福建省福州市马尾区2023-2024学年八年级下学期期末数学试卷

2023-2024学年福建省福州市马尾区八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是(    ) A. B. C. D. 2.下列运算正确的是(    ) A. B. C. D. 3.下列四组线段中，可以构成直角三角形的是(    ) A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 13，14，15 D. 15，8，17 4.正比例函数的图象经过的象限是(    ) A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第三、四象限 D. 第一、二象限 5.端午前夕，学校食堂调查学生对豆沙粽、蛋黄粽、肉粽这三种粽子的喜爱程度，以决定最终的采购方案.下面统计量中，最值得关注的是(    ) A. 平均数 B. 方差 C. 中位数 D. 众数 6.若函数和函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集是(    ) A. B. C. D. 7.如图是甲、乙两名同学6次射击成绩的折线统计图，甲、乙两人射击成绩的方差分别记作，，下列结论正确的是(    ) A. B. C. D. 无法确定 8.若顺次连接矩形的各边中点所得的四边形一定是(    ) A. 菱形 B. 矩形 C. 正方形 D. 平行四边形 9.如图，矩形AOBC的两条边OA，OB分别落在x轴、y轴上，A点坐标为，B点坐标为，点D在线段BC上，沿直线AD将矩形折叠，使点C与y轴上的点E重合，则点D的坐标为(    ) A. B. C. D. 10.在平面直角坐标系中，已知直线：与x轴交于点A，直线：与x轴交于点B，与交于点过点C作x轴的垂线，垂足为点若，则k的值是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11.计算：______. 12.如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为，则M，C两点间的距离为______ 13.在一次演讲比赛中，甲的演讲内容、演讲能力、演讲效果成绩如下表所示： 项目 演讲内容 演讲能力 演讲效果 成绩 90 80 90 若按照演讲内容占，演讲能力占，演讲效果占，计算选手的综合成绩，则该选手的综合成绩为______ 14.如图，直线与直线的交点为A，则关于x，y的方程组的解是______. 15.如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作的平分线AG交BC于点E，以A为圆心，AB长为半径画弧交AD于若，则AE的长为______. 16.如图，在菱形ABCD中，，，P为对角线AC上的动点不与A、C两端点重合，交AB所在直线于点M，交BC所在直线于点N，连接则的最小值是______. 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题8分 计算： 18.本小题8分 已知，如图，在▱ABCD中，点E，F是对角线BD上的两点，且，分别连接AE，EC，CF， 求证：四边形AECE是平行四边形. 19.本小题8分 已知一次函数图象过点， 求此一次函数的解析式，并在图中画出该函数的图象； 若点和在该一次函数图象上，试比较m与n的大小，并说明理由. 20.本小题8分 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点过点A作，过点D作交AE于点 求证：四边形AODE是矩形； 若，，求四边形AODE的面积. 21.本小题8分 “双减”政策颁布后，学校开展了延时服务，并增加体育锻炼时间.某体育用品商店抓住商机，购进一批乒乓球拍和羽毛球拍进行销售，其进价和售价如表所示. 进价 售价 乒乓球拍元/套 35 a 羽毛球拍元/套 40 b 某班甲体育小组购买2套乒乓球拍和1套羽毛球拍共花费160元，乙体育小组购买1套乒乓球拍和2套羽毛球拍共花费170元. 求出a，b的值； 根据销售情况，商店决定再次购进300套球拍，且购进的乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半.若这批球拍的进价和售价均不变，且能够全部售完，如何购货才能获利最大？ 22.本小题10分 为了迎接第九个“中国航天日”到来，某校在2024年4月24日举行航天知识竞赛.竞赛结束后，随机抽取七年级、八年级各40名学生的成绩，按成绩分为如下5组满分100分，A组：，B组：，C组：，D组：，E组：，并绘制了如下不完整的统计图.请结合统计图，并对数据成绩进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息. 