专题02 数轴上的九类动态模型-2024-2025学年七年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北师大版2024）

专题02 数轴上的九类动态模型 数轴中的动态问题属于七年级上册必考压轴题型，主要以数轴为载体，体现分类讨论和数形结合等思想，考查学生的分析与综合能力。解题时，一般遵循“点、线、式”三步策略。即：先根据题意中动点的出发位置，移动方向和速度，用含t的式子表示动点，然后根据题中要求提炼出线段，用动点的含t表达式表示线段，最后根据线段间的等量关系，列出式子，然后求解（要检验解是否符合动点的运动时间范围）。 模型1.动态规律（左右跳跃）模型 2 模型2.单（多）动点匀速模型 5 模型3.单（多）动点变速模型 7 模型4.动点往返运动模型 11 模型5.动态中点与n等分点模型 15 模型6.动态定值（无参型）模型 18 模型7.动态定值（含参型）模型 22 模型8.数轴折叠（翻折）模型 24 模型9.数轴上的线段移动模型 27 31 【知识储备】 ①若A、B两点在数轴上对应的数字是 a、b，则AB两点间的距离；AB的中点对应的数字是：。 ②数轴动点问题主要步骤： 1）画图——在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度； 2）写点——写出所有点表示的数：常用含t的代数式表示，向右运动用“+”表示，向左运动用“-”表示； 3）表示距离——右—左，若无法判定两点的左右需加绝对值； 4）列式求解——根据条件列方程或代数式，求值。 注意：要注意动点是否会来回往返运动，速度是否改变等。 ③分类讨论的思想： （1）数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，注意多种情况的分类讨论。 （2）对于两个动点P、Q，若点P、Q的左右位置关系不明确或有多种情况，可用p、q两数差的绝对值表示PQ 两点距离，从而避免复杂分类讨论。 模型1.动态规律（左右跳跃）模型 模型（1）：“1左1右”的等差数列式跳跃，两个一组根据规律计算即可； 模型（2）：“2左2右”的等差数列式跳跃，四个一组根据规律计算即可。 例1．（2023·湖北孝感·七年级期末）点P从数轴上表示－3的点开始连续移动：第一次先向左移动1个单位长度，再向右移动2个单位长度；第二次先向左移动2个单位长度，再向右移动3个单位长度；第三次先向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度；……按此规律继续移动，则第n次移动后点P在数轴上表示的数为______________． 【答案】## 【分析】分析题意不难得出，第一次移动，实际上是向右移动1个单位长度，据此可求第n次移动后点P表示的数． 【详解】解：∵第一次先向左移动1个单位长度，再向右移动2个单位长度；则实际移动的长度为：-1+2=1， 第二次先向左移动2个单位长度，再向右移动3个单位长度；则实际移动的长度为：-2+3=1， 第三次先向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度；则实际移动的长度为：-3+4=1，… ∴第n次移动后点P在数轴上表示的数为：-3+n=n-3．故答案为：n-3． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键明确每一次移动后，实际移动的长度为1个单位长度． 例2．（2023·山东·七年级期中）一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动，设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长度，表示第n秒时机器人在数轴上的位置所对应的数．给出下列结论：①；②；③；④．其中，正确结论的序号是_______． 【答案】①②④ 【分析】“前进3步后退2步”这5秒组成一个循环结构，先根据题意列出几组数据，从数据找寻规律：第一个循环节结束的数即x5=1，第二个循环节结束的数即x10=2，第三个循环节结束的数即x15=3，…，第m个循环节结束的数就是第5m个数，即x5m=m．然后再根据“前进3步后退2步”的运动规律来求取对应的数值． 【详解】根据题意可知：x1=1，x2=2，x3=3，x4=2，x5=1，x6=2，x7=3，x8=4，x9=3，x10=2，x11=3，x12=4，x13=5，x14=4，x15=3，…由上列举知①②正确，符合题意； 由上可知：第一个循环节结束的数即x5=1，第二个循环节结束的数即x10=2，第三个循环节结束的数即x15=3，…，即第m个循环节结束的数即x5m=m． ∵x100=20，∴x101=21，x102=22，x103=23，x104=22， ∵x105=21，∴x106=22，x107=23，x108=24故x108＞x104，故③错误，不合题意； ∵x2015=403，∴x2016=404，x2017=405，x2018=406，x2019=405，x2020=404， 故x2019＞x2020，故④正确．符合题意．故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了规律型——数字的变化类，主要考查了数轴，要注意数轴上点的移动规律是“左减右加”．把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来．前进3步后退2步”这5秒组成一个循环结构，让n÷5看余数，余数是几，那么第n秒时就是循环节中对应的第几个数． 变式1．（2023·北京朝阳·七年级校考阶段练习）一个动点P从数轴上的原点O出发开始移动，第1次向右移动1个单位长度到达点P1，第2次向右移动2个单位长度到达点P2，第3次向左移动3个单位长度到达点P3，第4次向左移动4个单位长度到达点P4，第5次向右移动5个单位长度到达点P5…，点P按此规律移动，则移动第158次后到达的点在数轴上表示的数为（ ） A．159 B．-156 C．158 D．1 【答案】A 【分析】根据数轴，按题目叙述的移动方法即可得到点前五次移动后在数轴上表示的数；根据移动的规律即可得移动第158次后到达的点在数轴上表示的数． 【详解】解：设向右为正，向左为负，则 表示的数为+1， 表示的数为+3 表示的数为0， 表示的数为-4， 表示的数为+1…… 由以上规律可得，每移动四次相当于向左移动4个单位长度．所以当移动156次时，156=39×4相当于向左移动了39次四个单位长度．此时表示的数为．则第157次向右移动157个单位长度，；第158次还是向右，移动了158个单位长度，所以． 故在数轴上表示的数为159．故选A． 【点睛】本题考查了数轴上点的运动规律，正确理解题意，找出点在数轴上的运动次数与对应点所表示的数的规律是解题的关键． 变式2．（2023·湖北鄂州·七年级期末）已知点A，B，C在数轴上对应的数分别为a，b，c，其中a满足，b满足，点P位于该数轴上．(1)求出a，b的值，并求出A，B两点之间的距离AB； (2)设点C与点A的距离为24个单位长度，且，若PB＝2PC，求点P在数轴上对应的数p； (3)设点P从原点开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个单位长度，第四次向右移动7个单位长度……以此类推，问点P能移动到与点A或点B重合的位置吗？若能，请探究需要移动多少次才能重合？若不能，请说明理由． 【答案】(1)a=8，b=-14，AB=22(2)点P对应数为-18或者 (3)第8次移动时，即向右移动15个单位与点A重合，不能移动到与点B重合理由见解析 【分析】（1）根据平方的非负性和解一元一次方程即可求出a、b从而求出AB； （2）先求出C点表示的数，然后根据PB=2PC，得到，，由此求解即可； （3）根据题意可知，每两次运动点P向右移动2个单位长度，点P第（k为正整数）次移动后，P在原点左边距离原点的位置，由此求解即可． (1)解：∵，∴，∴； ∵，∴，∴，∴； (2)解：∵，∴， ∵点C与点A的距离为24个单位长度，∴点C表示的数为-16， ∵PB=2PC，∴，，∴， ∴或，解得或； (3)解：由题意可知，每两次运动点P向右移动2个单位长度， ∵点A表示的数为8，∴点P在第8次移动时，即向右移动15个单位与点A重合； 根据题意可知点P第（k为正整数）次移动后，P在原点左边距离原点的位置， ∴，解得不符合题意，∴点P不能运动到B点； 【点睛】本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，解一元一次方程，数轴上的动点问题，熟知相关知识是解题的关键． 模型2.单（多）动点匀速模型 模型（1）:动点P从点A（点A在数轴上对应的数是a）出发，以每秒v个单位的速度向右移动，t秒后，到达B点，B点对应的数是：a+vt。 模型（1）:动点P从点A（点A在数轴上对应的数是a）出发，以每秒v个单位的速度向左移动，t秒后，到达C点，C点对应的数是：a-vt。 例1．（23-24七年级上·吉林长春·期中）如图，点均在数轴上，点所对应的数是，点在点的右边，且距点个单位长度，点是数轴上的两个动点．(1)求出点所对应的数；(2)当点到点的距离之和是个单位长度时，求出此时点所对应的数；(3)若点分别从点出发，均沿数轴向左运动，点每秒运动个单位长度，点每秒运动个单位长度．若点先出发秒后点出发，当两点相距个单位长度时，直接写出此时点分别对应的数． 【答案】(1)；(2)或； (3)点对应的数是，点对应的数是或点对应的数是，点对应的数是． 【分析】（）根据两点间的距离公式即可求解； （）分两种情况：点在点的左边，；点在点的右边，进行讨论即可求解； （3）分两种情况：点在点的左边，点在点的右边，进行讨论即可求解； 本题考查了两点间的距离和数轴，解题的关键是熟练掌握数轴及“分类讨论”的数学思想． 【详解】（1），故点所对应的数是； （2），点在点的左边，， 点在点的右边，，故点所对应的数是或； （3）点在点的左边，（秒）， 点对应的数是，点对应的数是； 点在点的右边，（秒）， 点对应的数是，点对应的数是， 综上可知：点对应的数是，点对应的数是或点对应的数是，点对应的数是． 变式1．（23-24七年级上·山东枣庄·期中）如图，已知数轴上的点表示的数为，点表示的数为，点到点、点的距离相等，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为（大于）秒．(1)点表示的数是______；(2)当______秒时，点到达点处？ (3)运动过程中点表示的数是______（用含字母的式子表示）．    【答案】(1)；(2)；(3)． 【分析】（）根据数轴两点间的距离即可求解；（）根据数轴两点间的距离即可求解； （）根据数轴上点的运动特征即可求解；此题考查了数轴，解题的关键是熟练掌握数轴上的特点． 【详解】（1）设表示的数为， ∵点到点、点的距离相等，∴，解得：， ∴点表示的数为，故答案为：； （2）∵数轴上的点表示的数为，点表示的数为， ∴，∴运动时间，故答案为：； （3）∵动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动， ∴运动过程中点表示的数是，故答案为：． 变式2．（2024·广东·七年级专题练习）如图，已知点，，是数轴上三点，点对应的数为，，．(1)求点，对应的数；(2)动点，同时从，出发，分别以每秒个单位和个单位的速度沿数轴正方向运动，为的中点，在上，且，设运动时间为。 ①求点，对应的数用含的式子表示；②为何值时， 【答案】(1)A对应的数为-10，B对应的数为2(2)①表示的数是，表示的数是； ②当秒或秒时． 【分析】（1）根据点C对应的数为，有OC=6，根据BC=4，可得OB=OC-BC=6-4=2，即点B表示的数是2；根据，可得OA=10，即问题得解； （2）①根据动点P、Q运动特点可得，，根据M为的中点，，可得，，结合A对应的数为-10，C表示的数是6，即可求解；②根据（1）中，表示的数，即可得，，即有，结合，可得，即可作答． 【详解】（1）∵点C对应的数为，∴OC=6， ∵，∴OB=OC-BC=6-4=2，∴点B表示的数是2， ∵，∴OA=AB-OB=12-2=10， ∴根据点A在O点左侧，可得点A表示的数是-10，即A对应的数为-10，B对应的数为2； （2）①∵动点P、Q分别同时从A、C出发，分别以每秒个单位和个单位的速度，时间是， ∴，， ∵M为的中点，在上，且，∴，， ∵A对应的数为-10，C表示的数是6，∴表示的数是，表示的数是； ②∵表示的数是，∴，∵表示的数是，∴， ∵B对应的数为2，∴OB=2，∴， ∵，∴， 当时，得， 当时，得， 故当秒或秒时． 【点睛】本题考查了数轴上的动点问题、在数轴上表示有理数以及数轴上两点之间的距离等知识，得出是解答本题的关键． 模型3.单（多）动点变速模型 例1．（2023·四川·宜宾八中七年级阶段练习）已知数轴上有A，B，C三点，分别表示数﹣24，﹣10，10．两只电子蚂蚁甲、乙分别从A，C两点同时相向而行，甲的速度为4个单位/秒，乙的速度为6个单位/秒． （1）问甲、乙在数轴上的哪个点相遇？ （2）问多少秒后甲到，，三点的距离之和为40个单位？． （3）若甲、乙两只电子蚂蚁（用表示甲蚂蚁、表示乙蚂蚁）分别从，两点同时相向而行，甲的速度变为原来的3倍，乙的速度不变，直接写出多少时间后，原点、甲蚂蚁与乙蚂蚁三点中，有一点恰好是另两点所连线段的中点． 【答案】解：（1）-10.4；（2）2或5秒；（3）秒或秒或秒． 【分析】利用行程问题的基本数量关系，以及数轴直观解决问题即可． 【详解】解：（1）设秒后甲与乙相遇，则，解得， ，．故甲、乙在数轴上的相遇； （2）设秒后甲到，，三点的距离之和为40个单位， 点距，两点的距离为，点距、两点的距离为，点距、的距离为，故甲应为于或之间． ①之间时：解得； ②之间时：，解得． （3）∵甲的速度变为原来的3倍，即甲的速度变为12个单位/秒， ①设秒后原点是甲蚂蚁与乙蚂蚁两点的中点，则依题意得：，解得， ②设秒后乙蚂蚁是甲蚂蚁与原点两点的中点，则依题意得：，解得； ③设秒后甲蚂蚁是乙蚂蚁与原点两点的中点，则依题意得：，解得， 综上所述，或或秒后，原点、甲蚂蚁与乙蚂蚁三点中，有一点恰好是另两点所连线段的中点． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解是解题关键． 变式1．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，且．我们将A，B两点间的距离记为．(1)______，______，______； (2)若点C在数轴上，且，求点C表示的有理数；(3)M，P，Q三点在数轴上，点O为原点，点M表示的数为12．P，Q两点分别从A，B两点同时出发，沿数轴的正方向运动，在到达点O前，P，Q两点的运动速度分别为4个单位长度/秒和2个单位长度/秒，点P经过点O后的速度变为原速度的一半，点Q经过点O后的速度变为原速度的2倍．设运动时间为t秒，当时，求t的值． 【答案】(1)，，(2)点C表示的有理数为或；(3)t的值为2或或17． 【分析】（1）根据平方与绝对值的和等于0，则每一项都等于0，求出a、b，从而求出线段的长； （2）设出点C表示的有理数为c，根据位置不同进行分类讨论，根据题意中给出的等式运算，得出结果； （3）根据题意分情况讨论，结合，列出每种情况下的等式，并对t的取值范围进行说明，从而进行判断取舍，最终得出所有满足的结果． 