动5个单位长度… （1）求出2.5秒钟后动点Q所处的位置；（2）求出7秒钟后动点Q所处的位置； （3）如果在数轴上有一个定点A，且A与原点O相距48个单位长度，问：动点Q从原点出发，可能与点A重合吗？若能，则第一次与点A重合需多长时间？若不能，请说明理由． 例2．（2023·浙江·七年级期末）一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动，设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长度，表示第n秒时机器人在数轴上的位置所对应的数．给出下列结论：①；②；③；④．其中，正确结论的序号是_______． 变式1．（23-24七年级上·重庆·阶段练习）一个动点P从数轴上的原点O出发开始移动，第1次向右移动1个单位长度到达点，第2次向右移动2个单位长度到达点，第3次向左移动3个单位长度到达点，第4次向左移动4个单位长度到达点，第5次向右移动5个单位长度到达点，…，点P按此规律移动，则移动第2022次后到达的点在数轴上表示的数为（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 变式2．（2023·福建龙岩·七年级期末）如图，A点的初始位置在数轴上表示1的点上，先对A做如下移动：第一次向右移动3个单位长度到达点B，第二次从B点出发向左移动6个单位长度到达点C，第三次从C点出发向右移动9个单位长度到达点D，第四次从D点出发向左移动12个单位长度到达点E，……．以此类推，按照以上规律第（       ）次移动到的点到原点的距离为20. A．7 B．10 C．14 D．19 模型2.单（多）动点匀速模型 模型（1）:动点P从点A（点A在数轴上对应的数是a）出发，以每秒v个单位的速度向右移动，t秒后，到达B点，B点对应的数是：a+vt。 模型（1）:动点P从点A（点A在数轴上对应的数是a）出发，以每秒v个单位的速度向左移动，t秒后，到达C点，C点对应的数是：a-vt。 例1．（23-24七年级上·江西吉安·期中）【阅读材料】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美的结合，某数学兴趣小组探究数轴发现了一些重要的规律． 规律1：如图1，数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，则A、B两点间的距离可表示为： ①（即用右边点B表示的数减去左边点A表示的数）； ②（即两点表示的数之差的绝对值）． 规律2：数轴上A、B两点的中点M表示的数为 【简单应用】如图1，点A在数轴上所对应的数为，点B表示的数为4，P是数轴上一动点． （1）则A、B两点间的距离________， A、B两点的中点M表示的数为________； （2）若A、P两点间的距离，则点P表示的数为________． 【拓展运用】如图2，已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为，8，点A以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动，点B以每秒3个单位向左匀速运动，设运动时间为t秒（）． （3）用含t的式子填空：点A运动t秒后所在位置的点表示的数为________； 点B运动t秒后所在位置的点表示的数为________；此时A、B两点的中点M表示的数为________． （4）按上述方式运动， A、B两点经过多少秒会相距5个单位长度． 变式1．（23-24七年级上·河南商丘·期中）如图，相距的A、B两地间有一条笔直的马路，C地位于A、B两地之间且距A地，小明同学骑自行车从A地出发沿马路以每小时的速度向B地匀速运动，当到达B地后立即以原来的速度返回，到达A地时停止运动，设运动时间为t（小时），小明的位置为点P．    (1)以点C为坐标原点，以从A到B为正方向，用1个单位长度表示画数轴，指出点A所表示的有理数； (2)在（1）的数轴上，求时点P表示的有理数；(3)当小明距离C地1km时，直接写出所有满足条件的t值 变式2．（22-23七年级上·重庆江北·阶段练习）如图，A，B（A在B的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为﹣4，且，动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时动点Q从点B出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P，Q的运动过程中，M，N始终为，的中点，设运动时间为t（）秒． (1)当P，Q重合时，求t的值；(2)当时，求t的值； (3)当时，点P，Q停止运动，此时点M，N也随之停止运动，将线段沿数轴以每秒2个单位长度的速度滑动，从此刻开始，经过t秒后满足时，求t的值． 模型3.单（多）动点变速模型 例1．（2023·重庆九龙坡·七年级期末）已知数轴上的点，，，所表示的数分别是，，，，且．（1）求，，，的值；（2）点，沿数轴同时出发相向匀速运动，秒后两点相遇，点的速度为每秒4个单位长度，求点的运动速度； （3），两点以（2）中的速度从起始位置同时出发，向数轴正方向运动，与此同时，点以每秒1个单位长度的速度向数轴正方向开始运动，在秒时有，求的值； （4），两点以（2）中的速度从起始位置同时出发相向匀速运动，当点运动到点起始位置时，迅速以原来速度的2倍返回；到达出发点后，保持改后的速度又折返向点起始位置方向运动；当点运动到点起始位置时马上停止运动．当点停止运动时，点也停止运动．在此运动过程中，，两点相遇，求点，相遇时在数轴上对应的数（请直接写出答案）． 变式1．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）如图，点、、在数轴上对应的数分别是、、，且、满足，动点从点出发以单位/秒的速度向右运动，同时点从点出发，以个单位/秒速度向左运动，、两点之间为“变速区”，规则为从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点运动到点期间速度变为原来的倍，之后立刻恢复原速，设运动时间为秒． （1）____，____，、两点间的距离为____个单位；（2）①若动点从出发运动至点时，求的值；②当、两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数；（3）当___时，、两点到点的距离相等． 变式2．（2023·广东·七年级专题练习）如下图，数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为9，点D表示的数为13，在点B和点C处各折一下，得到一条“折线数轴”，我们称点A和点D在数轴上相距20个长度单位，动点P从点A出发，沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点Q从点D出发，沿着“折线数轴”的负方向运动，它们在“水平路线”射线BA和射线CD上的运动速度相同均为2个单位/秒，“上坡路段”从B到C速度变为“水平路线”速度的一半，“下坡路段”从C到B速度变为“水平路线”速度的2倍．设运动的时间为t秒，问：(1)动点Q从点C运动到点B需要的时间为______秒；(2)动点P从点A运动至D点需要的时间为多少秒？(3)当P、O两点在数轴上相距的长度与Q、O两点在数轴上相距的长度相等时，求出动点P在数轴上所对应的数． 模型4.动点往返运动模型 例1．（2023秋·河南驻马店·七年级统考期末）如图，数轴上有A， B两点，分别表示的数为，，且．点P从A点出发以每秒13个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当它到达B点后立即以相同的速度返回往A点运动，并持续在A，B两点间往返运动．在点P出发的同时，点Q从B点出发以每秒2个单位长度向左匀速运动，当点Q达到A点时，点P，Q停止运动．（1）填空：　 ，　 ；（2）求运动了多长时间后，点P，Q第一次相遇，以及相遇点所表示的数；（3）求当点P，Q停止运动时，点P所在的位置表示的数；（4）在整个运动过程中，点P和点Q一共相遇了几次．（直接写出答案） 变式1．（23-24七年级上·福建三明·期中）已知数轴上有、、三个点，分别表示有理数、、，动点从出发，以每秒个单位长度的速度向终点移动，设移动时间为秒．若用，，分别表示点与点、点、点的距离，试回答以下问题．    (1)当点运动秒时，______，______，______；(2)当点运动了秒时，请用含的代数式表示到点、点、点的距离：______，______，______； (3)经过几秒后，点到点、点的距离相等？此时点表示的数是多少？ (4)当点运动到点时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，点到达点后，再立即以同样速度返回，运动到终点．在点开始运动后，、两点之间的距离能否为个单位长度？如果能，请直接写出点表示的数；如果不能，请说明理由． 变式2．（2023·河南洛阳·七年级期末）数轴体现了数形结合的数学思想，若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A、B两点之间的距离表示为．如：点A表示的数为2，点B表示的数为3，则． 问题提出：(1)填空：如图，数轴上点A表示的数为−2，点B表示的数为13，A、B两点之间的距离______，线段AB的中点表示的数为______． (2)拓展探究：若点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发．以每秒2个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t秒（t>0）。①用含t的式子表示：t秒后，点Р表示的数为______；点Q表示的数为______；②求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数． (3)类比延伸：在（2）的条件下，如果P、Q两点相遇后按照原来的速度继续运动，当各自到达线段AB的端点后立即改变运动方向，并以原来的速度在线段AB上做往复运动，那么再经过多长时间P、Q两点第二次相遇．请直接写出所需要的时间和此时相遇点所表示的数． 模型5.动态中点与n等分点模型 例1．（2023·山东·七年级期末）定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的美好点． 例如：如图1，点A表示的数为－1，点B表示的数为2.表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的美好点，但点D是【B，A】的美好点． 如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为－7，点N所表示的数为2 (1)点E，F，G表示的数分别是－3，6.5，11，其中是【M，N】美好点的是 　 　；写出【N，M】美好点H所表示的数是 　 　．(2)现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点？ 变式1．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为8，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为AP，BP的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确的有（    ） ①点B对应的数是； ②点P到达点B时，；③时，；      ④在点P的运动过程中，线段MN的长度不变． A．2个 B．1个 C．4个 D．3个 变式2．（2023·安徽滁州·七年级校考阶段练习）在数轴上，若点、点表示的数分别是、，则、两点间的距离可以表示为，例如，在数轴上，表示数和数的两点间的距离是，表示数和数的两点间的距离是，利用上述结论，解决问题： (1)若，则=_____；(2)若有一个半径为的圆上有一点，与数轴上表示的点重合，将圆沿数轴无滑动的滚动周，点到达点的位置，则点表示的数为______用含有的代数式表示； (3)，为数轴上的两个动点，点表示的数为，点表示的数为，且，点C表示的数为，若点、、、三点中的某一点到另外两点的距离相等，求、的值． 模型6.动态定值（无参型）模型 设未知数并表示各动点对应的数，若是行程问题一般设运动时间为t，从而表示出两点之间的距离。当代数式的计算结果中不含有未知数t，则代数式为定值。 例1．（23-24七年级上·陕西渭南·期中）已知数轴上A，B，C三点对应的数分别为、3、5，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．点A与点P之间的距离表示为，点B与点P之间的距离表示为．    (1)若，求x的值；(2)若，求x的值；(3)若点P从点C出发，以每秒3个单位的速度向右运动，点A以每秒1个单位的速度向左运动，点B以每秒2个单位的速度向右运动，三点同时出发．设运动时间为t秒，试判断：的值是否发生变化？若不变化，求出这个定值，若变化，请说明理由． 变式1．（2023·江苏苏州·七年级期末）如图，射线上有三点，满足cm，cm，cm.点从点出发，沿方向以2cm/秒的速度匀速运动，点从点出发在线段上向点匀速运动，两点同时出发，当点运动到点时，点停止运动.(1)若点运动速度为3cm/秒，经过多长时间两点相遇?(2)当时，点运动到的位置恰好是线段的中点，求点的运动速度; (3)自点运动到线段上时，分别取和的中点，求的值. 变式2．（23-24七年级上·陕西西安·期末）如图，数轴上线段（单位长度），（单位长度），点A在数轴上表示的数是，点C在数轴上表示的数是16．若线段以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．设运动的时间为t秒，请解决下列问题： （1）当时，A点表示的数为_________，此时_________；（2）当运动到（单位长度）时，求运动时间t的值；（3）P是线段上一点，当点B运动到线段上时，若关系式成立，请直接写出此时线段的长：________． 模型7.动态定值（含参型）模型 例1．（2023·湖南衡阳·七年级校考阶段练习）如图，点表示的数是，点表示的数是，满足，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒，动点表示的数是． (1)直接写______，______，______用含的代数式表示； (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发， ①问点运动多少秒时追上点？②问点运动多少秒时与点相距个单位长度？并求出此时点表示的数；(3)点、以（2）中的速度同时分别从点、向右运动，同时点从原点以每秒个单位的速度向右运动，是否存在常数，使得的值为定值，若存在请求出值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 变式1．（2023·江苏·七年级专题练习）已知a、b满足，，且有理数a、b、c在数轴上对应的点分别为A、B、C． (1)则______，______，______．(2)点D是数轴上A点右侧一动点，点E、点F分别为中点，当点D运动时，线段的长度是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变，请求出其值； (3)若点A、B、C在数轴上运动，其中点C以每秒1个单位的速度向左运动，同时点A和点B分别以每秒3个单位和每秒2个单位的速度向右运动请问：是否存在一个常数m使得不随运动时间t的改变而改变若存在，请求出m和这个不变化的值；若不存在，请说明理由． 模型8.数轴折叠（翻折）模型 例1．