信息1：七年级竞赛成绩的频数分布统计表： 成绩 A B C D E 人数 4 8 13 13 2 信息2：八年级竞赛成绩的频数分布直方图如图所示： 信息3：七年级学生在这一组的竞赛成绩是： 70，70，70，71，74，75，75，75，76，76，76，76，78； 信息4：七、八年级成绩的平均分、中位数、众数及方差统计表 班级 平均分 中位数 众数 方差 七年级 n 86 八年级 m 73 82 请根据以上信息，解决以下问题： 补全八年级学生成绩频数分布直方图，并直接写出七年级竞赛成绩的中位数______； 请求出八年级的竞赛平均成绩m； 在此次竞赛中，你认为______年级的竞赛成绩较好填“七”或“八”，请给出确定该年级成绩较好的理由：______，______说出两点即可 23.本小题10分 某校八年级数学兴趣小组开展“测量旗杆高度”数学活动. 如图1，甲组利用含角的直角三角尺即中，，进行测量，小文同学将三角尺水平放置于眼前，使直角边BC垂直于地面l，行走到点P处时，视线透过AB边刚好经过旗杆顶部经测得，小文的眼睛离地面，点P离旗杆底部距离 如图2，乙组发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面后多出一段DN，该绳子长度未知. 根据甲组的方案，求旗杆MN的长结果保留整数，其中； 请利用卷尺，运用所学知识帮助乙组设计一个测量方案，并写出具体的求解旗杆MN长度的过程注：卷尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离，卷尺测量得到的长度用a、b、c…表示，方案的相关图示在图2中标注出来，旗杆与绳子间距离忽略不计 24.本小题12分 如图，在正方形ABCD外侧，作等边，过点B作交MD延长线于点N，连接BM， 在图中补全图形； 求的度数； 试探究线段BM，CN之间的数量关系，并证明你的结论. 25.本小题14分 在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象为直线l，它与x轴，y轴分别交于A，B两点. 如果把l向上平移2个单位后得到直线，求a，b的值； 当直线l过点和点时，且，求a的取值范围； 若平面内有动点，不论n取何值，点P均不在直线l上，设的面积为求S的值用含字母b的式子表示 答案和解析 1.【答案】D  【解析】解：根据题意得：，解得 故选： 根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，即可求解． 主要考查了二次根式的意义和性质． 概念：式子叫二次根式． 性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 2.【答案】C  【解析】解：与不能合并，所以A选项不符合题意； B.与2不能合并，所以B选项不符合题意； C.，所以C选项符合题意； D.，所以D选项不符合题意． 故选： 根据二次根式的加法运算对A选项进行判断；根据二次根式的减法运算对B选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对C选项进行判断；根据二次根式的除法法则对D选项进行判断． 本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键． 3.【答案】D  【解析】解：A、，不能构成直角三角形，故本选项错误； B、，不能构成直角三角形，故本选项错误； C、，不能构成直角三角形，故本选项错误； D、，能构成直角三角形，故本选项正确； 故选： 只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可判断是直角三角形． 本题考查勾股定理的逆定理，勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． 4.【答案】B  【解析】解：， 正比例函数的图象经过第二、四象限， 故选 根据正比例函数的图象即可得到结论． 本题主要考查了正比例函数的图象，掌握当时，正比例函数的图象经过第二、四象限是解决问题的关键． 5.【答案】D  【解析】解：根据题意，可知：学校食堂调调查的目的是明确最喜欢哪种口味的粽子的人数最多， 众数是数据中出现次数最多的数， 最值得关注的是统计数据中的众数． 故选： 学校食堂调查的目的是得出最喜欢哪种口味的粽子的人数最多的人数最多，以便决策，再根据众数的意义，即可得出结果． 本题考查了统计的有关知识，理解平均数、中位数、众数、方差的意义是解题的关键． 6.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：认真体会一次函数与一元一次不等式组之间的内在联系及数形结合思想是解决本题的关键． 利用函数图象，写出直线在直线上方所对应的自变量的取值范围即可． 【解答】 解：观察函数图象得时，， 即时，， 所以关于x的不等式的解集为 故选： 7.【答案】A  【解析】解：由图象可知：甲偏离平均数大，乙偏离平均数小， 所以甲波动大，不稳定，方差大，即 故选： 根据数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定，方差越大；数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定，方差越小进行判断． 本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 8.