【详解】（1）解：∵，∴，解得：， ；故答案为：，，； （2）解：设点C表示的有理数为c，根据题意得：， 当点C在点A的左侧时，，∴，解得：； ∵，，∴点C不可能在A、B之间， 当点C在点A的右侧时，，∴，解得：； 综上，点C表示的有理数为或； （3）解：由（1）得，， ∵，∴当时，点P到达点O，当时，点Q到达点O，由题意得：， 当点P、Q都在点O左侧时，， ，，∴，解得：； 当点P点O右侧，点Q在点O左侧时，， ，，∴，解得：(舍)； 当点P点O右侧，点Q在点O与点M之间时，， ，，∴，解得：； 当点P点O右侧，点Q在点M右侧时，， ，，∴，解得：； 当点P点O重合时，，，不合题意； 当点Q点O重合时，，，不合题意； 当点Q点M重合时，，，不合题意；综上，t的值为2或或17． 【点睛】本题考查了数轴、绝对值与一元一次方程的应用，是一个综合问题，解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，进而求解． 变式2．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“形数轴”．图中点A表示，点表示，点表示，我们称点和点在“形数轴”上相距个长度单位．动点，同时出发，点从点出发，以单位秒的速度沿着“形数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复到原来的速度；动点从点出发，以单位秒的速度沿着“形数轴”的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复到原来的速度．设运动的时间为秒．请根据以上条件回答：(1)动点从点运动至点需要多少时间？(2)当，两点相遇时，求值；(3)当，两点在“形数轴”上相距的长度与，两点在“形数轴”上相距的长度相等时，则的值为______(直接写出结果)． 【答案】(1)(2)(3)或或或 【分析】本题考查一元一次方程的应用，数轴上两点距离． （1）由点表示，点表示，点表示，得，，，即可得动点从点运动至点需要；（2）从到需要，从到需要，可知在上运动时，表示的数为，表示的数为，有，即可解得当，两点相遇时，的值为；（3）①当时，，②当时，，③当时，，④当时，，⑤当时，，分别解方程可得答案． 【详解】（1）解：点表示，点表示，点表示， ，，， ，动点从点运动至点需要； （2）从到需要，从到需要， 在上运动时，表示的数为，表示的数为， ，解得，当，两点相遇时，的值为； （3）①当时，在上，在上，表示的数为表示的数为 ，解得， ②当时，在上，在上，表示的数为，表示的数为 ，解得； ③当时，在上，在上，表示的数为，表示的数为， ，解得； ④当时，在上，在上，表示的数为，表示的数为， ，方程无解； ⑤当时，在上，在上，表示的数为，表示的数为， ，解得； 综上所述，的值为或或或．故答案为：或或或． 模型4.动点往返运动模型 例1．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，数轴上线段（单位长度），（单位长度），点A在数轴上表示的数是，点C在数轴上表示的数是14． (1)若点P是数轴上一动点，当动点P到点A的距离与到点D的距离之和等于34时，则点P对应的数是 ； (2)若点M从点A出发向右运动，速度为2个单位长度/秒，点N从点D出发向左运动，速度为4个单位长度/秒，点P从原点出发，速度为3个单位长度/秒．点M，N和P三点同时运动，点P先向右运动，遇到点N立即掉头向左运动，遇到点M再立即掉头向右运动，如此往返，当M，N两点相距12个单位长度时，点P立即停止运动，此时点P移动的路程为 个单位长度； (3)若线段以3个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动．点P是线段上一点，当B点运动到线段上时，是否存在关系式，若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或20(2)9(3)存在，6或 【分析】本题考查数轴上点的表示，用点正确地表示出数轴上线段的长，并建立方程是解题的关键， （1）根据点P的位置进行分类讨论并用两点之间的距离公式计算即可． （2）设运动时间为t，表示出M，N两点所对应的数，结合M，N两点间的距离为12个单位长度即可解决问题．（3）设运动的时间为a秒，点B运动到点C和点D所对应的时间即可得经过对应时间．设点P所对应的数为m，则．可得到、、长度，再分P与C相遇前后求即可． 【详解】（1）解：设点P对应的数为x， 当P在A、D两点之间时，，不存在满足条件的P点， 当点P在点A的左侧时，，解得； 当点P在点A的右侧时，，解得．故答案为：或20． （2）设运动t秒时，M，N两点相距12个单位长度， 此时点M所对应的数为：，点N所对应的数为：． 当点M和点N相遇前，则，解得， 又因为点P的速度为3单位每秒，所以点P移动的路程为：个单位长度． 当点M和点N相遇后，因为点N速度比点P速度快，所以此种情况不存在．故答案为：9． （3）设运动的时间为a秒，因为点B运动到线段上，则，解得， ，解得，则． 设点P所对应的数为m，由点P是线段上一点得，． 则，， 或． 当时，，整理得， 又∵，∴． 当时，同理可求得， 又因为，所以．故线段的长为：6或． 变式1．（22-23七年级上·重庆·期末）如图，A、B两点在数轴上对应的数分别为、40，在A、B两点处各放一个挡板，M、N两个电子小球同时从原点出发，M以2个单位/秒的速度向数轴负方向运动，N以4个单位/秒的速度向数轴正方向运动，碰到挡板后则反方向运动，速度大小不变，当两小球第一次相遇时都停止运动．设两个小球运动的时间为t，那么： (1)当时，M在数轴上对应的数可以表示为 ； (2)小杨同学发现：当时，始终为定值．小杨的发现是否正确？若正确，请求出这个定值；若不正确，请说明理由．(3)在整个运动过程中，t为何值时M、N两个小球间的距离为6？请直接写出答案． 【答案】(1)(2)为定值，定值为60，理由见解析(3)或时，两个小球间距离为6 【分析】（1）根据判断出M未碰到挡板，又M向负轴运动，则找到M对应数轴上的数．（2）用t表示、，作差即可得到定值60．（3）按碰到挡板后和未碰到挡板分类讨论，列一元一次方程． 【详解】（1）M、N碰到挡板所需时间均为， ∴时M未碰到挡板运动距离为，又M向负轴运动，则M对应数轴上的数为，故答案为． （2）时，设O点在数轴上对应的数为0， 则，， 故为定值，定值为60． （3）时，，令，则； 时，； 令，则． 故或时，两个小球间距离为6． 【点睛】此题考查了整式加减的应用，一元一次方程解应用，数轴上的动点问题的求解等知识与方法，在做（3）时需进行分类讨论． 变式2．（2023·江苏·七年级专题练习）数轴体现了数形结合的数学思想，若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A、B两点之间的距离表示为．如：点A表示的数为2，点B表示的数为3，则． 问题提出：(1)填空：如图，数轴上点A表示的数为−2，点B表示的数为13，A、B两点之间的距离______，线段AB的中点表示的数为______． (2)拓展探究：若点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发．以每秒2个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t秒（t>0） ①用含t的式子表示：t秒后，点Р表示的数为______；点Q表示的数为______； ②求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数． (3)类比延伸：在（2）的条件下，如果P、Q两点相遇后按照原来的速度继续运动，当各自到达线段AB的端点后立即改变运动方向，并以原来的速度在线段AB上做往复运动，那么再经过多长时间P、Q两点第二次相遇．请直接写出所需要的时间和此时相遇点所表示的数． 【答案】(1)；(2)①；；②当t为3时，P、Q两点相遇；相遇点所表示的数是7 (3)所需要的时间为9秒；相遇点所表示的数是1 【分析】（1）由A表示的数为−2，点B表示的数为13，即得AB＝15，线段AB的中点表示的数为； （2）①t秒后，点P表示的数为−2＋3t，点Q表示的数为 13−2t； ②根据题意得：−2＋3t＝13−2t，即可解得t＝3，相遇点所表示的数为−2＋3×3＝7； （3）由已知返回途中，P表示的数是13−3（t−5），Q表示的数是−2＋2（t−），即得：13−3（t−5）＝−2＋2（t−），可解得t＝9，第二次相遇点所表示的数为：13−3×（9−5）＝1． 【详解】（1）∵A表示的数为−2，点B表示的数为13， ∴AB＝|13−（−2）|＝15，线段AB的中点表示的数为；故答案为：15；． （2）①t秒后，点P表示的数为−2＋3t，点Q表示的数为13−2t；故答案为：−2＋3t；13−2t． ②根据题意得：−2＋3t＝13−2t，解得t＝3，相遇点所表示的数为−2＋3×3＝7； 答：当t为3时，P，Q两点相遇，相遇点所表示的数是7． （3）由已知得：P运动5秒到B，Q运动秒到A， 返回途中，P表示的数是13−3（t−5），Q表示的数是−2＋2（t−）， 根据题意得：13−3（t−5）＝−2＋2（t−），解得t＝9， 第二次相遇点所表示的数为：13−3×（9−5）＝1， 答：所需要的时间为9秒，相遇点所表示的数是1． 【点睛】本题考查一元一次方程应用，解题的关键是读懂题意，用含t的代数式表示运动后的点所表示的数． 模型5.动态中点与n等分点模型 例1．（2023·河北唐山·七年级期末）如图，已知在数轴上有、两点，点表示的数是，点表示的数是．点在数轴上从点出发，以每秒个单位的速度沿数轴正方向运动，同时，点在数轴上从点出发，以每秒个单位的速度在沿数轴负方向运动，当点到达点时，两点同时停止运动．设运动时间为秒．（1）_______；时，点表示的数是_______；当_______时，、两点相遇； （2）如图，若点为线段的中点，点为线段中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长；（3）如图，若点为线段的中点．点为线段中点，则直接写出用含的代数式表示的线段的长． 【答案】（1）15；；3；（2）不变化，=7.5；（3）． 【分析】（1）根据两点间距离的定义，线段的和差定义计算即可； （2）根据线段的中点定义，可得MN=MP+NP= （AP+BP）= AB； （3）由题意根据线段的中点定义，线段和差定义计算即可. 【详解】解：（1）AB=9-（-6）=15，t=1时，BQ=3，OQ=6， 设t秒后相遇，由题意（2+3）t=15，t=3，故答案为：15，6，3. （2）答：MN长度不变，理由如下：∵M为AP中点，N为BP中点∴MP=AP，NP=BP， ∴MN=MP+NP=（AP+BP）=AB=7.5． （3）根据题意分别得到点M表示的数为t-6；点T表示的数为9-1.5t； 根据两点间距离的定义可得MT= 9-1.5t-（t-6）=15-2.5t.故答案为：. 【点睛】本题考查实数与数轴，线段中点定义，线段的和差定义等知识，解题关键是掌握相关基本知识． 变式1．（23-24七年级·云南昭通·期末）如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为4，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为AP，BP的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确的有（    ） ①B对应的数是2；②点P到达点B时，；③时，；④在点P的运动过程中，线段MN的长度不变． A．①③④ B．②③④ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】①根据两点间距离进行计算即可；②利用路程除以速度即可； ③分两种情况，点P在点B的右侧，点P在点B的左侧，由题意求出AP的长，再利用路程除以速度即可； ④分两种情况，点P在点B的右侧，点P在点B的左侧，利用线段的中点性质进行计算即可． 【详解】解：设点B对应的数是x， ∵点A对应的数为4，且 ，∴ ，∴ ，∴点B对应的数是-2，故①错误； 由题意得：6÷2=3（秒），∴点P到达点B时，t=3，故②正确； 分两种情况：当点P在点B的右侧， ∵AB=6，BP=2，∴，∴4÷2=2（秒），∴BP=2时，t=2， 当点P在点B的左侧，∵AB=6，BP=2，∴，∴8÷2=4（秒），∴BP=2时，t=4， 综上所述，BP=2时，t=2或4，故③错误； 分两种情况：当点P在点B的右侧，∵M，N分别为AP，BP的中点，∴，， ∴， 当点P在点B的左侧，∵M，N分别为AP，BP的中点，，， ∴， ∴在点P的运动过程中，线段MN的长度不变，故④正确．所以，上列结论中正确的是②④．故选：D． 【点睛】本题考查了数轴，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键． 变式2．（2023·四川绵阳·七年级校考阶段练习）已知数轴上A、B两点对应的数分别为和4，P为数轴上一点，对应数为x．(1)请直接写出P所表示的数，使P到A点、B点距离的和为10． (2)若点A、点B和点P（点P在原点）同时向左运动，他们的速度分别为每秒1、2、1个（单位长度/秒）． ①几秒中后点P为线段的中点？并求出此时x的值；②是否存在点P，使得点P为线段的三等分点，若存在请求出x的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或(2)①2秒中后点P为线段的中点；②或 【分析】(1)分计算即可． （2）①根据题意,点B表示的数为，点A表示的数为，点P表示的数为， 根据点P为线段的中点，得到，化简计算即可． ②分两种情况计算求解即可． 【详解】（1）因为数轴上A、B两点对应的数分别为和4，P为数轴上一点，对应数为x，P到A点、B点距离的和为10， 当时，则，解得，符合题意； 当时，则，解得，符合题意； 当时，则，不符号题意，故或． （2）①根据题意,点B表示的数为，点A表示的数为，点P表示的数为， 因为点P为线段的中点，所以，解得． ②因为数轴上A、B两点对应的数分别为和4，所以， 当时，则，解得． 当时，则，解得． 当或时，点P为线段的三等分点． 【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，两点间的距离，线段的中点即线段上一点把线段分成相等的两条相等，线段的三等分点，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键． 模型6.动态定值（无参型）模型 设未知数并表示各动点对应的数，若是行程问题一般设运动时间为t，从而表示出两点之间的距离。当代数式的计算结果中不含有未知数t，则代数式为定值。 例1．（23-24七年级上·广东广州·期中）若点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为，我们把、两点之间的距离表示为，记，且，满足． (1) ； ；线段的长 ； (2)点在数轴上对应的数是，且与互为相反数，在数轴上是否存在点，使得?若存在，求出点对应的数；若不存在，请说明理由；(3)在（）、（）的条件下，点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，秒钟后，若点和点之间的距离表示为，点和点之间的距离表示为，那么的值是否随着时间的变化而变化?若变化，请说明理由；若不变，请求出的值． 【答案】(1)，，；(2)或；(3)的值不随着时间的变化而变化，值为． 【分析】（）根据绝对值及平方的非负性，求出，的值，从而求出线段的长； （）设P对应的数为y，再由，可得出点对应的数； （）根据，，的运动情况即可确定，的变化情况，即可确定的值． 