（2023·江苏·七年级期中）平移和翻折是初中数学中两种重要的图形变化，阅读并回答下列问题： （一）平移：在平面内，讲一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移． （1）把笔尖放在数轴的原点处，先向左移动3个单位长度，再向右移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示的数是 ； （2）一个机器人从数轴上原点出发，并在数轴上移动2次，每次移动2个单位后到达B点，则B点表示的数是 ； （3）如图，数轴上点A表示的数为−1，点B表示的数为1，点P从5出发，若P，A两点的距离是A，B两点距离的2倍，则需将点P向左移动 个单位． （二）翻折：将一个图形沿着某一条直线折叠的运动． （4）若折叠纸条，表示−3的点与表示1的点重合，则表示−4的点与表示 的点重合； （5）若数轴上A，B两点之间的距离为10，点A在点B的左侧，A，B两点经折叠后重合，折痕与数轴相交于表示−1的点，则A点表示的数为 ； （6）在数轴上，点M表示是的数为4，点N表示的数为x，将点M，N两点重合后折叠，得折痕①，折痕①与数轴交于P点；将点M与点P重合后折叠，得折痕②，折痕②与数轴交于Q点．若此时点M与点Q的距离为2，则x＝ ． 变式1．（2023·山东·七年级月考）在数轴上，已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面． （1）若1表示的点与表示的点重合，则4表示的点与数______表示的点重合； （2）若-1表示的点与3表示的点重合，-3表示的点与数______表示的点重合； （3）若数p表示的点与原点重合，此时折线与数轴的交点表示的有理数是______； （3）若数轴上A、B两点之间的距离为m个单位长度，点A表示的有理数是a，并且A、B两点经折叠后重合，请写出此时折线与数轴的交点表示的有理数是______． 变式2．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）【思考背景】数轴是数学中的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，帮助我们更加直观的思考问题．平移和翻折是数学中两种重要的图形变化，从变化的角度观察数轴，可以提出很多有趣的问题： 【问题情境】 （1）平移运动：如图1，数轴上的一点向右移动4个单位长度，再向左移动1个单位长度到达点． ①______（用含的代数式表示）；②将点沿着数轴先向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度得到点，求点表示的数；③一机器人从原点开始，第1次向左移动1个单位，紧接着第2次向右移动2个单位，第3次向左移动3个单位，第4次向右移动4个单位，…，以此规律，当它移动2023次时，所在数轴上的点表示的数是______． （2）翻折变换：①若在原点处折叠数轴使之两侧重合，数轴上的点与点恰好重合，则点与点表示的数、满足关系：______； ②若以表示的点为折点，折叠数轴使之两侧重合，与表示的点重合的点在数轴上表示的数是______； ③如图2，一条数轴上有点、、，其中点、表示的数分别是、8，现以点为折点，将数轴向右对折重合，若点、对应重合的点分别为点、，点与点相距2个单位长度，请直接写出点表示的数． 【迁移拓展】请你结合以上情境，思考并提出一个合理的数学问题．（不要求作答） 模型9.数轴上的线段移动模型 例1．（2023·广东佛山·七年级阶段练习）如图，有两条线段，（单位长度），（单位长度）在数轴上，点在数轴上表示的数是-12，点在数轴上表示的数是15． （1）点在数轴上表示的数是______，点在数轴上表示的数是______，线段的长=______； （2）若线段以1个单位长度秒的速度向右匀速运动，同时线段以2个单位长度秒的速度向左匀速运动．当点与重合时，点与点在数轴上表示的数是多少？ （3）若线段以1个单位长度秒的速度向左匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度也向左匀速运动．设运动时间为秒，当为何值时，点与点之间的距离为1个单位长度？ 变式1．（2023·山东济南·七年级期末）在数学综合实践活动课上，小亮同学借助于两根小木棒m、n研究数学问题：如图，他把两根木棒放在数轴上，木棒的端点A、B、C、D在数轴上对应的数分别为a、b、c、d，已知|a＋5|＋（b＋1）2＝0，c＝3，d＝8． (1)求m和n的长度；(2)小亮把木棒m、n同时沿x轴正方向移动，m、n的速度分别为4个单位/s和3个单位/s，设平移时间为t（s）①若在平移过程中原点O恰好是木棒m的中点，则t＝ （s）； ②在平移过程中，当木棒m、n重叠部分的长为2个单位长度时，求t的值． 变式2．（2023·河南信阳·七年级校考期中）已知M，N两点在数轴上所表示的数分别为m，n，且m，n满足：|m﹣12|+（n+3）2＝0 （1）则m＝　 　，n＝　 　；（2）①情境：有一个玩具火车AB如图所示，放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，当点A移动到点B时，点B所对应的数为m，当点B移动到点A时，点A所对应的数为n．则玩具火车的长为　 　个单位长度：②应用：一天，小明问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已是老寿星，116岁了!”小明心想：奶奶的年龄到底是多少岁呢？聪明的你能帮小明求出来吗？（3）在（2）①的条件下，当火车AB以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点P和点Q从N、M出发，分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向左和向右运动．记火车AB运动后对应的位置为A′B′．是否存在常数k使得3PQ﹣kB′A的值与它们的运动时间无关？若存在，请求出k和这个定值；若不存在，请说明理由． 1．（2023·北京·七年级期末）已知有理数满足：．如图，在数轴上，点是原点，点所对应的数是，线段在直线上运动（点在点的左侧），， 下列结论①；②当点与点重合时，； ③当点与点重合时，若点是线段延长线上的点，则； ④在线段运动过程中，若为线段的中点，为线段的中点，则线段的长度不变． 其中正确的是（       ） A．①③ B．①④ C．①②③④ D．①③④ 2．（23-24七年级上·浙江台州·期末）已知点是数轴的原点，点、、在数轴上对应的数分别是，，，且，满足，动点从点出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点从点出发，以1个单位/秒速度向左运动，、两点之间为“变速区”，规则为从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点运动到点期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速，运动时间为 秒时，、两点到点的距离相等． 3．（2023·江苏·七年级专题练习）我们规定：数轴上的点到原点的距离为，如果数轴上存在某点，到点的距离是的整数倍，就把点称作点的倍关联点．当点所表示的数是时， (1)如果存在点的倍关联点，则_______；点所表示的数是_______； (2)如果点在数轴上所表示的两点之间运动，若存在点最大的倍关联点，则_______． 4．（23-24七年级上·陕西·阶段练习）如图，已知点是数轴上三点，为原点，点表示的数为．(1)点表示的数为__________，点对应的数为__________． (2)动点分别同时从点出发，分别以每秒6个单位长度和每秒3个单位的速度沿数轴正方向运动．点为线段的中点，点在线段上，且，若运动时间为秒．请用含的代数式分别表示点、点所表示的数．    5．（2023·广东深圳·七年级校联考期中）已知数轴上两点A、B对应的数分别是，M、N、P为数轴上三个动点，点M从A点出发，速度为每秒2个单位，点N从点B出发，速度为M点的3倍，点P从原点出发，速度为每秒1个单位．(1)若点M向右运动，同时点N向左运动，求多长时间点M与点N相距46个单位？(2)若点M、N、P同时都向右运动，求多长时间点P到点M，N的距离相等？ (3)当时间t满足时，M、N两点之间，N、P两点之间，M、P两点之间分别有47个、37个、10个整数点，请直接写出t1，t2的值． 6．（2023·河南南阳·七年级期中）如图：在数轴上点表示数点表示数点表示数是最小的正整数，且满足．（1）求的值；（2）若将数轴折叠，使点与点重合，则点与数_______表示的点重合；（3）点从点出发，以每秒个单位长度的速度在数轴上向点运动，当点到达点后立即返回，仍然以每秒个单位长度的速度运动至点停止，设运动时间为。①当时，求点表示的有理数；②当点表示的有理数与点的距离为个单位长度时，直接写出所有满足条件的值． 7．（2023·福建厦门·七年级校考期中）已知有理数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C，且满足，． (1)分别求a，b，c的值；(2)若点D在数轴上对应的数为x，当A、D间距离是B、C间距离的4倍时，请求出x的值；(3)若点A和点B分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为t秒，是否存在一个常数k，使得的值在一定时间范围内不随运动时间t的改变而改变？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 8．（2023福建·七年级期末）如图：在数轴上点表示数点示数点表示数是最大的负整数，在左边两个单位长度处，在右边个单位处。 ； ； ； 若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数_ __表示的点重合； 点开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为点与点之间的距离表示为点与点之间的距离表示为，则_ _，_ _，__ _；（用含的代数式表示） 请问:的值是否随着时间的变化而改变﹖若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 9．（23-24七年级上·广东佛山·期中）【阅读材料】若数轴上点、点表示的数分别为，（），则、两点间的距离可表示为，记作． 【解决问题】一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2个单位长度到达点，再向右移动10个单位长度到达点． (1)请画出数轴，并在数轴上标出、两点的位置； (2)若动点，分别从点，同时出发，沿数轴向左运动．已知点的速度是每秒1个单位长度，点的速度是每秒2个单位长度，设移动时间为秒（）． ①用含的代数式表示：秒时，点表示的数为______，点表示的数为______； ②为何值时，点表示的数与点表示的数互为相反数？ ③为何值时，，两点之间的距离为4？ 10．（23-24七年级上·重庆·阶段练习）阅读下面材料：若点在数轴上分别表示实数，则两点之间的距离表示为，且；回答下列问题：(1)①数轴上表示和2的两点和之间的距离是 ；②在①的情况下，如果，那么为 ；(2)代数式取最小值时，相应的的取值范围是 ． (3)若点在数轴上分别表示数，是最大的负整数，且， ①直接写出的值．②点同时开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．    11．（2023·河南漯河·七年级统考期中）操作探究：已知在纸上有一数轴（如图所示）． (1)操作一：折叠纸面，若使1表示的点与表示的点重合，则表示的点与________表示的点重合． (2)操作二：折叠纸面，若使表示的点与3表示的点重合，回答以下问题： ①5表示的点与数________表示的点重合；②若数轴上A，B两点之间距离为10（A在B左侧），且A，B两点经折叠后重合，则点A表示的数为________，点B表示的数为________； (3)操作三：点E以每秒3个单位长度的速度从数5对应的点沿着数轴的负方向运动，点F以每秒1个单位长度的速度从数对应的点沿着数轴的负方向运动，且两个点同时出发，请直接写出多少秒后，折叠纸面，使1表示的点与表示的点重合时，点E与点F也恰好重合． 12．（2023·山东·七年级期中）已知，如图，、、分别为数轴上的三个点，点对应的数为60，点在点的左侧，并且与点的距离为30，点在点左侧，点到距离是点到点距离的4倍． （1）求出数轴上点对应的数及的距离． （2）点从点出发，以3单位/秒的速度项终点运动，运动时间为秒． ①点点在之间运动时，则_______．（用含的代数式表示）；②点在点向点运动过程中，何时、、三点中其中一个点是另外两个点的中点？求出相应的时间． ③当点运动到点时，另一点以5单位/秒速度从点出发，也向点运动，点到达点后立即原速返回到点，那么点在往返过程中与点相遇几次？直接写出相遇是点在数轴上对应的数． 13．（2023·成都市·七年级专题练习）如下图，数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为9，点D表示的数为13，在点B和点C处各折一下，得到一条“折线数轴”，我们称点A和点D在数轴上相距20个长度单位，动点P从点A出发，沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点Q从点D出发，沿着“折线数轴”的负方向运动，它们在“水平路线”射线BA和射线CD上的运动速度相同均为2个单位/秒，“上坡路段”从B到C速度变为“水平路线”速度的一半，“下坡路段”从C到B速度变为“水平路线”速度的2倍．设运动的时间为t秒，问：(1)动点Q从点C运动到点B需要的时间为______秒；(2)动点P从点A运动至D点需要的时间为多少秒？(3)当P、O两点在数轴上相距的长度与Q、O两点在数轴上相距的长度相等时，求出动点P在数轴上所对应的数． 14．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知A，B，C三点在数轴上所对应的数分别为a，b，18，且a、b满足.动点M从点A出发，以2个单位长度/秒的速度向右运动，同时，动点N从点C出发，以1个单位长度/秒的速度向左运动，线段为“变速区”，规则为：从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速.当点M到达点C时，两点都停止运动.设运动的时间为t秒.    (1) ， ， ；(2)M，N两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数. (3)点D为线段中点，当t为多少秒时，？ 15．（22-23七年级上·四川成都·期中）已知数轴上有、、三点分别表示数，，，两只电子蚂蚁甲、乙分别从、两点同时相向而行，甲的速度为个单位秒，乙的速度为个单位秒． (1)问甲、乙在数轴上的哪个点相遇？(2)问多少秒后甲到、、三点的距离之和为个单位？若此时甲调头往回走，甲、乙还能在数轴上相遇吗？若能求出相遇点，若不能请说明理由． (3)若甲、乙两只电子蚂蚁（用表示甲蚂蚁，表示乙蚂蚁）分别从、两点同时相向而行，甲的速度变为原来的倍，乙的速度不变时，写出多少时间后，原点、甲蚂蚁与乙蚂蚁三点中，有一点恰好是另两点所在连线段的中点． 16．（2023·辽宁抚顺·七年级期末）如图，在数轴上有两个长方形和，这两个长方形的宽都是2个单位长度，长方形的长是4个单位长度，长方形的长是8个单位长度，点在数轴上表示的数是5，且两点之间的距离为12． （1）填空:点在数轴上表示的数是_________ ，点在数轴上表示的数是_________． （2）若线段的中点为，线段EH上有一点，， 以每秒4个单位的速度向右匀速运动，以每秒3个单位的速度向左运动，设运动时间为秒，求当多少秒时，． （3）若长方形以每秒2个单位的速度向右匀速运动，长方形固定不动，当两个长方形重叠部分的面积为6时，求长方形运动的时间． 17．（23-24七年级上·安徽滁州·阶段练习）在数轴上，一动点Q从原点O出发，沿着数轴以每秒4个单位长度的速度来回移动，第1次移动是向右移动1个单位长度，第2次移动是向左移动2个单位长度，第3次移动是向右移动3个单位长度，第4次移动是向左移动4个单位长度，第5次移动是向右移动5个单位长度，…，以此类推．（参考公式：） (1)第8次移动后，点Q在表示数___________的位置上，运动时间为___________秒； (2)求7秒后动点Q所在的位置； (3)如果在数轴上有一个定点A，且点A在原点O的左侧，相距原点O24个单位长度，问：动点Q从原点出发，移动后可能与点A重合吗？