福建省福州第一中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷

福州一中2023-2024学年第二学期第四学段模块考试 高二数学选择性必修三模块试卷 满分：150分 完卷时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “，且”是“，且”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. A校和校进行排球决赛，决赛规则为“5局3胜”，已知每局比赛A校获胜的概率为0.6，各局比赛相互间没有影响，则A校在先失一局的情况下，战胜校的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 新型冠状病毒引起的肺炎疫情暴发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某地开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如表所示： 周数（x） 1 2 3 4 5 治愈人数（Y） 2 17 36 103 142 由表格可得Y关于x的非线性回归方程为，则此回归模型第5周的残差为（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. ―2 6. 已知关于的不等式恰有四个整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 设，则有（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数a，b满足，且，e为自然对数的底数，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知x≥1，则下列函数的最小值为2的有（　　） A. B. C. D. 10. 已知甲盒中装有3个蓝球、2个黄球，乙盒中装有2个蓝球、3个黄球，现同时从甲、乙两盒中各取出个球交换，分别记交换后甲、乙两个盒子中蓝球个数的数学期望为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知定义在上的函数满足，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量X服从正态分布，且，则____________． 13. 已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为_____________． 14. 函数，若函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围为__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，直线在轴上的截距为，且与曲线相切于点． （1）求实数的值； （2）求函数的单调区间与极值． 16. 某中学对该校学生的学习兴趣和预习情况进行长期调查，学习兴趣分为兴趣高和兴趣一般两类，预习分为主动预习和不太主动预习两类，设事件A：学习兴趣高，事件：主动预习．据统计显示，，，． （1）求和，并证明A与不独立； （2）为验证学习兴趣与主动预习是否有关，该校抽取了一定容量的样本，得到如下列联表： 兴趣高 兴趣不高 总计 主动预习 不太主动预习 总计 利用独立性检验，计算得．为提高检验结论的可靠性，现将上表中所有数据都调整为原来的倍，使得在犯错误的概率不超过的条件下认为学习兴趣与主动预习有关，试确定的最小值． 附：，其中． 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 已知函数． （1）讨论的单调区间； （2）若在区间上存在唯一零点，证明：． 18. 一袋中有个均匀硬币，其中有个普通硬币，普通硬币的一面为面值，另一面为花朵图案，如下图，其余个硬币的两面均为面值.每次试验从袋中随机摸出两个硬币各掷一次，用事件表示“两个硬币均是面值朝上”，用事件表示“两个硬币均是花朵图案朝上”，又把两个硬币放回袋中，如此重复次试验. （1）若， ①求次试验中摸出普通硬币个数的分布列； ②求次试验中事件发生的次数的期望； （2）设次试验中事件恰好发生次的概率为，当取何值时，最大？ 19. 对给定的正整数，令．对任意，，定义与的距离．设A是的至少含有两个元素的子集，集合中的最小值称为A的特征值，记作． （1）设，，直接写出集合的特征值； （2）当时，求证：存在集合A满足对任意，都存在唯一的，使得，且A中不同元素之间的距离为5； （3）当时，且，求A中元素个数的最大值． 福州一中2023-2024学年第二学期第四学段模块考试 高二数学选择性必修三模块试卷 满分：150分 完卷时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】ACD 【10题答案】 【答案】AD 【11题答案】 【答案】ABC 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】##． 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】或 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） （2）单调递增区间为，，单调递减区间为，， 【16题答案】 【答案】（1），，不相互独立 （2） 【17题答案】 【答案】（1） 若，的单调递增区间为，无单调递减区间； 若，的单调递增区间为，单调递减区间为． （2） 法一：因为在区间上存在唯一零点， 所以存在唯一的，有，化简得， 若要证明，则只需，即只需，， 不妨设，，求导得， 令，， 求导得， 所以当时，单调递增， 所以， 当时，单调递增， 所以，即当时，有不等式成立. 法二：由于，由（1）可知且所以， 由泰勒展式可得，解得， 所以． 综上所述：若在区间上存在唯一零点，则． 【18题答案】 【答案】（1）① ②. （2） 【19题答案】 【答案】（1）， （2） 对任意，则，且，， 对任意，定义， 则， 且对任意，则， 令集合，由可知满足A中不同元素之间的距离为5， 由题意可知：对任意，且，均有， 若，则令，即满足； 若，则令，则，即满足； 综上所述：存在集合A满足对任意，都存在唯一的，使得，且A中不同元素之间的距离为5. （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $