精品解析：江苏省无锡市宜兴市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2024年春学期宜兴市初中学业水平调研测试 八年级数学试题 本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上． 考试时间为100分钟，试卷满分120分． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、班级、考试号填写在答题卡的相应位置上，并认真核对姓名、班级、考试号是否与本人的相符合． 2．答题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效． 3．作图必须用2B铅笔作答． 4．卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果． 一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共计30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置．） 1. 当时，二次根式的值为（ ） A. B. 3 C. D. 2. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年历史．一棋谱中四部分的截图由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（　　） A. B. C. D. 3. 某校为了解八年级300名学生每周课外阅读时间，从八年级6个班级中共抽取50名学生作调查，下列说法正确的是（ ） A. 该校300名八年级学生是总体 B. 抽取的50名学生是总体的一个样本 C. 每个八年级学生每周课外阅读时间是个体 D. 样本容量是6 4. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 为执行“两免一补“政策，某市年投入教育经费万元，预计年投入万元．设这两年投入教育经费的年平均增长率为，那么下面列出的方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形 C. 对角线相等的菱形是正方形 D. 平行四边形一定是轴对称图形 7. 如图，四边形是菱形，对角线与相交于点O，于点H．若，，则的长度为（　　） A. B. C. D. 4 8. 如图，将矩形纸片沿对角线对折，使得点落在点处，交于点，若平分，，则的长是（ ） A. B. C. D. 9. 如图．已知正方形的面积为6．它的两个顶点是反比例函数的图像上两点，若点的坐标是，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，，为上一动点，交于，过作交于点，过作于，连结．在以下四个结论中：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ） A ①③ B. ②③ C. ③④ D. ②④ 二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共计24分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则取值范围是______． 12. 不透明的袋中装有若干个质地均匀的红球和8个白球，摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是0.4，则袋中约有红球______个． 13. 两位同学分别说出了某个分式的一些特点，甲同学：这个分式只含有字母；乙同学：当时，分式的值为0．请你写出满足上述全部特点的一个分式______． 14. 若关于x的分式方程有增根，则m的值为______． 15. 如图，在中，，点为斜边的中点，连接，过点作交于点，若，则的长为______． 16. 如图，在菱形中，点分别在上，沿翻折后，点落在边上的处．若，，．则的长为______． 17. 如图，在矩形中，，将矩形绕点按逆时针方向旋转，得到矩形，点的对应点落在上，且，则的面积为______． 18. 如图，点在双曲线上，过作直线交双曲线于点，过作轴于，连接，若的面积为1，则的值为______． 三、解答题（本大题共9小题，共计66分．解答需写出必要的文字说明或演算步骤．） 19. 计算： （1）； （2） 20. 解方程： （1）； （2）． 21. 化简求值：，其中 22. 我校为落实立德树人根本任务，构建“五育并举”教育体系，开设了“厨艺、园艺、电工、木工、编织”五大类劳动课程．为了解七年级学生对每类课程的选择情况，随机抽取了七年级若干名学生进行调查（每人必选且只选一类最喜欢的课程），将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 请根据统计图提供的信息，解答下列问题 （1）本次随机调查的学生人数为 人； （2）补全条形统计图； （3）扇形统计图中的值为 ； （4）若该校七年级共有名学生，请估计我校七年级学生选择“编织”劳动课的人数． 23. 在中，、分别是、的中点，，延长到点，使得，连接． （1）求证：四边形BCFE是菱形； （2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE面积． 24. 如图1，平行四边形． （1）尺规作图：将四边形沿着经过点某条直线翻折，使点落在边上的点处，用无刻度的直尺与圆规作出折痕．（不写作法，保留作图痕迹） （2）若，，，则______（如需画草图，请使用图2） 25. 为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩．已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多0.4万元，用24万元购买甲型充电桩与用16万元购买乙型充电桩的数量相等． （1）甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？ （2）该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共30个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，求购买这批充电桩所需的最少总费用？ 26. 如图，在平面直角坐标系中，中，，，，顶点在轴的正半轴上，轴，若双曲线交边于中点，交边于点． （1）若，求值； （2）若，求值以及点的坐标． 27. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，点在轴的正半轴上移动，将矩形沿着对折．点的对应点为．已知，． （1）如图，当点恰好落在对角线上时，求直线所对应的函数表达式． （2）当三点在同一直线上时，直接写出直线所对应的函数表达式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年春学期宜兴市初中学业水平调研测试 八年级数学试题 本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上． 考试时间为100分钟，试卷满分120分． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、班级、考试号填写在答题卡的相应位置上，并认真核对姓名、班级、考试号是否与本人的相符合． 2．答题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效． 3．作图必须用2B铅笔作答． 4．卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果． 一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共计30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置．） 1. 当时，二次根式的值为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简，掌握利用二次根式的性质进行化简的方法是解题关键．二次根式的性质：．把代入二次根式，再利用二次根式的性质进行化简即可求解． 【详解】解：将代入得， ， 故选：B． 2. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．一棋谱中四部分的截图由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了中心对称图形的识别．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解． 【详解】解：选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形； 选项B、C、D不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 故选：A． 3. 某校为了解八年级300名学生每周课外阅读时间，从八年级6个班级中共抽取50名学生作调查，下列说法正确的是（ ） A. 该校300名八年级学生是总体 B. 抽取的50名学生是总体的一个样本 C. 每个八年级学生每周课外阅读时间是个体 D. 样本容量是6 【答案】C 【解析】 【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象，从而找出总体、个体；再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量． 【详解】解：A．该校300名八年级学生每周课外阅读时间是总体，原说法错误，故本选项不合题意； B．抽取的50名学生每周课外阅读时间是总体的一个样本，原说法错误，故本选项不合题意； C．每个八年级学生每周课外阅读时间是个体，说法正确，故本选项符合题意； D．样本容量是50，原说法错误，故本选项不合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象；总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小；样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位． 4. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，以及二次根式的加法和乘法除法运算法则，由二次根式的加法和乘法除法运算法则、二次根式的性质分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A、，计算错误，不符合题意； B、，计算错误，不符合题意； C、2与不是同类二次根式，不能合并计算，不符合题意； D、，计算正确，符合题意； 故选：D． 5. 为执行“两免一补“政策，某市年投入教育经费万元，预计年投入万元．设这两年投入教育经费的年平均增长率为，那么下面列出的方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】这两年投入教育经费的年平均增长率为x，根据某市2008年投入教育经费4900万元，预计2010年投入6400万元可列方程． 【详解】这两年投入教育经费的年平均增长率为x， . 故选B. 【点睛】考查由实际问题抽象出一元二次方程，读懂题目，找出题目中的等量关系是解题的关键. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形 C. 对角线相等的菱形是正方形 D. 平行四边形一定是轴对称图形 【答案】C 【解析】 【分析】对角线互相垂直平分的四边形是菱形，而对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，可判断不符合题意；一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，可判断不符合题意；对角线相等的菱形既是菱形又是矩形，则对角线相等的菱形是正方形，可判断符合题意；平行四边形是中心对称图形，但不一定是轴对称图形，可判断不符合题意，于是得到问题的答案． 【详解】解：对角线互相垂直平分的四边形是菱形， 对角线互相垂直的四边形不一定是菱形， 故不符合题意； 一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形， 一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形， 故不符合题意； 对角线相等的平行四边形是矩形， 对角线相等的菱形既是菱形又是矩形， 对角线相等的菱形是正方形， 故符合题意； 平行四边形是中心对称图形，但不一定是轴对称图形， 故不符合题意， 故选：． 