若能，第一次与点A重合需要多长时间？若不能，请说明理由． 18．（22-23七年级上·广东揭阳·期中）如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示-10，点B表示10，点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位．动点P、Q同时开始运动，点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，直至点C处停止运动；点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速，直至点A处停止运动．设运动的时间为t秒．问：(1)动点P从点A运动至C点需要多少时间？(2)P、Q两点何时相遇？相遇时，求出相遇点M所对应的数是多少？(3)在整个运动过程中，当t为何值时，P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等．（直接写出结果） 19．（2023·江苏盐城·七年级期中）如图，点、、在数轴上对应的数分别是、、，且、满足，动点从点出发以单位/秒的速度向右运动，同时点从点出发，以个单位/秒速度向左运动，、两点之间为“变速区”，规则为从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点运动到点期间速度变为原来的倍，之后立刻恢复原速，设运动时间为秒． （1）____，____，、两点间的距离为____个单位；（2）①若动点从出发运动至点时，求的值；②当、两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数；（3）当___时，、两点到点的距离相等． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 数轴上的九类动态模型 数轴中的动态问题属于七年级上册必考压轴题型，主要以数轴为载体，体现分类讨论和数形结合等思想，考查学生的分析与综合能力。解题时，一般遵循“点、线、式”三步策略。即：先根据题意中动点的出发位置，移动方向和速度，用含t的式子表示动点，然后根据题中要求提炼出线段，用动点的含t表达式表示线段，最后根据线段间的等量关系，列出式子，然后求解（要检验解是否符合动点的运动时间范围）。 模型1.动态规律（左右跳跃）模型 2 模型2.单（多）动点匀速模型 5 模型3.单（多）动点变速模型 9 模型4.动点往返运动模型 13 模型5.动态中点与n等分点模型 17 模型6.动态定值（无参型）模型 21 模型7.动态定值（含参型）模型 24 模型8.数轴折叠（翻折）模型 27 模型9.数轴上的线段移动模型 31 35 【知识储备】 ①若A、B两点在数轴上对应的数字是 a、b，则AB两点间的距离；AB的中点对应的数字是：。 ②数轴动点问题主要步骤： 1）画图——在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度； 2）写点——写出所有点表示的数：常用含t的代数式表示，向右运动用“+”表示，向左运动用“-”表示； 3）表示距离——右—左，若无法判定两点的左右需加绝对值； 4）列式求解——根据条件列方程或代数式，求值。 注意：要注意动点是否会来回往返运动，速度是否改变等。 ③分类讨论的思想： （1）数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，注意多种情况的分类讨论。 （2）对于两个动点P、Q，若点P、Q的左右位置关系不明确或有多种情况，可用p、q两数差的绝对值表示PQ 两点距离，从而避免复杂分类讨论。 模型1.动态规律（左右跳跃）模型 模型（1）：“1左1右”的等差数列式跳跃，两个一组根据规律计算即可； 模型（2）：“2左2右”的等差数列式跳跃，四个一组根据规律计算即可。 例1．（2023·江苏·泰州七年级阶段练习）在如图的数轴上，一动点Q从原点O出发，沿数轴以每秒钟4个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度，又向右移动5个单位长度… （1）求出2.5秒钟后动点Q所处的位置；（2）求出7秒钟后动点Q所处的位置； （3）如果在数轴上有一个定点A，且A与原点O相距48个单位长度，问：动点Q从原点出发，可能与点A重合吗？若能，则第一次与点A重合需多长时间？若不能，请说明理由． 【答案】（1）-2 ；（2）4 ；（3）1140秒或1164秒． 【分析】（1）先根据路程=速度×时间求出2.5秒钟走过的路程，然后根据左减右加列式计算即可得解； （2）先根据路程=速度×时间求出7秒钟走过的路程，然后根据左减右加列式计算即可得解； （3）分点A在原点左边与右边两种情况分别求出动点走过的路程，然后根据时间=路程÷速度计算即可得解． 【详解】解：（1）∵4×2.5=10，∴点Q走过的路程是1+2+3+4=10，Q处于：1-2+3-4=4-6=-2； （2）∵4×7=28，∴点Q走过的路程是1+2+3+4+5+6+7=28，Q处于：1-2+3-4+5-6+7=-3+7=4； （3）①当点A在原点右边时，设需要第n次到达点A，则，解得n=95， ∴动点Q走过的路程是1+|-2|+3+|-4|+5+…+|-94|+95=1+2+3+…+95==4560， ∴时间=4560÷4=1140(秒)； ②当点A原点左边时，设需要第n次到达点A，则=48，解得n=96， ∴动点Q走过的路程是1+|-2|+3+|-4|+5+…+95+|-96|=1+2+3+…+96==4656， ∴时间=4656÷4=1164(秒) ． 【点睛】本题考查了数轴的知识，弄清题中的移动规律是解本题的关键．（3）题注意要分情况讨论求解，弄清楚跳到点A处的次数的计算方法是关键，可以动手操作一下便不难得解． 例2．（2023·浙江·七年级期末）一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动，设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长度，表示第n秒时机器人在数轴上的位置所对应的数．给出下列结论：①；②；③；④．其中，正确结论的序号是_______． 【答案】①②④ 【分析】“前进3步后退2步”这5秒组成一个循环结构，先根据题意列出几组数据，从数据找寻规律：第一个循环节结束的数即x5=1，第二个循环节结束的数即x10=2，第三个循环节结束的数即x15=3，…，第m个循环节结束的数就是第5m个数，即x5m=m．然后再根据“前进3步后退2步”的运动规律来求取对应的数值． 【详解】根据题意可知：x1=1，x2=2，x3=3，x4=2，x5=1， x6=2，x7=3，x8=4，x9=3，x10=2，x11=3，x12=4，x13=5，x14=4，x15=3，…由上列举知①②正确，符合题意； 由上可知：第一个循环节结束的数即x5=1，第二个循环节结束的数即x10=2，第三个循环节结束的数即x15=3，…，即第m个循环节结束的数即x5m=m． ∵x100=20，∴x101=21，x102=22，x103=23，x104=22， ∵x105=21，∴x106=22，x107=23，x108=24故x108＞x104，故③错误，不合题意； ∵x2015=403，∴x2016=404，x2017=405，x2018=406，x2019=405，x2020=404， 故x2019＞x2020，故④正确．符合题意．故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了规律型——数字的变化类，主要考查了数轴，要注意数轴上点的移动规律是“左减右加”．把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来．前进3步后退2步”这5秒组成一个循环结构，让n÷5看余数，余数是几，那么第n秒时就是循环节中对应的第几个数． 变式1．（23-24七年级上·重庆·阶段练习）一个动点P从数轴上的原点O出发开始移动，第1次向右移动1个单位长度到达点，第2次向右移动2个单位长度到达点，第3次向左移动3个单位长度到达点，第4次向左移动4个单位长度到达点，第5次向右移动5个单位长度到达点，…，点P按此规律移动，则移动第2022次后到达的点在数轴上表示的数为（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】D 【分析】分别求出部分点表示的数，发现规律为每移动四次相当于向左移动4个单位长度，再由2022÷4=505……2，可得，即为在数轴上表示的数． 【详解】解：∵表示的数为+1，表示的数为+3，表示的数为0，表示的数为，表示的数为+1，.....， ∴每移动四次相当于向左移动4个单位长度， ∵2022÷4=505……2，∴， ∴在数轴上表示的数为2023，故选：D． 【点睛】本题考查数字的变化规律，通过计算，探索出点表示的数的循环规律是解题的关键． 变式2．（2023·福建龙岩·七年级期末）如图，A点的初始位置在数轴上表示1的点上，先对A做如下移动：第一次向右移动3个单位长度到达点B，第二次从B点出发向左移动6个单位长度到达点C，第三次从C点出发向右移动9个单位长度到达点D，第四次从D点出发向左移动12个单位长度到达点E，……．以此类推，按照以上规律第（       ）次移动到的点到原点的距离为20. A．7 B．10 C．14 D．19 【答案】C 【分析】次数的序号为奇数的点在点A的右边，各点所表示的数依次增加3，序号为偶数的点在点A的左侧，各点所表示的数依次减少3，用n的代数式表示出一般规律，即可解答． 【详解】解：第1次点A向右移动3个单位长度至点B，则B表示的数，1+3=4； 第2次从点B向左移动6个单位长度至点C，则C表示的数为46=2； 第3次从点C向右移动9个单位长度至点D，则D表示的数为2+9=7； 第4次从点D向左移动12个单位长度至点E，则E表示的数为712=5； 第5次移动后表示的数为5+15=10；第6次移动后表示的数为1018=8；…； 当移动次数为奇数时，对应的数是4，7，10，…，第n次移动后表示的数是， 当时，解得，n=（不符合题意，舍去）． 当移动次数为偶数时，对应的数是2，5，8，…， 第n次移动后表示的数是，当时，解得，n=14．故选：C． 【点睛】本题考查数字的变化规律，根据所给点的运动关系，探索出对应点所表示数的一般规律是解题的关键． 模型2.单（多）动点匀速模型 模型（1）:动点P从点A（点A在数轴上对应的数是a）出发，以每秒v个单位的速度向右移动，t秒后，到达B点，B点对应的数是：a+vt。 模型（1）:动点P从点A（点A在数轴上对应的数是a）出发，以每秒v个单位的速度向左移动，t秒后，到达C点，C点对应的数是：a-vt。 例1．（23-24七年级上·江西吉安·期中）【阅读材料】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美的结合，某数学兴趣小组探究数轴发现了一些重要的规律． 规律1：如图1，数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，则A、B两点间的距离可表示为： ①（即用右边点B表示的数减去左边点A表示的数）； ②（即两点表示的数之差的绝对值）． 规律2：数轴上A、B两点的中点M表示的数为 【简单应用】如图1，点A在数轴上所对应的数为，点B表示的数为4，P是数轴上一动点． （1）则A、B两点间的距离________， A、B两点的中点M表示的数为________； （2）若A、P两点间的距离，则点P表示的数为________． 【拓展运用】如图2，已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为，8，点A以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动，点B以每秒3个单位向左匀速运动，设运动时间为t秒（）． （3）用含t的式子填空：点A运动t秒后所在位置的点表示的数为________； 点B运动t秒后所在位置的点表示的数为________；此时A、B两点的中点M表示的数为________． （4）按上述方式运动， A、B两点经过多少秒会相距5个单位长度． 【答案】【小问1】9，  【小问2】或2   【小问3】，，    【小问4】或 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，并结合题意求得对应点的位置和中点位置， （1）根据题目给定的距离公式即可求得； （2）利用点P与点A的位置关系或两点表示的数之差的绝对值即可求得答案； （3）点A以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动，点B以每秒3个单位向左匀速运动即可写出点A和点B在t秒后所在位置的点表示的数，结合题目所给中点表示方法即可解得答案； （4）根据相遇前与相遇后的等量关系分类讨论列一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：（1）∵点A在数轴上所对应的数为，点B表示的数为4，∴， 点M在数轴上所对应的数为．故答案为：9， （2）∵若A、P两点间的距离，点A在数轴上所对应的数为， 当P点在A点左边时，则P点的为：， 当P点在A点右边时，则P点的为：，故答案为：， （3）点A运动t秒后所在位置的点表示的数为：， 点B运动t秒后所在位置的点表示的数为：， 此时A、B两点的中点M表示的数为：． 故答案为：，， （4）设它们按上述方式运动，A、B两点经过t秒会相距5个单位长度， 当点A在点B左侧时：解得； 当点A在点B右侧时：解得； 答：它们按上述方式运动，A、B两点经过秒或秒会相距5个单位长度． 变式1．（23-24七年级上·河南商丘·期中）如图，相距的A、B两地间有一条笔直的马路，C地位于A、B两地之间且距A地，小明同学骑自行车从A地出发沿马路以每小时的速度向B地匀速运动，当到达B地后立即以原来的速度返回，到达A地时停止运动，设运动时间为t（小时），小明的位置为点P．    (1)以点C为坐标原点，以从A到B为正方向，用1个单位长度表示画数轴，指出点A所表示的有理数； (2)在（1）的数轴上，求时点P表示的有理数；(3)当小明距离C地1km时，直接写出所有满足条件的t值 【答案】(1)(2)(3)的值是或或或 【分析】（1）根据千米，且一个单位长度表示，点为坐标原点，从到为正方向，即可得到答案；（2）根据速度时间路程，计算出小时行走的路程，再减去2即可得到答案； （3）分四种情况：从到，当小明在点的左边时；从到，当小明在C点的右边时；返回时小明在C点的右边；返回时小明在点的左边，分别进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：千米，且一个单位长度表示，点为坐标原点，从到为正方向， 点所表示的有理数是； （2）解：，时，点所表示的有理数是； （3）解：从到，当小明在点的左边时，， 从到，当小明在C点的右边时，， 之间的距离是，点所表示的有理数是，点表示的数为， 当返回时小明在C点的右边时，， 当返回时小明在点的左边时，， 综上所述，当小明距离地时，的值是或或或． 【点睛】本题主要考查了数轴，熟练掌握行程问题中速度、时间和路程的关系是解此题的关键． 变式2．（22-23七年级上·重庆江北·阶段练习）如图，A，B（A在B的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为﹣4，且，动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时动点Q从点B出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P，Q的运动过程中，M，N始终为，的中点，设运动时间为t（）秒． (1)当P，Q重合时，求t的值；(2)当时，求t的值； (3)当时，点P，Q停止运动，此时点M，N也随之停止运动，将线段沿数轴以每秒2个单位长度的速度滑动，从此刻开始，经过t秒后满足时，求t的值． 