北京市怀柔区2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试卷

怀柔区2023--2024学年度第二学期高二质量检测 数 学 2024．7 注意事项： 1.考生要认真填写姓名和考号. 2.本试卷分第一部分（选择题)和第二部分(非选择题)，共150分，考试时间120分钟. 3.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡的对应位置,在试卷上作答无效.第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答. 4.考试结束后，考生应将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回. 第一部分 选择题 （共40分） 1、 选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1.集合A=，B= ，则AB= A. B. C. D. 2.等比数列，-1，2，-4，……则数列的第七项为 A.32 B.-32 C. 64 D. -64 3.在二项式的展开式中，常数项为 A.20 B.-40 C.80 D. -160 4.已知函数，则的值为 A. B. C. D. 5.某次考试学生甲还有四道单选题不会做，假设每道题选对的概率均为，则四道题中恰好做对2道的概率是 A. B. C. D. 6．2021年7月20日，公布了《中共中央、国务院关于优化生育政策促进人口长期均衡发展的决定》，决定实施一对夫妻可以生育三个子女的政策及配套的支持措施。假设生男、生女的概率相等，如果一对夫妻计划生育三个小孩，在已经生育了两个男孩的情况下，第三个孩子是女孩的概率为 A. B. C. D. 7.已知函数的图象如图所示，则下列各式中正确的是 A． B． C． D． 8.若是公比为的等比数列，其前项和为 , ，则“”是“单调递增”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 9.设函数，曲线在点处的切线方程为，则值分别为 A. B. C. D. 10.若函数，则根据下列说法选出正确答案是 ① 当时，在上单调递增； ② 当时，有两个极值点； ③ 当时，没有最小值. A. ①② B. ②③ C.① ③ D. ①② ③ 第二部分 非选择题 (共110分） 2、 填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分.） X 1 2 3 11.已知等差数列的前项和，若，则；前项和的最大值为______. 12.若随机变量X的分布列为（如表），则 ； 若随机变量Y=2X+1，则随机变量Y的数学期望E(Y)=__________．（用数字作答） 13.若， 则=______．32 14.分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，分形几何具有自身相似性，从它的任何一个局部经过放大，都可以得到一个和整体全等的图形。例如图（1）是一个边长为1的正三角形，将每边3等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得到图（2），如此继续下去，得到图（3），则第三个图形的边数________；第个图形的周长________. 15. 已知数列的通项公式，则下列各项说法正确的是________.( 填写所有正确选项的序号) ①当时，数列的前n项和； ②若数列是单调递增数列，则； ③,数列的前n项积既有最大值又有最小值； ④若. 3、 解答题（本题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.） 满意度 性别 满意 不满意 弃权 男生 80 30 10 女生 50 20 10 16（本小题13分）某学校对食堂饭菜质量进行满意度调查，随机抽取了200名学生进行调查，获取 数据如下： （I） 用频率估计概率，该校学生对食堂饭菜质量满意的概率； （Ⅱ）用分层抽样的方法从上表中不满意的50人中抽取5人征求整改建议，再从这5个人中随机抽取2人参与食堂的整改监督，则抽取的2人中女生的人数X,求X的分布列和期望. 17.（本小题13分）已知等差数列的前项和为，且. （Ⅰ）求等差数列的通项公式； （Ⅱ）若各项均为正数的数列其前项和为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，设，求数列的通项公式和数列的前项和． 