专题22 圆的相关性质（34题）-【好题汇编】2024年中考数学真题分类汇编（全国通用）

专题22 圆的相关性质（34题） 一、单选题 1．（2024·湖南·中考真题）如图，，为的两条弦，连接，，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 2．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，是的直径，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，将一根木棒的一端固定在O点，另一端绑一重物．将此重物拉到A点后放开，让此重物由A点摆动到B点．则此重物移动路径的形状为（    ）    A．倾斜直线 B．抛物线 C．圆弧 D．水平直线 4．（2024·四川凉山·中考真题）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，则圆形工件的半径为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，是的直径，是的弦，半径，连接，交于点E，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 6．（2024·湖北·中考真题）为半圆的直径，点为半圆上一点，且．①以点为圆心，适当长为半径作弧，交于；②分别以为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点；③作射线，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，是的直径，若，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 8．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知四边形是的内接四边形，为延长线上一点，，则等于（    ） A． B． C． D． 9．（2024·云南·中考真题）如图，是的直径，点、在上．若，，则（   ） A． B． C． D． 10．（2024·黑龙江绥化·中考真题）下列叙述正确的是（    ） A．顺次连接平行四边形各边中点一定能得到一个矩形 B．平分弦的直径垂直于弦 C．物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影 D．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等 11．（2024·广东广州·中考真题）如图，中，弦的长为，点在上，，．所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（    ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法确定 12．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，若，则的度数为（    ）      A． B． C． D． 13．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，四边形内接于，，，，则的半径是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 14．（2024·四川南充·中考真题）如图，是的直径，位于两侧的点C，D均在上，，则 度． 15．（2024·北京·中考真题）如图，的直径平分弦（不是直径）.若，则    16．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，是的内接三角形，若，则 ． 17．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，内接于，是直径，若，则 ． 18．（2024·四川眉山·中考真题）如图，内接于，点在上，平分交于，连接．若，，则的长为 ． 19．（2024·陕西·中考真题）如图，是的弦，连接，，是所对的圆周角，则与的和的度数是 ．    20．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在中，直径于点E，，则弦的长为 ． 21．（2024·江西·中考真题）如图，是的直径，，点C在线段上运动，过点C的弦，将沿翻折交直线于点F，当的长为正整数时，线段的长为 ． 22．（2024·河南·中考真题）如图，在中，，，线段绕点C在平面内旋转，过点B作的垂线，交射线于点E．若，则的最大值为 ，最小值为 . 三、解答题 23．（2024·四川甘孜·中考真题）如图，为⊙O的弦，C为的中点，过点C作，交的延长线于点D．连接．    (1)求证：是⊙O的切线； (2)若，求的面积． 24．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，是的直径，是的两条弦，点与点在的两侧，是上一点（），连接，且． (1)如图1，若，，求的半径； (2)如图2，若，求证：．（请用两种证法解答） 25．（2024·安徽·中考真题）如图，是的外接圆，D是直径上一点，的平分线交于点E，交于另一点F，． (1)求证：； (2)设，垂足为M，若，求的长． 26．（2024·四川眉山·中考真题）如图，是的直径，点在上，点在的延长线上，，平分交于点，连结． (1)求证：是的切线； (2)当时，求的长． 27．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知及边上一点． (1)用无刻度直尺和圆规在射线上求作点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，以点为圆心，以为半径的圆交射线于点，用无刻度直尺和圆规在射线上求作点，使点到点的距离与点到射线的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法） (3)在（1）、（2）的条件下，若，，求的长． 28．（2024·河南·中考真题）如图1，塑像在底座上，点D是人眼所在的位置．当点B高于人的水平视线时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大．数学家研究发现：当经过A，B两点的圆与水平视线相切时（如图2），在切点P处感觉看到的塑像最大，此时为最大视角． (1)请仅就图2的情形证明． (2)经测量，最大视角为，在点P处看塑像顶部点A的仰角为，点P到塑像的水平距离为．求塑像的高（结果精确到．参考数据：）． 29．（2024·江西·中考真题）如图，是半圆O的直径，点D是弦延长线上一点，连接，． (1)求证：是半圆O的切线； (2)当时，求的长． 30．（2024·广东深圳·中考真题）如图，在中，，为的外接圆，为的切线，为的直径，连接并延长交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 31．（2024·四川广元·中考真题）如图，在中，，，经过A、C两点，交于点D，的延长线交于点F，交于点E． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的半径． 32．