【答案】(1)(2)(3)或 【分析】（1）由题意得P表示的数为，Q表示的数为，当P、Q重合时，，解得即可；（2）分别表示出M表示的数为，N表示的数为，则，当时，，解得即可；（3）分别表示此时M、N所表示的数，线段沿数轴向左或向右滑动时，分别列出等式解得即可． 【详解】（1）P表示的数为：，B表示的数为,Q表示的数为， 当P、Q重合时，，解得； （2）M，N始终为，的中点， M表示的数为：，N表示的数为，， 当时，即， 当时，（舍）； 当时，； 当时，； （3），，这时， M表示的数为-14，N表示的数为， 当线段沿数轴向左滑动时，M表示的数为，N表示的数为， 此时， ， 当时，，此时舍去； 当线段沿数轴向右滑动时，M表示的数为，N表示的数为， 这时 ，， 当时，， 化简得：当时，； 当时，； 综上所述，当或时，． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用以及数轴的表示，解题的关键是读懂题意找出等量关系正确列出一元一次方程． 模型3.单（多）动点变速模型 例1．（2023·重庆九龙坡·七年级期末）已知数轴上的点，，，所表示的数分别是，，，，且．（1）求，，，的值；（2）点，沿数轴同时出发相向匀速运动，秒后两点相遇，点的速度为每秒4个单位长度，求点的运动速度； （3），两点以（2）中的速度从起始位置同时出发，向数轴正方向运动，与此同时，点以每秒1个单位长度的速度向数轴正方向开始运动，在秒时有，求的值； （4），两点以（2）中的速度从起始位置同时出发相向匀速运动，当点运动到点起始位置时，迅速以原来速度的2倍返回；到达出发点后，保持改后的速度又折返向点起始位置方向运动；当点运动到点起始位置时马上停止运动．当点停止运动时，点也停止运动．在此运动过程中，，两点相遇，求点，相遇时在数轴上对应的数（请直接写出答案）． 【答案】（1），，，；（2）点C的运动速度为每秒2个单位；（3）或20；（4），，． 【分析】（1）根据平方数和绝对值的非负性计算即可； （2）设点C运动速度为x，由题意得：，即可得解； （3）根据题意分别表示出AC，BD，在进行分类讨论计算即可； （4）根据点A，C相遇的时间不同进行分类讨论并计算即可； 【详解】（1）∵， ∴，∴，，，； （2）设点C运动速度为x，由题意得：，解得：， ∴点C的运动速度为每秒2个单位； （3）t秒时，点A数为，点B数为-12，点C数为，点D数为， ∴，， ∵，∴①时，，解得：； ②20-2t＜0时，即t＞10，，解得：；∴或20． （4）C点运动到A点所需时间为，所以A，C相遇时间，由（2）得时，A，C相遇点为，A到C再从C返回到A，用时； ①第一次从点C出发时，若与C相遇，根据题意得，＜10，此时相遇数为；②第二次与C点相遇，得，解得＜10，此时相遇点为；∴A，C相遇时对应的数为：，，． 【点睛】本题主要考查了数轴的动点问题，准确分析计算是解题的关键． 变式1．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）如图，点、、在数轴上对应的数分别是、、，且、满足，动点从点出发以单位/秒的速度向右运动，同时点从点出发，以个单位/秒速度向左运动，、两点之间为“变速区”，规则为从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点运动到点期间速度变为原来的倍，之后立刻恢复原速，设运动时间为秒． （1）____，____，、两点间的距离为____个单位；（2）①若动点从出发运动至点时，求的值；②当、两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数；（3）当___时，、两点到点的距离相等． 【答案】（1）9，20，32；（2）①；②相遇点对应的数为6；（3）当t=12或25时，点P、Q到点B的距离相等． 【分析】（1）根据可先求出b、c的值，然后再由数轴两点距离可求解； （2）①点P从点A运动到点C可得当点P在AO上时，点P在OB上时及点P在BC上时，然后分别求出时间，进而问题可求解；②由题意易得当点C到达变速点B时，点P所运动到的位置可求，然后再根据相遇问题进行求解，最后在利用数轴求解即可；（3）由（1）（2）及题意可分：①当时，②当时，③当点Q的速度变为3单位/秒时，即，④当点Q和点P都过了“变速区”，即，然后根据数轴两点距离及线段的和差关系进行列方程求解即可． 【详解】解：（1）∵，∴，∴， ∴A、C两点距离为：；故答案为9，20，32； （2）①由题意可分：当点P从A运动到O和从B运动到C时，所需时间为：， 点P从点O到点B属于变速区，所以速度为2÷2=1单位/秒，此时所需时间为9÷1=9s， ∴点P从点A到点C的时间为：； ②当点C到达变速点B时，所需时间为11÷1=11s，此时点P运动的路程为：，即在数轴上所表示的数为5，此时点Q的速度为1×3=3单位/秒， ∴，∴5+1×1=6，∴相遇点所表示的数为6； （3）由（1）（2）及题意可分：①当时，如图所示： 则有AB=21，AP=2t，PB=21-2t，BC=11，BQ=11-t， ∵BP=BQ，∴，解得：（不符合题意，舍去）； ②当时，如图所示： ∵点P的速度为1单位/秒，Q速度不变，∴，BQ=11-t， ∵PB=BQ，∴，方程无解； ③当点Q的速度变为3单位/秒时，即，如图所示： ∴PB=15-t，， ∵PB=BQ，∴，解得t=12， ④当点Q和点P都过了“变速区”，即，如图所示： ∴，， ∵PB=BQ，∴，解得：； 综上所述：当t=12或25时，点P、Q到点B的距离相等；故答案为12或25． 【点睛】本题主要考查数轴上的动点问题及线段的和差、一元一次方程的解法，熟练掌握数轴上的动点问题及线段的和差、一元一次方程的解法是解题的关键． 变式2．（2023·广东·七年级专题练习）如下图，数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为9，点D表示的数为13，在点B和点C处各折一下，得到一条“折线数轴”，我们称点A和点D在数轴上相距20个长度单位，动点P从点A出发，沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点Q从点D出发，沿着“折线数轴”的负方向运动，它们在“水平路线”射线BA和射线CD上的运动速度相同均为2个单位/秒，“上坡路段”从B到C速度变为“水平路线”速度的一半，“下坡路段”从C到B速度变为“水平路线”速度的2倍．设运动的时间为t秒，问：(1)动点Q从点C运动到点B需要的时间为______秒；(2)动点P从点A运动至D点需要的时间为多少秒？(3)当P、O两点在数轴上相距的长度与Q、O两点在数轴上相距的长度相等时，求出动点P在数轴上所对应的数． 【答案】(1)2.5(2)15(3) 【分析】（1）求出BC长度，“下坡路段”速度是4个单位/秒，即得动点Q从点C运动到点B的时间； （2）先求出AB，BC，CD的长度，再根据“水平路线”速度是2个单位/秒，从B到C速度变为“水平路线”速度的一半，即得动点P从点A运动至D点需要的时间；（3）设运动时间为秒，分四种情况：①当0≤t≤2，②当2＜t≤3，③当3<t<4.5，④当4.5＜t≤7.5，列方程求出t． 【详解】（1）∵点B表示的数为-1，点C表示的数为9，∴BC=1-(-9)=10(个单位)， ∵“下坡路段”从C到B速度变为“水平路线”速度的2倍，“水平路线”速度是2个单位/秒， ∴“下坡路段”速度是4个单位/秒，∴动点Q从点C运动到点B需要的时间为10÷4=2.5(秒)； （2）根据题意知：AB=|-7-(-1)|=6(个单位)，BC=1-(-9)=10(个单位)，CD=13-9=4(个单位)， ∴“水平路线”速度是2个单位/秒，从B到C速度变为“水平路线”速度的一半， ∴动点P从点A运动至D点需要的时间为6÷2+10÷+4÷2=3+10+2=15(秒)； （3）设运动时间为t秒，①当0≤t≤2，即P在AB上，Q在CD上，显然P、O两点在数轴上相距的长度与Q、O两点在数轴上相距的长度不会相等； ②当2＜t≤3，即P在AB上，Q在CB上时，P表示的数是-7+2t，Q表示的数是9-4(t-2)， ∴0-(-7+2t)=9-4(t-2)-0，解得t=5，此时P已不在AB上，不符合题意，这种情况不存在； ③当3<t<4.5，即P在BC上，Q在CB上时，P表示的数是-1+(t-3)=t-4，Q表示的数是9-4(t-2)=17-4t， ∴|t-4|=|17-4t|，解得t=或t=，∴P表示的数是或； ④当4.5＜t≤7.5，即P在BC上，Q在AB上时，P表示的数是t-4，Q表示的数是-1-2(t-4.5)=8-2t， ∴t-4-0=0-(8-2t)，解得t=4(不合题意，舍去)， 综上所述，当P、O两点在数轴上相距的长度与Q、O两点在数轴上相距的长度相等时，动点P在数轴上所对应的数是或． 【点睛】本题考查数轴上的动点问题，解题关键是用含t的代数式表示动点表示的数，据运动过程分类讨论． 模型4.动点往返运动模型 例1．（2023秋·河南驻马店·七年级统考期末）如图，数轴上有A， B两点，分别表示的数为，，且．点P从A点出发以每秒13个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当它到达B点后立即以相同的速度返回往A点运动，并持续在A，B两点间往返运动．在点P出发的同时，点Q从B点出发以每秒2个单位长度向左匀速运动，当点Q达到A点时，点P，Q停止运动．（1）填空：　 ，　 ；（2）求运动了多长时间后，点P，Q第一次相遇，以及相遇点所表示的数；（3）求当点P，Q停止运动时，点P所在的位置表示的数；（4）在整个运动过程中，点P和点Q一共相遇了几次．（直接写出答案） 【答案】（1） ， （2）运动时间为4秒，相遇点表示的数字为27 ；（3）5;(4) 一共相遇了7次. 【分析】（1）根据0+0式的定义即可解题；（2）设运动时间为秒,表示出P,Q的运动路程,利用路程和等于AB长即可解题；（3）根据点Q达到A点时，点P，Q停止运动求出运动时间即可解题；（4）根据第三问点P运动了6个来回后，又运动了30个单位长度即可解题. 【详解】解：（1） ，     （2）设运动时间为秒   解得           答：运动时间为4秒，相遇点表示的数字为27      （3）运动总时间：60÷2=30（秒），13×30÷60=6…30即点P运动了6个来回后，又运动了30个单位长度, ∵，∴点P所在的位置表示的数为5 .                             （4）由（3）得：点P运动了6个来回后，又运动了30个单位长度,∴点P和点Q一共相遇了6+1=7次. 【点睛】本题考查一元一次方程实际应用,数轴的应用,难度较大,熟悉路程,时间,速度之间的关系是解题关键. 变式1．（23-24七年级上·福建三明·期中）已知数轴上有、、三个点，分别表示有理数、、，动点从出发，以每秒个单位长度的速度向终点移动，设移动时间为秒．若用，，分别表示点与点、点、点的距离，试回答以下问题．    (1)当点运动秒时，______，______，______；(2)当点运动了秒时，请用含的代数式表示到点、点、点的距离：______，______，______； (3)经过几秒后，点到点、点的距离相等？此时点表示的数是多少？ (4)当点运动到点时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，点到达点后，再立即以同样速度返回，运动到终点．在点开始运动后，、两点之间的距离能否为个单位长度？如果能，请直接写出点表示的数；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)，，；(2)，，；(3)；(4)，，，． 【分析】（）根据题意求得时，点的位置，进而求得两点距离；（）先表示出点的位置表示的数，进而求得两点距离；（）根据题意，列一元一次方程，解方程求解即可；（）分点到达点之前，和点到达点之后，两种情形，根据两点距离为，建立一元一次方程解方程求解即可； 此题考查了数轴上动点问题，数轴上两点距离问题，一元一次方程的应用，数形结合是解题的关键． 【详解】（1）∵、、三个点，分别表示有理数、、，动点从出发，以每秒个单位长度的速度向终点移动，设移动时间为秒， ∴时，点表示的数为， ∴当点运动秒时，，，， 故答案为：，，； （2）依题意，当点运动了秒时，则，点表示的数为， ∴，， 故答案为：，，； （3）∵，∴，即或，解得：， ∴点表示的数为； （4）根据题意，设经过秒后、两点之间的距离为个单位长度，点运动到点需要的时间为：（秒） 当点未到达点，    此时，，则点表示的数为，点表示的数为， 则，即或， 解得：或，∴点表示的数为或； 当点从点返回后，此时，，    则点表示的数为，点表示的数为， 则，即或， 解得或，∴点表示的数为或， 综上所述，点表示的数为，，，． 变式2．（2023·河南洛阳·七年级期末）数轴体现了数形结合的数学思想，若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A、B两点之间的距离表示为．如：点A表示的数为2，点B表示的数为3，则． 问题提出：(1)填空：如图，数轴上点A表示的数为−2，点B表示的数为13，A、B两点之间的距离______，线段AB的中点表示的数为______． (2)拓展探究：若点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发．以每秒2个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t秒（t>0） ①用含t的式子表示：t秒后，点Р表示的数为______；点Q表示的数为______； ②求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数． (3)类比延伸：在（2）的条件下，如果P、Q两点相遇后按照原来的速度继续运动，当各自到达线段AB的端点后立即改变运动方向，并以原来的速度在线段AB上做往复运动，那么再经过多长时间P、Q两点第二次相遇．请直接写出所需要的时间和此时相遇点所表示的数． 【答案】(1)；(2)①；；②当t为3时，P、Q两点相遇；相遇点所表示的数是7 (3)所需要的时间为9秒；相遇点所表示的数是1 【分析】（1）由A表示的数为−2，点B表示的数为13，即得AB＝15，线段AB的中点表示的数为；（2）①t秒后，点P表示的数为−2＋3t，点Q表示的数为 13−2t； ②根据题意得：−2＋3t＝13−2t，即可解得t＝3，相遇点所表示的数为−2＋3×3＝7； （3）由已知返回途中，P表示的数是13−3（t−5），Q表示的数是−2＋2（t−），即得：13−3（t−5）＝−2＋2（t−），可解得t＝9，第二次相遇点所表示的数为：13−3×（9−5）＝1． (1)∵A表示的数为−2，点B表示的数为13， ∴AB＝|13−（−2）|＝15，线段AB的中点表示的数为；故答案为：15；． (2)①t秒后，点P表示的数为−2＋3t，点Q表示的数为13−2t；故答案为：−2＋3t；13−2t． ②根据题意得：−2＋3t＝13−2t，解得t＝3，相遇点所表示的数为−2＋3×3＝7； 答：当t为3时，P，Q两点相遇，相遇点所表示的数是7． (3)由已知得：P运动5秒到B，Q运动秒到A， 返回途中，P表示的数是13−3（t−5），Q表示的数是−2＋2（t−）， 根据题意得：13−3（t−5）＝−2＋2（t−），解得t＝9， 第二次相遇点所表示的数为：13−3×（9−5）＝1， 答：所需要的时间为9秒，相遇点所表示的数是1． 【点睛】本题考查一元一次方程应用，解题的关键是读懂题意，用含t的代数式表示运动后的点所表示的数． 模型5.动态中点与n等分点模型 例1．（2023·山东·七年级期末）定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的美好点． 例如：如图1，点A表示的数为－1，点B表示的数为2.表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的美好点，但点D是【B，A】的美好点． 