条件①：； 条件②：； 条件③：. 18. （本小题14分）设函数， （Ⅰ）求曲线y=在点（0，）处的切线方程； （Ⅱ）求函数在区间上的最大值与最小值； （Ⅲ）若方程在有三个不同的根，求的取值范围. 19. （本小题15分）为了了解高三学生的睡眠情况，某校随机抽取了部分学生，统计了他们的睡眠时间，得到以下数据（单位：小时）： 男生组：5， 5.5， 6， 7， 7， 7.5， 8， 8.5， 9； 女生组：5.5， 6， 6， 6, 6.5， 7， 7， 8． 用频率估计概率，且每个学生的睡眠情况相互独立． （I）世界卫生组织建议青少年每天最佳睡眠时间应保证在8-10（含8小时）小时，估计该校高三学生睡眠时间在最佳范围的概率； （Ⅱ）现从该校的男生和女生中分别随机抽取1人，表示这2个人中睡眠时间在最佳范围的人数，求的分布列和数学期望； （Ⅲ）原女生组睡眠时间的样本方差为，若女生组中增加一个睡眠时间为6.5小时的女生，并记新得到的女生组睡眠时间的样本方差为．写出与的大小关系．（结论不要求证明） 20（本小题15分）已知函数 ，其中 （I） 求函数的单调区间； （Ⅱ）当曲线在点处的切线与直线y=-x垂直时，若函数的图象总在函数图象的上方，则的取值范围. 21（本小题15分）已知数集（）,若对任意的（），与两数中至少有一个属于，则称数集A具有性质P. （Ⅰ）分别判断数集B=与数集C=是否具有性质，并说明理由； （Ⅱ）若数集A具有性质P. （i）当时，证明，且成等比数列； （ii）证明：. 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 怀柔区2023~2024学年度第二学期高二质量检测 数学学科试题答案 2024.7 1、 选择题：本题共10道小题，每小题4分，共40分． 题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） 答案 A A D B C D C A B D 二、填空题：本题共5道小题，每小题5分，共25分. 题号 （11） （12） （13） （14） （15） 答案 ；16 32 48； ① ④ 注：1.（11）（12）作对一个给3分，作对二个给5分. 2.(14)第一空2分，第二空3分. 3.(15)选对一个给3分，选对二个给5分，多选不给分. 三、解答题：本题共6道小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16（本小题13分） 某学校对食堂饭菜质量进行满意度调查，随机抽取了200名学生进行调查，获取数据如下： 满意度 性别 满意 不满意 弃权 男生 80 30 10 女生 50 20 10 （I） 用频率估计概率，该校学生对食堂饭菜质量满意的概率； （Ⅱ）用分层抽样的方法从上表中不满意的50人中抽取5人征求整改建议，再从这5个人中随机抽取2人参与食堂的整改监督，则抽取的2人中女生的人数X,求X的分布列和期望. 【解析】 （I）设“对食堂饭菜质量满意”为事件A. ------1分 在200人中对饭菜质量满意的有130人 ------ 3分 ------ 5分 （Ⅱ）分层抽取比例 男生抽取人，女生抽取人 ------ 7分 抽取的2人中女生人数X的所有可能为0，1，2 ---------8分 -----9分 -------10分 --------11分 X X=0 X=1 X=2 P 随机变量X的数学期望 ------13分 17.（本小题13分） 已知等差数列的前项和为，且. （Ⅰ）求等差数列的通项公式； （Ⅱ）若各项均为正数的数列其前项和为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，设，求数列的通项公式和数列的前项和． 条件①：； 条件②：； 条件③：. 【解析】 （Ⅰ）已知等差数列中，满足． -------- 4分 ---------- 5分 （Ⅱ） 选条件① . 当 当时， ---------- 8 分 --------- 9分 的前项和 （Ⅱ） 选条件② ------- 7分 --------- 9分 的前项和 （Ⅱ） 选条件③ --------- 6分 ----------8分 ------ 9分 的前项和 18. （本小题14分） 设函数， （Ⅰ）求曲线y=在点（0，）处的切线方程； （Ⅱ）求函数在区间上的最大值与最小值； （Ⅲ）若方程在有三个不同的根，求的取值范围. 