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在中，以为直径的交于点，垂足为． 的两条弦相交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求扇形的面积． 33．（2024·江苏扬州·中考真题）在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论． 如图，已知，， 是的外接圆，点在上（），连接、、． 【特殊化感知】 （1）如图1，若，点在延长线上，则与的数量关系为________； 【一般化探究】 （2）如图2，若，点、在同侧，判断与的数量关系并说明理由； 【拓展性延伸】 （3）若，直接写出、、满足的数量关系．（用含的式子表示） 34．（2024·浙江·中考真题）如图，在圆内接四边形中，，延长至点E，使，延长至点F，连结，使． (1)若，为直径，求的度数． (2)求证：①；②． 10 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题22 圆的相关性质（34题） 一、单选题 1．（2024·湖南·中考真题）如图，，为的两条弦，连接，，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半是解题的关键．根据圆周角定理可知，即可得到答案． 【详解】根据题意，圆周角和圆心角同对着， ， ， ． 故选：C． 2．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，是的直径，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理，关键是由圆周角定理推出． 由圆周角定理得到，由邻补角的性质求出． 【详解】解：， ， ． 故选：D． 3．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，将一根木棒的一端固定在O点，另一端绑一重物．将此重物拉到A点后放开，让此重物由A点摆动到B点．则此重物移动路径的形状为（    ）    A．倾斜直线 B．抛物线 C．圆弧 D．水平直线 【答案】C 【分析】本题考查动点的移动轨迹，根据题意，易得重物移动的路径为一段圆弧． 【详解】解：在移动的过程中木棒的长度始终不变，故点的运动轨迹是以为圆心，为半径的一段圆弧， 故选：C． 4．（2024·四川凉山·中考真题）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，则圆形工件的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识．由垂径定理，可得出的长；设圆心为O，连接，在中，可用半径表示出的长，进而可根据勾股定理求出得出轮子的半径，即可得出轮子的直径长． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴直线经过圆心，设圆心为，连接．   中，， 根据勾股定理得： ，即： ， 解得：； 故轮子的半径为， 故选：C． 5．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，是的直径，是的弦，半径，连接，交于点E，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理以及三角形的外角性质．先根据垂径定理，求得，利用圆周角定理求得，再利用三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：∵半径， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 6．（2024·湖北·中考真题）为半圆的直径，点为半圆上一点，且．①以点为圆心，适当长为半径作弧，交于；②分别以为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点；③作射线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查圆周角定理以及角平分线定义，根据直径所对的圆周角是直角可求出，根据作图可得，故可得答案 【详解】解：∵为半圆的直径， ∴， ∵， ∴， 由作图知，是的角平分线， ∴， 故选：C 7．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，是的直径，若，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，同弧或等弧所对的圆周角相等．根据直径所对的圆周角为直角得到，同弧或等弧所对的圆周角相等得到，进一步计算即可解答． 【详解】解：是的直径， ， ， ， ， 故选：A． 8．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知四边形是的内接四边形，为延长线上一点，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍可求得的度数，再根据圆内接四边形对角互补，可推出，即可得到答案． 【详解】解：是圆周角，与圆心角对相同的弧，且， ， 又四边形是的内接四边形， ， 又， ， 故选：A． 9．（2024·云南·中考真题）如图，是的直径，点、在上．若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧弦圆心角的关系，圆周角定理，连接，由可得，进而由圆周角定理即可求解，掌握圆的有关性质是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， 故选：． 10．（2024·黑龙江绥化·中考真题）下列叙述正确的是（    ） A．顺次连接平行四边形各边中点一定能得到一个矩形 B．平分弦的直径垂直于弦 C．物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影 D．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定，垂径定理，中心投影，弧、弦与圆心角的关系，根据相关定理逐项分析判断，即可求解． 【详解】A. 顺次连接平行四边形各边中点不一定能得到一个矩形，故该选项不正确，不符合题意； B. 平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故该选项不正确，不符合题意； C. 物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影，故该选项正确，符合题意； D. 在同圆或等圆 中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 11．（2024·广东广州·中考真题）如图，中，弦的长为，点在上，，．所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（    ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，点与圆的位置关系，锐角三角函数，掌握圆的相关性质是解题关键．由垂径定理可得，由圆周角定理可得，再结合特殊角的正弦值，求出的半径，即可得到答案． 