【详解】（1）∵，∴， ，解得：，， ∴线段的长为：，故答案为：，，； （2）由（）得：，∴，设对应的数为，由图知： 在右侧时，不可能存在点； 在左侧时，，解得: ， 当在、中间时，，解得: ，故点对应的数是或； （3）的值不随着时间的变化而变化，理由如下：秒钟后，点位置为：， ∴点的位置为: ，点的位置为: ， ∴， ∴，∴的值不随着时间的变化而变化，值为． 【点睛】此题考查了非负数的应用，数轴的应用，数轴上的距离，理解数轴上点的距离是解题的关键． 变式1.（2023·江苏苏州·七年级期末）如图，射线上有三点，满足cm，cm，cm.点从点出发，沿方向以2cm/秒的速度匀速运动，点从点出发在线段上向点匀速运动，两点同时出发，当点运动到点时，点停止运动. (1)若点运动速度为3cm/秒，经过多长时间两点相遇? (2)当时，点运动到的位置恰好是线段的中点，求点的运动速度; (3)自点运动到线段上时，分别取和的中点，求的值. 【答案】（1）18秒相遇；(2)Q的运动速度为11cm/s或者cm/s；(3)2. 【分析】（1）设运动时间为t秒，先求出OC=90，根据速度乘以时间得到OP=2t，CQ=3t，再根据相遇公式路程和等于距离列方程解答即可；（2）先求出线段OB的长度得到中点Q所表示的数，再根据只存在两种情况，求出点P的运动时间即点Q的运动时间即可得到速度； （3）分别求出OB、AP及EF的长，即可代入计算得到答案. 【详解】（1）设运动时间为t秒，此时OP=2t，OQ=3t， ∵cm，cm，cm，∴OC=OA+AB+BC=90cm， ∴2t+3t=90，t=18，∴经过18秒两点相遇； （2）∵点运动到的位置恰好是线段的中点，OB=40+30=70， ∴点Q表示的数是35，此时CQ=90-35=55， 由，可分两种情况： ①当点P在OA上时，得PA=AB=30，此时OP=OA-PA=10， 点P运动的时间为s，∴点Q的运动速度=cm/s； ②当点P在AB上时，AB=3PA，∴PA=10，此时OP=OA+PA=50， 点P的运动时间是s，∴点Q的运动速度=cm/s， 综上，点的运动速度是11cm/s或者cm/s； （3）设运动时间是a秒，此时OP=2a，AP=2a-40， ∵点E是OP的中点，∴OE=a，∵点F是AB的中点，AB=30，∴BF=15， ∴EF=OB-OE-BF=70-a-15=55-a，∴=. 【点睛】此题考查数轴上的点的运动问题，数轴上两点之间的距离公式，两点的中点公式，在点运动过程中注意分情况解决问题的方法. 变式2．（23-24七年级上·江苏泰州·期中）我们把数轴上两点之间的距离用表示这两点的大写字母一起标记，比如，点A与点B之间的距离记作．如图：在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，且a、b满足，将数轴沿点C折叠，点A和点B重合． (1) ， ， ； (2)点P是数轴上之间的一个动点（不包括），点P表示数x．现将数轴沿点P折叠，数轴上与点A重合的点记为D． ①若点P在之间，则 ， （用含x的代数式表示）； ②随着点P的运动，都发生变化，问和是否存在一定的倍数关系？试写出说明过程． 【答案】(1)(2)①；②，理由见解析 【分析】（1）根据非负数的性质求出的值，再根据数轴沿点C折叠，点A和点B重合即点C为的中点进行求解即可；（2）①根据数轴上两点距离公式即可求出，再求出点D表示的数即可求出；②分别表示出和即可得到结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴，∴，∴， ∵数轴沿点C折叠，点A和点B重合，∴点C为的中点，∴，故答案为：； （2）解：①由题意得，∵将数轴沿点P折叠，数轴上与点A重合的点记为D， ∴点是的中点，∴点D表示的数为， ∴，故答案为：； ②，理由如下：同①得，，∴； 【点睛】本题主要考查了数轴上两点的距离，数轴上两点中点公式，非负数的性质，熟知数轴上两点距离公式是解题的关键． 模型7.动态定值（含参型）模型 例1．（2023秋·广东广州·七年级校考期末）如图，在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足|a+10|+（b﹣5）2＝0．（1）a＝　 　，b＝　 　；（2）点C在数轴上对应的数为10，在数轴上存在点P，使得PA+PB＝PC，请求出点P对应的数；（3）点A、B分别以2个单位/秒和3个单位/秒的速度同时向右运动，点M从原点O以5个单位/秒的速度同时向右运动，是否存在常数m，使得3AM+2OB﹣mOM为定值，若存在，请求出m值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）−10，5；（2）−15或−5；（3）3，40 【分析】（1）根据两个非负数的和为零则它们均为零的性质即可求得a与b的值； （2）设点P对应的数为x，分点P在点A的左侧和点P在线段AB之间两种情况考虑，利用数轴上两点间的距离即可列方程解决；（3）求出三个点运动t秒后在数轴上的位置，由数轴上两点间的距离可得3AM+2OB﹣mOM关于t的式子，根据此式即可求得m的值及定值． 【详解】（1）∵|a+10|≥0，（b﹣5）2≥0，且|a+10|+（b﹣5）2＝0 ∴a+10=0，b－5=0即a=−10，b=5故答案为：−10，5 （2）设点P对应的数为x当点P在点A的左侧时，则，， 由题意得： 解得： 当点P在线段AB之间时，    则，， 由题意得：解得： 综上所述，点P对应的数为−15或−5 （3）存在，理由如下：当点A、B、M运动t秒时的距离分别为2t、3t、5t，此时点A、B、M在数轴上的位置分别为−10+2t、5+3t、5t 则，， 所以 由题意，当，即m=3时，3AM+2OB﹣mOM为定值40． 【点睛】本题考查了绝对值与平方的非负性质，数轴上两点间的距离，一元一次方程的解法，多项式的定值问题等知识，关键与难点是数轴上表示两个数的两个点间的距离．注意方程思想的运用． 变式1．（2023·重庆璧山·七年级校考期末）如图，数轴上有三个点A，B，C表示的数分别是a，b，c，其中a，b，c满足，c是最小的正整数． (1)___________；___________；___________； (2)为使A，B两点的距离与C，B两点距离相等，可将点B向左移动几个单位长度？ (3)若动点P，Q分别从点A、点B出发，以每秒4个单位长度和每秒3个单位长度的速度向左匀速运动，动点R从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，点P，Q，R同时出发，设运动时间为t秒． ①若动点Q到达点A后，速度变为每秒7个单位长度，继续向左运动，当t为何值时，点P与点Q距离3个单位长度？②记点P与点Q之间的距离为，点Q与点R之间的距离为，请用含t的代数式表示和，并判断是否存在一个常数m，使的值不随t的变化而改变，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由； 【答案】(1)(2)2个 (3)①t为或时，②存在，当时，的值不随t的变化而改变 【分析】（1）根据点在数轴上的位置，直接写出点代表的数即可；（2）利用数轴上两点间的距离公式进行计算即可；（3）①先根据题意列出代数式，再利用两点间的距离进行求解即可；②根据题意，列出代数式，再求出，使的系数为0，求出即可． 【详解】（1）解：由数轴可知：； （2）解：设将点B向左移动个单位长度，则此时表示的数字为： 由题意得：，解得：； ∴为使A，B两点的距离与C，B两点距离相等，可将点B向左移动2个单位长度． （3）解：由题意的：点表示的数为：，点表示的数为：，点表示的数为：， ①到达时用的时间为：秒，∴表示的数为：， 当在左侧时：，解得：； 当在右侧时：，解得：； ∴t为或时，点P与点Q距离3个单位长度． ②存在，由题意得：，， ∴， ∵的值不随t的变化而改变，∴，∴． 【点睛】本题考查用数轴上的点表示数，以及数轴上两点间的距离公式．熟练掌握数轴上两点间的距离公式，利用方程思想进行求解，是解题的关键． 模型8.数轴折叠（翻折）模型 例1．（2023·江苏·七年级期中）平移和翻折是初中数学中两种重要的图形变化，阅读并回答下列问题： （一）平移：在平面内，讲一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移． （1）把笔尖放在数轴的原点处，先向左移动3个单位长度，再向右移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示的数是 ； （2）一个机器人从数轴上原点出发，并在数轴上移动2次，每次移动2个单位后到达B点，则B点表示的数是 ； （3）如图，数轴上点A表示的数为−1，点B表示的数为1，点P从5出发，若P，A两点的距离是A，B两点距离的2倍，则需将点P向左移动 个单位． （二）翻折：将一个图形沿着某一条直线折叠的运动． （4）若折叠纸条，表示−3的点与表示1的点重合，则表示−4的点与表示 的点重合； （5）若数轴上A，B两点之间的距离为10，点A在点B的左侧，A，B两点经折叠后重合，折痕与数轴相交于表示−1的点，则A点表示的数为 ； （6）在数轴上，点M表示是的数为4，点N表示的数为x，将点M，N两点重合后折叠，得折痕①，折痕①与数轴交于P点；将点M与点P重合后折叠，得折痕②，折痕②与数轴交于Q点．若此时点M与点Q的距离为2，则x＝ ． 【答案】（1）；（2）或或；（3）2或10；（4）2；（5）-6；（6）或 【分析】（1）根据移动的方向和距离，求解即可； （2）分情况讨论，分别向左，向右移动2次2个单位长度和向右移动一次向左移动一次，然后求解即可； （3）设点P向左移动个单位，求得P，A两点的距离和A，B两点距离，再求解即可； （4）求得对称中心，然后求解即可； （5）求得对称中心，由题意可得A点在表示−1的点的左侧5个单位，求解即可； （6）根据题意，求得的距离，然后分在左侧和右侧两种情况讨论求解即可． 【详解】解：（1）笔尖的位置表示的数为故答案为； （2）机器人向右移动两次，则B点表示的数为 机器人向左移动两次，则B点表示的数为 机器人向右移动一次，再向左移动一次，则B点表示的数为 故答案为或或 （3）设点P向左移动个单位，则点P表示的数为，，， 由题意可得：，解得或即向左平移2或10个单位长度 故答案为2或10 （4）由题意可得：对称中心为，则表示−4的点与表示2的点重合 故答案为2 （5）由题意可得，A点在表示−1的点的左侧5个单位长度，则A点表示的数为 故答案为-6 （6）由题意可得：，则， 即之间的距离为8 当在左侧时，，点N表示的数为-4 当在右侧时，，点N表示的数为12 故答案为或 【点睛】此题考查数轴的应用，涉及了数轴上的距离和动点问题，解题的关键是熟练掌握数轴的基本性质． 变式1．（2023·浙江·七年级期中）已知在纸面上有一数轴（如图）折叠纸面． （1）若1表示的点与表示的点重合，则表示的点与数_____表示的点重合； （2）若1表示的点与表示的点重合，回答以下问题： ①13表示的点与数_____表示的点重合；②若数轴上A、B两点之间的距离为2022（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是多少？ 【答案】（1）5；（2）①-17；②A点表示的数为-1013，B点表示的数为1009 【分析】（1）由表示1的点与表示-1的点重合，即可找出与表示-5的点重合的点表示的数； （2）①由表示1的点与表示-5的点重合，即可找出与表示13的点重合的点表示的数； ②设A点表示的数为x，则B点表示的数为x+2022，根据重合两点表示的数之和相等，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：（1）∵表示1的点与表示-1的点重合， ∴与表示-5的点重合的点表示的数为1+（-1）-（-5）=5．故答案为：5． （2）①∵表示1的点与表示-5的点重合， ∴与表示13的点重合的点表示的数为1-5-13=-17．故答案为：-17． ②设A点表示的数为x，则B点表示的数为x+2022， 根据题意得：1-5=x+x+2022，解得：x=-1013，∴x+2022=1009． 答：A点表示的数为-1013，B点表示的数为1009． 【点睛】本题考查了数轴、折叠的性质以及一元一次方程的应用，根据折叠的性质找出重合两点表示的数之和相等是解题的关键． 变式2．（23-24七年级上·河南平顶山·期末）综合与探究 数轴可以将数与形完美结合．请借助数轴，结合具体情境解答下列问题： (1)平移运动：一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳完5次时，落在数轴上的点表示的数是 ；当它跳完2024次时，落在数轴上的点表示的数是 ． (2)翻折变换：①若折叠数轴所在纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示5的点与表示 的点重合． ②若数轴上D、E两点经折叠后重合，两点之间的距离为2024（D在E的左侧，且折痕与①折痕相同），则D点表示 ，E点表示 ．③一条数轴上有点M、N、P，其中点M、N表示的数分别是、8，现以点P为折点，将数轴向右对折，若点M对应的点落在点N的右边，并且线段的长度为3，请直接写出点P表示的数 ． 【答案】(1)；1012 (2)①；②；1013；③ 【分析】本题考查图形变化的规律，熟知折叠后能重合的两个点到折点的距离相等是解题的关键． （1）根据机器人的运动方式，依次求出每次跳完落在数轴上时所表示的数，发现规律即可解决问题． （2）根据折叠后重合的点到折点的距离相等即可解决问题． 【详解】（1）解：根据机器人的运动方式可知， 它跳完第1次时，落在数轴上的点表示的数是：； 它跳完第2次时，落在数轴上的点表示的数是：1； 它跳完第3次时，落在数轴上的点表示的数是：； 它跳完第4次时，落在数轴上的点表示的数是：2； 它跳完第5次时，落在数轴上的点表示的数是：； 它跳完第6次时，落在数轴上的点表示的数是：3；…， 由此可见，它跳完第次时，落在数轴上的点表示的数是n， 它跳完第次时，落在数轴上的点表示的数是； 当，即 时，， 所以它跳完第5次时，落在数轴上的点表示的数是； 当，即时，可得它跳完第2024次时，落在数轴上的点表示的数是1012； 故答案为： ，1012． （2）①由表示的点与表示3的点重合可知，，则折点所表示的数为1． 因为，所以表示5的点与表示的点重合．故答案为：． ②因为折痕与①的折痕相同，所以这次折叠的折点所表示的数也为1． 又因为， 所以点D表示的数为，点E表示的数为1013．故答案为：，1013． ③由折叠可知，， 因为点M、N表示的数分别是、8，所以 ． 又因为点落在点N的右边，并且线段的长度为3，所以． 因为，，所以点P表示的数为．故答案为：． 模型9.数轴上的线段移动模型 例1．（2023·广东佛山·七年级阶段练习）如图，有两条线段，（单位长度），（单位长度）在数轴上，点在数轴上表示的数是-12，点在数轴上表示的数是15． （1）点在数轴上表示的数是______，点在数轴上表示的数是______，线段的长=______； （2）若线段以1个单位长度秒的速度向右匀速运动，同时线段以2个单位长度秒的速度向左匀速运动．当点与重合时，点与点在数轴上表示的数是多少？ （3）若线段以1个单位长度秒的速度向左匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度也向左匀速运动．设运动时间为秒，当为何值时，点与点之间的距离为1个单位长度？ 