如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为－7，点N所表示的数为2 (1)点E，F，G表示的数分别是－3，6.5，11，其中是【M，N】美好点的是 　 　；写出【N，M】美好点H所表示的数是 　 　． (2)现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点？ 【答案】(1)G；－4或－16(2)1.5，2.25，3，6.75，9，13.5 【分析】（1）根据美好点的定义，结合图2，直观考察点E，F，G到点M，N的距离，只有点G符合条件．结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，在点的移动过程中注意到两个点的距离的变化．（2）根据没好点的定义，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况，须区分各种情况分别确定P点的位置，进而可确定t的值． 【详解】（1）解：根据美好点的定义，GM＝18，GN＝9，GM＝2GN，，只有点G符合条件，答案：G． 结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，点N的右侧不存在满足条件的点，点M和N之间靠近点M一侧应该有满足条件的点，进而可以确定－4符合条件．点M的左侧距离点M的距离等于点M和点N的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是－16．答案－4或－16； （2）解：根据美好点的定义，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况， 第一情况：当P为【M，N】的美好点，点P在M，N之间，如图1， 当MP＝2PN时，PN＝3，点P对应的数为2－3＝－1，因此t＝1.5秒； 第二种情况，当P为【N，M】的美好点，点P在M，N之间，如图2， 当2PM＝PN时，NP＝6，点P对应的数为2－6＝－4，因此t＝3秒； 第三种情况，P为【N，M】的美好点，点P在M左侧，如图3， 当PN＝2MN时，NP＝18，点P对应的数为2－18＝－16，因此t＝9秒； 第四种情况，M为【P，N】的美好点，点P在M左侧，如图4， 当MP＝2MN时，NP＝27，点P对应的数为2－27＝－25，因此t＝13.5秒； 第五种情况，M为【N，P】的美好点，点P在M左侧，如图5， 当MN＝2MP时，NP＝13.5，点P对应的数为2－13.5＝－11.5，因此t＝6.75秒； 第六种情况，M为【N，P】的美好点，点P在M，N左侧，如图6，当MN＝2MP时，NP＝4.5，因此t＝2.25秒； 第七种情况，N为【P，M】的美好点，点P在M左侧，当PN＝2MN时，NP＝18，因此t＝9秒， 第八种情况，N为【M，P】的美好点，点P在M右侧，当MN＝2PN时，NP＝4.5，因此t＝2.25秒， 综上所述，t的值为：1.5，2.25，3，6.75，9，13.5． 【点睛】本题考查实数与数轴、点是【M，N】的美好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 变式1．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为8，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为AP，BP的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确的有（    ） ①点B对应的数是； ②点P到达点B时，；③时，；      ④在点P的运动过程中，线段MN的长度不变． A．2个 B．1个 C．4个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查了数轴， ①根据两点间距离进行计算即可；②利用路程除以速度即可；③分两种情况：当点在点右边时，当点在点左边时，分别求出的长，再利用路程除以速度即可；④分两种情况：当点在点右边时，当点在点左边时，利用线段的中点性质分别进行计算即可． 【详解】解：设点对应的数是， 点A对应的数为，且， ，，点对应的数是，故①正确； 由题意得：（秒），点到达点时，，故②正确； 当点在点右边时，，，，（秒）， 当点在点左边时，，，，（秒）， 综上，时，或；故③错误； ，始终为，的中点，，， 当点在点右边时， ， 当点在点左边时， ， 在点的运动过程中，线段的长度不变，故④正确；所以，上列结论中正确的有个，故选：D． 变式2．（2023·安徽滁州·七年级校考阶段练习）在数轴上，若点、点表示的数分别是、，则、两点间的距离可以表示为，例如，在数轴上，表示数和数的两点间的距离是，表示数和数的两点间的距离是，利用上述结论，解决问题： (1)若，则=_____；(2)若有一个半径为的圆上有一点，与数轴上表示的点重合，将圆沿数轴无滑动的滚动周，点到达点的位置，则点表示的数为______用含有的代数式表示； (3)，为数轴上的两个动点，点表示的数为，点表示的数为，且，点C表示的数为，若点、、、三点中的某一点到另外两点的距离相等，求、的值． 【答案】(1)10或-4；(2)或；(3)，或，或，． 【分析】（1）根据距离公式进行求解即可； （2）分向左和向右两种情况进行讨论，根据左减右加进行求解即可； （3）分、、分别为线段的中点进行分类讨论进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，∴在数轴上，表示数的点与数的点之间的距离为， 或，解得或．故答案为：或； （2）解：∵圆的半径为，此圆的周长，当圆向左滚动时点表示的数是； 当圆向右滚动时点表示的数是．故答案为：或； （3）解：∵，∴在数轴上，点与点之间的距离为，且点在点的右侧． ①当点为线段的中点时，． 点表示的数为，，． ②当点为线段的中点时，． 点表示的数为，，． ③当点为线段的中点时，． 点表示的数为，，． 综上所述，，或，或，． 【点睛】本题考查数轴上两点间的距离问题．熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键． 模型6.动态定值（无参型）模型 设未知数并表示各动点对应的数，若是行程问题一般设运动时间为t，从而表示出两点之间的距离。当代数式的计算结果中不含有未知数t，则代数式为定值。 例1．（23-24七年级上·陕西渭南·期中）已知数轴上A，B，C三点对应的数分别为、3、5，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．点A与点P之间的距离表示为，点B与点P之间的距离表示为．    (1)若，求x的值；(2)若，求x的值；(3)若点P从点C出发，以每秒3个单位的速度向右运动，点A以每秒1个单位的速度向左运动，点B以每秒2个单位的速度向右运动，三点同时出发．设运动时间为t秒，试判断：的值是否发生变化？若不变化，求出这个定值，若变化，请说明理由． 【答案】(1)(2)或(3)的值不会随着t的变化而变化，定值是2 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离．正确的表示数轴上两点之间的距离是解题的关键．（1）由，可知在之间，则，，即，计算求解即可；（2）由题意知，，即，计算求解即可；（3）由题意知，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，则，，根据，进行作答即可． 【详解】（1）解：∵，∴在之间，则，， ∴，解得，，∴x的值为1． （2）解：由题意知，， ∵，∴，即，或，解得或． （3）解：的值不会随着t的变化而变化； 由题意知，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴，， ∴，∴的值不会随着t的变化而变化，定值是2． 变式1．（2023·江苏苏州·七年级期末）如图，射线上有三点，满足cm，cm，cm.点从点出发，沿方向以2cm/秒的速度匀速运动，点从点出发在线段上向点匀速运动，两点同时出发，当点运动到点时，点停止运动.(1)若点运动速度为3cm/秒，经过多长时间两点相遇?(2)当时，点运动到的位置恰好是线段的中点，求点的运动速度; (3)自点运动到线段上时，分别取和的中点，求的值. 【答案】（1）18秒相遇；(2)Q的运动速度为11cm/s或者cm/s；(3)2. 【分析】（1）设运动时间为t秒，先求出OC=90，根据速度乘以时间得到OP=2t，CQ=3t，再根据相遇公式路程和等于距离列方程解答即可； （2）先求出线段OB的长度得到中点Q所表示的数，再根据只存在两种情况，求出点P的运动时间即点Q的运动时间即可得到速度； （3）分别求出OB、AP及EF的长，即可代入计算得到答案. 【详解】（1）设运动时间为t秒，此时OP=2t，OQ=3t， ∵cm，cm，cm，∴OC=OA+AB+BC=90cm， ∴2t+3t=90，t=18，∴经过18秒两点相遇； （2）∵点运动到的位置恰好是线段的中点，OB=40+30=70， ∴点Q表示的数是35，此时CQ=90-35=55，由，可分两种情况： ①当点P在OA上时，得PA=AB=30，此时OP=OA-PA=10， 点P运动的时间为s，∴点Q的运动速度=cm/s； ②当点P在AB上时，AB=3PA，∴PA=10，此时OP=OA+PA=50， 点P的运动时间是s，∴点Q的运动速度=cm/s， 综上，点的运动速度是11cm/s或者cm/s； （3）设运动时间是a秒，此时OP=2a，AP=2a-40， ∵点E是OP的中点，∴OE=a，∵点F是AB的中点，AB=30，∴BF=15， ∴EF=OB-OE-BF=70-a-15=55-a，∴=. 【点睛】此题考查数轴上的点的运动问题，数轴上两点之间的距离公式，两点的中点公式，在点运动过程中注意分情况解决问题的方法. 变式2．（23-24七年级上·陕西西安·期末）如图，数轴上线段（单位长度），（单位长度），点A在数轴上表示的数是，点C在数轴上表示的数是16．若线段以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．设运动的时间为t秒，请解决下列问题： （1）当时，A点表示的数为_________，此时_________； （2）当运动到（单位长度）时，求运动时间t的值； （3）P是线段上一点，当点B运动到线段上时，若关系式成立，请直接写出此时线段的长：________． 【答案】（1），16；（2）或；（3）或 【分析】（1）用加上点运动1秒的路程可得点表示的数；分别求出、两点运动1秒后在数轴上表示的数，再利用两点间的距离公式即可求出；（2）设运动秒时，（单位长度），然后分点在点的左边和右边两种情况，根据题意列出方程求解即可；（3）随着点的运动，分别讨论当点和点重合、点在点和之间及点与点重合时的情况． 【详解】解：（1）当时，点表示的数为； 、两点运动1秒后在数轴上表示的数为，， 此时．故答案为：，16； （2）设运动秒时，（单位长度）， ①当点在点的左边时，由题意得：，解得：； ②当点在点的右边时，由题意得：，解得：． 综上所述，当运动到（单位长度）时，运动时间的值为或； （3）设线段未运动时点所表示的数为，点运动时间为， 则此时点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，， ，，， ，，即：， ①当点在点右侧时，， ，； ②当点在点左侧时，， ，； 的长有2种可能，即或．故答案为：或． 【点睛】本题考查两点间的距离，并综合了数轴、一元一次方程的应用和线段长短的比较，难度较大，注意对第三问进行分情况讨论，不要漏解． 模型7.动态定值（含参型）模型 例1．（2023·湖南衡阳·七年级校考阶段练习）如图，点表示的数是，点表示的数是，满足，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒，动点表示的数是． (1)直接写______，______，______用含的代数式表示； (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发， ①问点运动多少秒时追上点？②问点运动多少秒时与点相距个单位长度？并求出此时点表示的数；(3)点、以（2）中的速度同时分别从点、向右运动，同时点从原点以每秒个单位的速度向右运动，是否存在常数，使得的值为定值，若存在请求出值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；； (2)①点运动秒时追上点；②点运动秒或秒时与点相距个单位长度，此时点表示的数为或 (3)存在常数，使得的值为定值，该定值为 【分析】（1）利用绝对值及偶次方的非负性，即可求出，的值，由点的出发点、运动方向及运动速度，即可用含的代数式表示出值；（2）当运动时间为秒时，点表示的数为． 根据点，表示的数相同，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； 根据点，两点之间的距离为，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值，再将其代入中即可求出点表示的数；（3）当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，利用数轴上两点间的距离公式，可找出，，的值，进而可得出，结合的值为定值，即可求出的值，进而可得出该定值为． （1）解；，，，，． 动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动时间为秒， ，故答案为：，，； （2）解：当运动时间为秒时，点表示的数为． 依题意得：，解得：，故点运动秒时追上点． 依题意得：，即或，解得：或． 当时，；当时，． 综上：点运动秒或秒时与点相距个单位长度，此时点表示的数为或； （3）解：当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ，，， ． 的值为定值，，， 存在常数，使得的值为定值，该定值为． 【点睛】本题考查了绝对值的非负性、偶次方的非负性、列代数式、一元一次方程的应用以及数轴上两点之间的距离，解题的关键是：（1）利用绝对值及偶次方的非负性，求出，；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出，，的长度． 变式1．（2023·江苏·七年级专题练习）已知a、b满足，，且有理数a、b、c在数轴上对应的点分别为A、B、C． (1)则______，______，______．(2)点D是数轴上A点右侧一动点，点E、点F分别为中点，当点D运动时，线段的长度是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变，请求出其值； (3)若点A、B、C在数轴上运动，其中点C以每秒1个单位的速度向左运动，同时点A和点B分别以每秒3个单位和每秒2个单位的速度向右运动请问：是否存在一个常数m使得不随运动时间t的改变而改变若存在，请求出m和这个不变化的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2；；(2)线段的长度不发生变化，其值为 (3)存在常数m，，这个不变化的值为26 【分析】（1）根据非负数的性质求得a、b、c的值即可； （2）根据中点的定义得到，，再根据即可求解； （3）求出和的值，然后求出的值即可． 【详解】（1）解：、b满足， 且．解得，． ．故答案为：2；； （2）如图，由（1）得， 当点D运动时，线段的长度不发生变化，理由如下： 点E、点F分别为中点，，， ， 当点D运动时，线段的长度不发生变化，其值为； （3）假设存在常数m使得不随运动时间t的改变而改变． 由（1）得，， 则依题意得：，． 所以与t的值无关， 即，解得，所以存在常数m，， 这个不变化的值为26． 【点睛】此题考查一元一次方程的应用，数轴及两点间的距离，解题的关键是利用数轴的特点能求出两点间的距离． 模型8.数轴折叠（翻折）模型 例1．