【答案】A  【解析】解：如图： 在中， ， ， 同理，，， 又在矩形ABCD中，， ， 四边形EFGH为菱形． 故选： 因为题中给出的条件是中点，所以可利用三角形中位线性质，以及矩形对角线相等去证明四条边都相等，从而说明是一个菱形． 本题考查了菱形的判定，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义，②四边相等，③对角线互相垂直平分． 9.【答案】A  【解析】解：点坐标为，B点坐标为， ，， 四边形AOBC是矩形， ，， 由折叠性质可得，， 在中，， ， 设，则， 在中，由勾股定理可得， ，解得， ， ， 故选： 在中可先求得OE的长，则可求得BE长，设，则可表示出DE，在中利用勾股定理可求得x，则可求得D点坐标． 本题考查了翻折变换折叠的性质勾股定理，矩形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 10.【答案】A  【解析】解：如图所示， 直线：与x轴交于点A， 当时，解得：，则， 联立， 解得：， ，则， ， ，轴， ， 则， 将点代入， 即， 解得：， 故选： 根据题意，画出图形，分别求得A，C，D的坐标，然后根据已知条件，求得点B的坐标，将点B的坐标代入的解析式即可求解． 本题考查了两直线围成的三角形面积，根据题意画出图形，数形结合是解题的关键． 11.【答案】1  【解析】解： 故答案为： 直接利用平方差公式计算得出即可． 此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握运算法则是解题关键． 12.【答案】  【解析】解：， ， 为AB的中点， ， ， 故答案是 根据直角三角形斜边上的中线性质得出，代入求出即可． 本题考查直角三角形斜边上的中线． 13.【答案】86  【解析】解：该选手的综合成绩为：， 故答案为： 根据加权平均数的计算方法进行计算即可． 本题考查加权平均数，掌握加权平均数的计算方法是正确解答的关键． 14.【答案】  【解析】解：由函数图象可知，直线与直线的交点为， 方程组的解是 故答案为： 根据两条直线的交点的意义即可解答． 本题主要考查一次函数图象的交点与方程组的解的关系，理解两条直线的交点坐标的意义是解题的关键． 15.【答案】  【解析】解：连接EF，AE与BF相交于O点，如图， 由作法得，AE平分， ， 四边形ABCD为平行四边形， ， ， ， ， ， 而， 四边形ABEF为平行四边形， 而， 四边形ABEF为菱形， ，，， 在中，， ， 故答案为： 连接EF，AE与BF相交于O点，如图，由作法得，AE平分，再证明得到，则可判断四边形ABEF为菱形，根据菱形的性质得到，，，根据勾股定理计算出OA，然后利用菱形的面积公式计算四边形ABEF面积． 本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线也考查了平行四边形的性质以及角平分线的性质． 16.【答案】  【解析】解：连接BD交AC于O， 在菱形ABCD中，，，，， 是等边三角形， ， ， ， ， 连接PB， 交AB所在直线于点M，交BC所在直线于点N， ， ， ， ， 当PD的值最小时，的值最小， 即当点P与点O重合时，PD的值最小，即为3， 的最小值是， 故答案为： 连接BD交AC于O，根据菱形的性质得到，，，，根据等边三角形的性质得到，根据勾股定理得到，求得，连接PB，得到交AB所在直线于点M，交BC所在直线于点N，根据三角形的面积公式得到，当PD的值最小时，的值最小，即当点P与点O重合时，PD的值最小，即为3，于是得到结论． 本题考查了轴对称-最短路径问题，菱形的性质，三角形的面积，正确地作出辅助线是解题的关键． 17.【答案】解：原式   【解析】先根据完全平方公式计算，再根据二次根式的乘法和除法法则运算，然后合并即可． 本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键． 18.【答案】证明：如图，连接AC交BD于 四边形ABCD是平行四边形， ，， ， ， ， 四边形AECF是平行四边形．  【解析】想办法证明，即可解决问题． 本题考查平行四边形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 19.【答案】解：设此一次函数解析式为， 此一次函数图象过点，， ， 解得， 此一次函数解析式为， 该函数的图象如图， ，理由如下： 一次函数中，， 随着x的增大而增大， 又点和在图象上，，   【解析】设此一次函数解析式为，利用待定系数法求出函数解析式，作出函数图象即可； 根据一次函数的增减性即可得出结论． 本题主要考查待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握利用待定系数法求解函数解析式是解题的关键． 20.【答案】证明：，， 四边形AODE是平行四边形， 四边形ABCD是菱形， ， ， 平行四边形AODE为矩形； 解：四边形ABCD是菱形， ，，，， ， 是等边三角形， ， ， ， 由可知，四边形AODE是矩形， 矩形AODE的面积  【解析】先证四边形AODE是平行四边形，再由菱形的性质得，则，即可得出结论； 由菱形的性质得，，，，再证是等边三角形，得，则，然后由勾股定理得，即可求解． 