【答案】-10，14，24；(2) -2；(3) t=23或25 【分析】(1)根据AB、CD的长度结合点A、D在数轴上表示的数，即可求出点B、C在数轴上表示的数，再根据两点间的距离公式求出线段BC的长度； (2)设相遇时间为a,分别用a表示出相遇时B、C两点所表示的数,让其相等即可求出; (3) 分线段AB与线段CD在相遇之前与相遇之后两种情况，利用两点间的距离公式结合BC=1，得出关于t的的一元一次方程，解之即可得出结论； 【详解】解：（1）∵AB=2，点A在数轴上表示的数是-12，∴点B在数轴上表示的数是-12+2=-10； ∵CD=1，点D在数轴上表示的数是15，∴点C在数轴上表示的数是15-1=14． ∴BC=14-（-10）=24．故答案为：-10，14，24； （2）设运动时间为a秒时B、C相遇， 此时点B在数轴上表示的数为-10+a，点C在数轴上表示的数为14-2a ∵B、C重合∴-10+a=14-2a解得a=8 此时点与点在数轴上表示的数是-10+a=-10+8=-2；故答案为：-2 (3)当运动时间为t秒时，点B在数轴上表示的数为-10-t，点C在数轴上表示的数为14-2t ∴BC==∵BC=1∴=1∴t1=，t2= 综上所述：当BC=1时，t=23或25； 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，两点间的距离，数轴等知识，解题的关键是：根据点与点之间的位置关系求出点B、C在数轴上表示的数． 变式1．（2023·山东济南·七年级期末）在数学综合实践活动课上，小亮同学借助于两根小木棒m、n研究数学问题：如图，他把两根木棒放在数轴上，木棒的端点A、B、C、D在数轴上对应的数分别为a、b、c、d，已知|a＋5|＋（b＋1）2＝0，c＝3，d＝8． (1)求m和n的长度；(2)小亮把木棒m、n同时沿x轴正方向移动，m、n的速度分别为4个单位/s和3个单位/s，设平移时间为t（s）①若在平移过程中原点O恰好是木棒m的中点，则t＝ （s）； ②在平移过程中，当木棒m、n重叠部分的长为2个单位长度时，求t的值． 【答案】(1)m＝4，n＝5(2)①；②6s或11s 【分析】（1）根据非负数的性质可得答案；（2）①根据中点的定义及距离可得答案；②分两种情况：m在n后面时，m在n前面时，分别得到答案即可． (1)解：∵|a＋5|＋（b＋1）2＝0，∴|a＋5|＝0，（b＋1）2＝0， ∴a＝﹣5，b＝﹣1∴m＝-1-（-5）=4 又因为c＝3，d＝8∴n＝8-3=5∴m和n的长度分别为4和5； (2)解：①∵（a+b）÷2＝（﹣5﹣1）÷2＝﹣3．∴t＝s，故答案是：； ②m在n后面时，BC＝3﹣（﹣1）＝4，设t秒重叠2个单位长度， 可得4t＝3t+4+2，解得t＝6，m在n前面时，AD＝8﹣（﹣5）＝13， 可得4t＝3t+13﹣2，解得t＝11，综上t＝6s或11s． 【点睛】此题考查了数轴的相关概念，掌握非负数性质和表示线段距离是解决此题关键． 变式2．（2023·河南信阳·七年级校考期中）已知M，N两点在数轴上所表示的数分别为m，n，且m，n满足：|m﹣12|+（n+3）2＝0 （1）则m＝　 　，n＝　 　；（2）①情境：有一个玩具火车AB如图所示，放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，当点A移动到点B时，点B所对应的数为m，当点B移动到点A时，点A所对应的数为n．则玩具火车的长为　 　个单位长度：②应用：一天，小明问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已是老寿星，116岁了!”小明心想：奶奶的年龄到底是多少岁呢？聪明的你能帮小明求出来吗？（3）在（2）①的条件下，当火车AB以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点P和点Q从N、M出发，分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向左和向右运动．记火车AB运动后对应的位置为A′B′．是否存在常数k使得3PQ﹣kB′A的值与它们的运动时间无关？若存在，请求出k和这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）m＝12，n＝﹣3；（2）①5；②应64岁；（3）k＝6，15 【分析】（1）由非负性可求m，n的值； （2）①由题意可得3AB＝m﹣n，即可求解；②由题意列出方程组，即可求解； （3）用参数t分别表示出PQ，B'A的长度，进而用参数t表示出3PQ﹣kB′A，即可求解． 【详解】解：（1）∵|m﹣12|+（n+3）2＝0， ∴m﹣12＝0，n+3＝0，∴m＝12，n＝﹣3；故答案为12，﹣3； （2）①由题意得：3AB＝m﹣n，∴AB＝＝5， ∴玩具火车的长为：5个单位长度，故答案为5； ②能帮小明求出来，设小明今年x岁，奶奶今年y岁， 根据题意可得方程组为： ，解得： ， 答：奶奶今年64岁； （3）由题意可得PQ＝（12+3t）﹣（﹣3﹣t）＝15+4t，B'A＝5+2t， ∵3PQ﹣kB′A＝3（15+4t）﹣k（5+2t）＝45﹣5k+（12﹣2k）t，且3PQ﹣kB′A的值与它们的运动时间无关， ∴12﹣2k＝0，∴k＝6∴3PQ﹣kB′A＝45﹣30＝15 【点睛】本题主要考查数轴上的动点问题，关键是用代数式表示数轴上两点之间的距离，体现了数形结合思想和方程思想. 1．（2023·四川乐山·七年级期末）如图，点A在数轴上对应的数为﹣3，点B对应的数为2，点P在数轴上对应的是整数，点P不与A、B重合，且PA+PB＝5．则满足条件的P点对应的整数有几个（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据数轴上两点之间的距离为丨a-b丨求解即可． 【详解】解：∵点A在数轴上对应的数为﹣3，点B对应的数为2，∴AB＝丨2﹣（﹣3）丨＝5， ∵点P在数轴上对应的是整数，点P不与A、B重合，且PA+PB＝5，∴P在A，B之间， ∴满足条件的P点对应的整数有：﹣2，﹣1，0，1，共4个．故选：D． 【点睛】本题考查数轴，熟练掌握数轴上两点间距离的表示是解答的关键． 2．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）点A、B、C、D在数轴上对应的数分别是、、8、16，动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动．同时点Q从点D出发，以1个单位/秒速度向左运动，B、C两点之间为“变速区”，规则为从点B运动到点C期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点C运动到点B期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速，运动时间为 秒时，P、Q两点到点C的距离相等． 【答案】11或40 【分析】设运动时间为秒，分，，和，四种情况分类讨论，求解即可。 【详解】解：由题意，得：，，， 点从点运动到点所用的时间为：秒； 从点运动到点所用的时间为：秒； 从点运动到点所用的时间为：秒； 点从点运动到点所用的时间为：秒； 从点运动到点所用的时间为：秒； 从点运动到点所用的时间为：秒； 设运动时间为秒时，P、Q两点到点C的距离相等， ①当时，依题意，得：，解得（舍去）； ②当时，依题意，得： ，解得； ③当时，依题意，得：，解得（舍去）； ④当时，依题意，得：，解得． 故运动时间为11或40秒时，P、Q两点到点C的距离相等．故答案为：11或40． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用．熟练掌握数轴上两点间的距离公式，正确的列出方程，是解题的关键． 3．（23-24七年级·上海浦东新·期末）两点在数轴上对应的数分别为，40，在两点处各放一个挡板，两个电子小球同时从原点出发，以2个单位/秒的速度向数轴负方向运动，以4个单位/秒的速度向数轴正方向运动，设两个小球运动的时间为，那么当时，的值为 ． 【答案】60 【分析】根据题意可得时，未碰到挡板，运动距离为，未碰到挡板，运动距离为，从而可得到在数轴上表示的数，再根据数轴上两点间的距离，进行计算即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得：碰到挡板所需时间均为， 时，未碰到挡板，运动距离为，未碰到挡板，运动距离为， 以2个单位/秒的速度向数轴负方向运动，以4个单位/秒的速度向数轴正方向运动， 对应数轴上的数为，对应数轴上的数为， ，故答案为：60． 【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题，数轴上两点间的距离，读懂题意，得出对应数轴上的数为，对应数轴上的数为，是解题的关键． 4．（23-24七年级上·江苏南通·期中）如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是最小的正整数，且、、满足 (1)__，__，__； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与表示数____的点重合； (3)点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为则_____，______，______用含的代数式表示 【答案】(1)，，(2)(3)，， 【分析】本题主要考查了数轴及两点间的距离，解题的关键是利用数轴的特点能求出两点间的距离． （1）根据非负数的性质即可得到结论；（2）先求出对称点，即可得出结果； （3）利用题意结合数轴表示出A、B、C三点表示的数，进而可得、、的长． 【详解】（1）， 解得：， 是最小的正整数，故答案为：，， （2）点A与点C的中点对应的数为： 点B到2的距离为1,所以与点B重合的是：故答案为：3 （3）点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动。 秒钟过后，点A表示为，点B表示为，点C表示为， ，，， 故答案为：，，． 5．（2023·河北石家庄·七年级校考期末）如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴和5的位置上，沿数轴做移动游戏．每次的移动游戏规则如下：裁判先捂住一枚硬币，再让两人猜向上一面是正另一面是反，而后根据所猜结果进行移动． ①若都对或都错，则甲向东移动1个单位，同时乙向西移动1个单位； ②若甲对乙错，则甲向东移动4个单位，同时乙向东移动2个单位； ③若甲错乙对，则甲向西移动2个单位，同时乙向西移动4个单位． (1)若第一次移动游戏，甲、乙两人都猜对了，则甲、乙两人之间的距离是_______________个单位； (2)若完成了10次移动游戏，发现甲、乙每次所猜结果均为一对一错．设乙猜对n次，且他最终停留的位置对应的数为m．请你用含n的代数式表示m；(3)经过_______________次移动游戏，甲、乙两人相遇． 【答案】(1)6(2)(3)4 【分析】（1）利用规则可知甲乙都对两人移动后两人的距离缩短2个单位，甲对乙错两人移动后两人的距离缩短2个单位，由此可得结论；（2）根据乙猜对n次，则甲猜对 次，利用平移规则即可推算出结果；（3）由题意可得开始时两人相距8个单位，根据情况推算3种情况缩小的距离即可得到结果． 【详解】（1）解：∵甲、乙两人（看成点）分别在数轴 和5的位置上，∴甲乙之间的距离为8， ∵若甲乙都对，则甲向东移动1个单位，同时乙向西移动1个单位， ∴移动后甲乙的距离缩小2个单位，∴移动后甲乙的距离为： 个单位)； （2）解：由题意可得，乙猜对n次，则乙猜错 次，则有： ； （3）解：由题意可得， ∵若甲乙都对，则甲向东移动1个单位，同时乙向西移动1个单位，∴移动后甲乙的距离缩小2个单位， ∵若甲对乙错，则甲向东移动4个单位，同时乙向东移动2个单位，∴移动后甲乙的距离缩小2个单位， ∵若甲错乙对，则甲向西移动2个单位，同时乙向西移动4个单位，∴移动后甲乙的距离缩小2个单位， ∵甲乙之间的距离为8，∴甲、乙两人相遇要经过： （次）． 【点睛】本题考查了列代数式，数轴，本题是动点型题目，找出移动后甲乙距离变化的规律是解题的关键． 6．（23-24七年级上·四川宜宾·期末）如图，数轴的原点为，在数轴上有、两点，点对应的数是，点对应的数是1，动点、同时从、出发，分别以3个单位/秒和1个单位/秒的速度沿着数轴正方向运动，设运动时间为秒（）．(1)两点间的距离是 ；(2)当时，动点对应的数是 ，动点对应的数是 ；(3)当运动时间为秒时，用含的代数式表示出点和点所对应的数；(4)当时，点是否为线段的中点？    【答案】(1)(2)，(3)，(4)是，理由见解析 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，涉及了数轴上两点间的距离公式．根据动点的起始位置、运动方向和运动速度确定动点在数轴上对应的数是解题关键．（1）根据即可求解； （2）根据动点的起始位置、运动方向和运动速度即可求解； （3）根据动点的起始位置、运动方向和运动速度即可求解； （4）表示出线段的中点对应的数即可求解； 【详解】（1）解：，故答案为： （2）解：当时，动点对应的数是：； 动点对应的数是：，故答案为：， （3）解：当运动时间为秒时，动点对应的数是：；动点对应的数是： （4）解：线段的中点对应的数是： 令，解得：∴当时，点是否为线段的中点 7．（2023·江苏连云港·七年级校考阶段练习）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．例如：若数轴上数2表示的点与数﹣2表示的点重合，则数轴上数﹣4表示的点与数4表示的点重合，根据你对例题的理解，解答下列问题： 若数轴上数﹣3表示的点与数1表示的点重合．（根据此情境解决下列问题） （1）则数轴上数3表示的点与数 表示的点重合． （2）若点A到原点的距离是5个单位长度，并且A、B两点经折叠后重合，则B点表示的数是_________． （3）若数轴上M、N两点之间的距离为2020，并且M、N两点经折叠后重合，如果M点表示的数比N点表示的数大，则M点表示的数是________，N点表示的数是________． 【答案】（1）-5；（2）-7或3；（3）1009，-1011 【分析】（1）根据题意即可找到对应点的数；（2）点A到原点的距离是5个单位长度，则点A所表示的数为或，分两种情况计算即可；（3）依据M、N之间的距离为2020，并且M、N两点经折叠后重合，M点表示的数比N点表示的数大，即可得到M、N所表示的数； 【详解】（1）∵数轴上数﹣3表示的点与数1表示的点关于-1对称，， 而，∴数轴上数3表示的点与数表示的点重合；故答案为． （2）点A到原点的距离是5个单位长度，则点A所表示的数为或， ∵A、B两点经折叠后重合，∴当点A表示时，，， 当点A表示5时，，，∴B点表示的数是或3；故答案是：或3； （3）∵M、N之间的距离为2020，并且M、N两点经折叠后重合， ∴，， ∵M点表示的数比N点表示的数大，∴M点表示的数是1009，N点表示的数是；故答案是1009；； 【点睛】本题主要查了数轴的应用，数轴上两点之间的距离，准确计算是解题的关键． 8．（2023·河北·七年级期中）如图：在数轴上，点A表示a, 点B表示b, 点C表示c,b是最大的负整数，且a,c满足。 ________，_________，_____________； 若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数____________表示的点重合； 点开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后， ①请问:的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． ②探究:若点向右运动，点向左运动，速度保持不变，的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】（1）-3，-1,5；（2）3；（3）①的值不随着时间的变化而改变，值为14；②当时， 的值随着时间的变化而改变；当时， 的值不随着时间的变化而改变，值为26． 