（2023·江苏·七年级期中）平移和翻折是初中数学中两种重要的图形变化，阅读并回答下列问题： （一）平移：在平面内，讲一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移． （1）把笔尖放在数轴的原点处，先向左移动3个单位长度，再向右移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示的数是 ； （2）一个机器人从数轴上原点出发，并在数轴上移动2次，每次移动2个单位后到达B点，则B点表示的数是 ； （3）如图，数轴上点A表示的数为−1，点B表示的数为1，点P从5出发，若P，A两点的距离是A，B两点距离的2倍，则需将点P向左移动 个单位． （二）翻折：将一个图形沿着某一条直线折叠的运动． （4）若折叠纸条，表示−3的点与表示1的点重合，则表示−4的点与表示 的点重合； （5）若数轴上A，B两点之间的距离为10，点A在点B的左侧，A，B两点经折叠后重合，折痕与数轴相交于表示−1的点，则A点表示的数为 ； （6）在数轴上，点M表示是的数为4，点N表示的数为x，将点M，N两点重合后折叠，得折痕①，折痕①与数轴交于P点；将点M与点P重合后折叠，得折痕②，折痕②与数轴交于Q点．若此时点M与点Q的距离为2，则x＝ ． 【答案】（1）；（2）或或；（3）2或10；（4）2；（5）-6；（6）或 【分析】（1）根据移动的方向和距离，求解即可； （2）分情况讨论，分别向左，向右移动2次2个单位长度和向右移动一次向左移动一次，然后求解即可； （3）设点P向左移动个单位，求得P，A两点的距离和A，B两点距离，再求解即可； （4）求得对称中心，然后求解即可； （5）求得对称中心，由题意可得A点在表示−1的点的左侧5个单位，求解即可； （6）根据题意，求得的距离，然后分在左侧和右侧两种情况讨论求解即可． 【详解】解：（1）笔尖的位置表示的数为故答案为； （2）机器人向右移动两次，则B点表示的数为 机器人向左移动两次，则B点表示的数为 机器人向右移动一次，再向左移动一次，则B点表示的数为 故答案为或或 （3）设点P向左移动个单位，则点P表示的数为，，， 由题意可得：，解得或即向左平移2或10个单位长度 故答案为2或10 （4）由题意可得：对称中心为，则表示−4的点与表示2的点重合 故答案为2 （5）由题意可得，A点在表示−1的点的左侧5个单位长度，则A点表示的数为 故答案为-6 （6）由题意可得：，则， 即之间的距离为8 当在左侧时，，点N表示的数为-4 当在右侧时，，点N表示的数为12 故答案为或 【点睛】此题考查数轴的应用，涉及了数轴上的距离和动点问题，解题的关键是熟练掌握数轴的基本性质． 变式1．（2023·山东·七年级月考）在数轴上，已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面． （1）若1表示的点与表示的点重合，则4表示的点与数______表示的点重合； （2）若-1表示的点与3表示的点重合，-3表示的点与数______表示的点重合； （3）若数p表示的点与原点重合，此时折线与数轴的交点表示的有理数是______； （3）若数轴上A、B两点之间的距离为m个单位长度，点A表示的有理数是a，并且A、B两点经折叠后重合，请写出此时折线与数轴的交点表示的有理数是______． 【答案】（1）-4；（2）5；（3）或． 【分析】（1）根据对称，若1表示的点与﹣1表示的点重合，则对称中心是原点，从而找到4的对称点； （2）若数﹣1表示的点与数3表示的点重合，则对称中心是1表示的点，从而找到-3的对称点；根据对应点连线被对称中心平分，先找到对称中心，再找到点表示的数；从而求解； （3）先得到A点与对称中心的距离，再进一步得到折线与数轴的交点表示的有理数 【详解】（1）若1表示的点与﹣1表示的点重合，则4表示的点与-4表示的点重合，故答案为：-4 （2）若﹣1表示的点与3表示的点重合，-3表示的点与5表示的点重合，故答案为：5 （3）若数轴上A、B两点之间的距离为m个单位长度，点A表示的有理数是a，并且A、B两点经折叠后重合，此时若A在交点左边，折线与数轴的交点表示的有理数是，若A在交点右边，折线与数轴的交点表示的有理数是．故答案为：或 【点睛】此题考查数轴上的点和数之间的对应关系，注意：数轴上的点和数之间的对应关系，即左减右加 变式2．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）【思考背景】数轴是数学中的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，帮助我们更加直观的思考问题．平移和翻折是数学中两种重要的图形变化，从变化的角度观察数轴，可以提出很多有趣的问题： 【问题情境】 （1）平移运动 如图1，数轴上的一点向右移动4个单位长度，再向左移动1个单位长度到达点． ①______（用含的代数式表示）； ②将点沿着数轴先向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度得到点，求点表示的数； ③一机器人从原点开始，第1次向左移动1个单位，紧接着第2次向右移动2个单位，第3次向左移动3个单位，第4次向右移动4个单位，…，以此规律，当它移动2023次时，所在数轴上的点表示的数是______． （2）翻折变换 ①若在原点处折叠数轴使之两侧重合，数轴上的点与点恰好重合，则点与点表示的数、满足关系：______； ②若以表示的点为折点，折叠数轴使之两侧重合，与表示的点重合的点在数轴上表示的数是______； ③如图2，一条数轴上有点、、，其中点、表示的数分别是、8，现以点为折点，将数轴向右对折重合，若点、对应重合的点分别为点、，点与点相距2个单位长度，请直接写出点表示的数． 【迁移拓展】请你结合以上情境，思考并提出一个合理的数学问题．（不要求作答） 【答案】（1）①；②；③；（2）①；②；③P对应的数为或．迁移拓展：问题见解析，表示的数为． 【分析】（1）①根据用数轴上的点表示有理数的方法即可求解．②根据题意先列式再计算可求解．③先列式，再利用规律求解即可； （2）①根据翻折的性质结合相反数的特点即可求解．②根据数轴上两点之间的距离先求解折痕对应的数，再列式即可求解．③设折点P对应的数为，则对应的数为，利用点与点相距2个单位长度，再建立方程即可求解． 迁移拓展：仿照（1）（2）设置问题，再解答即可． 【详解】解：（1）①数为； ②点沿着数轴先向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度得到点，点表示的数为；； ③由题意可得： ； （2）①在原点处折叠数轴使之两侧重合，数轴上的点与点恰好重合，则点与点表示的数、满足关系为； ②由题意可得：； ③设折点P对应的数为，则对应的数为， ∵点与点相距2个单位长度，∴，即， ∴或，解得：或，∴P对应的数为或． 迁移拓展：问题如下：一条数轴上有点、、，其中点、表示的数分别是、8，现以点为折点，将数轴向右对折，若点对应的点落在点的右边，把向右平移2个单位得到点，并且线段的长度为5，请直接写出点表示的数． 解答如下：点对应的点落在点的右边，把向右平移2个单位得到点， 设在数轴上表示的数为，则对应的数为， ∴，∴，∴， 点为，故表示的数为． 【点睛】本题考查的是数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，相反数的含义，整式的加减运算的应用，绝对值方程与一元一次方程的应用，熟练的表示折痕点与折后对应点对应的数是解本题的关键． 模型9.数轴上的线段移动模型 例1．（2023·广东佛山·七年级阶段练习）如图，有两条线段，（单位长度），（单位长度）在数轴上，点在数轴上表示的数是-12，点在数轴上表示的数是15． （1）点在数轴上表示的数是______，点在数轴上表示的数是______，线段的长=______； （2）若线段以1个单位长度秒的速度向右匀速运动，同时线段以2个单位长度秒的速度向左匀速运动．当点与重合时，点与点在数轴上表示的数是多少？ （3）若线段以1个单位长度秒的速度向左匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度也向左匀速运动．设运动时间为秒，当为何值时，点与点之间的距离为1个单位长度？ 【答案】-10，14，24；(2) -2；(3) t=23或25 【分析】(1)根据AB、CD的长度结合点A、D在数轴上表示的数，即可求出点B、C在数轴上表示的数，再根据两点间的距离公式求出线段BC的长度； (2)设相遇时间为a,分别用a表示出相遇时B、C两点所表示的数,让其相等即可求出; (3) 分线段AB与线段CD在相遇之前与相遇之后两种情况，利用两点间的距离公式结合BC=1，得出关于t的的一元一次方程，解之即可得出结论； 【详解】解：（1）∵AB=2，点A在数轴上表示的数是-12，∴点B在数轴上表示的数是-12+2=-10； ∵CD=1，点D在数轴上表示的数是15，∴点C在数轴上表示的数是15-1=14． ∴BC=14-（-10）=24．故答案为：-10，14，24； （2）设运动时间为a秒时B、C相遇， 此时点B在数轴上表示的数为-10+a，点C在数轴上表示的数为14-2a ∵B、C重合∴-10+a=14-2a解得a=8 此时点与点在数轴上表示的数是-10+a=-10+8=-2；故答案为：-2 (3)当运动时间为t秒时，点B在数轴上表示的数为-10-t，点C在数轴上表示的数为14-2t ∴BC==∵BC=1∴=1∴t1=，t2= 综上所述：当BC=1时，t=23或25； 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，两点间的距离，数轴等知识，解题的关键是：根据点与点之间的位置关系求出点B、C在数轴上表示的数． 变式1．（2023·山东济南·七年级期末）在数学综合实践活动课上，小亮同学借助于两根小木棒m、n研究数学问题：如图，他把两根木棒放在数轴上，木棒的端点A、B、C、D在数轴上对应的数分别为a、b、c、d，已知|a＋5|＋（b＋1）2＝0，c＝3，d＝8． (1)求m和n的长度；(2)小亮把木棒m、n同时沿x轴正方向移动，m、n的速度分别为4个单位/s和3个单位/s，设平移时间为t（s）①若在平移过程中原点O恰好是木棒m的中点，则t＝ （s）； ②在平移过程中，当木棒m、n重叠部分的长为2个单位长度时，求t的值． 【答案】(1)m＝4，n＝5(2)①；②6s或11s 【分析】（1）根据非负数的性质可得答案；（2）①根据中点的定义及距离可得答案；②分两种情况：m在n后面时，m在n前面时，分别得到答案即可． (1)解：∵|a＋5|＋（b＋1）2＝0，∴|a＋5|＝0，（b＋1）2＝0， ∴a＝﹣5，b＝﹣1∴m＝-1-（-5）=4 又因为c＝3，d＝8∴n＝8-3=5∴m和n的长度分别为4和5； (2)解：①∵（a+b）÷2＝（﹣5﹣1）÷2＝﹣3．∴t＝s，故答案是：； ②m在n后面时，BC＝3﹣（﹣1）＝4，设t秒重叠2个单位长度， 可得4t＝3t+4+2，解得t＝6，m在n前面时，AD＝8﹣（﹣5）＝13， 可得4t＝3t+13﹣2，解得t＝11，综上t＝6s或11s． 【点睛】此题考查了数轴的相关概念，掌握非负数性质和表示线段距离是解决此题关键． 变式2．（2023·河南信阳·七年级校考期中）已知M，N两点在数轴上所表示的数分别为m，n，且m，n满足：|m﹣12|+（n+3）2＝0 （1）则m＝　 　，n＝　 　；（2）①情境：有一个玩具火车AB如图所示，放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，当点A移动到点B时，点B所对应的数为m，当点B移动到点A时，点A所对应的数为n．则玩具火车的长为　 　个单位长度：②应用：一天，小明问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已是老寿星，116岁了!”小明心想：奶奶的年龄到底是多少岁呢？聪明的你能帮小明求出来吗？（3）在（2）①的条件下，当火车AB以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点P和点Q从N、M出发，分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向左和向右运动．记火车AB运动后对应的位置为A′B′．是否存在常数k使得3PQ﹣kB′A的值与它们的运动时间无关？若存在，请求出k和这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）m＝12，n＝﹣3；（2）①5；②应64岁；（3）k＝6，15 【分析】（1）由非负性可求m，n的值； （2）①由题意可得3AB＝m﹣n，即可求解；②由题意列出方程组，即可求解； （3）用参数t分别表示出PQ，B'A的长度，进而用参数t表示出3PQ﹣kB′A，即可求解． 【详解】解：（1）∵|m﹣12|+（n+3）2＝0， ∴m﹣12＝0，n+3＝0，∴m＝12，n＝﹣3；故答案为12，﹣3； （2）①由题意得：3AB＝m﹣n，∴AB＝＝5， ∴玩具火车的长为：5个单位长度，故答案为5； ②能帮小明求出来，设小明今年x岁，奶奶今年y岁， 根据题意可得方程组为： ，解得： ， 答：奶奶今年64岁； （3）由题意可得PQ＝（12+3t）﹣（﹣3﹣t）＝15+4t，B'A＝5+2t， ∵3PQ﹣kB′A＝3（15+4t）﹣k（5+2t）＝45﹣5k+（12﹣2k）t，且3PQ﹣kB′A的值与它们的运动时间无关， ∴12﹣2k＝0，∴k＝6∴3PQ﹣kB′A＝45﹣30＝15 【点睛】本题主要考查数轴上的动点问题，关键是用代数式表示数轴上两点之间的距离，体现了数形结合思想和方程思想. 1．（2023·北京·七年级期末）已知有理数满足：．如图，在数轴上，点是原点，点所对应的数是，线段在直线上运动（点在点的左侧），， 下列结论①；②当点与点重合时，； ③当点与点重合时，若点是线段延长线上的点，则； ④在线段运动过程中，若为线段的中点，为线段的中点，则线段的长度不变． 其中正确的是（       ） A．①③ B．①④ C．①②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】根据平方式和绝对值的非负性求出a和b的值，然后根据数轴上两点之间距离的计算方法和中点的表示方法去证明命题的正确性． 【详解】解：∵，，且， ∴，，解得，，故①正确； 当点与点重合时，∵，，∴，故②错误； 设点P表示的数是，当点与点重合时，点B表示的数是2， ，，，∴，故③正确； 设点B表示的数是，则点C表示的数是，∵M是OB的中点，∴点M表示的数是， ∵N是AC的中点，∴点N表示的数是，则，故④正确．故选：D． 【点睛】本题考查数轴的性质，解题的关键是掌握数轴上两点之间距离的求解，中点的表示方法． 2．（23-24七年级上·浙江台州·期末）已知点是数轴的原点，点、、在数轴上对应的数分别是，，，且，满足，动点从点出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点从点出发，以1个单位/秒速度向左运动，、两点之间为“变速区”，规则为从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点运动到点期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速，运动时间为 秒时，、两点到点的距离相等． 【答案】或 【分析】本题考查了非负数的性质，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用； 根据非负数的性质求出，，设运动时间为t，然后分两种情况：①当P、Q都在点B左侧，、两点到点的距离相等时，②当点P在点B右侧，点Q在点B左侧，、两点到点的距离相等时，分别判断出P、Q的位置，列方程求解即可． 【详解】解：∵，∴，，∴，， ∴B表示的数是9，C表示的数是5，设运动时间为t， ①当P、Q都在点B左侧，、两点到点的距离相等时， 由题意得，P、Q在上，∴，解得：； ②当点P在点B右侧，点Q在点B左侧，、两点到点的距离相等时， 由题意得：，解得：，故答案为：或． 3．（2023·江苏·七年级专题练习）我们规定：数轴上的点到原点的距离为，如果数轴上存在某点，到点的距离是的整数倍，就把点称作点的倍关联点．当点所表示的数是时， (1)如果存在点的倍关联点，则_______；点所表示的数是_______； (2)如果点在数轴上所表示的两点之间运动，若存在点最大的倍关联点，则_______． 