广东省大湾区2023-2024学年高二下学期期末联合考试数学试题

★启用前注意保密 大湾区2023-2024学年第二学期期末联合考试 高二数学 本卷共6页,19小题,满分150分。考试时间120分钟。 注意事项:1、答卷前,考生务必将自已的学校、班级、姓名、考场号、座位号和准考证号填 写在答题卡上,将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”。 2. 作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答 案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在 试卷上。 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指 定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案:不 准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4. 考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1. 等差数列{a.中,a=-1,a=8,则f的公差d= A.3 B. 2 C.-2 D. -3 2. 已知随机变量的分布列如下表 则E()= B.2 C.3 A.1 D.4 3. 在实际中,许多现象都服从正态分布.若xX~N(u.o2}),记p.=P(u-o<X<+o), P=P(-2o<x<+2o),p=P(-3o<x<+3o),经统计,某零件的尺寸大小x (单位:dm)服从正态分布N(30,25),则P(X>40)= A.1-2 C.1- D. 1- 2 高二数学试卷 第1页(共6页) 4. 已知一组数据(x,y)(i=1,2,,6)中y关于x的一元非线性回归方程为=6×2+1,已 ×{=12x,-4V18,则6= D. B. 1 A. -1 o/ 5. 画n条直线,将圆的内部区域最多分割成 n2+2n+1部分 n2+n+2部分 A. B. 2 C.23部分 D. _部分 6. 若函数f(x)=e-knx在区间(1,e)上是增函数,则实数k的取值范围为 A.(-01 B.(_~1 C. (-oe】 D. (-0o,e] 7. 某校为研究学生的性别和对待某一活动的态度(支持与不支持)的关系,运用2x2列联表 进行独立性检验,整理所得数据后发现,若依据g三0.01的独立性检验,则认为学生性别与 是否支持该活动无关;若依据a=0.025的独立性检验,则认为学生性别与是否支持该活动 有关,则的值可能为 附表: 0.1 0.025 0.01 0.05 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 B.4.972 C. 6.687 A. 4.238 D. 6.069 8. 已知函数f(x)=x{(x>0),a为实数,f(x)的导函数为f’(x),在同一直角坐标系中 f(x)与f”(x)的大致图象不可能是 高二数学试卷 第2页(共6页) B. 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题 目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 9. 下列函数中,存在极值点的是 B. y=-2x3-x , C. y=xlnx D. y=xsinx 10. 已知数列(a.),其前n项和记为S,则 A. 若(a)是等差数列,且a,+a。=a+a.,则p+q=s+1 B. 若{a. 是等差数列,且S.=An2+Bn+C(A.B.CeR),则C=( C. 若a.是等比数列,且S.=2*+C,其中C为常数,则C--2 D. 若fa)是等比数列,则S,S-S.,S-S...也是等比数列 A.A,B相互独立 C. P(Bl4)- D. P(4B)*P(4)# 高二数学试卷 第3页(共6页) 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 13. 将5名志愿者全部分配到4个社区协助开展活动,每名志愿者只能到1个社区,每个社区 至少1名,则不同的分配方法数为 14、“杨辉三角”是我国数学史上的一个伟大成就,是二项式系数在三角形中的一种几何排 列.如图所示,去除所有为1的项,依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,..., 则此数列的前46项和为。 .._.. 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 数列a满足a=1,aa.+a-a.=0 (1)求数列a.的通项公式 2 16.(15分) 小家电指除大功率、大体积家用电器(如冰箱、洗衣机.空调等)以外的家用电器,运用 场景广泛,近年来随着科技发展,智能小家电市场规模呈持续发展趋势,下表为连续5年中国 智能小家电市场规模(单位:千亿元),其中年份对应的代码依次为1~5 高二数学试卷 第4页(共6页) 年份代码x 2345 市场规模y 0.9 1.2 1.5 1.4 1.6 (1)由上表数据可知,可用线性回归模型拟合y与x的关系,请用相关系数加以说明 (2)建立)关于x的经验回归方程(系数精确到0.01) 参考数据:y=1.2(v21.4(v1)~.5510~3.14; 2(x-x)(v~) 参考公式:相关系数= 若>0.75,则可判断y与x线性相 #2(#7_)#(#)# 关性较强,若0.3<<0.75,则可判断y与x线性相关性一般. 回归方程:=fx+&中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 (x-)(v-) #_短 (_) -,=)-6r. 17.(15分) 某同学在研究二项式定理的时候发现 (1+x)"=1+Cx+C2x②+..