【分析】(1)根据非负数的性质即可得到结论；（2）先求出对称点，即可得出答案； (3)①t秒后，，，代入计算即可得到答案； ②先求出，再分当时和当时，讨论求解即可. 【详解】解:∵，∴a+3=0，c−5=0，解得a=−3，c=5， ∵b是最大的负整数，∴b=-1故答案为：−3，-1，5． (2)点A与点C的中点对应的数为：， 点B到1的距离为2，所以与点B重合的数是：1+2=3．故答案为：3． ①t秒后，，， ．故的值不随着时间的变化而改变； ②．，． 当时，原式的值随着时间的变化而改变； 当时，原式的值不随着时间的变化而改变． 【点睛】本题主要考查了数轴及两点间的距离，解题的关键是利用数轴的特点能求出两点间的距离． 9．（23-24七年级上·福建龙岩·期中）如图，已知数轴上原点为，点表示的数为是数轴上在左侧的一点，且两点间的距离为．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．(1)数轴上点表示的数是 ，点表示的数是 （用含的代数式表示）； (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点同时出发；当点运动多少秒时，点与点间的距离为个单位长度？若点间的距离记为，点间的距离记为，是否存在一个数，使得的值与无关？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．    【答案】(1)，； (2)当点运动秒或秒时，点与点间的距离为个单位长度；存在，或． 【分析】（）利用两点间的距离为即可求出点表示的数，根据动点则可求出表示的数； （）利用数轴上两点间的距离即可求解； 利用数轴上两点间的距离和整式化简不含则有系数为零即可求解； 此题考查了数轴和绝对值，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间的距离和绝对值化简及其应用． 【详解】（1）设点表示的数为， ∵是数轴上在左侧的一点，且，两点间的距离为， ∴，解得：，∴点表示的数是， ∵动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴点表示的数是，故答案为：，； （2）同理，点表示的数是， 依题意，得，整理得：，解得或， ∴当点运动秒或秒时，点与点间的距离为个单位长度； ②存在，理由：由题意得：点表示的数是：， ∴，， 当时，即，∴， 若的值与无关，则，解得； 当时，， 若的值与无关，则，解得； 当时，， 若的值与无关，则，解得 ∴综上可知：当或时，的值与无关． 10．（23-24七年级上·北京大兴·期中）我们规定：对于数轴上不同的三个点M，N，P，当点M在点N右侧时，若点P到点M的距离恰好为点P到点N的距离的n倍，且n为正整数，（即），则称点P是“关联点”，如图，已知在数轴上，原点为O，点A，点B表示的数分别为4，． (1)原点O （填“是”或“不是”）“关联点”；(2)若点C是“整2关联点”，则点C所表示的数 ； (3)若点A沿数轴向右运动，每秒运动1个单位长度，同时点B沿数轴向左运动，每秒运动2个单位长度，则运动时间为 秒时，原点O恰好是“关联点”，此时n的值为 ． (4)点Q在A，B之间运动，且不与A，B两点重合，作“关联点”，记为，作“关联点”，记为，且满足，分别在线段和上．当点Q运动时，若存在整数m，n，使得式子为定值，求出m，n满足的数量关系． 【答案】(1)是(2)0或(3)2；1(4) 【分析】（1）根据已知条件及新定义即可判定；（2）根据已知条件及新定义得出等式，再分类讨论点的位置，得出满足条件的值；（3）设运动秒，根据数轴是两点距离的计算方法用含的代数式表示、，再根据新定义得出关于等量关系，由“是正整数”求出、即可；（4）设点表示的数为，根据新定义、已知条件，得出用、、表示的代数式，再由“点运动时，式子为定值”知：关于的代数式中的系数为0，从而得出整数、满足的数量关系． 【详解】（1）解：点A，点B表示的数分别为4，，，，， 原点是“，2关联点”，故答案为：是； （2）点A，点B表示的数分别为4，，， 若点是“，整2关联点”，则， 当点在线段上时，，此时，点所表示的数为； 当点在线段的延长线上时，，此时，点所表示的数为， 综上所述，点所表示的数0或，故答案为：0或； （3）若点A沿数轴向右运动，每秒运动1个单位长度，同时点B沿数轴向左运动，每秒运动2个单位长度，设运动秒，则，， 原点O恰好是“[A，B]n关联点”，是正整数），即有，， 是正整数，而，为3的约数，，即， 即运动时间为2秒时，原点恰好是“，整关联点”，此时的值为1，故答案为：2；1； （4）点在、之间运动，且不与、两点重合，作“，整2关联点”，记为，作“，整3关联点”，记为，且满足、分别在线段和上，设点表示的数为，则 ，，，， ，，， 当点运动时，若存在整数、，使得式子为定值，则， ．即整数、满足的数量关系是． 11．（2023·辽宁沈阳·七年级期末）已知数轴上有A，B，C三个点，分别表示有理数，4，6． (1)画出数轴，并用数轴上的点表示点A，点B，点C； (2)动点P从点C出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向数轴负方向运动，到达点A后立即以每秒2个单位长度的速度沿数轴返回到点C，到达点C后停止运动，设运动时间为t秒． ①当时，的长为__________个单位长度，的长为__________个单位长度，的长为____________。个单位长度；②在点P的运动过程中，若个单位长度，则请直接写出t的值为___________。【答案】(1)见解析； (2)①4 ，2 ，4；②或或或 【分析】（1）根据题意画出数轴即可； （2）①先求出当时，P点表示的数为6-4=2，然后根据数轴上两点距离公式求解即可；②分当P从C向A运动和当P从A向C运动两种情况讨论求解即可． (1)解：如图所示，即为所求； (2)解：①当时，P点表示的数为6-4=2， ∴，，，故答案为：4、2、4； ②当P从C向A运动，时，，，， ∵，∴，解得； 当P从C向A运动，时，，，， ∵，∴，解得； 当P从A向C运动时，当时， ，，， ∵，∴，解得； 当P从A向C运动时，当时，，，， ∵，∴，解得； 综上所述，t的值为或或或． 【点睛】本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，数轴上的动点问题，解题的关键在于能够正确理解题意，利用分类讨论的思想求解． 12．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）已知数轴上两点A、B对应的数分别是6，﹣8，M、N、P为数轴上三个动点，点M从A点出发速度为每秒2个单位长度，点N从点B出发速度为点M的3倍，点P从原点出发速度为每秒1个单位长度．（1）求A、B两点的距离为　 　个单位长度． （2）若点M向右运动，同时点N向左运动，求经过多长时间点M与点N相距54个单位长度？ （3）若点M、N、P同时都向右运动，当点M与点N相遇后，点M、P继续以原来的速度向右运动，点N改变运动方向，以原来的速度向左运动，求从开始运动后，经过多长时间点P到点M、N的距离相等？ 【答案】（1）14；（2）5秒；（3） 秒或3.5秒或秒. 【分析】（1）根据两点间的距离公式即可求出A、B两点的距离； （2）设经过x秒点M与点N相距54个单位，由点M从A点出发速度为每秒2个单位，点N从点B出发速度为M点的3倍，得出2x+6x+14＝54求出即可； （3）首先求出点M与点N相遇的时间为14÷（6﹣2）＝3.5秒，此时N点对应的数是﹣8+6×3.5＝13，再设从开始运动后，相遇前经过t秒点P到点M、N的距离相等，或相遇后经过t秒点P到点M、N的距离相等，根据PM＝PN列出方程，进而求解即可． 【详解】解：（1）∵数轴上两点A、B对应的数分别是6，﹣8， ∴A、B两点的距离为6﹣（﹣8）＝14．故答案为14； （2）设经过x秒点M与点N相距54个单位． 依题意可列方程为：2x+6x+14＝54，解方程，得x＝5． 答：经过5秒点M与点N相距54个单位； （3）点M与点N相遇的时间为14÷（6﹣2）＝3.5秒， 此时N点对应的数是﹣8+6×3.5＝13． 设从开始运动后，相遇前经过t秒点P到点M、N的距离相等． 依题意可列方程为：t﹣（﹣8+6t）＝6+2t﹣t，解得t＝， 设从开始运动后，相遇后经过t秒点P到点M、N的距离相等． 依题意可列方程为：（2t+6）﹣t＝t﹣[13﹣6（t﹣3.5）]，解得t＝． 答：从开始运动后，经过秒或3.5秒或秒点P到点M、N的距离相等． 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，利用行程问题的基本数量关系，以及数轴直观解决问题即可． 13．（2023·浙江宁波·七年级校考期中）数轴上点A表示，点B表示6，点C表示12，点D表示18．如图，将数轴在原点O和点B、C处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离．例如，点A和点D在折线数轴上的和谐距离为个单位长度．动点M从点A出发，以4个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点C期间速度变为原来的一半，过点C后继续以原来的速度向终点D运动；点M从点A出发的同时，点N从点D出发，一直以3个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点A运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动的时间为t秒． (1)当秒时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为__________； (2)当点M、N都运动到折线段上时，O、M两点间的和谐距离__________（用含有t的代数式表示）；C、N两点间的和谐距离__________（用含有t的代数式表示）；__________时，M、N两点相遇；(3)当__________时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度；当__________时，M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等． 【答案】(1)12(2)，，(3)或；8或 【分析】（1）当秒时，M表示的数是，N表示的数是，即的M、N两点在折线数轴上的和谐距离为； （2）当点M、N都运动到折线段上，即时，M表示的数是，N表示的数是，而M、N两点相遇时，M、N表示的数相同，即得，可解得答案； （3）根据M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度，得，可解得或，由时，M运动到O，同时N运动到C，可知时，不存在M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等，当，即M在从点O运动到点C时，有，可解得或，当时，M在从C运动到D，速度变为4个单位/秒，不存在M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等，即可得答案． 【详解】（1）当秒时，M表示的数是，N表示的数是， ∴M、N两点在折线数轴上的和谐距离为，故答案为：12； （2）由（1）知，2秒时M运动到O，N运动到C，∴当点M、N都运动到折线段上， 即时，M表示的数是，N表示的数是， ∴O、M两点间的和谐距离，C、N两点间的和谐距离， ∵M、N两点相遇时，M、N表示的数相同，∴，解得， 故答案为：，，； （3）∵M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度， ∴，即，∴或， 解得或，由（1）知，时，M运动到O，同时N运动到C， ∴时，不存在M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等， 当，即M在从点O运动到点C时，，即， ∴或，解得或， 当时，M在从C运动到D，速度变为4个单位/秒，不存在M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等，故答案为：或；8或． 【点睛】本题考查一次方程的应用，解题的关键是用含t的代数式表示点运动后表示的数及分类讨论． 14．（23-24七年级上·浙江·期末）如图，已知数轴上点表示的数为6，是数轴上在左侧的一点，且，两点间的距离为．动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．(1)数轴上点表示的数是_______，点表示的数是_______用含的代数式表示； (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发．求：当点运动多少秒时，点与点相遇？    【答案】(1)；．(2)当点运动秒时，点与点相遇． 【分析】此题考查的知识点是两点间的距离及数轴，根据题意得出各线段之间的等量关系是解题关键． （1）由题意知，，因为点在原点左边，从而得出数轴上点表示的数；动点从点出发沿数轴向左匀速运动，根据题意则得出点表示的数； （2）设点运动秒时追上点，根据题意列方程，解得值． 【详解】（1）解：∵数轴上点A表示的数为6，∴，则， 又∵点B在原点左边，∴数轴上点B所表示的数为；点P运动t秒的长度为， ∵动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，∴P所表示的数为：． （2）设点运动秒时追上点，根据题意，得，        解得：，                        答：当点运动秒时，点与点相遇． 15．（2023春·广东梅州·七年级校考开学考试）如图1，在数轴上有，两点，点表示的数为4，点在点的左边，且，若有一动点从数轴上点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动．若点，分别从，两点同时出发，设运动时间为秒． (1)写出数轴上点表示的数为______，P所表示的数为_______（用含的代数式表示）． (2)问点运动多少秒与相距3个单位长度． (3)如图2，分别以和为边，在数轴上方作正方形和正方形，如图所示，求当为何值时，两个正方形的重叠部分面积是正方形面积的一半，请直接写出结论．______秒． 【答案】(1)；(2)点运动3秒或5秒时与相距3个单位长度(3)4.8或24 【分析】（1）根据两点间的距离可确定点表示的数，根据的运动规律可表示出点表示的数； （2）分别根据、两点的运动规律，用变量表示这两点所表示的数，求两点间距离即把右边点表示的数减去左边点表示的数，分情况列一次方程即可求得；（3）由点的运动到边的变化进而到正方形面积的变化，找到符合题意的运动位置画出图形进行分类讨论，由面积之间的关系列方程即可求得． 【详解】（1）解：点在点的左边，，点表示4，点表示的数为， 动点从数轴上点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，则点表示的数为， 故答案为：；； （2）解：依题意得，点表示的数为，点表示的数为， 若点在点右侧时：，解得：； 若点在点左侧时：，解得：； 综上所述，点运动3秒或5秒时与相距3个单位长度； （3）解：如图1，均在线段上， 两正方形有重叠部分，点在点的左侧，， ，重叠部分面积， 重叠部分的面积为正方形面积的一半，，解得（舍去），； 如图2，均在线段外， ，重叠部分面积，， 解得（舍去），，故答案为：4.8或24． 