【答案】(1)，或(2) 【分析】（1）根据数轴上两点间距离公式进行计算即可；（2）根据数轴上两点间距离公式进行计算即可． (1)∵点所表示的数是，数轴上的点到原点的距离为，∴， ∵存在点的倍关联点，∴，∴或， ∴点所表示的数是或，故答案为：，或； (2)∵点在数轴上所表示的两点之间运动， ∴，或，∴点到点的最大距离为：， ∵，∴，故答案为：； 【点睛】本题考查了数轴，熟练掌握数轴上两点间的距离是解本题的关键． 4．（23-24七年级上·陕西·阶段练习）如图，已知点是数轴上三点，为原点，点表示的数为．(1)点表示的数为__________，点对应的数为__________． (2)动点分别同时从点出发，分别以每秒6个单位长度和每秒3个单位的速度沿数轴正方向运动．点为线段的中点，点在线段上，且，若运动时间为秒．请用含的代数式分别表示点、点所表示的数．    【答案】(1)(2)点M表示的数是，点N表示的数是 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离公式解答；（2）由（1）知，点A表示的数是，点C表示的数是2，根据点运动的速度及方向得到，，即可得到、点所表示的数． 【详解】（1）∵点表示的数为， ∴点B表示的数是，点A表示的数是，故答案为：； （2）由（1）知，点A表示的数是，点C表示的数是2， ∵动点分别同时从点出发，分别以每秒6个单位长度和每秒3个单位的速度沿数轴正方向运动． ∴，∵点为线段的中点，∴，即点M表示的数是， ∵点在线段上，且，∴∴点N表示的数是． 【点睛】此题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，正确理解点运动的方向及速度与路程、时间的关系是解题的关键． 5．（2023·广东深圳·七年级校联考期中）已知数轴上两点A、B对应的数分别是，M、N、P为数轴上三个动点，点M从A点出发，速度为每秒2个单位，点N从点B出发，速度为M点的3倍，点P从原点出发，速度为每秒1个单位．(1)若点M向右运动，同时点N向左运动，求多长时间点M与点N相距46个单位？(2)若点M、N、P同时都向右运动，求多长时间点P到点M，N的距离相等？ (3)当时间t满足时，M、N两点之间，N、P两点之间，M、P两点之间分别有47个、37个、10个整数点，请直接写出t1，t2的值． 【答案】(1)4；(2)或；(3)4或 【分析】（1）利用M、N之间的距离为最初的距离加上各自行驶的路程即可得到一个关于t的方程，解方程即可得出答案；（2）先将M，N，P三点在数轴上的位置用含t的代数式表示出来，然后分点N在点P左侧和点N在点P右侧两种情况分别讨论即可； （3）根据M，N，P之间整数点的个数，可以确定出M，N，P三点的位置，从而找到，的值． 【详解】（1）解：设运动时间为t秒，由题意可得：，∴， ∴运动4秒点M与点N相距46个单位； （2）解：设运动时间为t秒，由题意可知：M点运动到，N点运动到，P点运动到t， 由得，解得t或，∴运动或时点P到点M，N的距离相等； （3）解：由题意可得：M、N、P三点之间整数点的多少可看作它们之间距离的大小， M、N两点距离最大，M、P两点距离最小，可得出M、P两点向右运动，N点向左运动． ①当时，P在4，M在14，N在， 再往前一点，之间的距离即包含10个整数点，之间有37个整数点； ②当N继续以6个单位每秒的速度向左移动，P点向右运动， 若N点移动到时，此时N、P之间仍为37个整数点， 若N点过了时，此时N、P之间为38个整数点 故，∴，． 【点睛】本题主要结合数轴考查了点在数轴上的移动，能够根据题中信息利用方程的思想建立关于t的方程是解题的关键． 6．（2023·河南南阳·七年级期中）如图：在数轴上点表示数点表示数点表示数是最小的正整数，且满足．（1）求的值；（2）若将数轴折叠，使点与点重合，则点与数_______表示的点重合；（3）点从点出发，以每秒个单位长度的速度在数轴上向点运动，当点到达点后立即返回，仍然以每秒个单位长度的速度运动至点停止，设运动时间为。①当时，求点表示的有理数；②当点表示的有理数与点的距离为个单位长度时，直接写出所有满足条件的值． 【答案】（1），，；（2）10；（3）①2, ②14秒或16秒 【分析】（1）根据可得，，从而得出a，c的值，再根据b是最小的正整数，得出b的值即可； （2）根据B、C重合，计算出数轴沿着数4对折，再根据点A与数4之间的距离计算出与点A重合的数； （3）①根据时间计算出点P的运动方向及长度即可； ②对点P的位置进行分类讨论，一是当点P在点B的右侧1个单位时，二是当点P在点B左侧1个单位时，分别计算即可． 【详解】解：∵，∴，，∴，， b是最小的正整数，∴，∴，， （2）∵，∴若B、C重合，则数轴沿着数4对折， ∴，∴点A与数10重合，故答案为：10 （3）∵AC的长度为， ∴当时，点P已到达点C，并向点A运动了14-9=5（秒） ∴此时点P表示的数为：7-5=2， ∴当时，点表示的有理数是2 ②当点P在点B的右侧1个单位时， ∵从A到C需要9秒，所以此时在点B右侧1个单位时，时间为9+（7-1）-1=14（秒） 当点P在点B左侧1个单位时，时间为9+（7-1）+1=16（秒） 故答案为：14秒或16秒． 【点睛】本题考查数轴上的点所表示的数，以及数轴上动点问题，解题的关键是熟知数轴上数的表示方法． 7．（2023·福建厦门·七年级校考期中）已知有理数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C，且满足，． (1)分别求a，b，c的值；(2)若点D在数轴上对应的数为x，当A、D间距离是B、C间距离的4倍时，请求出x的值；(3)若点A和点B分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为t秒，是否存在一个常数k，使得的值在一定时间范围内不随运动时间t的改变而改变？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)或；(3)存在符合条件的k，k=6． 【分析】（1）绝对值和平方具有非负性，由非负数的和等于0，每个非负数都为零，求出a，b，c； （2）由数轴上两点间的距离公式表示出和，建立方程求解x； （3）假设存在符合条件的k，表示，再利用整式的性质求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，∴， 又∵，∴．∴； （2）解：由题意得：，∴， 当时，，当时，，综上：或； （3）解：假设存在符合条件的k，经过t秒，点A表示的数为，点B表示的数为，且A，B都在点C右侧，∴，， ∴， ∵的值在一定时间范围内不随运动时间t的改变而改变， ∴，∴，∴存在符合条件的k，． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、数轴、绝对值以及偶次方的非负性，解题的关键是：（1）利用绝对值及偶次方的非负性，求出a，b的值；（2）①找准等量关系，正确列出一元一次方程；②用含t的代数式表示出的值． 8．（2023福建·七年级期末）如图：在数轴上点表示数点示数点表示数是最大的负整数，在左边两个单位长度处，在右边个单位处。 ； ； ； 若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数_ __表示的点重合； 点开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为点与点之间的距离表示为点与点之间的距离表示为，则_ _，_ _，__ _；（用含的代数式表示） 请问:的值是否随着时间的变化而改变﹖若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】（1）﹣3，﹣1，4；（2）2；（3）2+5t，7+7t，2t+5；（4）5BC﹣2AB的值不会随着时间t的变化而改变，该值是21． 【分析】（1）根据b为最大的负整数可得出b的值，再根据在左边两个单位长度处，在右边个单位处即可得出a、c的值； （2）根据折叠的性质结合a、b、c的值，即可找出与点B重合的数； （3）根据运动的方向和速度结合a、b、c的值，即可找出t秒后点A、B、C分别表示的数，利用数轴上两点间的距离即可求出AB、AC、BC的值； （4））将（3）的结论代入中，可得出的值不会随着时间的变化而变化，即为定值，此题得解． 【详解】（1）b是最大的负整数， 在左边两个单位长度处，在右边个单位处， （2）将数轴折叠，使得点与点重合 （3）点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动 t秒钟过后，根据得：，， 又，，点表示的数为，点表示的数为，点C表示的数为， ，，； （4）由（3）可知：， 的值为定值21． 故答案为：（1）﹣3，﹣1，4；（2）2；（3）2+5t，7+7t，2t+5；（4）5BC﹣2AB的值不会随着时间t的变化而改变，该值是21． 【点睛】本题考查了数轴及两点间的距离，根据点运动的方向和速度找出点A、B、C运动后代表的数是解题的关键． 9．（23-24七年级上·广东佛山·期中）【阅读材料】若数轴上点、点表示的数分别为，（），则、两点间的距离可表示为，记作． 【解决问题】一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2个单位长度到达点，再向右移动10个单位长度到达点． (1)请画出数轴，并在数轴上标出、两点的位置； (2)若动点，分别从点，同时出发，沿数轴向左运动．已知点的速度是每秒1个单位长度，点的速度是每秒2个单位长度，设移动时间为秒（）． ①用含的代数式表示：秒时，点表示的数为______，点表示的数为______； ②为何值时，点表示的数与点表示的数互为相反数？ ③为何值时，，两点之间的距离为4？ 【答案】(1)见解析(2)①，；②；③或． 【分析】本题考查的是数轴的定义及数轴上两点之间的距离公式，弄清题中的规律是解本题的关键． （1）根据题意画出数轴，即可解答；（2）①用含的代数式表示即可； ②根据相反数的意义列式计算即可求解；③根据题意列出绝对值方程即可求解． 【详解】（1）解：如图： ； （2）解：①秒时，点表示的数为，点表示的数为；故答案为：，； ②由题意得：，解得：； ③由题意得：，即，∴或，解得：或． 10．（23-24七年级上·重庆·阶段练习）阅读下面材料：若点在数轴上分别表示实数，则两点之间的距离表示为，且；回答下列问题：(1)①数轴上表示和2的两点和之间的距离是 ；②在①的情况下，如果，那么为 ； (2)代数式取最小值时，相应的的取值范围是 ． (3)若点在数轴上分别表示数，是最大的负整数，且， ①直接写出的值．②点同时开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．    【答案】(1)①②或5(2)(3)①，，②不变，2 【分析】（1）①根据两点之间的距离公式可得；②根据距离公式得出关于的绝对值方程，求解即可； （2）的最小值，意思是到的距离与到2的距离之和最小，那么应在和2之间的线段上；（3）①先根据是最大的负整数，求出，再根据，即可求出；②先求出，，从而得出． 【详解】（1）解：①数轴上表示和2的两点和之间的距离是； ②如果，即，∴，∴或．故答案为：①；②或5； （2）∵， ∴即为数轴上某点到的距离与该点到2的距离之和，如下图，    的最小值，即表示某点到的距离与到2的距离之和最小， 所以，当时，最小值是3．故答案为：； （3）①∵是最大的负整数，∴，∵， 又∵，，∴，，∴，，； ②的值不随着时间的变化而改变，其值是2．理由如下：∵点都以每秒1个单位的速度向左运动，点和点分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查了绝对值方程、数轴上两点之间的距离、数轴上动点问题等知识，理解题意，运用数形结合的思想分析问题是解题关键． 11．（2023·河南漯河·七年级统考期中）操作探究：已知在纸上有一数轴（如图所示）． (1)操作一：折叠纸面，若使1表示的点与表示的点重合，则表示的点与________表示的点重合． (2)操作二：折叠纸面，若使表示的点与3表示的点重合，回答以下问题： ①5表示的点与数________表示的点重合；②若数轴上A，B两点之间距离为10（A在B左侧），且A，B两点经折叠后重合，则点A表示的数为________，点B表示的数为________； (3)操作三：点E以每秒3个单位长度的速度从数5对应的点沿着数轴的负方向运动，点F以每秒1个单位长度的速度从数对应的点沿着数轴的负方向运动，且两个点同时出发，请直接写出多少秒后，折叠纸面，使1表示的点与表示的点重合时，点E与点F也恰好重合． 【答案】(1)3(2)①；②，6(3)秒 【分析】（1）设表示的点与x表示的点重合，根据1表示的点与表示的点重合，得到折痕过原点，根据对称点到对称轴的距离相等得到，解得；（2）①根据表示的点与3表示的点重合，得到折痕经过数表示的点，设5表示的点与数x表示的点重合，得到，解得；②设点A表示的数为x，则，解得，点B表示的数为； （3）设t秒，得到点E表示的数为，点F表示的数为，当1表示的点与表示的点重合时，得到折痕过原点，根据点E与点F也恰好重合，得到，解得． 【详解】（1）设表示的点与x表示的点重合 ∵1表示的点与表示的点重合，∴折痕经过数表示的点，即原点， ∴，∴∴表示的点与3表示的点重合；故答案为：3 （2）①∵表示的点与3表示的点重合，∴折痕经过数表示的点， 设5表示的点与数x表示的点重合，则，∴；故答案为：； ②设点A表示的数为x，则点B表示的数为， ，∴，，故答案为：，6； （3）设t秒，则点E表示的数为，点F表示的数为， ∵1表示的点与表示的点重合时，折痕经过原点， ∴点E与点F也恰好重合时，，∴． 【点睛】本题主要考查了轴对称，解决问题的关键是熟练掌握对称点到对称轴的距离相等，中点坐标公式． 12．（2023·山东·七年级期中）已知，如图，、、分别为数轴上的三个点，点对应的数为60，点在点的左侧，并且与点的距离为30，点在点左侧，点到距离是点到点距离的4倍． （1）求出数轴上点对应的数及的距离． （2）点从点出发，以3单位/秒的速度项终点运动，运动时间为秒． ①点点在之间运动时，则_______．（用含的代数式表示）；②点在点向点运动过程中，何时、、三点中其中一个点是另外两个点的中点？求出相应的时间． ③当点运动到点时，另一点以5单位/秒速度从点出发，也向点运动，点到达点后立即原速返回到点，那么点在往返过程中与点相遇几次？直接写出相遇是点在数轴上对应的数． 【答案】（1）点对应的数为30；AC=120；（2）①；②的值为5或20；③相遇2次；点在数轴上对应的数为－15或． 【分析】(1)根据A点对应的数为60，B点在A点的左侧，AB=30求出B点对应的数，根据AC=4AB求出AC的距离；(2)①当P点在AB之间运动时，根据路程=速度×时间求出AP=3t，根据BP=AB-AP求解； ②分P点是AB的中点和B点是AP的中点两种情况进行讨论即可； ③根据P、Q两点的运动速度与方向可知Q点在往返过程中与P点相遇2次，设Q点在往返过程中经过x秒与P点相遇，第一次相遇是点Q从A点出发，向C点运动的途中，根据AQ-BP=AB列出方程；第二次相遇是点Q到达C点后返回到A点的途中，根据CQ+BP=BC列出方程，进而求出P点在数轴上的对应的数． 【详解】解（1）点对应的数为60，,点在点的左侧，并且与点的距离为30， 点对应的数为； 点到点距离是,点到点距离的4倍，; （2）①当点在之间运动时， ，．故答案为； ②当点是、两点的中点时，，，解得； 当点是两点的中点时，，，解得． 故所求时间的值为5或20； ③相遇2次．设点在往返过程中经过秒与点相遇． 第一次相遇是点从出发，向点运动的途中． ，，解得， 此时点在数轴上对应的数是：； 第二次相遇是到达点后返回到点的途中． ，，解得， 此时点在数轴上对应的数是：． 综上，相遇时点在数轴上对应的数为－15或． 【点睛】本题主要考查的是一元一次方程的应用，行程问题相等关系的应用，线段中点的定义，进行分类讨论是解题的关键． 13．