本题考查了矩形的判定与性质，掌握矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识是解题的关键． 21.【答案】解：根据题意得：， 解得：， 答：a、b的值分别是50元、60元； 设购进乒乓球拍x套，羽毛球拍套．总利润为y元， 由题意得：， 解得：， ， ， 随x的增大而减小， 当时，y最大，且最大值为：元， 此时， 答：购进乒乓球拍100套，羽毛球拍200套，获利最大，最大利润为5500元．  【解析】根据购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费160元，购进4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花费170元，列出方程组，解方程组即可； 根据总利润=乒乓球拍的利润+羽毛球拍的利润列出函数解析式，再根据购进乒乓球拍的套数不少于羽毛球拍套数的求出自变量的取值范围，再根据函数的性质求最值即可． 本题考查一次函数和二元一次方程组的应用，解题的关键是仔细审题，找到等量关系列出函数解析式和列出方程组． 22.【答案】七  七年级的平均分高于八年级  七年级的中位数比八年级大答案不唯一  【解析】解：八年级D组的频数为， 补全八年级学生成绩频数分布直方图， 七年级成绩按从小到大顺序第20，21分别是75分，76分， 七年级竞赛成绩的中位数， 故答案为：； ， 答：八年级的竞赛平均成绩m为分； 在此次竞赛中，我认为七年级的竞赛成绩较好，理由如下： 七年级的平均分大于八级，七年级的中位数比八年级大答案不唯一， 故答案为：七；七年级的平均分高于八年级；七年级的中位数比八年级大答案不唯一 求出D组的频数即可补全八年级学生成绩频数分布直方图，根据中位数的定义即可求出七年级竞赛成绩的中位数n； 利用加权平均数公式计算即可； 从平均数和方差等方面比较得出答案答案不唯一，合理均可 本题考查频数分布直方图、频数率分布表、加权平均数、众数、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 23.【答案】解：旗杆MN和BC垂直于地面l， ， 由题意，知APNQ是矩形， ，， ， ， 答：旗杆MN的长约为12m； 方案不唯一先测出绳子多出的部分DN长度为a m，再将绳子拉直，使绳子末端贴在地面C处如图，测出绳子末端C到旗杆底部N的距离b m，即可利用所学知识就能求出旗杆的长． 由测量方案可知，，， 由勾股定理，得，即， 解得， 答：旗杆MN长度为   【解析】先求出，在中利用三角函数即可求出MQ，进而求出MN的长； 方案不唯一可利用绳子、旗杆、地面构造直角三角形设计方案，再利用勾股定理写出求解过程即可． 本题考查解直角三角形的应用，勾股定理的应用，理解题意，能灵活运用所学知识是解题的关键． 24.【答案】解：如图1，补全图形； 四边形ABCD是正方形， ，， 是等边三角形， ，， ，， ， ， ， ； ，证明如下： 如图2，作于点E，交MN的延长线于点H， 则， 交MD延长线于点N， ， 四边形NECH是矩形， ， ， 在和中， ， ≌， ， 四边形NECH是正方形， ， 在中，由勾股定理可得， 同理可得， ，， ， ， 在中，由勾股定理可得， ， ， ，   【解析】按要求作图即可； 先求出，再由求出答案即可； 作于点E，交MN的延长线于点H，证出≌，求出，找到CH与CN的关系，BM和BN的关系，即可解答此问． 本题考查了四边形的综合应用，正方形的性质、等边三角形的性质、三角形全等及准确的计算是本题的解题关键． 25.【答案】解：由题意得：， 解得； 由题意得： ， 则， 即， 当时，则，当时，则， ，故a随b的增大而增大且， ， ，即， 且； 方法一：设点， 则，即， 点P是直线上一动点， 不论n取何值，点P均不在直线l上， 故上述两条直线平行， 即且， 解得， 直线l的解析式为，直线l及直线与x轴所交锐角为， 平行线间的距离处处相等， 设直线与x轴交点C，过点C作于点D， ①当，即时， ； ②当，即时， ， ； 综上，； 方法二：设点，则， 即， 点P是直线上一动点， 不论n取何值，点P均不在直线l上， 关于x，y的方程组， 无解，即关于x的方程无解， ， ， 直线l的解析式为， 易知直线l及直线与x轴所交锐角为， 平行线间的距离处处相等， 设直线与x轴交点C， 过点C作于点D， ①当，即时， ； ②当，即时， ， 综上，  【解析】把l向上平移2个单位后得到直线，用待定系数法即可求解； 由题意得到，即，当时，则，当时，则，则故a随b的增大而增大且，进而求解； 设点，则，首先得知上述两条直线平行，即且，解得，直线l的解析式为，直线l及直线与x轴所交锐角为，设直线与x轴交点C，过点C作于点D，分两种情况讨论：时，时，分别利用面积计算公式解答即可． 本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、解不等式、两条直线的位置关系等，有一定的综合性，难度适中． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$