【点睛】本题主要考查了数轴上求点表示的数及动点和由运动产生图形面积变化的题型，重点在于把握清楚运动的规律，善于想象抓住根本，善于运用数形结合思想是解题的关键． 16．（2023·江苏·七年级期末）对于数轴上的点M，线段AB，给出如下定义：P为线段AB上任意一点，如果M，P两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为点M，线段AB的“近距”，记作d1（点M，线段AB）；如果M，P两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为点M，线段AB的“远距”，记作d2（点M，线段AB），特别的，若点M与点P重合，则M，P两点间距离为0，已知点A表示的数为﹣2，点B表示的数为3．如图，若点C表示的数为5，则d1（点C，线段AB）＝2，d2（点C，线段AB）＝7． (1)若点D表示的数为﹣3，则d1（点D，线段AB）＝　 　，d2（点D，线段AB）＝　 　； (2)若点E表示数为x，点F表示数为x+1．d2（点F，线段AB）是d1（点E，线段AB）的3倍．求x的值． 【答案】(1)1，6 (2)﹣4或6 【分析】（1）根据已知给出的定义，进行计算即可解答； （2）分两种情况，点E在点A的左侧，点E在点B的右侧． 【详解】（1）解：∵点D表示的数为﹣3， ∴d1（点D，线段AB）＝DA＝﹣2﹣（﹣3）＝﹣2+3＝1， d2（点D，线段AB）＝DB＝3﹣（﹣3）＝3+3＝6，故答案为：1，6； （2）分两种情况：当点E在点A的左侧， d2（点F，线段AB）＝BF＝3﹣（x+1）＝2﹣x，d1（点E，线段AB）＝AE＝﹣2﹣x， ∵d2（点F，线段AB）是d1（点E，线段AB）的3倍， ∴2﹣x＝3（﹣2﹣x），∴x＝﹣4， 当点E在点B的右侧， d2（点F，线段AB）＝AF＝x+1﹣（﹣2）＝x+3， d1（点E，线段AB）＝EB＝x﹣3， ∵d2（点F，线段AB）是d1（点E，线段AB）的3倍， ∴3+x＝3（x﹣3），∴x＝6，综上所述：x的值为﹣4或6． 【点睛】本题考查了数轴，理解题目已知给出的定义是解题的关键． 17．（2023·广东珠海·七年级校考期中）观察数轴，充分利用数形结合的思想．若点A，在数轴上分别表示数，，则A，两点的距离可表示为．根据以上信息回答下列问题：已知多项式的次数是，且与互为相反数，在数轴上，点是数轴原点，点A表示数，点表示数．设点在数轴上对应的数为． (1)由题可知：A，两点之间的距离是　 　．(2)若满足，求． (3)若动点从点A出发第一次向左运动1个单位长度，在此新位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度按照此规律不断地左右运动，当运动了1009次时，求出所对应的数． 【答案】(1)9(2)或(3) 【分析】（1）根据题意可得，，则AB=9； （2）对点M的位置进行分类讨论，并用m表示出MA和MB的长度，利用“MA+MB=12”列出方程即可求解； （3）根据题意得到点M每一次运动后所在的位置，然后由有理数的加法进行计算即可． 【详解】（1）由多项式的次数是6可知，又与互为相反数，故． ，两点之间的距离是，故答案为：9； （2）①当在A左侧时，∵，∴，解得： ②在A和之间时，∵，点不存在； ③点在点右侧时，∵，∵解得： 综上所述，m的值为或． （3）依题意得： 点对应的有理数为，故答案为：． 【点睛】本题考查了数轴和一元一次方程的应用，解题关键是读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 18．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）已知数轴上有A，B，C三点，分别表示数．两只电子蚂蚁甲、乙分别从A，C两点同时相向而行，甲的速度为4个单位/秒，乙的速度为6个单位/秒． (1)问甲、乙在数轴上的哪个点相遇？ (2)问多少秒后甲到A，B，C三点的距离之和为50个单位？若此时甲调头往回走，问甲、乙还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点；若不能，请说明理由． (3)若甲、乙两只电子蚂蚁（用P表示甲蚂蚁、Q表示乙蚂蚁）分别从A，C两点同时相向而行，甲的速度变为原来的3倍，乙的速度不变，直接写出多少时间后，原点O、甲蚂蚁P与乙蚂蚁Q三点中，有一点恰好是另两点所连线段的中点． 【答案】(1)甲、乙在数轴上表示的点相遇 (2)3秒或4秒后甲到，，三点的距离之和为50个单位，两人相遇点为：或 (3)4或或2秒后，原点、甲蚂蚁与乙蚂蚁三点中，有一点恰好是另两点所连线段的中点． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． （1）设秒后甲与乙相遇，列出方程，再计算即可． （2）设秒后甲到，，三点的距离之和为50个单位，分两种情况讨论：之间，之间，再列式计算即可．然后根据算出的时间，再利用追击问题，求相遇点． （3）①设秒后原点是甲蚂蚁与乙蚂蚁两点的中点，则，解得；②设秒后甲蚂蚁是乙蚂蚁与原点两点的中点，则，解得；③设秒后乙蚂蚁是甲蚂蚁与原点两点的中点，则，解得； 【详解】（1）设秒后甲与乙相遇，则，解得， ，，故甲、乙在数轴上表示的点相遇； （2）设秒后甲到，，三点的距离之和为50个单位，此时甲位于：． ①当甲位于之间时，如图：    ，；此时甲位于：， 乙位于：，追击时间为：（秒，相遇点为：． ②当甲位于之间时，如图：    ，．此时甲位于：，乙位于：， 追击时间为：（秒，相遇点为：． 综上所述，3秒或4秒后甲到，，三点的距离之和为50个单位，两人相遇点为：或． （3）①设秒后原点是甲蚂蚁与乙蚂蚁两点的中点，如图：    则，解得； ②设秒后甲蚂蚁是乙蚂蚁与原点两点的中点，如图：    则，解得； ③设秒后乙蚂蚁是甲蚂蚁与原点两点的中点，如图：    则，解得； 综上所述，4或或2秒后，原点、甲蚂蚁与乙蚂蚁三点中，有一点恰好是另两点所连线段的中点． 19．（2023·山东·梁山县水泊街道初级中学七年级期中）已知，如图，、、分别为数轴上的三个点，点对应的数为60，点在点的左侧，并且与点的距离为30，点在点左侧，点到距离是点到点距离的4倍． （1）求出数轴上点对应的数及的距离． （2）点从点出发，以3单位/秒的速度项终点运动，运动时间为秒． ①点点在之间运动时，则_______．（用含的代数式表示） ②点在点向点运动过程中，何时、、三点中其中一个点是另外两个点的中点？求出相应的时间．③当点运动到点时，另一点以5单位/秒速度从点出发，也向点运动，点到达点后立即原速返回到点，那么点在往返过程中与点相遇几次？直接写出相遇是点在数轴上对应的数． 【答案】（1）点对应的数为30；AC=120；（2）①；②的值为5或20；③相遇2次；点在数轴上对应的数为－15或． 【分析】(1)根据A点对应的数为60，B点在A点的左侧，AB=30求出B点对应的数，根据AC=4AB求出AC的距离；(2)①当P点在AB之间运动时，根据路程=速度×时间求出AP=3t，根据BP=AB-AP求解； ②分P点是AB的中点和B点是AP的中点两种情况进行讨论即可；③根据P、Q两点的运动速度与方向可知Q点在往返过程中与P点相遇2次，设Q点在往返过程中经过x秒与P点相遇，第一次相遇是点Q从A点出发，向C点运动的途中，根据AQ-BP=AB列出方程；第二次相遇是点Q到达C点后返回到A点的途中，根据CQ+BP=BC列出方程，进而求出P点在数轴上的对应的数． 【详解】解（1）点对应的数为60，,点在点的左侧，并且与点的距离为30， 点对应的数为； 点到点距离是,点到点距离的4倍，; （2）①当点在之间运动时，，．故答案为； ②当点是、两点的中点时，，，解得； 当点是两点的中点时，，，解得．故所求时间的值为5或20； ③相遇2次．设点在往返过程中经过秒与点相遇． 第一次相遇是点从出发，向点运动的途中． ，，解得， 此时点在数轴上对应的数是：； 第二次相遇是到达点后返回到点的途中． ，，解得， 此时点在数轴上对应的数是：． 综上，相遇时点在数轴上对应的数为－15或． 【点睛】本题主要考查的是一元一次方程的应用，行程问题相等关系的应用，线段中点的定义，进行分类讨论是解题的关键． 20．（2023·辽宁抚顺·七年级期末）如图，在数轴上有两个长方形和，这两个长方形的宽都是2个单位长度，长方形的长是4个单位长度，长方形的长是8个单位长度，点在数轴上表示的数是5，且两点之间的距离为12． （1）填空:点在数轴上表示的数是_________ ，点在数轴上表示的数是_________． （2）若线段的中点为，线段EH上有一点，， 以每秒4个单位的速度向右匀速运动，以每秒3个单位的速度向左运动，设运动时间为秒，求当多少秒时，． （3）若长方形以每秒2个单位的速度向右匀速运动，长方形固定不动，当两个长方形重叠部分的面积为6时，求长方形运动的时间． 【答案】（1）13，−11；（2）x＝2或x＝；（3）当长方形ABCD运动的时间7.5秒或10.5秒时，重叠部分的面积为6． 【分析】（1）根据已知条件可先求出点H表示的数为13，然后再进一步求解即可； （2）根据题意先得出点M表示的数为﹣9，点N表示的数为7，然后分当M、N在点O两侧或当N、M在点O同侧两种情况进一步分析讨论即可； （3）设长方形ABCD运动的时间为y秒，分重叠部分为长方形EFCD或重叠部分为长方形CDHG两种情况进一步分析讨论即可. 【详解】（1）∵长方形的长是8个单位长度，点在数轴上表示的数是5， ∴点H表示的数为：， ∵两点之间的距离为12，∴点D表示的数为：， ∵长方形的长是4个单位长度，∴点A表示的数为：，故答案为：； （2）由题意可知：点M表示的数为﹣9，点N表示的数为7；，经过x秒后，M点表示的数为﹣9+4x，N点表示的数为7﹣3x； ①当M、N在点O两侧时，点O为M、N的中点，则有，解得x＝2 ； ②当N、M在点O同侧时，即点N、M相遇，则有7﹣3x＝﹣9+4x解得：x＝ 综上，当x＝2或x＝时，OM=ON ； （3）设长方形ABCD运动的时间y为秒， ①当重叠部分为长方形EFCD时， DE=−7+2y−5= 2y−12∴ 2(2y−12) = 6，解得：y = 7.5； ②当重叠部分为长方形CDHG时， HD=4- (−7+2y-13)= 24− 2y，∴ 2(24−2y) = 6，解得：y =10.5； 综上，当长方形ABCD运动的时间7.5秒或10.5秒时，重叠部分的面积为6. 【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题，熟练掌握相关方法是解题关键. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 数轴上的九类动态模型 数轴中的动态问题属于七年级上册必考压轴题型，主要以数轴为载体，体现分类讨论和数形结合等思想，考查学生的分析与综合能力。解题时，一般遵循“点、线、式”三步策略。即：先根据题意中动点的出发位置，移动方向和速度，用含t的式子表示动点，然后根据题中要求提炼出线段，用动点的含t表达式表示线段，最后根据线段间的等量关系，列出式子，然后求解（要检验解是否符合动点的运动时间范围）。 模型1.动态规律（左右跳跃）模型 2 模型2.单（多）动点匀速模型 5 模型3.单（多）动点变速模型 7 模型4.动点往返运动模型 11 模型5.动态中点与n等分点模型 15 模型6.动态定值（无参型）模型 18 模型7.动态定值（含参型）模型 22 模型8.数轴折叠（翻折）模型 24 模型9.数轴上的线段移动模型 27 31 【知识储备】 ①若A、B两点在数轴上对应的数字是 a、b，则AB两点间的距离；AB的中点对应的数字是：。 ②数轴动点问题主要步骤： 1）画图——在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度； 2）写点——写出所有点表示的数：常用含t的代数式表示，向右运动用“+”表示，向左运动用“-”表示； 3）表示距离——右—左，若无法判定两点的左右需加绝对值； 4）列式求解——根据条件列方程或代数式，求值。 注意：要注意动点是否会来回往返运动，速度是否改变等。 ③分类讨论的思想： （1）数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，注意多种情况的分类讨论。 （2）对于两个动点P、Q，若点P、Q的左右位置关系不明确或有多种情况，可用p、q两数差的绝对值表示PQ 两点距离，从而避免复杂分类讨论。 模型1.动态规律（左右跳跃）模型 模型（1）：“1左1右”的等差数列式跳跃，两个一组根据规律计算即可； 模型（2）：“2左2右”的等差数列式跳跃，四个一组根据规律计算即可。 例1．（2023·湖北孝感·七年级期末）点P从数轴上表示－3的点开始连续移动：第一次先向左移动1个单位长度，再向右移动2个单位长度；第二次先向左移动2个单位长度，再向右移动3个单位长度；第三次先向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度；……按此规律继续移动，则第n次移动后点P在数轴上表示的数为______________． 例2．（2023·山东·七年级期中）一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动，设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长度，表示第n秒时机器人在数轴上的位置所对应的数．给出下列结论：①；②；③；④．其中，正确结论的序号是_______． 变式1．（2023·北京朝阳·七年级校考阶段练习）一个动点P从数轴上的原点O出发开始移动，第1次向右移动1个单位长度到达点P1，第2次向右移动2个单位长度到达点P2，第3次向左移动3个单位长度到达点P3，第4次向左移动4个单位长度到达点P4，第5次向右移动5个单位长度到达点P5…，点P按此规律移动，则移动第158次后到达的点在数轴上表示的数为（ ） A．159 B．-156 C．158 D．1 变式2．（2023·湖北鄂州·七年级期末）已知点A，B，C在数轴上对应的数分别为a，b，c，其中a满足，b满足，点P位于该数轴上．(1)求出a，b的值，并求出A，B两点之间的距离AB； (2)设点C与点A的距离为24个单位长度，且，若PB＝2PC，求点P在数轴上对应的数p； (3)设点P从原点开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个单位长度，第四次向右移动7个单位长度……以此类推，问点P能移动到与点A或点B重合的位置吗？若能，请探究需要移动多少次才能重合？若不能，请说明理由． 模型2.单（多）动点匀速模型 模型（1）:动点P从点A（点A在数轴上对应的数是a）出发，以每秒v个单位的速度向右移动，t秒后，到达B点，B点对应的数是：a+vt。 模型（1）:动点P从点A（点A在数轴上对应的数是a）出发，以每秒v个单位的速度向左移动，t秒后，到达C点，C点对应的数是：a-vt。 例1．（23-24七年级上·吉林长春·期中）如图，点均在数轴上，点所对应的数是，点在点的右边，且距点个单位长度，点是数轴上的两个动点．(1)求出点所对应的数；(2)当点到点的距离之和是个单位长度时，求出此时点所对应的数；(3)若点分别从点出发，均沿数轴向左运动，点每秒运动个单位长度，点每秒运动个单位长度．若点先出发秒后点出发，当两点相距个单位长度时，直接写出此时点分别对应的数． 变式1．