【详解】解：如图，令与的交点为， 为半径，为弦，且， ， ， 在中，，，， ， ，即的半径为4， ， 点在外， 故选：C． 12．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，若，则的度数为（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，连接，由是的直径得到，根据圆周角定理得到，得到，再由圆内接四边形对角互补得到答案. 【详解】解：如图，连接，    ∵是的直径， ∴， ∵， ∴ ∴ ∵四边形是的内接四边形， ∴， 故选：B 13．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，四边形内接于，，，，则的半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长至点E，使，连接，连接并延长交于点F，连接，即可证得，进而可求得，再利用圆周角定理得到，结合三角函数即可求解． 【详解】解：延长至点E，使，连接，连接并延长交于点F，连接， ∵四边形内接于， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴是的直径， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴ ∴，, ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，圆周角定理，锐角三角函数、等腰三角形的性质与判定等知识点，熟练掌握圆周角定理以及全等三角形的性质与判定是解题的关键． 二、填空题 14．（2024·四川南充·中考真题）如图，是的直径，位于两侧的点C，D均在上，，则 度． 【答案】75 【分析】本题考查圆周角定理，补角求出，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，进行求解即可． 【详解】解：∵是的直径，位于两侧的点C，D均在上，， ∴， ∴； 故答案为：75． 15．（2024·北京·中考真题）如图，的直径平分弦（不是直径）.若，则    【答案】55 【分析】本题考查了垂径定理的推论，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 先由垂径定理得到，由得到，故． 【详解】解：∵直径平分弦， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，是的内接三角形，若，则 ． 【答案】/62度 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，连接，利用等腰三角形的性质，三角形内角和定理求出的度数，然后利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，内接于，是直径，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，连接，根据直径所对的圆周角是直角得出，根据同弧所对的圆周角相等得出，进而根据直角三角形的两个锐角互余，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵内接于，是直径， ∴， ∵,， ∴ ∴， 故答案为：． 18．（2024·四川眉山·中考真题）如图，内接于，点在上，平分交于，连接．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，角平分线的定义全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，延长，交于，由圆周角定理可得，，进而可证明，得到，即得，利用勾股定理得，再证明，得到，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：延长，交于， 是的直径， ，， 平分， ， 又∵， ∴， ， ， ，， ， ， 又∵， ∴， ， ， ， ， ， 故答案为：． 19．（2024·陕西·中考真题）如图，是的弦，连接，，是所对的圆周角，则与的和的度数是 ．    【答案】/90度 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理可得，结合三角形内角和定理，可证明，再根据等腰三角形的性质可知，由此即得答案． 【详解】是所对的圆周角，是所对的圆心角， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 20．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在中，直径于点E，，则弦的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键． 由垂径定理得，设的半径为，则，在中，由勾股定理得出方程，求出，即可得出，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵， ， 设的半径为，则， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：， ， ， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：． 21．（2024·江西·中考真题）如图，是的直径，，点C在线段上运动，过点C的弦，将沿翻折交直线于点F，当的长为正整数时，线段的长为 ． 【答案】或或2 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，折叠的性质，根据，可得或2，利用勾股定理进行解答即可，进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解：为直径，为弦， ， 当的长为正整数时，或2， 当时，即为直径， 将沿翻折交直线于点F，此时与点重合， 故； 当时，且在点在线段之间， 如图，连接， 此时， ， ， ， ， ； 当时，且点在线段之间，连接， 同理可得， ， 综上，可得线段的长为或或2， 故答案为：或或2． 22．（2024·河南·中考真题）如图，在中，，，线段绕点C在平面内旋转，过点B作的垂线，交射线于点E．若，则的最大值为 ，最小值为 . 【答案】 / / 【分析】根据题意得出点D在以点C为圆心，1为半径的圆上，点E在以为直径的圆上，根据，得出当最大时，最大，最小时，最小，根据当与相切于点D，且点D在内部时，最小，最大，当与相切于点D，且点D在外部时，最大，最小，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵线段绕点C在平面内旋转，， ∴点D在以点C为圆心，1为半径的圆上， ∵， ∴， ∴点E在以为直径的圆上， 在中，， ∵为定值， ∴当最大时，最大，最小时，最小， ∴当与相切于点D，且点D在内部时，最小，最大，连接，，如图所示： 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 即的最大值为； 当与相切于点D，且点D在外部时，最大，最小，连接，，如图所示： 则， ∴， ∴， ∵四边形为圆内接四边形， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 即的最小值为； 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解直角三角形的相关计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质，找出取最大值和最小值时，点D的位置． 