【解析】 （Ⅰ） 代入得到 即切点坐标（0，1） ------1分 由，得 ． -------3分 所以曲线y=在点（0，）处的切线方程为 ------ 5分 （Ⅱ）x 由，得 ． 令，得，解得 -------- 6分 与在区间上的情况如下： -4 （-4，-3） -3 （-3，1） 1 （1，3） 3 ↗ 10 ↘ ↗ 10 在区间上， 当x=-3或x=3时,最大值为10；当x=1时，最小值为。 -- 10分 （没画表格，写清调递区间8分，求对最值10分） （Ⅲ）若方程在上有三个不同的根 可得y=的图象与直线y=有3个交点． -----11分 （-，-3） -3 （-3，1） 1 （1，+） ↗ 10 ↘ ↗ 由（II）可知 当 当 所以时，方程有三个不同根． -----14分 19. （本小题15分） 为了了解高三学生的睡眠情况，某校随机抽取了部分学生，统计了他们的睡眠时间，得到以下数据（单位：小时）： 男生组：5， 5.5， 6， 7， 7， 7.5， 8， 8.5， 9； 女生组：5.5， 6， 6， 6, 6.5， 7， 7， 8． 用频率估计概率，且每个学生的睡眠情况相互独立． （I）世界卫生组织建议青少年每天最佳睡眠时间应保证在8-10（含8小时）小时，估计该校高三学生睡眠时间在最佳范围的概率； （Ⅱ）现从该校的男生和女生中分别随机抽取1人，表示这2个人中睡眠时间在最佳范围的人数，求的分布列和数学期望； （Ⅲ）原女生组睡眠时间的样本方差为，若女生组中增加一个睡眠时间为6.5小时的女生，并记新得到的女生组睡眠时间的样本方差为．写出与的大小关系．（结论不要求证明） 【解析】 （I）设“该校高三学生的睡眠时间在最佳范围”为事件A -------1分 在随机抽取的17人中有4人的睡眠时间在最佳范围 -------2分 所以 -------4分 （Ⅱ）由题意，“从男生中随机选出1人,其睡眠时间在最佳范围”为事件B, ------5分 “从女生中随机选出1人，其睡眠时间在最佳范围”为事件C, ． -------6分 由条件可知，的所有可能取值为0，1，2． -------7分 ---------10分 0 1 2 所以的分布列为： --------12分 （Ⅲ）． --------15分 20（本小题15分） 已知函数 ，其中 （I） 求函数的单调区间； （Ⅱ）当曲线在点处的切线与直线y=-x垂直时，若函数的图象总在函数图象的上方，则的取值范围. 【解析】 （I）因为，所以函数的定义域为 ------1分 ------2分 当时，对任意的恒成立， 所以函数的增区间为，无减区间； -------4分 当时，令，得舍负， — 极小值 所以的减区间为，增区间为. 综上所述，当时，函数的增区间为，无减区间； 当时，的单调减区间为，单调增区间为. -----7分 （Ⅱ）解法一： 曲线在点的切线与直线y=-x垂直 -------8分 若函数的图象总在图象的上方，即恒成立。 恒成立 恒成立 -------10分 令，则 令 则恒成立 则在上单调递增． ---13分 又， 所以当时，，即 所以函数在（0，1）上单调递减 当时，，即，所以函数在上单调递增 ------14分 所以 故，即实数. ------15分 （Ⅱ）解法二： 曲线在点的切线与直线y=-x垂直 ------8分 是一条过原点的直线 假设直线 与曲线相切，设切点坐标 则 所以 ------9分 令 则恒成立 在单调递增 所以有且仅有一解 ，即切点坐标（1，1） 当直线 与曲线相切时，切点（1，1） -------13分 此时直线的斜率为1，即 所以当函数的图象总在图象的上方时 -------15分 21（本小题15分）已知数集（）,若对任意的（），与两数中至少有一个属于，则称数集A具有性质P. （Ⅰ）分别判断数集B=与数集C=是否具有性质，并说明理由； （Ⅱ）若数集A具有性质P. （i）当时，证明，且成等比数列； （ii）证明：. 【解析】 （Ⅰ）数集具有性质，不具有性质，理由如下： 因为，，，，，都属于数集，所以具有性质； 因为，都不属于数集，所以不具有性质. ------3分 （Ⅱ）当时，，. 因为，所以，，所以与都不属于， 因此,,所以. ------------5分 因为，且，所以， 又，所以，所以成等比数列. ----------8分 （Ⅲ）因为具有性质，所以，至少有一个属于， 因为，所以，，因此,. ---9分 因为，所以（），故当时， ,,（） -------11分 又因为 所以，，，， -------13分 所以， 所以 --------15分 3 学科网（北京）股份有限公司 $$