（23-24七年级上·山东枣庄·期中）如图，已知数轴上的点表示的数为，点表示的数为，点到点、点的距离相等，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为（大于）秒．(1)点表示的数是______；(2)当______秒时，点到达点处？ (3)运动过程中点表示的数是______（用含字母的式子表示）．    变式2．（2024·广东·七年级专题练习）如图，已知点，，是数轴上三点，点对应的数为，，．(1)求点，对应的数；(2)动点，同时从，出发，分别以每秒个单位和个单位的速度沿数轴正方向运动，为的中点，在上，且，设运动时间为。 ①求点，对应的数用含的式子表示；②为何值时， 模型3.单（多）动点变速模型 例1．（2023·四川·宜宾八中七年级阶段练习）已知数轴上有A，B，C三点，分别表示数﹣24，﹣10，10．两只电子蚂蚁甲、乙分别从A，C两点同时相向而行，甲的速度为4个单位/秒，乙的速度为6个单位/秒． （1）问甲、乙在数轴上的哪个点相遇？（2）问多少秒后甲到，，三点的距离之和为40个单位？． （3）若甲、乙两只电子蚂蚁（用表示甲蚂蚁、表示乙蚂蚁）分别从，两点同时相向而行，甲的速度变为原来的3倍，乙的速度不变，直接写出多少时间后，原点、甲蚂蚁与乙蚂蚁三点中，有一点恰好是另两点所连线段的中点． 变式1．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，且．我们将A，B两点间的距离记为．(1)______，______，______； (2)若点C在数轴上，且，求点C表示的有理数；(3)M，P，Q三点在数轴上，点O为原点，点M表示的数为12．P，Q两点分别从A，B两点同时出发，沿数轴的正方向运动，在到达点O前，P，Q两点的运动速度分别为4个单位长度/秒和2个单位长度/秒，点P经过点O后的速度变为原速度的一半，点Q经过点O后的速度变为原速度的2倍．设运动时间为t秒，当时，求t的值． 变式2．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“形数轴”．图中点A表示，点表示，点表示，我们称点和点在“形数轴”上相距个长度单位．动点，同时出发，点从点出发，以单位秒的速度沿着“形数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复到原来的速度；动点从点出发，以单位秒的速度沿着“形数轴”的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复到原来的速度．设运动的时间为秒．请根据以上条件回答：(1)动点从点运动至点需要多少时间？(2)当，两点相遇时，求值；(3)当，两点在“形数轴”上相距的长度与，两点在“形数轴”上相距的长度相等时，则的值为______(直接写出结果)． 模型4.动点往返运动模型 例1．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，数轴上线段（单位长度），（单位长度），点A在数轴上表示的数是，点C在数轴上表示的数是14． (1)若点P是数轴上一动点，当动点P到点A的距离与到点D的距离之和等于34时，则点P对应的数是 ； (2)若点M从点A出发向右运动，速度为2个单位长度/秒，点N从点D出发向左运动，速度为4个单位长度/秒，点P从原点出发，速度为3个单位长度/秒．点M，N和P三点同时运动，点P先向右运动，遇到点N立即掉头向左运动，遇到点M再立即掉头向右运动，如此往返，当M，N两点相距12个单位长度时，点P立即停止运动，此时点P移动的路程为 个单位长度；(3)若线段以3个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动．点P是线段上一点，当B点运动到线段上时，是否存在关系式，若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由． 变式1．（22-23七年级上·重庆·期末）如图，A、B两点在数轴上对应的数分别为、40，在A、B两点处各放一个挡板，M、N两个电子小球同时从原点出发，M以2个单位/秒的速度向数轴负方向运动，N以4个单位/秒的速度向数轴正方向运动，碰到挡板后则反方向运动，速度大小不变，当两小球第一次相遇时都停止运动．设两个小球运动的时间为t，那么：(1)当时，M在数轴上对应的数可以表示为 ； (2)小杨同学发现：当时，始终为定值．小杨的发现是否正确？若正确，请求出这个定值；若不正确，请说明理由．(3)在整个运动过程中，t为何值时M、N两个小球间的距离为6？请直接写出答案． 变式2．（2023·江苏·七年级专题练习）数轴体现了数形结合的数学思想，若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A、B两点之间的距离表示为．如：点A表示的数为2，点B表示的数为3，则． 问题提出：(1)填空：如图，数轴上点A表示的数为−2，点B表示的数为13，A、B两点之间的距离______，线段AB的中点表示的数为______．(2)拓展探究：若点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发．以每秒2个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t秒（t>0） ①用含t的式子表示：t秒后，点Р表示的数为______；点Q表示的数为______；②求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数．(3)类比延伸：在（2）的条件下，如果P、Q两点相遇后按照原来的速度继续运动，当各自到达线段AB的端点后立即改变运动方向，并以原来的速度在线段AB上做往复运动，那么再经过多长时间P、Q两点第二次相遇．请直接写出所需要的时间和此时相遇点所表示的数． 模型5.动态中点与n等分点模型 例1．（2023·河北唐山·七年级期末）如图，已知在数轴上有、两点，点表示的数是，点表示的数是．点在数轴上从点出发，以每秒个单位的速度沿数轴正方向运动，同时，点在数轴上从点出发，以每秒个单位的速度在沿数轴负方向运动，当点到达点时，两点同时停止运动．设运动时间为秒．（1）_______；时，点表示的数是_______；当_______时，、两点相遇； （2）如图，若点为线段的中点，点为线段中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长；（3）如图，若点为线段的中点．点为线段中点，则直接写出用含的代数式表示的线段的长． 变式1．（23-24七年级·云南昭通·期末）如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为4，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为AP，BP的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确的有（    ） ①B对应的数是2；②点P到达点B时，；③时，；④在点P的运动过程中，线段MN的长度不变． A．①③④ B．②③④ C．②③ D．②④ 变式2．（2023·四川绵阳·七年级校考阶段练习）已知数轴上A、B两点对应的数分别为和4，P为数轴上一点，对应数为x．(1)请直接写出P所表示的数，使P到A点、B点距离的和为10． (2)若点A、点B和点P（点P在原点）同时向左运动，他们的速度分别为每秒1、2、1个（单位长度/秒）． ①几秒中后点P为线段的中点？并求出此时x的值；②是否存在点P，使得点P为线段的三等分点，若存在请求出x的值；若不存在，请说明理由． 模型6.动态定值（无参型）模型 设未知数并表示各动点对应的数，若是行程问题一般设运动时间为t，从而表示出两点之间的距离。当代数式的计算结果中不含有未知数t，则代数式为定值。 例1．（23-24七年级上·广东广州·期中）若点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为，我们把、两点之间的距离表示为，记，且，满足． (1) ； ；线段的长 ； (2)点在数轴上对应的数是，且与互为相反数，在数轴上是否存在点，使得?若存在，求出点对应的数；若不存在，请说明理由；(3)在（）、（）的条件下，点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，秒钟后，若点和点之间的距离表示为，点和点之间的距离表示为，那么的值是否随着时间的变化而变化?若变化，请说明理由；若不变，请求出的值． 变式1.（2023·江苏苏州·七年级期末）如图，射线上有三点，满足cm，cm，cm.点从点出发，沿方向以2cm/秒的速度匀速运动，点从点出发在线段上向点匀速运动，两点同时出发，当点运动到点时，点停止运动. (1)若点运动速度为3cm/秒，经过多长时间两点相遇? (2)当时，点运动到的位置恰好是线段的中点，求点的运动速度; (3)自点运动到线段上时，分别取和的中点，求的值. 变式2．（23-24七年级上·江苏泰州·期中）我们把数轴上两点之间的距离用表示这两点的大写字母一起标记，比如，点A与点B之间的距离记作．如图：在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，且a、b满足，将数轴沿点C折叠，点A和点B重合．(1) ， ， ； (2)点P是数轴上之间的一个动点（不包括），点P表示数x．现将数轴沿点P折叠，数轴上与点A重合的点记为D．①若点P在之间，则 ， （用含x的代数式表示）； ②随着点P的运动，都发生变化，问和是否存在一定的倍数关系？试写出说明过程． 模型7.动态定值（含参型）模型 例1．（2023秋·广东广州·七年级校考期末）如图，在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足|a+10|+（b﹣5）2＝0．（1）a＝　 　，b＝　 　；（2）点C在数轴上对应的数为10，在数轴上存在点P，使得PA+PB＝PC，请求出点P对应的数；（3）点A、B分别以2个单位/秒和3个单位/秒的速度同时向右运动，点M从原点O以5个单位/秒的速度同时向右运动，是否存在常数m，使得3AM+2OB﹣mOM为定值，若存在，请求出m值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 变式1．（2023·重庆璧山·七年级校考期末）如图，数轴上有三个点A，B，C表示的数分别是a，b，c，其中a，b，c满足，c是最小的正整数． (1)___________；___________；___________； (2)为使A，B两点的距离与C，B两点距离相等，可将点B向左移动几个单位长度？ (3)若动点P，Q分别从点A、点B出发，以每秒4个单位长度和每秒3个单位长度的速度向左匀速运动，动点R从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，点P，Q，R同时出发，设运动时间为t秒． ①若动点Q到达点A后，速度变为每秒7个单位长度，继续向左运动，当t为何值时，点P与点Q距离3个单位长度？②记点P与点Q之间的距离为，点Q与点R之间的距离为，请用含t的代数式表示和，并判断是否存在一个常数m，使的值不随t的变化而改变，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由； 模型8.数轴折叠（翻折）模型 例1．（2023·江苏·七年级期中）平移和翻折是初中数学中两种重要的图形变化，阅读并回答下列问题： （一）平移：在平面内，讲一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移． （1）把笔尖放在数轴的原点处，先向左移动3个单位长度，再向右移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示的数是 ；（2）一个机器人从数轴上原点出发，并在数轴上移动2次，每次移动2个单位后到达B点，则B点表示的数是 ；（3）如图，数轴上点A表示的数为−1，点B表示的数为1，点P从5出发，若P，A两点的距离是A，B两点距离的2倍，则需将点P向左移动 个单位． （二）翻折：将一个图形沿着某一条直线折叠的运动． （4）若折叠纸条，表示−3的点与表示1的点重合，则表示−4的点与表示 的点重合； （5）若数轴上A，B两点之间的距离为10，点A在点B的左侧，A，B两点经折叠后重合，折痕与数轴相交于表示−1的点，则A点表示的数为 ； （6）在数轴上，点M表示是的数为4，点N表示的数为x，将点M，N两点重合后折叠，得折痕①，折痕①与数轴交于P点；将点M与点P重合后折叠，得折痕②，折痕②与数轴交于Q点．若此时点M与点Q的距离为2，则x＝ ． 变式1．（2023·浙江·七年级期中）已知在纸面上有一数轴（如图）折叠纸面． （1）若1表示的点与表示的点重合，则表示的点与数_____表示的点重合；（2）若1表示的点与表示的点重合，回答以下问题：①13表示的点与数_____表示的点重合；②若数轴上A、B两点之间的距离为2022（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是多少？ 变式2．（23-24七年级上·河南平顶山·期末）综合与探究 数轴可以将数与形完美结合．请借助数轴，结合具体情境解答下列问题： (1)平移运动：一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳完5次时，落在数轴上的点表示的数是 ；当它跳完2024次时，落在数轴上的点表示的数是 ． (2)翻折变换：①若折叠数轴所在纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示5的点与表示 的点重合． ②若数轴上D、E两点经折叠后重合，两点之间的距离为2024（D在E的左侧，且折痕与①折痕相同），则D点表示 ，E点表示 ．③一条数轴上有点M、N、P，其中点M、N表示的数分别是、8，现以点P为折点，将数轴向右对折，若点M对应的点落在点N的右边，并且线段的长度为3，请直接写出点P表示的数 ． 模型9.数轴上的线段移动模型 例1．（2023·广东佛山·七年级阶段练习）如图，有两条线段，（单位长度），（单位长度）在数轴上，点在数轴上表示的数是-12，点在数轴上表示的数是15． （1）点在数轴上表示的数是______，点在数轴上表示的数是______，线段的长=______； （2）若线段以1个单位长度秒的速度向右匀速运动，同时线段以2个单位长度秒的速度向左匀速运动．当点与重合时，点与点在数轴上表示的数是多少？ （3）若线段以1个单位长度秒的速度向左匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度也向左匀速运动．设运动时间为秒，当为何值时，点与点之间的距离为1个单位长度？ 变式1．（2023·山东济南·七年级期末）在数学综合实践活动课上，小亮同学借助于两根小木棒m、n研究数学问题：如图，他把两根木棒放在数轴上，木棒的端点A、B、C、D在数轴上对应的数分别为a、b、c、d，已知|a＋5|＋（b＋1）2＝0，c＝3，d＝8． (1)求m和n的长度；(2)小亮把木棒m、n同时沿x轴正方向移动，m、n的速度分别为4个单位/s和3个单位/s，设平移时间为t（s）①若在平移过程中原点O恰好是木棒m的中点，则t＝ （s）； ②在平移过程中，当木棒m、n重叠部分的长为2个单位长度时，求t的值． 变式2．