三、解答题 23．（2024·四川甘孜·中考真题）如图，为⊙O的弦，C为的中点，过点C作，交的延长线于点D．连接．    (1)求证：是⊙O的切线； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的切线的判定、勾股定理、垂径定理的推论等知识点，熟记相关结论是解题关键． （1）由垂径定理的推论可知，据此即可求证； （2）利用勾股定理求出即可求解； 【详解】（1）证明：∵为⊙O的弦，C为的中点， 由垂径定理的推论可知：， ∵， ∴， ∵为⊙O的半径， ∴是⊙O的切线； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 24．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，是的直径，是的两条弦，点与点在的两侧，是上一点（），连接，且． (1)如图1，若，，求的半径； (2)如图2，若，求证：．（请用两种证法解答） 【答案】(1)3 (2)见解析 【分析】（1）利用等边对等角、三角形内角和定理求出，结合，可得出，在中，利用勾股定理求解即可； （2）法一：过O作于F，利用垂径定理等可得出，然后利用定理证明，得出，然后利用平行线的判定即可得证； 法二：连接，证明，得出，然后利用平行线的判定即可得证 【详解】（1）解∶∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 解得， 即的半径为3； （2）证明：法一：过O作于F， ∴， ∵ ∴， 又，， ∴， ∴， ∴； 法二：连接， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定与性质等知识，明确题意，灵活运用所学知识解题是解题的关键． 25．（2024·安徽·中考真题）如图，是的外接圆，D是直径上一点，的平分线交于点E，交于另一点F，． (1)求证：； (2)设，垂足为M，若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)． 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理等知识，掌握这些性质以及定理是解题的关键． （1）由等边对等角得出，由同弧所对的圆周角相等得出，由对顶角相等得出，等量代换得出，由角平分线的定义可得出，由直径所对的圆周角等于可得出，即可得出，即． （2）由（1）知，，根据等边对等角得出，根据等腰三角形三线合一的性质可得出，的值，进一步求出，，再利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又与都是所对的圆周角， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， 故， 即． （2）由（1）知，， ∴， 又，， ∴，， ∴圆的半径， ∴， 在中． ， ∴ 即的长为． 26．（2024·四川眉山·中考真题）如图，是的直径，点在上，点在的延长线上，，平分交于点，连结． (1)求证：是的切线； (2)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握切线的判定是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据切线的判定定理得到结论； （2）根据相似三角形的判定和性质定理得到，求得，连接，根据角平分线的定义得到，求得，得到，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：，， ， ， ， ， ， 连接， 平分， ， ， ， 是的直径， ， ． 27．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知及边上一点． (1)用无刻度直尺和圆规在射线上求作点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，以点为圆心，以为半径的圆交射线于点，用无刻度直尺和圆规在射线上求作点，使点到点的距离与点到射线的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法） (3)在（1）、（2）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解 (3) 【分析】（1）根据尺规作角等于已知角的方法即可求解； （2）根据尺规作圆，作垂线的方法即可求解； （3）根据作图可得是直径，结合锐角三角函数的定义可得的值，根据勾股定理可求出的值，在直角中运用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， ∴； 点O即为所求 （2）解：如图所示， 连接，以点为圆心，以为半径画弧交于点，以点为圆心，以任意长为半径画弧交于点，分别以点为圆心，以大于为半径画弧，交于点，连接并延长交于点， ∵是直径， ∴，即， 根据作图可得， ∴，即，是点到的距离， ∵， ∴， ∴， 点即为所求点的位置； （3）解：如图所示， 根据作图可得，，连接， ∴在中，， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， 设，则， ∴在中，， 解得，（负值舍去）， ∴， 在中，． 【点睛】本题主要考查尺规作角等于已知角，尺规作垂线，勾股定理，锐角三角函数的定义等知识的综合，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． 28．（2024·河南·中考真题）如图1，塑像在底座上，点D是人眼所在的位置．当点B高于人的水平视线时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大．数学家研究发现：当经过A，B两点的圆与水平视线相切时（如图2），在切点P处感觉看到的塑像最大，此时为最大视角． (1)请仅就图2的情形证明． (2)经测量，最大视角为，在点P处看塑像顶部点A的仰角为，点P到塑像的水平距离为．求塑像的高（结果精确到．参考数据：）． 【答案】(1)见解析 (2)塑像的高约为 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形外角的性质，解直角三角形的应用等知识，解题的关键是： （1）连接，根据圆周角定理得出，根据三角形外角的性质得出，然后等量代换即可得证； （2）在中，利用正切的定义求出，在中，利用正切的定义求出，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接． 则． ∵， ∴． （2）解：在中，，． ∵， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴． ∴． 答：塑像的高约为． 29．（2024·江西·中考真题）如图，是半圆O的直径，点D是弦延长线上一点，连接，． (1)求证：是半圆O的切线； (2)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，等边三角形的判定和性质，弧长公式，熟知相关性质和计算公式是解题的关键． （1）根据直径所对的圆周角为直角结合已知条件，可得，即可得，进而可证得结论； （2）连接，证明为等边三角形，求得，利用弧长公式即可解答． 【详解】（1）证明：是半圆O的直径， ， ， ， ， 是半圆O的切线； （2）解：如图，连接， ， 为等边三角形， ，， ， ． 30．（2024·广东深圳·中考真题）如图，在中，，为的外接圆，为的切线，为的直径，连接并延长交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，中垂线的判定和性质，矩形的判定和性质： （1）连接并延长，交于点，连接，易证垂直平分，圆周角定理，切线的性质，推出四边形为矩形，即可得证； （2）由（1）可知，勾股定理求出的长，设的半径为，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）证明：连接并延长，交于点，连接， ∵，， ∴垂直平分， ∴，， ∵为的切线， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴四边形为矩形， ∴； （2）由（1）知四边形为矩形，，， ∴， ∴， 设的半径为，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； 即：的半径为． 31．（2024·四川广元·中考真题）如图，在中，，，经过A、C两点，交于点D，的延长线交于点F，交于点E． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质可得，再根据，可得，问题得证； （2）过点C作于点H，根据等腰直角三角形的性质有，结合，可得，即，利用勾股定理可得．在中，根据，设半径为r，即有，问题得解． 【详解】（1）证明：连接． ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为的切线． （2）过点C作于点H， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 在中，∵， 设半径为r，∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，正切，勾股定理等知识以及等腰三角形的性质等知识，问题难度不大，正确作出合理的辅助线，是解答本题的关键． 32．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在中，以为直径的交于点，垂足为． 的两条弦相交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求扇形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，利用等边对等角，圆周角定理等可得出，由垂直的定义得出，等量代换得出，即，然后根据切线的判定即可得证； （2）先利用含的直角三角形的性质求出，同时求出，进而求出，利用等边对等角，三角形外角的性质等可求出，，证明是等边三角形，得出，，进而求出，在中，利用余弦定义可求出，最后利用扇形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， 又，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 又是的半径； ∴是的切线； （2）解：∵，，， ∴，， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 在中，， ∴扇形的面积为． 【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解直角三角形的应用，三角形外角的性质，灵活运用所学知识是解题的关键． 33．（2024·江苏扬州·中考真题）在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论． 如图，已知，， 是的外接圆，点在上（），连接、、． 【特殊化感知】 （1）如图1，若，点在延长线上，则与的数量关系为________； 【一般化探究】 （2）如图2，若，点、在同侧，判断与的数量关系并说明理由； 【拓展性延伸】 （3）若，直接写出、、满足的数量关系．（用含的式子表示） 【答案】（1）；（2）（3）当在上时，；当在上时， 【分析】（1）根据题意得出是等边三角形，则，进而由四边形是圆内接四边形，设交于点，则，设，则，分别求得，即可求解； （2）在上截取，证明，根据全等三角形的性质即得出结论； （3）分两种情况讨论，①当在上时，在上截取，证明，，得出，作于点，得出，进而即可得出结论；②当在上时，延长至，使得，连接，证明，，同①可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形，则 ∵是的外接圆， ∴是的角平分线，则 ∴ ∵四边形是圆内接四边形， ∴ ∴ 设交于点，则， 设，则 在中， ∴ ∴， ∵是直径，则， 在中， ∴ ∴ （2）如图所示，在上截取， ∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴，则 ∴ ∵四边形是圆内接四边形， ∴ ∴； ∵，， ∴是等边三角形，则 ∴， 又∵ ∴ 在中 ∴ ∴， ∴ 即； （3）解：①如图所示，当在上时， 在上截取， ∵ ∴ 又∵ ∴，则 ∴即 又∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 如图所示，作于点， 在中，， ∴ ∴ ∴，即 ②当在上时，如图所示，延长至，使得，连接， ∵四边形是圆内接四边形， ∴ 又∵ ∴，则 ∴即， 又∵ ∴ ∴ ∴， ∵ 同①可得 ∴ ∴ 综上所述，当在上时，；当在上时，． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，圆内接四边形对角互补，圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，等腰三角形的性质，熟练掌握截长补短的辅助线方法是解题的关键． 34．（2024·浙江·中考真题）如图，在圆内接四边形中，，延长至点E，使，延长至点F，连结，使． (1)若，为直径，求的度数． (2)求证：①；②． 【答案】(1) (2)①见详解；②见详解 【分析】（1）根据圆周角定理即可求解，由为直径，得到，故，由，得到； （2）①由四点共圆得，而，等量代换得到，故； ②过点D作平行线交于点G，可证明，，因此得到，由，得到． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明①：∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴； ②过点D作平行线交于点G， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵由（1）知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆的内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$