【点睛】此题考查平行四边形的判定、菱形的判定、正方形的判定、轴对称图形等知识，正确理解和掌握平行四边形、矩形、菱形与正方形的定义和判定定理是解题的关键． 7. 如图，四边形是菱形，对角线与相交于点O，于点H．若，，则的长度为（　　） A B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由菱形的性质和勾股定理得，再由，即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， 即， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键． 8. 如图，将矩形纸片沿对角线对折，使得点落在点处，交于点，若平分，，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质．根据矩形的性质得，由折叠的性质得，结合平分，证明，再进一步解答即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， 由折叠可知，，， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故选：A． 9. 如图．已知正方形的面积为6．它的两个顶点是反比例函数的图像上两点，若点的坐标是，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出，然后表示出点B的坐标，再根据点，在反比例函数图象上列式计算即可． 【详解】解：∵正方形的面积为6， ∴， ∵点的坐标是， ∴点的坐标是， ∵点，是反比例函数（，）的图象上两点， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质，正方形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，二次根式的运算，正确表示出点的坐标是解题的关键． 10. 如图，在正方形中，，为上一动点，交于，过作交于点，过作于，连结．在以下四个结论中：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ） A. ①③ B. ②③ C. ③④ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】连接，延长交于点，证明即可证明，由，即可证明②正确；如图，连接交于，可得 ，，证明，可得③正确，是动点，则是动点，的长度的变化的，可得的长度是变化的，可得④错误． 【详解】解：①连接，延长交于点，连接， 为正方形的对角线， ， ， ， ， ，， ∴， ， ， ， ， ， ∵， ∴，故①错误； ，， ，故②正确； ③如图，连接交于， ∵四边形是正方形，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③正确； ④∵是动点，则是动点，的长度的变化的， ∴的长度是变化的，故④错误； 综上：②③正确； 故选B 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共计24分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数求解即可． 【详解】解：由题意知， 解得， 故答案为：． 12. 不透明的袋中装有若干个质地均匀的红球和8个白球，摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是0.4，则袋中约有红球______个． 【答案】12 【解析】 【分析】根据口袋中有8个白球，利用白球在总数中所占比例得出与试验比例应该相等求出即可． 【详解】解：通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是0.4，口袋中有8个白球，假设有x个红球， 则， 解得：， 经检验是原方程的解， ∴口袋中有红球约为12个， 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查利用频率估计随机事件的概率，根据已知白球的频率得出与试验比例应该相等是解题关键． 13. 两位同学分别说出了某个分式的一些特点，甲同学：这个分式只含有字母；乙同学：当时，分式的值为0．请你写出满足上述全部特点的一个分式______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，分式的值，掌握分式的值为零的条件：分子等于0且分母不等于0是解题的关键．根据当时，分式的值为0，写出一个分式即可． 【详解】解：∵当时，分式的值为0， ∴分子可以为， ∴分式为：． 故答案为：（答案不唯一）． 14. 若关于x的分式方程有增根，则m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先去掉分母，再把增根x=3代入即可求出m的值． 【详解】解：去分母得2x-（x-3）=-m， ∵关于x的分式方程有增根， ∴，即， 把增根x=3代入得， 解得， 故答案为：-6． 【点睛】此题主要考查分式的解，解题的关键是熟知分式方程的解法． 15. 如图，在中，，点为斜边的中点，连接，过点作交于点，若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查是勾股定理的应用，三角形的中位线的性质，直角三角形斜边上的直线的性质，根据直角三角形斜边中线的性质得出，证得是等腰三角形，再根据等腰三角形的性质得出点E为的中点，从而得到是的中位线，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，点D为斜边的中点， ∴， ∴是等腰三角形， ∵，， ∴，即， ∴，即点E为的中点， ∴是的中位线， ∴， 在中，， ∴ ． 故答案为：． 16. 如图，在菱形中，点分别在上，沿翻折后，点落在边上的处．若，，．则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题重点考查菱形的性质、轴对称的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．作交的延长线于点H，因为，所以，由四边形是菱形，得，则四边形是平行四边形，所以，由折叠得，则，所以，由勾股定理得，求得，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：作交的延长线于点H，则， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由折叠得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 17. 