+C-x+Cx”,其中C为x'的系数,它具有很多性质,如: ①1+C+C2+.+C-+C=2”:②C"=C-;③kCt=nC 请借助该同学的研究成果解决下列问题 (1) 计算:C+2C+3C}+...+7C;(请用数字作答) ”Cg-n(n+1).2-~2; (2)若nEN,且n>3,证明: (3)设数列a。,a,,..,a.是公差不为0的等差数列,证明:对任意的neN’, 函数p(x)=aC(1-x)"+aCx(1-x)"+aCx2(1-x)“}+...+a.C”x”是关于x的一次函数 高二数学试卷 第5页(共6页) 18.(17分) 为改善人口结构,我国自2021年5月31日起实施三胎政策,政策实施以来,某市的人口 出生率得到了一定程度的提高,某机构对该市家庭生育情况进行抽查,抽取到第2个三胎家 庭就停止抽取,记抽取的家庭数为随机变量X(X>2),且该市随机抽取一户是三胎家庭的概 已知各家庭抽查结果相互独立. (1)求P(X-4); (2)若抽取的家庭数x不超过n的概率不小于2 求整数n的最小值 19.(17分) 己知函数f(x)=lnx+1,g(x)-e-1. (1)求曲线y=f(×)与y=g(x)的公切线的条数 (2)若a>0,Vxe(-1,+co),f(x+1)<a2g(x)+a2-a+1,求a的取值范围 高二数学试卷 第6页(共6页) 大湾区高二级2023-2024学年第二学期期末统一考试 高二数学参考答案 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项符合题目要求的 。 答案 C 二、选择题:本题共4小题,每小题5分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求 全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分 10 2 答案 CD BC ABD 三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分 12.- 13. 240 14. 2037 四、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 15.(13分) 解:(1)数列{a-)中,a=1,8。+a_n-0o=0, 显然a.=0,则-1-1, _a. ....................................6分 (2)由(1)知,b.=(-1)"-”+2, 2 2 9(n+1)+1-2-7n-1. 当n-2k-1,k=N时,s.-8-,-9 4 2 高二数学参考答案 第1页(共5页 所以$.-{ keN'. 7n-1. .........................1.分 -.=2k-1 (4 16.(15分) 解:(1)由已知得x= #(×)(-)5-=1.4-5x.321.6 1.6_~0.92. - 3.16x0.55 因为y与x的相关系数近似为0.92>0.75,说明y与x的线性相关程度较强,从而可以用 线性回归模型拟合y与x的关系 (2)由题可得, (-)(v-) 1.6 -2 故y关于x的经验回归方程为=0.16x+0.84. .....................................5分 17.(15分) 解:(1)原式=C+6C+2C}+5C+3C+4C+7C =7(C+C+C+C)=7(1+7+21+35)=7x64=448 .....................分 ($2) 显然k*C =k·kC=k.nC.而 C=(-l)C* +C !=(n-l)C?}+C* 因此kC-n(n-1)C}+nC. 所以原命题成立 ....................................10分 (3)设等差数列q:,,...,a.的公差为d,d:0 则p(x)=agC(1-x)"+a.C.x(1-x)”+aCx(1-x)“-?}+..+a.C" 高二数学参考答案 第2页(共5页) =aC(1-x)"+(a+d)Cx(l-x)”+..+(a+nd)Cx =a[C(-x)"+Cx(1-x)”+.+Cx”]+d[Cx(1-x)”+2c×(-x)*}++nCx"] =a[-x)+x]+dx[c(1-x)+Cx(-x)}+.+C} =a。+dnx[x+(1-)] -n。+dr. 所以对任意的neN,p(x)是关于x的一次函数 .....................................5分 18.(17分) 解:(1)P(x-4)_1#()##-.# ..........................分. (2)因为P(X-_#())-()(#=2) 所以抽取的家庭数X不超过”的概率为 P=P(X=)=P(=2)+P(X=3)+P(=n), 即P-()0△#-())-)“-)} 2P-)+-)-)“-() 两式相,-()+()())-“(2) 由P-1-“2()“2,得(n+2).()1. 高二数学参考答案 第3页(共5页 令a.-(n+2)()(n2),则 .-.(+2)()-()“-”()” <0(n>3). 所以a.<a.-,所以数列a.(n>2)是递减数列 1~(1. 所以整数n的最小值是7 ...........................分 19.(17分) 解:(1)设/(x)=lnx+1.g(x)=e -1的切点分别为(x,f(x)).(x,g(x)) 则/(x)--,g(x)-e. 故/(x)=lnx+1,g(x)=c-1在切点处的切线方程分别为 x y=e(x-x)+e&-1→y=e:x-xe+e*:-1 则需满足: lnx.=-x,e”:+e”:-1 解得x=0或x=1, 因此曲线y=f(x)与v=gx)有两条不司时公切线 (2)由/(x+1)<ag(x)+a?-a+l可得ln(x+l)+1<a?(e-1)+a”-a+1, 即ln(x+l)<a}e-a对于VxE(-1.+)恒成立 ln(0+l)<a}e*-a,结合a>0,解得a>l 高二数学参考答案 第4页(共5页