（2023·河南信阳·七年级校考期中）已知M，N两点在数轴上所表示的数分别为m，n，且m，n满足：|m﹣12|+（n+3）2＝0 （1）则m＝　 　，n＝　 　；（2）①情境：有一个玩具火车AB如图所示，放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，当点A移动到点B时，点B所对应的数为m，当点B移动到点A时，点A所对应的数为n．则玩具火车的长为　 　个单位长度：②应用：一天，小明问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已是老寿星，116岁了!”小明心想：奶奶的年龄到底是多少岁呢？聪明的你能帮小明求出来吗？（3）在（2）①的条件下，当火车AB以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点P和点Q从N、M出发，分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向左和向右运动．记火车AB运动后对应的位置为A′B′．是否存在常数k使得3PQ﹣kB′A的值与它们的运动时间无关？若存在，请求出k和这个定值；若不存在，请说明理由． 1．（2023·四川乐山·七年级期末）如图，点A在数轴上对应的数为﹣3，点B对应的数为2，点P在数轴上对应的是整数，点P不与A、B重合，且PA+PB＝5．则满足条件的P点对应的整数有几个（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）点A、B、C、D在数轴上对应的数分别是、、8、16，动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动．同时点Q从点D出发，以1个单位/秒速度向左运动，B、C两点之间为“变速区”，规则为从点B运动到点C期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点C运动到点B期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速，运动时间为 秒时，P、Q两点到点C的距离相等． 3．（23-24七年级·上海浦东新·期末）两点在数轴上对应的数分别为，40，在两点处各放一个挡板，两个电子小球同时从原点出发，以2个单位/秒的速度向数轴负方向运动，以4个单位/秒的速度向数轴正方向运动，设两个小球运动的时间为，那么当时，的值为 ． 4．（23-24七年级上·江苏南通·期中）如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是最小的正整数，且、、满足。(1)__，__，__； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与表示数____的点重合； (3)点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为则_____，______，______用含的代数式表示 5．（2023·河北石家庄·七年级校考期末）如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴和5的位置上，沿数轴做移动游戏．每次的移动游戏规则如下：裁判先捂住一枚硬币，再让两人猜向上一面是正另一面是反，而后根据所猜结果进行移动．①若都对或都错，则甲向东移动1个单位，同时乙向西移动1个单位； ②若甲对乙错，则甲向东移动4个单位，同时乙向东移动2个单位； ③若甲错乙对，则甲向西移动2个单位，同时乙向西移动4个单位． (1)若第一次移动游戏，甲、乙两人都猜对了，则甲、乙两人之间的距离是_______________个单位； (2)若完成了10次移动游戏，发现甲、乙每次所猜结果均为一对一错．设乙猜对n次，且他最终停留的位置对应的数为m．请你用含n的代数式表示m；(3)经过_______________次移动游戏，甲、乙两人相遇． 6．（23-24七年级上·四川宜宾·期末）如图，数轴的原点为，在数轴上有、两点，点对应的数是，点对应的数是1，动点、同时从、出发，分别以3个单位/秒和1个单位/秒的速度沿着数轴正方向运动，设运动时间为秒（）．(1)两点间的距离是 ；(2)当时，动点对应的数是 ，动点对应的数是 ；(3)当运动时间为秒时，用含的代数式表示出点和点所对应的数；(4)当时，点是否为线段的中点？    7．（2023·江苏连云港·七年级校考阶段练习）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．例如：若数轴上数2表示的点与数﹣2表示的点重合，则数轴上数﹣4表示的点与数4表示的点重合，根据你对例题的理解，解答下列问题： 若数轴上数﹣3表示的点与数1表示的点重合．（根据此情境解决下列问题） （1）则数轴上数3表示的点与数 表示的点重合． （2）若点A到原点的距离是5个单位长度，并且A、B两点经折叠后重合，则B点表示的数是_________． （3）若数轴上M、N两点之间的距离为2020，并且M、N两点经折叠后重合，如果M点表示的数比N点表示的数大，则M点表示的数是________，N点表示的数是________． 8．（2023·河北·七年级期中）如图：在数轴上，点A表示a, 点B表示b, 点C表示c,b是最大的负整数，且a,c满足。 ________，_________，_____________； 若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数____________表示的点重合； 点开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后， ①请问:的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． ②探究:若点向右运动，点向左运动，速度保持不变，的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 9．（23-24七年级上·福建龙岩·期中）如图，已知数轴上原点为，点表示的数为是数轴上在左侧的一点，且两点间的距离为．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．(1)数轴上点表示的数是 ，点表示的数是 （用含的代数式表示）； (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点同时出发；当点运动多少秒时，点与点间的距离为个单位长度？若点间的距离记为，点间的距离记为，是否存在一个数，使得的值与无关？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．    10．（23-24七年级上·北京大兴·期中）我们规定：对于数轴上不同的三个点M，N，P，当点M在点N右侧时，若点P到点M的距离恰好为点P到点N的距离的n倍，且n为正整数，（即），则称点P是“关联点”，如图，已知在数轴上，原点为O，点A，点B表示的数分别为4，． (1)原点O （填“是”或“不是”）“关联点”；(2)若点C是“整2关联点”，则点C所表示的数 ； (3)若点A沿数轴向右运动，每秒运动1个单位长度，同时点B沿数轴向左运动，每秒运动2个单位长度，则运动时间为 秒时，原点O恰好是“关联点”，此时n的值为 ． (4)点Q在A，B之间运动，且不与A，B两点重合，作“关联点”，记为，作“关联点”，记为，且满足，分别在线段和上．当点Q运动时，若存在整数m，n，使得式子为定值，求出m，n满足的数量关系． 11．（2023·辽宁沈阳·七年级期末）已知数轴上有A，B，C三个点，分别表示有理数，4，6． (1)画出数轴，并用数轴上的点表示点A，点B，点C； (2)动点P从点C出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向数轴负方向运动，到达点A后立即以每秒2个单位长度的速度沿数轴返回到点C，到达点C后停止运动，设运动时间为t秒． ①当时，的长为__________个单位长度，的长为__________个单位长度，的长为____________。个单位长度；②在点P的运动过程中，若个单位长度，则请直接写出t的值为___________。 12．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）已知数轴上两点A、B对应的数分别是6，﹣8，M、N、P为数轴上三个动点，点M从A点出发速度为每秒2个单位长度，点N从点B出发速度为点M的3倍，点P从原点出发速度为每秒1个单位长度．（1）求A、B两点的距离为　 　个单位长度． （2）若点M向右运动，同时点N向左运动，求经过多长时间点M与点N相距54个单位长度？ （3）若点M、N、P同时都向右运动，当点M与点N相遇后，点M、P继续以原来的速度向右运动，点N改变运动方向，以原来的速度向左运动，求从开始运动后，经过多长时间点P到点M、N的距离相等？ 13．（2023·浙江宁波·七年级校考期中）数轴上点A表示，点B表示6，点C表示12，点D表示18．如图，将数轴在原点O和点B、C处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离．例如，点A和点D在折线数轴上的和谐距离为个单位长度．动点M从点A出发，以4个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点C期间速度变为原来的一半，过点C后继续以原来的速度向终点D运动；点M从点A出发的同时，点N从点D出发，一直以3个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点A运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动的时间为t秒．(1)当秒时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为__________； (2)当点M、N都运动到折线段上时，O、M两点间的和谐距离__________（用含有t的代数式表示）；C、N两点间的和谐距离__________（用含有t的代数式表示）；__________时，M、N两点相遇；(3)当__________时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度；当__________时，M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等． 14．（23-24七年级上·浙江·期末）如图，已知数轴上点表示的数为6，是数轴上在左侧的一点，且，两点间的距离为．动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．(1)数轴上点表示的数是_______，点表示的数是_______用含的代数式表示； (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发．求：当点运动多少秒时，点与点相遇？    15．（2023春·广东梅州·七年级校考开学考试）如图1，在数轴上有，两点，点表示的数为4，点在点的左边，且，若有一动点从数轴上点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动．若点，分别从，两点同时出发，设运动时间为秒． (1)写出数轴上点表示的数为______，P所表示的数为_______（用含的代数式表示）． (2)问点运动多少秒与相距3个单位长度． (3)如图2，分别以和为边，在数轴上方作正方形和正方形，如图所示，求当为何值时，两个正方形的重叠部分面积是正方形面积的一半，请直接写出结论．______秒． 16．（2023·江苏·七年级期末）对于数轴上的点M，线段AB，给出如下定义：P为线段AB上任意一点，如果M，P两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为点M，线段AB的“近距”，记作d1（点M，线段AB）；如果M，P两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为点M，线段AB的“远距”，记作d2（点M，线段AB），特别的，若点M与点P重合，则M，P两点间距离为0，已知点A表示的数为﹣2，点B表示的数为3．如图，若点C表示的数为5，则d1（点C，线段AB）＝2，d2（点C，线段AB）＝7． (1)若点D表示的数为﹣3，则d1（点D，线段AB）＝　 　，d2（点D，线段AB）＝　 　； (2)若点E表示数为x，点F表示数为x+1．d2（点F，线段AB）是d1（点E，线段AB）的3倍．求x的值． 17．（2023·广东珠海·七年级校考期中）观察数轴，充分利用数形结合的思想．若点A，在数轴上分别表示数，，则A，两点的距离可表示为．根据以上信息回答下列问题：已知多项式的次数是，且与互为相反数，在数轴上，点是数轴原点，点A表示数，点表示数．设点在数轴上对应的数为． (1)由题可知：A，两点之间的距离是　 　．(2)若满足，求． (3)若动点从点A出发第一次向左运动1个单位长度，在此新位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度按照此规律不断地左右运动，当运动了1009次时，求出所对应的数． 18．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）已知数轴上有A，B，C三点，分别表示数．两只电子蚂蚁甲、乙分别从A，C两点同时相向而行，甲的速度为4个单位/秒，乙的速度为6个单位/秒． (1)问甲、乙在数轴上的哪个点相遇？ (2)问多少秒后甲到A，B，C三点的距离之和为50个单位？若此时甲调头往回走，问甲、乙还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点；若不能，请说明理由． (3)若甲、乙两只电子蚂蚁（用P表示甲蚂蚁、Q表示乙蚂蚁）分别从A，C两点同时相向而行，甲的速度变为原来的3倍，乙的速度不变，直接写出多少时间后，原点O、甲蚂蚁P与乙蚂蚁Q三点中，有一点恰好是另两点所连线段的中点． 19．（2023·山东·梁山县水泊街道初级中学七年级期中）已知，如图，、、分别为数轴上的三个点，点对应的数为60，点在点的左侧，并且与点的距离为30，点在点左侧，点到距离是点到点距离的4倍． （1）求出数轴上点对应的数及的距离． （2）点从点出发，以3单位/秒的速度项终点运动，运动时间为秒． ①点点在之间运动时，则_______．（用含的代数式表示） ②点在点向点运动过程中，何时、、三点中其中一个点是另外两个点的中点？求出相应的时间．③当点运动到点时，另一点以5单位/秒速度从点出发，也向点运动，点到达点后立即原速返回到点，那么点在往返过程中与点相遇几次？直接写出相遇是点在数轴上对应的数． 20．（2023·辽宁抚顺·七年级期末）如图，在数轴上有两个长方形和，这两个长方形的宽都是2个单位长度，长方形的长是4个单位长度，长方形的长是8个单位长度，点在数轴上表示的数是5，且两点之间的距离为12． （1）填空:点在数轴上表示的数是_________ ，点在数轴上表示的数是_________． （2）若线段的中点为，线段EH上有一点，， 以每秒4个单位的速度向右匀速运动，以每秒3个单位的速度向左运动，设运动时间为秒，求当多少秒时，． （3）若长方形以每秒2个单位的速度向右匀速运动，长方形固定不动，当两个长方形重叠部分的面积为6时，求长方形运动的时间． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！23 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