（2023·成都市·七年级专题练习）如下图，数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为9，点D表示的数为13，在点B和点C处各折一下，得到一条“折线数轴”，我们称点A和点D在数轴上相距20个长度单位，动点P从点A出发，沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点Q从点D出发，沿着“折线数轴”的负方向运动，它们在“水平路线”射线BA和射线CD上的运动速度相同均为2个单位/秒，“上坡路段”从B到C速度变为“水平路线”速度的一半，“下坡路段”从C到B速度变为“水平路线”速度的2倍．设运动的时间为t秒，问：(1)动点Q从点C运动到点B需要的时间为______秒；(2)动点P从点A运动至D点需要的时间为多少秒？(3)当P、O两点在数轴上相距的长度与Q、O两点在数轴上相距的长度相等时，求出动点P在数轴上所对应的数． 【答案】(1)2.5(2)15(3) 【分析】（1）求出BC长度，“下坡路段”速度是4个单位/秒，即得动点Q从点C运动到点B的时间； （2）先求出AB，BC，CD的长度，再根据“水平路线”速度是2个单位/秒，从B到C速度变为“水平路线”速度的一半，即得动点P从点A运动至D点需要的时间；（3）设运动时间为秒，分四种情况：①当0≤t≤2，②当2＜t≤3，③当3<t<4.5，④当4.5＜t≤7.5，列方程求出t． 【详解】（1）∵点B表示的数为-1，点C表示的数为9，∴BC=1-(-9)=10(个单位)， ∵“下坡路段”从C到B速度变为“水平路线”速度的2倍，“水平路线”速度是2个单位/秒， ∴“下坡路段”速度是4个单位/秒，∴动点Q从点C运动到点B需要的时间为10÷4=2.5(秒)； （2）根据题意知：AB=|-7-(-1)|=6(个单位)，BC=1-(-9)=10(个单位)，CD=13-9=4(个单位)， ∴“水平路线”速度是2个单位/秒，从B到C速度变为“水平路线”速度的一半， ∴动点P从点A运动至D点需要的时间为6÷2+10÷+4÷2=3+10+2=15(秒)； （3）设运动时间为t秒，①当0≤t≤2，即P在AB上，Q在CD上，显然P、O两点在数轴上相距的长度与Q、O两点在数轴上相距的长度不会相等； ②当2＜t≤3，即P在AB上，Q在CB上时，P表示的数是-7+2t，Q表示的数是9-4(t-2)， ∴0-(-7+2t)=9-4(t-2)-0，解得t=5，此时P已不在AB上，不符合题意，这种情况不存在； ③当3<t<4.5，即P在BC上，Q在CB上时，P表示的数是-1+(t-3)=t-4，Q表示的数是9-4(t-2)=17-4t， ∴|t-4|=|17-4t|，解得t=或t=，∴P表示的数是或； ④当4.5＜t≤7.5，即P在BC上，Q在AB上时，P表示的数是t-4，Q表示的数是-1-2(t-4.5)=8-2t， ∴t-4-0=0-(8-2t)，解得t=4(不合题意，舍去)， 综上所述，当P、O两点在数轴上相距的长度与Q、O两点在数轴上相距的长度相等时，动点P在数轴上所对应的数是或． 【点睛】本题考查数轴上的动点问题，解题关键是用含t的代数式表示动点表示的数，据运动过程分类讨论． 14．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知A，B，C三点在数轴上所对应的数分别为a，b，18，且a、b满足.动点M从点A出发，以2个单位长度/秒的速度向右运动，同时，动点N从点C出发，以1个单位长度/秒的速度向左运动，线段为“变速区”，规则为：从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速.当点M到达点C时，两点都停止运动.设运动的时间为t秒.    (1) ， ， ；(2)M，N两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数. (3)点D为线段中点，当t为多少秒时，？ 【答案】(1)(2)(3)或或或 【分析】（1）根据绝对值的非负性，数轴上两点间的距离公式计算即可． （2）设M，N相遇于点P，且点P表示的数为m，则点M用时为，，点N用时为，根据题意，得，计算即可． （3）根据线段中点的性质求出点D的坐标，设时间为t，分五种情况进行讨论，分别求出每种情况下点M和点N的坐标，再根据两点间的距离公式求出和，令，解方程即可得出答案． 【详解】（1）∵A，B，C三点在数轴上所对应的数分别为a，b，18，且a、b满足， ∴，故A表示的数是，C表示的数是， ∴，故答案为：． （2）设M，N相遇于点P，且点P表示的数为m， ①当点M在上，点N在上时，点M表示的数为，点N表示的数为，此时无法相遇； ②当点M在上，点N在上时，无法相遇； ③当点M在上，点N在上时，则，， ∴点M用时为，点N用时为， 根据题意，得，解得，故相遇点在数轴上所对应的数． （3）∵A表示的数是，点B表示的数是10，C表示的数是，点D为线段中点， ∴点D表示的数是5；设运动t秒时， ， ①当点M在上，点N在上时，点M表示的数为，点N表示的数为， 此时，， ∵，∴，解得； ②当点M在上，点N在上时，点M表示的数为，点N表示的数为， 此时，， ∵，∴，无解； ③当点M在上，点N在上时，点M表示的数为，点N表示的数为， 此时，， ∵，∴，解得； ④当点M在上，点N在上时，点M表示的数为，点N表示的数为， 此时，， ∵，∴，解得； ⑤当点M在上，点N在上时，点M表示的数为，点N表示的数为，此时，， ∵，∴，解得； 综上所述，当或或或时，． 【点睛】本题考查的是数轴上的动点问题，点表示的有理数，分类思想，熟练掌握两点间距离公式的计算是解决本题的关键. 15．（22-23七年级上·四川成都·期中）已知数轴上有、、三点分别表示数，，，两只电子蚂蚁甲、乙分别从、两点同时相向而行，甲的速度为个单位秒，乙的速度为个单位秒． (1)问甲、乙在数轴上的哪个点相遇？(2)问多少秒后甲到、、三点的距离之和为个单位？若此时甲调头往回走，甲、乙还能在数轴上相遇吗？若能求出相遇点，若不能请说明理由． (3)若甲、乙两只电子蚂蚁（用表示甲蚂蚁，表示乙蚂蚁）分别从、两点同时相向而行，甲的速度变为原来的倍，乙的速度不变时，写出多少时间后，原点、甲蚂蚁与乙蚂蚁三点中，有一点恰好是另两点所在连线段的中点． 【答案】(1)甲、乙在数轴上的相遇 (2)秒或者秒后甲到、、三点的距离之和为个单位；能相遇，相遇点为 (3)，，秒后，原点、甲蚂蚁与乙蚂蚁三点中，有一点恰好是另两点所连线段的中点 【分析】（1）可设秒后甲与乙相遇，可列出方程求解即可； （2）设秒后甲到，，三点的距离之和为个单位，甲应为于或之间，两种情况讨论即可求解；(3)分设秒后原点是甲蚂蚁与乙蚂蚁两点的中点，设秒后乙蚂蚁是甲蚂蚁与原点两点的中点，设秒后甲蚂蚁是乙蚂蚁与原点两点的中点，三种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：设秒后甲与乙相遇，根据题意得：，解得， ∴，∴．甲、乙在数轴上的相遇； （2）设秒后甲到，，三点的距离之和为个单位， 因为点距，两点的距离为，点距、两点的距离为，点距、的距离为，故甲应为于或之间． 当之间时：，解得； 当之间时：，解得； 所以秒或者秒后甲到、、三点的距离之和为个单位； 当时，若甲调头，此时甲在处，乙在处，设秒后甲、乙还能在数轴上相遇，则，所以， 所以甲调头秒后甲、乙在数轴上再次相遇，相遇点为：； 当时，此时甲在处，乙在处，因为乙在甲左边且乙的速度大于甲的速度，所以甲、乙不能在数轴上相遇了； （3）设秒后原点是甲蚂蚁与乙蚂蚁两点的中点，则，解得； 设秒后乙蚂蚁是甲蚂蚁与原点两点的中点，则，解得； 设秒后甲蚂蚁是乙蚂蚁与原点两点的中点，则，解得； 综上所述，，，秒后，原点、甲蚂蚁与乙蚂蚁三点中，有一点恰好是另两点所连线段中点． 【点睛】本题考查数轴的综合应用，一元一次方程的应用，熟练掌握数轴上两点之间的距离公式、一元一次方程的应用是解题关键． 16．（2023·辽宁抚顺·七年级期末）如图，在数轴上有两个长方形和，这两个长方形的宽都是2个单位长度，长方形的长是4个单位长度，长方形的长是8个单位长度，点在数轴上表示的数是5，且两点之间的距离为12． （1）填空:点在数轴上表示的数是_________ ，点在数轴上表示的数是_________． （2）若线段的中点为，线段EH上有一点，， 以每秒4个单位的速度向右匀速运动，以每秒3个单位的速度向左运动，设运动时间为秒，求当多少秒时，． （3）若长方形以每秒2个单位的速度向右匀速运动，长方形固定不动，当两个长方形重叠部分的面积为6时，求长方形运动的时间． 【答案】（1）13，−11；（2）x＝2或x＝；（3）当长方形ABCD运动的时间7.5秒或10.5秒时，重叠部分的面积为6． 【分析】（1）根据已知条件可先求出点H表示的数为13，然后再进一步求解即可； （2）根据题意先得出点M表示的数为﹣9，点N表示的数为7，然后分当M、N在点O两侧或当N、M在点O同侧两种情况进一步分析讨论即可； （3）设长方形ABCD运动的时间为y秒，分重叠部分为长方形EFCD或重叠部分为长方形CDHG两种情况进一步分析讨论即可. 【详解】（1）∵长方形的长是8个单位长度，点在数轴上表示的数是5， ∴点H表示的数为：， ∵两点之间的距离为12，∴点D表示的数为：， ∵长方形的长是4个单位长度，∴点A表示的数为：，故答案为：； （2）由题意可知：点M表示的数为﹣9，点N表示的数为7；，经过x秒后，M点表示的数为﹣9+4x，N点表示的数为7﹣3x； ①当M、N在点O两侧时，点O为M、N的中点，则有，解得x＝2 ； ②当N、M在点O同侧时，即点N、M相遇，则有7﹣3x＝﹣9+4x解得：x＝ 综上，当x＝2或x＝时，OM=ON ； （3）设长方形ABCD运动的时间y为秒， ①当重叠部分为长方形EFCD时， DE=−7+2y−5= 2y−12∴ 2(2y−12) = 6，解得：y = 7.5； ②当重叠部分为长方形CDHG时， HD=4- (−7+2y-13)= 24− 2y，∴ 2(24−2y) = 6，解得：y =10.5； 综上，当长方形ABCD运动的时间7.5秒或10.5秒时，重叠部分的面积为6. 【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题，熟练掌握相关方法是解题关键. 17．（23-24七年级上·安徽滁州·阶段练习）在数轴上，一动点Q从原点O出发，沿着数轴以每秒4个单位长度的速度来回移动，第1次移动是向右移动1个单位长度，第2次移动是向左移动2个单位长度，第3次移动是向右移动3个单位长度，第4次移动是向左移动4个单位长度，第5次移动是向右移动5个单位长度，…，以此类推．（参考公式：） (1)第8次移动后，点Q在表示数___________的位置上，运动时间为___________秒； (2)求7秒后动点Q所在的位置； (3)如果在数轴上有一个定点A，且点A在原点O的左侧，相距原点O24个单位长度，问：动点Q从原点出发，移动后可能与点A重合吗？若能，第一次与点A重合需要多长时间？若不能，请说明理由． 【答案】(1)，9(2)4(3)能，需要294秒 【分析】（1）根据左减右加列式计算即可得解，根据路程=速度×时间求出路程，进而求得时间；（2）根据左减右加列式计算即可得解；（3）先求出动点走过的路程，然后根据时间=路程÷速度计算即可得解． 【详解】（1）解：Q处于：； ∴点Q走过的路程是 秒，故答案为：，9． （2）解：Q处于：； ∴7秒后动点Q所在的位置是4； （3）解：设需要第次到达点，则，解得， 动点走过的路程是 ， 时间秒．即需要294秒． 【点睛】本题考查了数轴的知识，弄清题中的移动规律是解本题的关键．弄清楚跳到点处的次数的计算方法是关键． 18．（22-23七年级上·广东揭阳·期中）如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示-10，点B表示10，点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位．动点P、Q同时开始运动，点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，直至点C处停止运动；点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速，直至点A处停止运动．设运动的时间为t秒．问： (1)动点P从点A运动至C点需要多少时间？ (2)P、Q两点何时相遇？相遇时，求出相遇点M所对应的数是多少？ (3)在整个运动过程中，当t为何值时，P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等．（直接写出结果） 【答案】(1)秒(2)秒，(3)、、、或 【分析】（1）根据路程除以速度等于时间，可得答案． （2）根据相遇时P，Q的时间相等，可得方程，根据解方程，可得答案． （3）根据P，Q在不同位置时进行分类，由于与的长度相等，可得方程，根据解方程，可得答案． 【详解】（1）解：由题意得：，，， 答：动点P从点A运动至C点需要秒． （2）解：由题意得：P、Q两点相遇在线段上于M处，设， 则，解得，则． 答：P、Q两点秒相遇，相遇点M所对应的数是． （3）解：、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等有5种可能： ①动点Q在上，动点P在上，则：，解得： ②动点Q在上，动点P在上，则：，解得： ③动点Q在上，动点P在上，则：，解得： ④动点Q在上，动点P在上，则：，解得： ⑤动点Q在上，动点P在点C上，则：，解得： 综上所述：t的值为、、、或． 【点睛】本题考查了点在数轴的运动，一元一次方程的应用；进行分类讨论并根据与的长度相等得出方程是解题关键． 19．（2023·江苏盐城·七年级期中）如图，点、、在数轴上对应的数分别是、、，且、满足，动点从点出发以单位/秒的速度向右运动，同时点从点出发，以个单位/秒速度向左运动，、两点之间为“变速区”，规则为从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点运动到点期间速度变为原来的倍，之后立刻恢复原速，设运动时间为秒． （1）____，____，、两点间的距离为____个单位；（2）①若动点从出发运动至点时，求的值；②当、两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数；（3）当___时，、两点到点的距离相等． 【答案】（1）9，20，32；（2）①；②相遇点对应的数为6；（3）当t=12或25时，点P、Q到点B的距离相等． 【分析】（1）根据可先求出b、c的值，然后再由数轴两点距离可求解； （2）①点P从点A运动到点C可得当点P在AO上时，点P在OB上时及点P在BC上时，然后分别求出时间，进而问题可求解；②由题意易得当点C到达变速点B时，点P所运动到的位置可求，然后再根据相遇问题进行求解，最后在利用数轴求解即可；（3）由（1）（2）及题意可分：①当时，②当时，③当点Q的速度变为3单位/秒时，即，④当点Q和点P都过了“变速区”，即，然后根据数轴两点距离及线段的和差关系进行列方程求解即可． 【详解】解：（1）∵，∴，∴， ∴A、C两点距离为：；故答案为9，20，32； （2）①由题意可分：当点P从A运动到O和从B运动到C时，所需时间为：， 点P从点O到点B属于变速区，所以速度为2÷2=1单位/秒，此时所需时间为9÷1=9s， ∴点P从点A到点C的时间为：； ②当点C到达变速点B时，所需时间为11÷1=11s，此时点P运动的路程为：，即在数轴上所表示的数为5，此时点Q的速度为1×3=3单位/秒， ∴，∴5+1×1=6，∴相遇点所表示的数为6； （3）由（1）（2）及题意可分：①当时，如图所示： 则有AB=21，AP=2t，PB=21-2t，BC=11，BQ=11-t， ∵BP=BQ，∴，解得：（不符合题意，舍去）； ②当时，如图所示： ∵点P的速度为1单位/秒，Q速度不变， ∴，BQ=11-t， ∵PB=BQ，∴，方程无解； ③当点Q的速度变为3单位/秒时，即，如图所示： ∴PB=15-t，， ∵PB=BQ，∴，解得t=12， ④当点Q和点P都过了“变速区”，即，如图所示： ∴，， ∵PB=BQ，∴，解得：； 综上所述：当t=12或25时，点P、Q到点B的距离相等；故答案为12或25． 【点睛】本题主要考查数轴上的动点问题及线段的和差、一元一次方程的解法，熟练掌握数轴上的动点问题及线段的和差、一元一次方程的解法是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$