如图，在矩形中，，将矩形绕点按逆时针方向旋转，得到矩形，点的对应点落在上，且，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作的平行线，交于点，交于点，则．由旋转可得，，结合矩形的性质可得，，则，再利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：过点作的平行线，交于点，交于点． 则． 由旋转可得，． ∵四边形为矩形， ，而， ， ， ， ， ∴的面积为． 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质、矩形的性质、等腰直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质、矩形的性质、等腰直角三角形的性质是解答本题的关键． 18. 如图，点在双曲线上，过作直线交双曲线于点，过作轴于，连接，若的面积为1，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查已知图形的面积求值，先求出点坐标进而求出的解析式，设，根据三角形的面积公式，求出点坐标，即可得出值． 【详解】解：点在双曲线上， ∴， ∴， ∴ 设直线的解析式为， 则：， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，共计66分．解答需写出必要的文字说明或演算步骤．） 19. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的基本性质先化简每个二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）根据二次根式的乘法法则及完全平方公式计算即可． 【小问1详解】 原式 ； 【小问2详解】 原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解决本题的关键． 20. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）无解 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，分式方程的解法； （1）把方程化为，再利用配方法解方程即可； （2）先去分母，把方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可； 小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：， 去分母：， ∴， ∴， ∴， 解得：， 当时，， 故是方程的增根，原方程无解． 21. 化简求值：，其中 【答案】； 【解析】 【分析】先根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据进行计算即可． 【详解】解： ， 把代入得：原式． 【点睛】本题主要考查了分式化简求值，二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则准确计算． 22. 我校为落实立德树人根本任务，构建“五育并举”教育体系，开设了“厨艺、园艺、电工、木工、编织”五大类劳动课程．为了解七年级学生对每类课程的选择情况，随机抽取了七年级若干名学生进行调查（每人必选且只选一类最喜欢的课程），将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 请根据统计图提供的信息，解答下列问题 （1）本次随机调查的学生人数为 人； （2）补全条形统计图； （3）扇形统计图中的值为 ； （4）若该校七年级共有名学生，请估计我校七年级学生选择“编织”劳动课的人数． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）；（4） 【解析】 【分析】（1）从两个统计图中可得，选择“园艺”的有18人，占调查人数的，可求出调查人数； （2）求出选择“电工”的人数，即可补全条形统计图； （3）样本中，选择“厨艺”的人数除以调查人数可得选择“厨艺”的人数的百分比，即可得的值． （4）样本中，选择“编织”的占，因此估计总体1000人的是选择“编织”的人数． 【详解】解：（1）本次随机调查的学生人数为：（人， 故答案为：60； （2）选择电工的有：（人， 补全的条形统计图如图所示； （3）选择“厨艺”的人数的百分比为：， ， 故答案为：25； （4）（人， 即估计该校七年级学生选择“编织”劳动课程的有200人． 【点睛】题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解题的关键是：明确题意，利用数形结合的思想解答． 23. 在中，、分别是、的中点，，延长到点，使得，连接． （1）求证：四边形BCFE菱形； （2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】从所给的条件可知，是中位线，所以且，所以和平行且相等，所以四边形是平行四边形，又因为，所以是菱形；是，所以为，所以菱形的边长也为4，求出菱形的高面积就可求． 【详解】（1）证明：、分别是、的中点， 且， 又，， ，， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形； （2）解：， ， 是等边三角形， 菱形的边长为4，高为， 菱形的面积为． 【点睛】本题考查菱形的判定和性质以及三角形中位线定理，以及菱形的面积的计算等知识点，解题的关键是掌握菱形的判定定理及性质． 24. 如图1，平行四边形． （1）尺规作图：将四边形沿着经过点的某条直线翻折，使点落在边上的点处，用无刻度的直尺与圆规作出折痕．（不写作法，保留作图痕迹） （2）若，，，则______（如需画草图，请使用图2） 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）以为圆心，的长为半径画弧，交于；分别以，为圆心，适当的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线，交的交点为，则即为折痕； （2）过点D作于点，过点E作于点N，根据，得出为等腰直角三角形，求出，证明四边形为平行四边形，得出，根据勾股定理求出，得出，最后根据勾股定理求出． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求作的折痕． 【小问2详解】 解：过点D作于点，过点E作于点N，如图所示： 则， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， 根据折叠可知：， 根据勾股定理得：， ∴， ∴根据勾股定理得：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质以及轴对称变换，勾股定理，尺规作角平分线，掌握平行四边形的性质以及轴对称的性质是解决问题的关键． 25. 为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩．已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多0.4万元，用24万元购买甲型充电桩与用16万元购买乙型充电桩的数量相等． （1）甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？ （2）该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共30个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，求购买这批充电桩所需的最少总费用？ 【答案】（1）甲型充电桩的单价是元，乙型充电桩的单价是元； （2）购买甲型充电桩10个，乙型充电桩20个，所需最少费用为28万元． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用等知识点， （1）设乙型充电桩的单价是x元，则甲型充电桩的单价是元，根据用24万元购买甲型充电桩与用16万元购买乙型充电桩的数量相等，列出分式方程，解方程即可； （2）设购买甲型充电桩的数量为m个，则购买乙型充电桩的数量为个，根据乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，列出一元一次不等式，解得，再设所需费用为w元，求出w与m的函数关系式，然后根据一次函数的性质即可得出结论； 【小问1详解】 解：设乙型充电桩的单价是x元，则甲型充电桩的单价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲型充电桩的单价是元，乙型充电桩的单价是元； 【小问2详解】 解：设购买甲型充电桩的数量为m个，则购买乙型充电桩的数量为个， 由题意得：， 解得：， 设所需费用为w元， 由题意得：， ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴当时， ∴w取得最小值为28万元， 此时，， 答：购买甲型充电桩10个，乙型充电桩20个，所需最少费用为28万元． 26. 如图，在平面直角坐标系中，中，，，，顶点在轴的正半轴上，轴，若双曲线交边于中点，交边于点． （1）若，求值； （2）若，求值以及点的坐标． 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】（1）根据含30度的直角三角形的性质得出，根据勾股定理求出，根据，得出，，根据中点坐标公式求出，最后求出k的值即可； （2）先求出，设点，则，，根据中点坐标公式求出，得出，求出，最后求出结果即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴轴， ∵， ∴，， ∵D为的中点， ∴， 即， 把代入得：； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 设点，则，， ∵D为中点， ∴， 则， ∵D、E在反比例函数的图象上， ∴， 解得：， ∴， 即， 把代入得：． 【点睛】本题考查了根据坐标求反比例函数解析式，直角三角形的性质，勾股定理，中点坐标公式，解题的关键是熟练掌握反比例函数图像上点的坐标特征． 27. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，点在轴的正半轴上移动，将矩形沿着对折．点的对应点为．已知，． （1）如图，当点恰好落在对角线上时，求直线所对应的函数表达式． （2）当三点在同一直线上时，直接写出直线所对应的函数表达式． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）过点作于点D，根据勾股定理求出，设，则，根据勾股定理得出，求出，得出，再求出，用待定系数法求出直线的解析式即可； （2）根据矩形的性质得出，，，求出，分两种情况进行讨论：当点P在线段上时，当点P在线段延长线上时，分别画出图形，用待定系数法求出直线的解析式即可． 【小问1详解】 解：过点作于点D，如图所示： ∵，， ∴， 根据折叠可知：，，， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理得： ， 即， 解得：， ∴，， ， ∴， ， ∴， ∴， 设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：； 【小问2详解】 解：∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， 当点P在线段上时，如图所示： 根据折叠可知：，，， 则， ∴， 设，则，， 在中根据勾股定理得： ， 即， 解得：， ∴， 设直线l的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线l的解析式为：． 当点P在线段延长线上时，如图所示： 根据折叠可知：，，， ∴， 设，则，， 在中根据勾股定理得： ， 即， 解得：， ∴， 设直线l的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：． 综上分析可知：直线l的解析式为：或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，坐标与图形，勾股定理，求一次函数解析式，折叠的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理和待定系数法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$